Par´ametros que definen al material de apoyo inferior y superior 127

F =π.d_f.l_f.τ_f,max (4.35) donded_f es el di´ametro de la fibra yl_f su longitud; el par´ametroτ_f,maxes la tensi´on m´axima de adherencia como se explic´o anteriormente. Por lo tanto, a la fuerza m´axima (F_max) de arrancamiento, considerando la presi´on radial ser´a:

F =π.df.lf.τf,max+π.df.lf.Prad (4.36) entonces,

F =π.d_f.l_f.[τ_f,max+µ.(1,22.V_FA+ 28,74.V_FPP)] (4.37) Tal como se observa en la ecuaci´on, un mayor contenido de FPP conduce a una mayor presi´on radial alrededor de la FA y aumenta a´un m´as la fuerza de fricci´on en la superficie recta de la misma. Por lo cual, podemos denominar como tensi´on de adhe- rencia en HRFH a la suma de la tensi´on m´axima de adherencia (τ_f,max) m´as el efecto h´ıbrido de mejoramiento de la matriz, como se expresa en la siguiente ecuaci´on:

τ_f,max^HRFH=τf,max+µ.(1,22.VFA+ 28,74.VFPP) (4.38) As´ı, este nuevo factor de adherencia impactar´a en la ecuaci´on 4.27, la cual, para HRFH ser´a:

f_st =α_f.V_f.K_st.τ_f,max^HRFH.l_f df

.

1−2.w_cr lf

2

(4.39) Finalmente, con la modificaci´on anterior, calculandof_fy luego, empleando la ecua- ci´on 4.25, se obtendr´an los valores de la tensi´on a la tracci´on uniaxial del HRFH, para diferentes valores de ancho de fisura (w_cr). En la Figura 4.9, se muestran las curvas obtenidas para las distintas dosificaciones de fibras de refuerzo utilizadas en el HRFH.

Figura 4.9: Curvasσ−w_crpara el HRFH con un contenido de 20kg/m³ de FA com- binada con 0,5 y 1,0kg/m³de FPP.

disipar energ´ıa (Salom´on,1999). Adem´as, presentan un comportamiento altamente no lineal y pr´acticamente incompresible debido a su estructura interna en forma de cade- nas moleculares.

En la presente Tesis se consideraron, en principio, dos opciones para la simulaci´on del caucho que conforma el material de apoyo y aplicaci´on de carga. La primera de ellas, fue considerar al material simplemente el´astico, definido a partir de su m´odulo de elasticidad (E) y su coeficiente de Poisson (ν). La segunda opci´on fue definir al caucho a partir de un modelo de material hiperel´astico. El motivo por el cual se con- sideraron ambas opciones fue que se tem´ıa que, para la primera, el material alcanzara deformaciones excesivas que perjudiquen la simulaci´on.

4.3.2.1. M´odulo de elasticidad del caucho

Gent (1958) estudi´o la relaci´on entre la dureza shore del material y su m´odulo el´astico, formulando la siguiente expresi´on:

E = 0,0981.(56 + 7,66.S)

0,137505.(254−2,54.S) (4.40) donde S es la dureza shore. En la siguiente Tabla4.2 se muestran los valores de E en funci´on de S, calculados mediante la f´ormula anterior.

Como se mencion´o en la secci´on anterior, los dados de apoyo se especifican en la norma IRAM-11503(1986) con una dureza shore 50, por lo cual, para modelo se adoptar´a el valor de E igual a 2,466 MPa.

Dureza S M´odulo E MPa

30 1,1400

40 1,6965

50 2,4661

60 3,6205

Tabla 4.2: Relaci´on entre la dureza Shore y el m´odulo de elasticidad (E) del material.

4.3.2.2. Coeficiente de Poisson

En t´erminos cl´asicos, el coeficiente de Poisson (ν) se origina a partir de la relaci´on entre la deformaci´on producida por una tensi´on normal aplicada y la deformaci´on ocu- rrida en direcci´on perpendicular a la misma. Es una constante fundamental del material que surge de las ecuaciones de la elasticidad lineal y es una propiedad de entrada prin- cipal de los materiales s´olidos en los c´odigos inform´aticos de elementos finitos (Muhr, 2005). Para materiales incompresibles, el valor de ν es 0,5 (Kugler et al., 1990). Sin embargo, a excepci´on de los casos de tensi´on plana y uniaxiales, no es posible asumir que el material es completamente incompresible en ABAQUS^® porque el programa no tiene ning´un mecanismo para imponer tal restricci´on en cada punto de c´alculo del material (Smith,2009). Los elast´omeros se consideran generalmente como materiales casi incompresibles con valores ligeramente inferiores a 0,5 (Srinivas,2017) y por ello, en la presente Tesis se adopto el valor de 0,495.

4.3.2.3. Modelos de hiperelasticidad

Los materiales con comportamiento hiperel´astico son aquellos que, frente a una carga solicitante, muestran desplazamientos y deformaciones del mismo orden de mag- nitud que sus dimensiones caracter´ısticas. Adem´as, estos materiales soportan deforma- ciones finitas sin mostrar una variaci´on apreciable de volumen, por lo que se pueden considerar incompresibles.

En un modelo para un material hiperel´astico, las propiedades el´asticas e is´otropas se describen, generalmente, a trav´es de la funci´on de energ´ıa de deformaci´on que es definida a partir de los tres invariantes del tensor de deformaci´on de Cauchy-Green.

Sin embargo, al considerar al material incompresible, no se incluye el tercer invariante del tensor en el modelo, debido a que el jacobiano de la deformaci´on toma el valor constante J = 1.

Los siguientes son algunos de los modelos disponibles en ABAQUS^®, diferencia- dos a partir de la definici´on de funci´on de densidad de energ´ıa de deformaci´on (W) y ordenados en orden cronol´ogico de formulaci´on:

Neo-Hookean. Este modelo fue formulado en 1944 y consiste en un modelo

simple dependiente de dos par´ametros: el par´ametroC₁₀y el m´odulo de incom- presibilidad (K). Su expresi´on es la siguiente:

W(I₁,J) = C₁₀.(I₁−3) + K

2.(J−1)² (4.41)

donde el par´ametroC₁₀ se encuentra relacionado con el m´odulo de elasticidad transversal (µ_t) del material a trav´es de la siguiente expresi´on:µ_t = 2.C₁₀ Mooney-Rivlin. Este modelo fue formulado en 1951 y es una extensi´on del Neo-Hookean que intent´o mejorar la precisi´on del mismo, incorporando la de- pendencia de la energ´ıa potencial de deformaci´on al segundo invariante, como expresa la siguiente ecuaci´on:

W(C₁₀,C₀₁,K) = C₁₀.(I₁ −3) + C₀₁.(I₂−3) + K

2.(J−1)² (4.42) Como se mencion´o anteriormente, para materiales incompresibles se anula el

´ultimo t´ermino, ya que J = 1, y solo es necesario conocer los par´ametros C₁₀ y C₀₁. Los mismos se obtienen a partir de un ajuste de las curvas tensi´on- deformaci´on de ensayos uniaxiales, biaxiales y de corte. Sin embargo, esta me- jora en la predicci´on acarrea la desventaja de que el t´ermino C₀₁ suele tomar valores negativos y esto genera, en ocasiones, simulaciones inestables de defor- maci´on (Keerthiwansa et al.,2018).

Modelo Ogden. Formulado en 1972, en este modelo la funci´on de energ´ıa de deformaci´on se expresa en t´erminos de deformaciones en las direcciones princi- pales (λ₁, λ₂, λ₃). La funci´on se expresa mediante la siguiente ecuaci´on:

W(λ₁, λ₂, λ₃) =

N

X

k=1

2.µ_k

α²_k .[(λ₁)^αk+ (λ₁)^αk+ (λ₁)^αk−3] +

N

X

k=1

1

D_k.(J−1)^2.k (4.43) En la ecuaci´on anterior, en lugar del par´ametro de compresibilidad K, se observa un par´ametroD_kque es una constante volum´etrica calculada a partir de ensayos.

Dicha expresi´on hace muy potente a este modelo, pero resulta complicada la elecci´on de los par´ametros apropiados para conseguir una predicci´on estable de estados de deformaci´on (Yaya & Bechir,2018).

Modelo de Yeoh.Este modelo fue publicado en 1990 y est´a basado en una fun- ci´on de energ´ıa potencial de deformaci´on con un polinomio de tercer grado, dependiente del primer invariante e independiente del segundo invariante. Su expresi´on viene dada por la siguiente ecuaci´on:

W(C₁₀,C₂₀,C₃₀,K) = C₁₀.X + C₂₀.(X)²+ C₃₀.(X)³+ K

2.(J−1)² (4.44) dondeX = I₁−3

En general, este modelo tiene gran precisi´on, pero su desventaja es que requiere cuatro par´ametros del materialC₁₀,C₂₀,C₃₀y K.

Debido a su simplicidad, en esta Tesis se adopt´o el modelo Neo-Hookean, incor- porado en ABAQUS^® y, para ello, fue necesario definir el valor deC₁₀ requerido por el programa.

De las teor´ıas cl´asicas de la elasticidad se deduce que, para materiales is´otropos y homog´eneos, la relaci´on entre el m´odulo de elasticidad de Young E y el m´odulo de elasticidad transversalµ_t viene dada por la siguiente expresi´on:

E = 2.µ_t.(1−ν) (4.45) dondeν es el coeficiente de Poisson del elast´omero.

Si consideramos el valor deEigual a 2,46 MPa calculado seg´un la ecuaci´on 4.40 yν igual a 0,495, tal como fue definido en la secci´on 4.3.2.2, tenemos que el valor de µ_t es 0,823. Entonces, siµ_t = 2.C₁₀, el valor del coeficienteC₁₀ser´a igual a 0,411.