Retomamos ahora el problema de Cauchy formulado antes para funciones con valores en un espacio de Banachu: [0,∞)−→E.
Definici´on 1.4.1(Problema de Cauchy abstracto).
(i) El problema de valor inicial (d
dtu(t) = Ax, t≥0, u(0) = x,
s llamado el problema de Cauchy abstracto (PCA) asociado a (A, D(A))y x es su valor inicial.
(ii) Una funci´onu: [0,∞)−→E es llamada soluci´on cl´asica del PCA si es diferenciable, u(t)∈D(A)parat≥0y el problema de valor inicial (PCA) se satisface.
(iii) Una funci´on continuau : [0,∞) −→ E es llamada soluci´on moderada ( ´o mild solu- tion” en ingl´es) del PCA siRt
0 u(s)ds ∈D(A)parat ≥0, y adem´as u(t) = A
Z t 0
u(s)ds+x
Observaci´on. Por los resultados del teorema 1.2.3 si la condici´on inicial satisface x ∈ D(A) entonces el concepto de soluci´on cl´asica y soluci´on moderada o soluci´on ”mild” coinciden.
Teorema 1.4.1. Sea Ael generador infinitesimal de unC0 semigrupo(T(t)). Entonces para cada x ∈ E la funci´on u : [0,∞) −→ E, u(t) := T(t)x parat ≥ 0 es la ´unica soluci´on moderada del PCA asociado a(A, D(A)).
Demostraci´on. Primero observamos que para x = 0 la ´unica soluci´on es u = 0. Sea u una soluci´on moderada que satisfaceu(0) = 0y seat >0paras∈(0, t)consideramos la siguiente funci´on y su derivada. Utilizando los resultados del teorema 1.2.3 obtenemos
d
ds(T(t−s) Z s
0
u(τ)dτ) = T(t−s)u(s)−T(t−s)A Z s
0
u(τ)dτ
=T(t−s)u(s)−T(t−s)u(s) = 0;
entonces integrando en(0, t)tenemos Z t
0
( d
ds(T(t−s) Z s
0
u(τ)dτ))ds= Z t
0
u(τ)dτ = 0.
La integral de u existe por la hip´otesis de ser soluci´on moderada y, como estamos con- siderando integraci´on de Lebesgue, entoncesu= 0 ´o a.e en[0, t). Pero comotes arbitrario se debe cumplir queu= 0a.e, por lo tanto la funci´on cero es la ´unica soluci´on.
Para el caso general se sigue del caso anterior y la linealidad del operador A. Si x ∈ E es la condici´on inicial, por ser generador infinitesimal de (T(t))la funci´on u1(t) = T(t)xes soluci´on moderada por los resultados del teorema 1.2.3. Siu2(t)es otra soluci´on que satisface u2(0) =xentoncesu1−u2 es tambi´en soluci´on moderada pero con condici´on incialx = 0y por el caso anterioru1 =u2. Por lo tantou(t) = T(t)xes la ´unica soluci´on moderada del PCA con condici´on inicialx.
Observaci´on. Para el caso cuandox∈D(A)la soluci´onu(t) = T(t)xes de hecho una soluci´on cl´asica; por lo tanto siAes generador infinitesimal el PCA tiene soluci´on cl´asica ´unica.
El teorema anterior muestra la importancia de que el operadorAsea generador infinitesimal de unC0 semigrupo, pues esto nos permite resolver el problema de existencia y unicidad para las soluciones del PCA. A partir de ahora por soluci´on del PCA se entender´a una soluci´on cl´asica del PCA.
El siguiente teorema ser´a uno de los resultados m´as importantes de la teor´ıa de semigru- pos para este trabajo, ya que demuestra la relaci´on entre el problema abstracto de Cauchy y un semigrupo. Asimismo, nos permite transformar un problema de ecuaciones diferenciales parciales en un problema de semigrupos.
Teorema 1.4.2. Sea A un operador lineal densamente definido con dominio D(A) ⊆ E y ρ(A)6=∅. El PCA asociado a(A, D(A))tiene soluci´on ´unicau(t), continuamente diferencia- ble en(0,∞)para cada valor dex ∈ D(A)si y s´olo siAes el generador infinitesimal de un C0semigrupo.
Demostraci´on.
⇐=]
SiAes generador infinitesimal de unC0 semigrupo(T(t))t≥0 yx ∈D(A), por el teorema 1.2.3,u(t) := T(t)xes soluci´on cl´asica del PCA; adem´as por el teorema anterior tal soluci´on es ´unica.
=⇒]
Supongamos que el PCA tiene soluci´on ´unica para cadax∈D(A). Queremos construir un semigrupo que tenga como generador infinitesimal al operadorA.
Sea x ∈ D(A). Denotamos poru(t : x)la soluci´on del PCA con condici´on inicial x, es decir,u0(t:x) = Au(t:x)yu(0 :x) =x.
Por hip´otesis se cumple que ρ(A) 6= ∅; por lo tanto existe λ0 ∈ ρ(A). Entonces por la demostraci´on y la observaci´on del teorema 1.3.5 se cumple que A es un operador cerrado.
Utilizando el teorema de la gr´afica cerrada y el hecho de que todo subconjunto cerrado de un espacio de Banach es completo obtenemos que(D(A),| · |)es un espacio de Banach, en donde
|x|:=kxk+kAxkes la norma de la gr´afica yk · kdenota la norma deE.
Sea T > 0, denotamos por CD(A) := C([0, T] : D(A)) a las funciones continuas con dominio en[0, T]e imagen enD(A). Y definimos tambi´en el siguiente mapeo,
S :D(A)−→CD(A) x7→u(t, x),
el cual asigna, a cada condici´on inicial, la soluci´on correspondiente del PCA. Por las hip´otesis que estamos considerando en el teorema, el mapeo S est´a bien definido y por la linealidad del problema de Cauchy el mapeo resulta ser lineal e inyectivo.
Al espacioCD(A) lo dotamos con la norma infinito correspondiente para que tenga estruc- tura de espacio de Banach. Definimos su norma infinito
kvk∞ := sup{|v(t:x)|:t ∈[0, T]}.
Demostraremos que el operador linealSes cerrado en la norma infinito.
Al trabajar con el operadorAen el espacio de BanachD(A)debemos restringir el dominio del operador para que tenga sentidoA :D(A) −→D(A)como operador lineal bien definido.
Su nuevo dominio resulta ser
D(A2) := {x∈D(A)|A(x)∈D(A)}.
Usando el hecho de que Rλ0(A)es biyectivo, continuo y que la imagen de D(A)bajo el mapeoRλ0(A)est´a contenido enD(A2), se deduce queD(A2)es denso enE.
Sea (xn) ∈ D(S)una sucesi´on tal que xn → xenD(A) yS(xn) → v en CD(A). Como D(A) = D(S)yD(A)es espacio de Banach tenemos inmediatamente quex ∈ D(S). Resta demostrar queS(x) = v.
Por ser soluci´on podemos escribir
S(xn) =u(t:xn) =xn+ Z t
0
Au(s:xn)ds,
y utilizando la convergencia de las sucesionesxn→xys(xn)→v y el hecho de queAes operador cerrado tenemos que
n→∞limS(xn)(t) =x+ Z t
0
Av(s)ds =v(t) para t∈[0, T].
Claramente se cumplev0(t) = Av(t)yv(0) =x; por lo tantov(t)es soluci´on del PCA con condici´on inicial igual ax. Por la unicidad de las soluciones tenemos quev(t) =u(t:x)y con esto concluimos queS es operador lineal cerrado. Como el dominio de Ses el espacioD(A) completo, entonces usando el teorema de la gr´afica cerrada concluimos que S es operador acotado. Por esta raz´on existeC1 >0tal queku(t:x)k∞≤C1|x|.
Definimos parat≥0el mapeo
T(t) :D(A)−→D(A) x7→u(t:x).
Este mapeo asigna a cada condici´on inicialxel valor de la soluci´on del problema de Cauchy evaluada en el tiempot.
Por la linealidad del problema de Cauchy, la combinaci´on lineal de soluciones es soluci´on.
Por lo tanto se cumple queT(t)es operador lineal:
T(t)(αx+y) =u(t:αx+y) = αu(t:x) +u(t :y) =αT(t)x+T(t)y.
Adem´asT(0) =I y se satisface
T(t)T(s)x=T(t)u(s :x) =u(t:u(s:x)) =u(t+s:x) = T(t+s)x,
en virtud de que se cumplen dtdu(t+s) = Au(t+s :x)yu(0 +s :x) = u(s: x). Por lo tanto hemos demostrado que se satisface la propiedad de semigrupo,
T(t)T(s) =T(t+s).
Adem´as, como u(t : x)es continua ent, entoncesT(t)es fuertemente continuo, es decir,
t→0+limT(t)x=x.
Si fijamost0 >0se cumple que
|T(t)x|=|u(t:x)| ≤ ku(·:x)k∞ ≤C1|x|, parat∈[0, t0]
y esto implica que kT(t)k ≤ C1. As´ı, T(t) es uniformemente acotado para t ∈ [0, t0].
Utilizando el mismo argumento empleado en la demostraci´on del teorema 1.2.1 obtenemos que existen constantesM > 0yω∈Rtales quekT(t)k ≤M eωtparat≥0. Por lo tanto(T(t))t≥0
es unC0 semigrupo enD(A).
Seay∈D(A2). Definimos la funci´onvcomo sigue:
v(t) :=y+ Z t
0
u(s:Ay)ds.
Por teorema fundamental del c´alculo, usando la forma de las soluciones del PCA y adem´as utilizando que A es un operador lineal cerrado resulta que la funci´onv satisface la siguiente igualdad
v0(t) = u(t, Ay) =Ay+Rt
0 Au(s:Ay)ds=A(y+Rt
0 u(s:Ay)ds) =Av(t),
es decir,v es la soluci´on del problema de Cauchy y satisface la condici´on inicialv(0) =y.
Por lo tantov(t) = u(t:y). Con esto observamos que
T(t)Ay=u(t:Ay) = Au(t:y) = AT(t)y.
As´ı,AT(t) = T(t)Aparat ≥0enD(A2).
Sea y ∈ D(A2) y definimos x := (λ0I − A)y ∈ D(A). Utilizando las desigualdades anteriores tenemos la siguiente desigualdad
kT(t)xk=k(λ0I −A)T(t)yk ≤ kλ0T(t)yk+kAT(t)yk ≤C2|T(t)y| ≤C2M eωt|y|.
Dado quey=Rλ0(A)xobtenemos quekyk ≤ kRλ0(A)kkxk.
Por otra parte
kAyk=kλ0y−xk ≤ |λ0|kyk+kxk ≤(|λ0|kRλ0(A)k+ 1)kxk,
y, por lo tanto|y| ≤C3kxk. Por la desigualdad anterior tenemoskT(t)xk ≤C4eωtkxkpara todox∈D(A). Por lo tanto(T(t))forman unC0semigrupo de operadores acotados enD(A).
Por densidad de D(A)podemos extender por continuidad de forma ´unica los operadores T(t)a todoE. Preservando la propiedad de serC0semigrupo.
Unicamente falta demostrar que, en efecto, el generador infinitesimal de´ (T(t))es el opera- dor linealA. Sea(B, D(B))el generador infinitesimal de(T(t)); sabemos por teorema 1.2.4 queB es operador cerrado yD(B)es denso enE.
Si tomamosx∈D(A)entonces tenemos queT(t)x=u(t :x)y por lo tanto se cumple d
dtT(t)x=AT(t)x.
En particular se satisface la siguiente igualdad:
Bx = lim
t→0+
T(t)x−x
t =T0(0)x=Ax.
Por lo tantoD(A)⊆D(B)yB|D(A)≡A.
Sea λ ∈ Rque satisfaceλ > ω yy ∈ D(A2). Como T(t)yAconmutan, para caday se cumple la siguiente igualdad:
e−λtAT(t)y=e−λtT(t)Ay =e−λtT(t)By.
Integrando ambos lados de la igualdad tenemos Z ∞
0
e−λtAT(t)ydλ= Z ∞
0
e−λtT(t)Bydλ.
Por el argumento presentado en la demostraci´on del teorema de Hille-Yosida (teorema 1.3.3), por la igualdad anterior, y utilizando queAes operador cerrado, tenemos que
ARλ(B)y=Rλ(B)By =BRλ(B)y, para todoy∈D(A2).
Tambi´en sabemos que BRλ(B) = λRλ(B)−I es un operador acotado. Por ser D(A2) denso, si tomamosx ∈ Eentonces existe una sucesi´on (xn)⊂ D(A2)tal quexn →x. Por la igualdad ya demostrada se cumple queARλ(B)xn = BRλ(B)xn. Tomando l´ımite de ambos lados y usando queAes cerrado tenemos la siguiente igualdad:
n→∞limARλ(B)xn =ARλ(B)x= lim
n→∞BRλ(B)xn=BRλ(B)x.
As´ı concluimos queARλ(B)y=BRλ(B)ypara todoy∈E.
Seaz ∈ D(B); comoRλ(B)es biyectivo existew∈ E tal quez =Rλ(B)w. Entonces se cumple
Bz =BRλ(B)w=ARλ(B)w =Az.
De esta forma D(B) ⊆ D(A) y A ≡ B, D(A) = D(B). As´ı concluimos que A es el generador infinitesimal de unC0semigrupo. Con esto terminamos la demostraci´on del teorema.
Observaci´on. En la demostraci´on anterior observamos que el funcionalSes acotado parat0 >
0fijo. Tambi´en observamos que la norma de la gr´afica es equivalente a la norma deEenD(A) y por lo tanto se cumple que
ku(t :x)k ≤ ku(·:x)k∞≤Ckxk, en[0, t0].
Por la linealidad del problema de Cauchy se cumple la siguiente desigualdad
ku(t:x)−u(t :x0)k ≤ ku(·:x)−u(·:x0)k∞ ≤Ckx−x0k parat∈[0, t0], es decir, se cumple que las soluciones dependen continuamente de los datos iniciales en cierto sentido. Las soluciones convergen uniformemente en intervalos compactos,[0, T], pues la convergencia enk · k∞es la convergencia uniforme.
Cuando el problema de Cauchy abstracto satisface adem´as de la existencia y unicidad de soluciones esta condici´on de dependencia continua de los datos iniciales, algunos autores, por ejemplo Engel y Nagel [9], le llaman problema de Cauchy bien planteado. Por lo tanto la demostraci´on del teorema 1.4.2 muestra que siAes generador infinitesimal de unC0semigrupo entonces el PCA est´a bien planteado en este sentido.
Corolario 1.4.2.1. Sea Aun operador lineal densamente definido con dominio D(A) ⊆ E y ρ(A) 6= ∅. El PCA asociado a (A, D(A))est´a bien planteado si y s´olo si A es el generador infinitesimal de unC0semigrupo.