Otra herramienta básica para estudiar los sistemas de ecuaciones diferenciales parciales de Port-Hamilton sería la teoría de semigrupos C0. El capítulo 1 presenta una breve introducción a la teoría de los semigrupos C0.
Definiciones
Este capítulo introduce el concepto de semigrupos fuertemente continuos o también llamados semigrupos C0, así como sus propiedades básicas y algunos teoremas importantes de esta teoría, como el teorema de Hille-Yosida y el teorema de Lumer-Phillips.
Propiedades
Ejemplos
De la definición se desprende inmediatamente que la familia (Tl(t)) satisface (i) y (ii) de la definición de semigrupos. Observamos que ésta es la definición habitual de la derivada de f0(s), pero aplicada a funciones en Lp(R).
Generaci´on de C 0 semigrupos
Generaci´on de C 0 semigrupos contractivos
A es un generador infinitesimal del semigrupo contractivo C0, (T(t)) si y sólo si. i)A es un operador cerrado y D(A) es denso en E;. Dado que B es un generador infinitesimal del semigrupo C0, satisface las condiciones (i) y (ii) del teorema de Hille-Yosida, en particular 1∈ρ(B) y por hipótesis también tenemos este 1∈ρ(A).
Teorema general de generaci´on de semigrupos
Según la definición de la norma k · kµin por las propiedades del supremo, kµRµ(A)kµ≤ 1 se cumple porque. También es cierto que A es un generador infinitesimal (T(t)) si y sólo si A−ωI es un generador infinitesimal (S(t)). El operador lineal A es un generador infinitesimal del semigrupo C0, (T(t)) que satisface skT(t)k ≤M etω, donde M ≥1 y ω >0 si y sólo si. i)A es un operador cerrado con un dominio denso;
De la observación anterior sabemos que A es un generador infinitesimal de (T(t)) si y sólo si A− ωI es un generador infinitesimal del semigrupo uniformemente acotado (e−tωT(t)), y este es el caso si y s 'Sólo si A−ωI satisface las condiciones del teorema 1.3.8. En la demostración del teorema de Hille-Yosida (teorema 1.3.3) observamos que los solucionadores de un generador infinito A se pueden representar en forma integral de la siguiente manera. Pero por la forma de la integral sabemos que también converge para λ∈CconRe(λ)>0.
Problema de Cauchy abstracto
Si x ∈ E es la condición inicial, dado que es un generador infinitesimal de (T(t)), la función u1(t) = T(t)x es una solución moderada por los resultados del teorema 1.2.3. Por lo tanto u(t) = T(t)xi es la única solución moderada del PCA con condición inicialx. SiA es un generador infinitesimal de un semigrupo C0 (T(t))t≥0 y x ∈D(A), según el teorema 1.2.3, u(t) := T(t)x es la solución clásica de PCA; Además, según el teorema anterior, dicha solución es única.
Es claro que se cumple v0(t) = Av(t)yv(0) =x; por lo tanto v(t) es la solución del PCA con condición inicial igual a x. Este mapeo asigna a cada condición inicial el valor de la solución al problema de Cauchy evaluado en el tiempo t. Debido a la linealidad del problema de Cauchy, la combinación lineal de soluciones es una solución.
Teorema de perturbaci´on
1 El tipo de series utilizadas en la demostración del teorema anterior son series en el espacio de operadores de EenE, convergentes en la norma fuerte de operadores. Si A es un generador infinitesimal de un semigrupo C0 (T(t)) que satisface kT(t)k ≤M etω, y si A+B genera un semigrupo C0-contractivo (S(t)), entonces M = 1yω+ MkBk ≤ 0;. Si A es un generador infinitesimal de un semigrupo contractivo C0 y B es un operador acotado y disipativo, entonces A+B genera un semigrupo contractivo C0.
El teorema se deriva directamente de las identidades demostradas en la prueba del teorema anterior y del teorema de Lumer-Phillips, ya que A y B son operadores cerrados y D(A+B) =D(A) es denso. Además, según el teorema de Lumer-Phillips (Teorema 1.3.6), A es disipativo y la suma de operadores disipativos es un operador disipativo. Aplicando el teorema de Lumer-Phillips concluimos que A+B es el generador infinitesimal de un semigrupo contractivo C0.
Ecuaciones semilineales de evoluci´on
Dado que el mapeo Ga cadax ∈E asocia la solución "suave" del PCAS con la condición inicial x, el hecho de que G sea Lipschitz, con la norma infinita, significa que las soluciones "suaves". Si f : [0, L]× E −→ E es continuamente diferenciable en [0, L]×E, entonces la solución suave del PCAS con condición inicialx∈D(A) es la solución clásica del problema. Asfes continuamente diferenciable en [0, L] × E tenemos fes continuo en [0, L] y Lipschitz uniforme continuo en E; entonces podemos aplicar el Teorema 1.6.1, que garantiza la existencia y unicidad de la solución "suave" de PCAS.
Pero según el supuesto del teorema, u es una solución "suave" al problema con la condición inicial u(0) = x, entonces, debido a la unicidad de las soluciones "suaves", tenemos u(t) =v( t)parat∈[0, L] Por lo tanto, concluimos que para una solución PCAS clásica. Para garantizar que la ecuación (2.1) tenga una solución única, se deben agregar condiciones de frontera. Ya hemos observado que R0 es invertible, por lo que podemos reescribir las condiciones de frontera de la siguiente manera.
Generaci´on de C 0 semigrupos
El conocido teorema de dimensión del álgebra lineal establece que m = dim(ker(T)) + dim(=(T)), por lo que la ecuación siempre se cumple. Del teorema anterior se desprende que rango(W) = n, y al definir el rango de una matriz, discutido en la observación anterior, tenemos ese rango(W) = dim(=(W)). Por tanto, es cierto que Re(hx, Axi) ≤ 0, es decir, A es un operador disipativo.
El sistema (**) es equivalente al sistema de ecuaciones (2.9), por lo tanto siempre podemos encontrar un valor para x(a) tal que x ∈ D(A). En el siguiente teorema, los resultados obtenidos en el teorema 2.2.1 se generalizan al sistema hamiltoniano de definición 2.2.1. Como dWB ∈Cn×2n, del teorema de la dimensión tenemos la igualdad 2n = dim(ker(dWB)) + dim(range(dWB)).
Ecuaci´on de la cuerda vibrante
Para el caso F 6= 0 se obtiene la ecuación no homogénea o ecuación de vibración forzada. Para el caso en que la cuerda es homogénea, cuando ρ(ζ) es constante y perfectamente elástica, siendo T0(t) constante, entonces obtenemos la conocida ecuación de onda en una dimensión. Usando la ley de Newton y el teorema del valor medio integral de la misma manera que antes, obtenemos la ecuación.
La construcción y estudio de esta ecuación se puede encontrar en libros clásicos sobre ecuaciones diferenciales parciales como Tijonov y Samarskii [26] o Salsa [24]. Entonces tenemos que U∗ =UT y por tanto la energía correspondiente a U es de la forma 3.3) La ecuación (3.3) resulta ser la función de energía habitual asociada con la ecuación de la cuerda vibrante.
Modelo hiperb´olico de difusi´on de calor
Es un hecho bien conocido de la teoría de ecuaciones diferenciales parciales que la ecuación (3.5) tiene una solución única sólo cuando se cumplen ciertas restricciones para las condiciones iniciales (ver [16]) o cuando se consideran una clase especial de soluciones, la llamadas soluciones de distribución. En este sentido, se dice que la velocidad de propagación de la perturbación inicial es infinita. Sin embargo, Maxwell rechazó su ley de transferencia de calor y no fue hasta 1944 que se obtuvo evidencia experimental de que la conducción de calor dentro de la materia ocurre a una velocidad finita [22].
Entonces Cattaneo [5] retomó la idea de Maxwell y propuso que el flujo se adapta al gradiente de temperatura en un pequeño tiempo de relajación τ > 0. Este sistema satisface las condiciones del sistema hamiltoniano de la definición en (2.2.1) si consideramos la matrices. Con esto observamos que se cumplen las tres condiciones de la afirmación (iv), por lo tanto del teorema 2.2.3 concluimos que el operador (A, D(A)) genera un semigrupo C0 en L2([a, b] ;C2) .
Modelos hiperb´olicos de reacci´on-difusi´on
Ecuaci´on Fisher-KPP
La ecuación de Fisher-KPP, también conocida como ecuación de Fisher, ecuación de Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov o ecuación KPP, es una ecuación semilineal propuesta por Fisher [11] en el contexto de la genética de poblaciones para estimar la distribución de ciertos genes. . en una población. La ecuación de Fisher-KPP (3.20) es una de las llamadas ecuaciones de reacción-difusión y es una ecuación parabólica semilineal. En este caso puede interpretarse como la concentración de genes dentro de la población en un momento dado.
Para el caso de una reacción de difusión hiperbólica en la dimensión espacial, el uso de una falta de homogeneidad de tipo Fisher-KPP produciría la ecuación. Observamos además que, debido a la definición de la matriz P0, se cumple que ReP0 ≤ 0. Además, la función u7→ u2 es continuamente diferenciable con el diferencial2u, de modo que el problema (3.18) tiene una solución clásica siempre que, de acuerdo al Teorema 1.6.2.
Ecuaci´on biestable
En este artículo resolvimos los problemas de existencia y unicidad de sistemas Port-Hamiltonianos, sistemas de ecuaciones diferenciales parciales de la forma Observamos que al presentar un sistema Port-Hamiltoniano de ecuaciones diferenciales parciales como un problema abstracto de Cauchy y utilizar los resultados de la teoría de semigrupos, es más fácil resolver el problema de la existencia y unicidad de las soluciones. Que es más simple que otros métodos utilizados en la teoría clásica de ecuaciones diferenciales parciales para resolver problemas de existencia y unicidad.
Notamos esto en el capítulo de aplicaciones, donde resolver problemas de existencia y unicidad de soluciones para varios sistemas de ecuaciones fue relativamente simple aplicando el teorema 2.2.3 o 2.2.4. Con este teorema pudimos resolver los problemas de existencia y unicidad de este sistema de ecuaciones en un problema de valores en la frontera. Sin embargo, es una buena herramienta para resolver problemas de existencia y unicidad de un sistema de ecuaciones diferenciales.
Topolog´ıas d´ebiles
Para demostrar que el operador lineal A:D(A)⊆E −→F es cerrado, es necesario demostrar que el gráfico es topológicamente cerrado en la topología de la norma, lo cual podemos hacer con secuencias.
Integral de funciones vectoriales
Espacios de Sobolev de funciones vectoriales
De forma completamente análoga al caso habitual de funciones variables reales, podemos definir el concepto de derivada débil, y luego con este concepto definimos los espacios de Sobolev para funciones vectoriales valoradas. De manera análoga, L1loc(Ω, E) también denota el espacio de clases de equivalencia de funciones integrables en subconjuntos compactos, K ⊆Ω⊆R, si Ωcompact coincide con L1loc(Ω, E) y L1(Ω, E). Definimos C0∞(Ω) como la clase de funciones que son infinitamente diferenciables en Ωy con soporte compacto, también llamadas funciones de prueba.
La definición de derivada débil se obtiene intentando utilizar la fórmula de integración por partes para sustituir, en cierto sentido, las derivadas de las funciones de prueba. El siguiente teorema muestra que la definición de un espacio de Sobol para funciones vectoriales equivale a una generalización de los equivalentes habituales para el caso de funciones de variables reales.
