Métodos operativos de cálculo integral - MATERIALES EDUCATIVOS DE LA BIBLIOTECA DEL ESTUDIANTE UACM

128 

Texto completo

(1)

Métodos Operativos

de Cálculo Integral

(2)
(3)

etodos operativos

de c´

alculo integral

(4)
(5)

Universidad Autónoma de la Ciudad de México

Métodos Operativos

de Cálculo Integral

Fausto Cervantes Ortiz

Academia de Matemáticas

Colegio de Ciencia y Tecnología

(6)

©

Fausto Cervantes Ortiz

D.R.

Universidad Autónoma de la Ciudad de México

Av. División del Norte 906, Col. Narvarte Poniente,

Delegación Benito Juárez, C.P. 03020, México, D.F.

Academia de Matemáticas del Colegio de Ciencia y Tecnología de la UACM

Ciclo Básico para Ingenierías

ISBN:

Fotografía de la portada:

La pirámide de Kukulcán,

en la zona arqueológica de Chichén Itzá,

en Yucatán, México.

Tomada de

en.wikipedia.org

Diseño de Portada: Aarón Aguilar

Diagramas del texto elaborados por el autor

Material educativo universitario de distribución gratuita. Prohibida su venta.

Hecho e impreso en México /

Printed in Mexico

(7)

Introducci´

on

La experiencia del autor como docente de Matem´

aticas en la Universidad Aut´

onoma de la

Ciudad de M´

exico, lo llev´

o a detectar una queja constante entre sus alumnos:

entiendo la teor´ıa,

pero no s´e c´omo empezar a resolver los ejercicios

.

Pensando en ofrecer a los estudiantes una herramienta de enfoque pr´

actico, surge la escritura

de este libro, propuesta que, dentro de su metodolog´ıa, omite las demostraciones de las f´

ormulas,

mientras que ilustra el contenido de los teoremas en forma num´

erica o gr´

afica siempre que es

posible. De esta forma, se prev´

e que resulte m´

as ´

util al estudiante observar directamente en una

gr´

afica que el teorema del valor medio establece que la integral es un ´

area comprendida entre

dos rect´

angulos, que tener en alg´

un lugar del cuaderno la demostraci´

on rigurosa por medio de

sumas de Riemann y l´ımites. En cuanto a su abundancia en ejercicios y problemas pr´

acticos se

pretende que, cuando el universitario necesite aplicar la integral para calcular cantidades f´ısicas

en sus cursos correspondientes, tenga familiaridad con el tema y se sienta m´

as seguro en su

trabajo.

El primer cap´ıtulo presenta brevemente la definici´

on y las propiedades de la integral. Estas

propiedades no se demuestran, pero se ilustran en lo posible para que el alumno comprenda el

contenido conceptual involucrado.

En el cap´ıtulo 2, se explican los m´

etodos de integraci´

on m´

as com´

unmente encontrados en los

tratados de C´

alculo, m´

etodos que se abordan de forma directa para que el estudiante proceda de

inmediato a su aplicaci´

on. No se incluye en el mismo cap´ıtulo lo referente a los l´ımites de sumas,

ya distraer´ıa del tema principal; sin embargo, la informaci´

on se encuentra en un apartado al

final del libro.

El cap´ıtulo 3, sin embargo, presenta m´

etodos que usualmente no se encuentran en la

biblio-graf´ıa tradicional, por lo cual tampoco es com´

un que se expongan en los cursos habituales. Esto

hizo que se les dedicara un cap´ıtulo especial, mismo puede considerarse optativo por aquellos

estudiantes que as´ı lo consideren.

El cap´ıtulo 4 relaciona los contenidos te´

oricos con la pr´

actica profesional. En ´

el se incluyen

problemas reales y ejercicios de aplicaci´

on, con un enfoque interdisciplinario hacia otras

asig-naturas de la Ingenier´ıa. Con esto se pretende que el estudiante encuentre un sentido pr´

actico

en la informaci´

on y su aprendizaje le sea significativo.

(8)

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(9)

´Indice

1

.

La integral

1

1.1

.

Aproximaci´

on de ´

areas por medio de rect´

angulos

. . . .

1

1.2

.

Definici´

on y propiedades de la integral

. . . .

4

1.3

.

La integral como una funci´

on

. . . .

8

1.4

.

Teorema fundamental del c´

alculo

. . . .

10

1.5

.

Integraci´

on de funciones pares e impares

. . . .

12

1.6

.

Integrales impropias

. . . .

14

2

.

etodos de integraci´

on b´

asicos

17

2.1

.

Cambio de variable

. . . .

17

2.2

.

Cambio de variable en la integral definida

. . . .

20

2.3

.

Integraci´

on por partes

. . . .

22

2.4

.

Fracciones parciales

. . . .

25

2.5

.

Funciones irracionales

. . . .

29

2.6

.

Integrales trigonom´

etricas

. . . .

32

2.7

.

Sustituci´

on trigonom´

etrica

. . . .

38

3

.

etodos de integraci´

on avanzados

43

3.1

.

Integraci´

on tabular

. . . .

43

3.2

.

Coeficientes indeterminados

. . . .

44

3.3

.

etodo de Ostrogradski

. . . .

46

3.4

.

Sustituciones de Euler

. . . .

48

3.5

.

Binomios diferenciales

. . . .

52

3.6

.

Sustituci´

on universal para integrales trigonom´

etricas

. . . .

53

3.7

.

Integraci´

on num´

erica

. . . .

54

4

.

Aplicaciones de la integral

59

4.1

.

Areas entre curvas

´

. . . .

59

4.2

.

Vol´

umenes de s´

olidos

. . . .

63

4.3

.

Longitud de arco

. . . .

69

4.4

.

Areas de superficies de revoluci´

´

on

. . . .

71

4.5

.

Movimiento

. . . .

74

4.6

.

Trabajo

. . . .

77

4.7

.

Fuerza hidrost´

atica

. . . .

80

(10)

4.9

.

Momentos y centros de masa

. . . .

84

5

.

Sucesiones y series

87

5.1

.

Sucesiones

. . . .

87

5.2

.

L´ımite de sucesiones

. . . .

87

5.3

.

Series num´

ericas

. . . .

88

5.4

.

Suma y producto de series num´

ericas

. . . .

90

5.5

.

Criterios de convergencia de series num´

ericas

. . . .

91

5.6

.

Estimaci´

on de residuos

. . . .

96

5.7

.

Series alternadas

. . . .

96

5.8

.

Series de potencias

. . . .

97

5.9

.

Convergencia de una serie de potencias

. . . .

97

5.10

.

Derivaci´

on e integraci´

on de series de potencias

. . . .

100

5.11

.

Series de Taylor y de Maclaurin

. . . .

100

5.12

.

Aproximaci´

on con polinomios de Taylor

. . . .

101

Ap´

endice 1: L´ımites de sumas

105

Ap´

endice 2: Tablas

111

(11)

Cap´ıtulo 1

La integral

Cuando calcula

m

os ´

areas de figuras cuyos lados no son rectos, no resulta tan f´

acil co

m

o

si

m

ple

m

ente dividir en tri´

angulos o rect´

angulos y aplicar las f´

or

m

ulas conocidas. Esto es lo

que nos lleva a la definici´

on de integral, por lo tanto, vere

m

os la for

m

a de calcular ´

areas por

m

edio de rect´

angulos y despu´

es se definir´

a la integral, para posterior

m

ente enfocarnos a las

aplicaciones de la

m

is

m

a.

1.1

.

Aproximaci´

on de ´

areas por medio de rect´

angulos

Figura 1.1: Area bajo una curva´

Para aproxi

m

ar el ´

area bajo una curva por

m

edio de rect´

angulos, pri

m

ero se divide el

intervalo [

a, b

] en

n

subintervalos definidos por los valores

x

0

=

a

,

x

1

,

x

2

,

x

3

, ... ,

x

n

=

b

,

(12)

los extre

m

os nos dar´

an las alturas. A esta subdivisi´

on se le lla

m

a

partici´

on

. En la figura

1.1

se

m

uestra la partici´

on efectuada para calcular el ´

area bajo una curva. La partici´

on no

necesaria

m

ente debe ser con subintervalos iguales, aunque frecuente

m

ente esto si

m

plifica los

alculos.

Si calcula

m

os el ´

area para alg´

un rect´

angulo, diga

m

os el n´

u

m

ero

k

, to

m

ando co

m

o altura el

valor de la funci´

on en el extre

m

o inferior del subintervalo obtendre

m

os

A

k

= (

x

k

x

k−1

)

f

(

x

k−1

) =

f

(

x

k−1

x

k

.

A la cantidad Δ

x

k

se le lla

m

a a veces incre

m

ento de

x

k

. Con esto, el ´

area total de los

rect´

angulos ser´

a

A

i

=

n

k=1

f

(

x

k−1

x

k

.

Ta

m

bi´

en pode

m

os calcular el ´

area de cada rect´

angulo to

m

ando co

m

o altura el valor de

la funci´

on en el extre

m

o superior del subintervalo. Con esto se tendr´ıa para el ´

area de cada

rect´

angulo

A

k

= (

x

k

x

k1

)

f

(

x

k

) =

f

(

x

k

x

k

.

Y para el ´

area total:

A

s

=

n

k=1

f

(

x

k

x

k

.

A estas ´

areas as´ı obtenidas,

A

i

y

A

s

les lla

m

are

m

os ´

area inferior y ´

area superior

respectiva-m

ente. Cualquiera de estas dos ´

areas se aproxi

m

ar´

a cada vez

m

´

as al ´

area real

A

en la

m

edida

en que se haga

m

´

as fina la partici´

on, lo cual se logra al hacer cada vez

m

´

as grande el n´

u

m

ero

de subintervalos, dado por

n

. Entonces el ´

area real ser´

a

A

=

l´ı

m

|Δxm|→0

n−1

k=0

f

(

x

k−1

x

k

=

l´ı

m

|Δxm|→0

n

k=1

f

(

x

k

x

k

= l´ı

m

n→∞

n−1

k=0

f

(

x

k1

x

k

= l´ı

m

n→∞

n

k=1

f

(

x

k

x

k

,

(

1

.

1

)

suponiendoque estos l´ı

m

ites existan. En general, si la funci´

on es continua en el intervalo [

a, b

],

existir´

an los l´ı

m

ites.

A la cantidad

|

Δ

x

m

|

se le lla

m

a nor

m

a de la partici´

on y es el subintervalo

m

´

as grande en la

m

is

m

a. Por supuesto que, si los subintervalos son iguales, Δ

x

m

= Δ

x

k

, que es co

m

o se

m

aneja

a continuaci´

on.

As´ı pues, para calcular el ´

area bajo una curva pri

m

ero calcula

m

os Δ

x

k

= (

b

a

)

/n

y

evalua

m

os la funci´

on

f

(

x

k

) sustituyendo

x

por

a

+

k

Δ

x

k

. Despu´

es sustitui

m

os en la f´

or

m

ula

(13)

1.1 Aproximaci´

on de ´

areas por medio de rect´

angulos

3

l´ı

m

n→∞ n

k=1

1

n

= 1

,

l´ı

m

n→∞ n

k=1

k

n

2

=

1

2

,

(

1

.

2

)

l´ı

m

n→∞ n

k=1

k

2

n

3

=

1

3

,

l´ı

m

n→∞ n

k=1

k

3

n

4

=

1

4

,

y en general,

l´ı

m

n→∞

n

k=1

k

i−1

n

i

=

1

i

.

Para

m

´

as detalles sobre el c´

alculo de estos valores, v´

ease el ap´

endice n´

u

m

ero 1.

Ejemplo

Hallar el ´area bajo la curvay=x2 entrea=−1 y b= 2.

Soluci´on

De la f´ormula (1.1), encontramos que

A= l´ım

n→∞ n

k=1

f(xk)Δxk = l´ım

n→∞ n

k=1

−1 +3k

n 2 3 n = = l´ım n→∞ n k=1

1−6k

n +

9k2 n2

3

n

= = 3 l´ım

n→∞ n

k=1

1

n−18 l´ımn→∞ n

k=1 k 1

n2+ 27 l´ımn→∞ n

k=1 k2 n3 =

= 3−18/2 + 27/3 = 3.

(14)

Ejercicios

Encontrar las ´areas de las funciones dadas, en el intervalo especificado.

1. f(x) = 3x, [0,2] R: 6 2. f(x) = 4x, [0,3] R: 18 3. f(x) =mx, [a, b] R: m

2(b2−a2)

4. f(x) =x2−5x+ 6, [0,6] R: 18 5. f(x) = 1 +x2, [0,6] R: 78 6. f(x) =px2+qx+r, [a, b] R: p3(b3−a3) +q2(b2−a2) +r(b−a) 7. f(x) =x3+ 1, [0,1] R: 5/4 8. f(x) =x3+qx2+rx+s, [0,6] R: 324 + 72q+ 18r+ 6s

9. f(x) = (2x−1)3, [0,1] R: 0 10. f(x) = (ax+b)3, [0,1] R: 41a[(a+b)4−b4]

1.2

.

Definici´

on y propiedades de la integral

Se define la integral de la funci´

on

f

(

x

) entre los l´ı

m

ites

a

y

b

con la f´

or

m

ula utilizada para

calcular el ´

area bajo la curva

f

(

x

) y se representa co

m

o

b

a

f

(

x

)

dx

= l´ı

m

n→∞

n−1

k=0

f

(

x

k

x

k

= l´ı

m

n→∞

n

k=1

f

(

x

k

x

k

.

(

1

.

3

)

Aqu´ı se da por hecho que los l´ı

m

ites existen y son iguales. Si las funciones no son continuas

en [

a, b

], esto podr´ıa no ser cierto para algunos casos. En tal caso se dice que la funci´

on no es

integrable

.

otese que esto per

m

ite que la integral tenga valores negativos, ya que las coordenadas

y sus diferencias, o los valores de la funci´

on pueden ser negativos. El s´ı

m

bolo

se lla

m

a

integral

, la funci´

on

f

(

x

) se conoce co

m

o

integrand

o, las constantes

a

y

b

se lla

m

an

l´ımites

de integraci´

on

. El t´

er

m

ino

dx

es la

diferencial

de

x

, que nos indica cu´

al es la variable de

integraci´

on y

m

ostrar´

a su i

m

portancia posterior

m

ente, sobre todo al estudiar algunos

m

´

etodos

de integraci´

on.

Definida en esta for

m

a, es f´

acil ver que la integral posee las siguientes propiedades:

1.

Todo factor constante se puede sacar fuera del signo de la integral:

b

a

cf

(

x

)

dx

=

c

b

a

f

(

x

)

dx

2.

La integral de una su

m

a (o resta) de funciones es la su

m

a (o resta) de las integrales de

cada funci´

on por separado:

b

a

(

f

(

x

) +

g

(

x

))

dx

=

b

a

f

(

x

)

dx

+

b

a

(15)

1.2 Definici´

on y propiedades de la integral

5

Figura 1.2: Comparaci´on de integrales

3.

Al ca

m

biar de orden los l´ı

m

ites de integraci´

on, ca

m

biar´

a el signo de la integral:

b

a

f

(

x

)

dx

=

a

b

f

(

x

)

dx

4.

Dados tres n´

u

m

eros

a

,

b

y

c

, se cu

m

ple que:

b

a

f

(

x

)

dx

=

c

a

f

(

x

)

dx

+

b

c

f

(

x

)

dx

5.

Si en el intervalo [

a, b

] las funciones

f

(

x

) y

g

(

x

) cu

m

plen que

f

(

x

)

g

(

x

), entonces:

b

a

f

(

x

)

dx

b

a

g

(

x

)

dx

Esto se ve clara

m

ente en la figura

1.2

: el ´

area bajo la curva

f

(

x

) es

m

enor que el ´

area

bajo la curva

g

(

x

).

6.

Si

m

y

M

son los valores

m

´ıni

m

o y

m

´

axi

m

o absolutos de

f

(

x

) en [

a, b

], entonces:

m

(

b

a

)

b

a

(16)

Figura 1.3:Comparaci´on de ´areas

Esto se ilustra en la figura 1.3, donde se ve que el valor del ´

area bajo la curva

f

(

x

)

est´

a entre los valores de las ´

areas de los rect´

angulos de alturas

m

y

M

, respectiva

m

ente.

7.

(

Teorema del valor medio

) Si

a < b

, y

m

y

M

son los valores

m

´ıni

m

o y

m

´

axi

m

o

absolutos de

f

(

x

) (siendo esta funci´

on continua), para alg´

un n´

u

m

ero

ξ

entre

a

y

b

se

cu

m

ple que

1

b

a

b

a

f

(

x

)

dx

=

μ

=

f

(

ξ

)

,

(

1

.

4

)

con

m

μ

M

o

m

´

as clara

m

ente:

b

a

f

(

ξ

)

dx

=

f

(

ξ

)(

b

a

)

,

con

a

x

b

. Lo que este teore

m

a establece es que el ´

area bajo la curva es igual al

´

area de un rect´

angulo con la

m

is

m

a base y que tiene co

m

o altura el valor

f

(

ξ

), n´

u

m

ero

co

m

prendido forzosa

m

ente en el recorrido. Esto se ilustra en la figura 1.4.

Ejemplo

Calcular la integral

3

−2(3x

(17)

1.2 Definici´

on y propiedades de la integral

7

Figura 1.4: Ilustraci´on del teorema del valor medio

Soluci´on

De la f´ormula 1.3, encontramos que:

3

−1

(3x2+ 2x+ 5)dx= l´ım

n→∞

n

k=1

f(xk)Δxk,

dondexk=−1 +4nk y Δxk =n4. Entonces se tiene que

3

−1(3x

2+ 2x+ 5)dx=

= l´ım

n→∞

n

k=1

3

−1 +4k

n

2

+ 2

−1 + 4k

n

+ 5

4

n =

= l´ım

n→∞ n

k=1

6−16k

n +

48k2 n2

4

n =

= 24 l´ım

n→∞

n

k=1

1

n−64 l´ımn→∞

n

k=1

k

n2 + 192 l´ımn→∞

n

k=1

k2 n3 =

= 24−64 2 +

(18)

Ejercicios

Calcular las siguientes integrales usando la definici´on de integral (ecuaci´on1.3).

1. 023x dx R: 6 2. 034x dx R: 18

3. abmx dx R: m2(b2−a2)

4. 06(x2−5x+ 6) dx R: 18 5. 06(1 +x2)dx R: 78 6. ab(px2+qx+r)dx R: p3(b3−a3) +q2(b2−a2) +r(b−a) 7. 01(x3+ 1)dx R: 5/4 8. 06(x3+qx2+rx+s)dx R: 324 + 72q+ 18r+ 6s

9. 01(2x−1)3 dx R: 0 10. 01(ax+b)3dx R: 41a[(a+b)4−b4]

1.3

.

La integral como una funci´

on

Si en una integral uno de los l´ı

m

ites de integraci´

on (sin p´

erdida de generalidad pode

m

os

suponer que es el l´ı

m

ite superior) no es constante, sino que var´ıa, la integral se vuelve funci´

on

de ese l´ı

m

ite.

Derivaci´

on de una integral que es funci´

on de uno de los l´ımites de integraci´

on

Sea:

F

(

x

) =

x

a

f

(

t

)

dt.

(

1

.

5

)

La funci´

on

F

(

x

) es funci´

on de

x

dado que el l´ı

m

ite superior var´ıa. Para derivarla, pode

m

os

hacer lo siguiente (suponga

m

os que

F

(

x

) es continua en [

a, b

])

F

(

x

+ Δ

x

) =

x+Δx a

f

(

t

)

dt

=

x

a

f

(

t

)

dt

+

x+Δx x

f

(

t

)

dt,

(

1

.

6

)

entonces

Δ

F

(

x

) =

F

(

x

+ Δ

x

)

F

(

x

) =

x+Δx x

f

(

t

)

dt.

(

1

.

7

)

Por el teore

m

a del valor

m

edio se cu

m

ple que

Δ

F

(

x

) =

f

(

ξ

)[(

x

+ Δ

x

)

x

] =

f

(

ξ

x,

ξ

[

x, x

+ Δ

x

]

(

1

.

8

)

Entonces, dividiendo entre Δ

x

Δ

F

(

x

)

Δ

x

=

f

(

ξ

)

Δ

x

(19)

1.3 La integral como una funci´

on

9

y calculando el l´ı

m

ite cuando Δ

x

0

dF

(

x

)

dx

= l´ı

Δx

m

→0

Δ

F

Δ

x

= l´ı

Δx

m

→0

f

(

ξ

) =

f

(

x

)

.

(

1

.

10

)

Esto se puede generalizar al caso en que el l´ı

m

ite superior es funci´

on de

x

, diga

m

os

g

(

x

),

considerando ahora

G

(

x

) co

m

o una co

m

posici´

on de

F

(

x

) con

g

(

x

)

G

(

x

) =

g(x)

a

f

(

t

)

dt.

(

1

.

11

)

Entonces, de la regla de la cadena tene

m

os que

G

(

x

) =

f

[

g

(

x

)]

dg

(

x

)

dx

.

(

1

.

12

)

Ejemplo

Derivar la funci´on

f(x) =

x

1

1−t

4 + 3t2 dt

Soluci´on

df dx =

1−x

4 + 3x2.

Ejemplo

Derivar la funci´on

f(x) =

1+√x

−2 senx t2dt

Soluci´on

La integral dada se puede expresar como

1+√x

−2 senx t2dt=

a

−2 senx t2 dt+

1+√x a

t2 dt,

con aconstante.

El segundo miembro de la anterior igualdad se puede reescribir como

2 senx a

t2 dt+

1+√x a

(20)

lo que nos permite evaluar cada t´ermino usando la ecuaci´on1.12como sigue

−(−2 senx)2 d

dx(−2 senx)

= 2 cosx(4 sen2x) = 8 senxcos2x,

y

(1 +√x)2 d

dx(1 + √

x)

= 1

2√x(1 + 2 √

x+x) = 1

2√x+ 1 + √

x

2 . Finalmente tenemos que

df

dx = 8 senxcos

2x+ 1

2√x+ 1 + √

x

2 .

Ejercicios

Hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones:

1. F(x) =0x√1−t2 dt R: √1−x2

2. F(x) =x1√1−t2dt R:−√1−x2

3. F(x) =1xdtt R: 1/x

4. F(x) =0x1+1t2 dt R: 1+1x2

5. F(x) =12x(1 +t)5 dt R: 2(1−x2)5 6. F(x) =1x21+√11

−t dt R:

2x

1+√1−x2

7. F(x) =1x/x1t dt R: x2 8. F(x) =√0

x

1

2+t dt R:

1 4√x+2x

9. F(x) =2

x

x √

1 +t2 dt R:

1+4x x − 1+x 4x

10. F(x) =11+xx dt

1+t2 R:

4+2x2

4+2x2−x4

1.4

.

Teorema fundamental del c´

alculo

Sea

f

(

x

) continua en [

a, b

], y sea

F

(

x

) tal que

dF

(

x

)

/dx

=

f

(

x

). Entonces ta

m

bi´

en se

cu

m

ple que

F

(

x

) +

C

=

x

a

f

(

t

)

dt.

(

1

.

13

)

Haciendo

x

=

a

, ve

m

os que

F

(

a

) +

C

=

a

a

(21)

1.4 Teorema fundamental del c´

alculo

11

o sea que

C

=

F

(

a

), por lo tanto

F

(

x

)

F

(

a

) =

x

a

f

(

t

)

dt.

(

1

.

15

)

Si ahora hace

m

os

x

=

b

F

(

b

)

F

(

a

) =

b

a

f

(

t

)

dt.

(

1

.

16

)

Lo anterior nos per

m

ite calcular cualquier integral hallando una funci´

on cuya derivada sea

el integrando, y despu´

es evalua

m

os en

a

y

b

. A la funci´

on

F

(

x

) se le lla

m

a

antiderivada

o

primitiva

de

f

(

x

). Con esto, el proble

m

a de hallar la integral de una funci´

on se reduce al de

encontrar la antiderivada y evaluarla en los l´ı

m

ites de integraci´

on.

Ejemplo

Calcular la integral

5

−2(5x 4

4x3+ 3x2−2x+ 1)dx

Soluci´on

Sabemos que la funci´on f(x) = 5x4 −4x3+ 3x2−2x+ 1 es derivada de la funci´on F(x) =

x5−x4+x3−x2+x, por lo cual, la integral buscada es

5

−2(5x

44x3+ 3x22x+ 1)dx=F(5)F(2) =

= [(5)5−(5)4+ (5)3−(5)2+ (5)]−[(−2)5−(−2)4+ (−2)3−(−2)2+ (−2)] = 2767.

Ejercicios

Calcular las siguientes integrales usando el teorema fundamental del c´alculo

1. 023x dx R: 6 2. 034x dx R: 18

3. abmx dx R: m2(b2−a2)

4. 06(x2−5x+ 6) dx R: 18 5. 06(1 +x2)dx R: 78 6. ab(px2+qx+r)dx R: p3(b3−a3) +q2(b2−a2) +r(b−a) 7. 01(x3+ 1)dx R: 5/4 8. 06(x3+qx2+rx+s)dx R: 324 + 72q+ 18r+ 6s

(22)

1.5

.

Integraci´

on de funciones pares e impares

Cuando tene

m

os una funci´

on par, debido a la si

m

etr´ıa de la curva en su representaci´

on

geo

m

´

etrica, encontra

m

os que el ´

area encerrada entre puntos separados si

m

´

etrica

m

ente respecto

al origen, es el doble del ´

area de cero al punto positivo. Esto es, si tene

m

os la integral

a

−a

f

(

x

)

dx,

a >

0

,

(

1

.

17

)

pode

m

os sustituirla por

2

a

0

f

(

x

)

dx.

(

1

.

18

)

Esto puede resultar ventajoso al calcular integrales de funciones para las cuales

F

(0) = 0,

siendo

F

(

x

) la pri

m

itiva de

f

(

x

).

Para una funci´

on i

m

par sucede algo diferente. Note

m

os que si

f

(

x

)

<

0, la integral tiene

valores negativos. Entonces si tene

m

os

a

−a

f

(

x

)

dx,

a >

0

,

(

1

.

19

)

la integral nos da cero, puesto que la parte negativa anula a la parte positiva. Por otra parte,

esto nos garantiza que la integral

b

−a

f

(

x

)

dx,

a >

0

,

b >

0

,

(

1

.

20

)

se puede ree

m

plazar por la integral

b

a

f

(

x

)

dx,

(

1

.

21

)

ya que la otra parte se anula.

Ejemplo

Calcular la integral

3

−2x 3

dx

Soluci´on

Observemos que esta funci´on es impar, por lo que se puede sustituir por la integral

3 2 x

3 dx,

cuyo valor es

x4

4

3

2

=3

4

4 − 24

4 = 73

(23)

1.5 Integraci´

on de funciones pares e impares

13

Ejemplo

Calcular la integral

3

−3(x 4

x2)dx

Soluci´on

Observemos que esta funci´on es par, por lo que se puede sustituir por 2

3 0

(x4−x2)dx,

cuyo valor es

3 2

(x4−x2)dx x

5

5 −

x3

3

3 3

= 3

5

5 − 33

3 = 396

5 .

Ejercicios

Encontrar las siguientes integrales

(24)

1.6

.

Integrales impropias

Cuando en una integral alguno de los l´ı

m

ites (o a

m

bos) es

±∞

, se le lla

m

a integral

impropia

.

Para calcular esta clase de integrales se hace

a

f

(

x

)

dx

= l´ı

m

b→∞

b

a

f

(

x

)

dx,

(

1

.

22

)

b

−∞

f

(

x

)

dx

= l´ı

m

a→−∞

b

a

f

(

x

)

dx,

(

1

.

23

)

−∞

f

(

x

)

dx

=

l´ı

m

a→−∞,b→∞

b

a

f

(

x

)

dx.

(

1

.

24

)

Si no existe el l´ı

m

ite, se dice que la integral

diverge

.

Ejemplo

Calcular la integral

0 e

−xdx

Soluci´on

Sabemos que la funci´onf(x) =e−xes derivada de la funci´onF(x) =e−x, por lo cual, la integral

buscada es

0 e

−xdx= l´ım b→∞

b

0 e

−xdx= l´ım b→∞

−e−xb

0= l´ımb→∞(−e−b+ 1) = 1.

Existen integrales que son i

m

propias debido a la presencia de alguna discontinuidad esencial

en el intervalo de integraci´

on. Estas integrales se calculan dependiendo de cada caso.

Si la funci´

on es discontinua en el l´ı

m

ite superior

b

a

f

(

x

)

dx

= l´ı

m

c→b−

c

a

f

(

x

)

dx.

(

1

.

25

)

Si es discontinua en el l´ı

m

ite inferior

b

a

f

(

x

)

dx

= l´ı

m

c→a+

a

c

f

(

x

)

dx.

(

1

.

26

)

Si es discontinua en alg´

un punto

a < x

0

< b

, se hace

b

a

f

(

x

)

dx

=

x0

a

f

(

x

)

dx

+

b

x0

f

(

x

)

dx,

(

1

.

27

)

(25)

1.6 Integrales impropias

15

Ejemplo

Calcular la integral

1

−1

1

x2 dx

Soluci´on

El integrando tiene una discontinuidad esencial enx= 0, por lo cual debemos reescribirla como

1

−1

1

x2 dx=

0

−1

1

x2 dx+

1 0

1

x2 dx= 2

1 0

1

x2 dx

por la propiedad de paridad, y entonces tenemos que evaluar la integral impropia obtenida. Sabemos que la funci´onf(x) =x12 es derivada de la funci´onF(x) = −x1, por lo cual tenemos que

1

−1

1

x2 dx= 2 l´ımb→0

1

b

1

x2 dx

= l´ım

b→1

−1

x

1

b

=−l´ım

b→1

1 b − 1 1 =∞,

esto es, la integral diverge.

Obs´ervese que si no se hubiera separado en dos la integral, sino que se hubieran sustituido di-rectamente los l´ımites de integraci´on en la funci´onF(x) =−x1, se hubiera obtenido 0, resultado err´oneo. Por eso es fundamental examinar el dominio de integraci´on antes de aplicar la f´ormula del teorema fundamental del c´alculo.

Ejercicios

Calcular las integrales impropias dadas

1. 1xdx4/3 R: 3 2. −∞0 dx

(x−1)3 R:−

1 2

3. 01+x dxx2 R: diverge

4. 0∞ √3dxx+1 R: diverge

5. −∞0 dx

(x−8)2/3 R: diverge

6. 1∞ x dx

(1+x2)2 R:

1 4

7. 08 √dx3x R: 6

8. 11x−4/3dx R: diverge

9. −∞∞ (2x3−x+ 3)dx R: diverge 10. 0∞ dx

3

(26)
(27)

Cap´ıtulo 2

etodos de integraci´

on b´

asicos

Anterior

m

ente aprendi

m

os que para hallar el valor de una integral es suficiente con hallar la

antiderivada y evaluarla en los l´ı

m

ites de integraci´

on. Para esto es necesario saber

m

´

etodos que

nos per

m

itan encontrar la antiderivada de cualquier funci´

on. No todas las funciones a integrar

tienen antiderivadas, y aun en el caso de que la tengan, puede ser extre

m

ada

m

ente dif´ıcil

hallar su antiderivada. A continuaci´

on se estudian los

m

´

etodos

m

´

as co

m

unes para encontrar

antiderivadas, lla

m

ados

etodos de integraci´

on

.

En general, puesto que la evaluaci´

on de la pri

m

itiva en los l´ı

m

ites de integraci´

on no ofrece

dificultades, se excluyen los l´ı

m

ites de integraci´

on y se usa la integral en for

m

a indefinida. En

este caso, la integraci´

on se reduce a expresar la antiderivada co

m

o funci´

on de

x

, esto es

f

(

x

)

dx

=

F

(

x

) +

C.

(

2

.

1

)

Esto es ´

util porque de este

m

odo si ca

m

bian los l´ı

m

ites de integraci´

on s´

olo se debe reevaluar

la pri

m

itiva. Por otro lado, cuando se hace alg´

un ca

m

bio de variable, es necesario retornar a

la variable original

f

[

g

(

x

)]

dg

(

x

)

dx

dx

=

f

(

u

)

du

=

G

(

u

) =

G

[

g

(

x

)] =

F

(

x

) +

C.

(

2

.

2

)

2.1

.

Cambio de variable

Uno de los

m

´

etodos

m

´

as usuales para integrar una funci´

on es el de ca

m

bio de variable, que

consiste en encontrar alguna variable nueva que nos per

m

ita si

m

plificar la integral a otra

m

´

as

sencilla. Recorde

m

os la regla para derivar una funci´

on co

m

puesta (

regla de la cadena

)

d

dx

[

f

(

g

(

x

))] =

f

[

g

(

x

)]

g

(

x

)

,

(

2

.

3

)

por lo que la integral de la funci´

on

f

[

g

(

x

)]

g

(

x

) es

f

[

g

(

x

)]

g

(

x

)

dx

=

f

[

g

(

x

)] +

C.

(

2

.

4

)

(28)

factor, hace

m

os el ca

m

bio de variable

u

=

g

(

x

), con lo que

du

=

g

(

x

)

dx

y la integral se

convierte en

f

(

u

)

du

=

f

(

u

) +

C

=

f

[

g

(

x

)] +

C.

(

2

.

5

)

Ejemplo

Encontrar la integral

2x(x2+ 1)2dx

Soluci´on

Si hacemosu=x2+ 1, tenemos quedu= 2x dx, que es el factor que tenemos fuera del par´entesis. Entonces la integral se convierte en

u2du,

que calculamos f´acilmente como

u3

3 +C. Regresando a la variable original obtenemos

2x(x2+ 1)2dx=(x

2+ 1)3

3 +C.

Ejemplo

Hallar la integral

sen23xcos 3x dx.

Soluci´on

Si hacemosu= sen 3x, tendremos quedu= 3 cos 3x dx, con lo cual la integral se convierte en

sen23xcos 3x dx=1 3

u2 du,

la cual se calcula muy f´acilmente con la regla de la potencia 1

3

u2du=u

3

9 +C. Regresando a la variable original tenemos que

sen23xcos 3x dx= 1 9sen

(29)

2.1 Cambio de variable

19

Ejemplo

Encontrar la integral

secx dx

Soluci´on

La primitiva de esta integral no es obvia, pero para motivarla, recordemos que la secante aparece en las derivadas de la tangente y de la propia secante. Entonces, multiplicando y dividiendo por secx+ tgxobtenemos

secx dx=

secx

secx+ tgx

secx+ tgx

dx=

sec2x+ secxtgx

secx+ tgx .

Sea u= secx+ tgx, entoncesdu= (sec2x+ secxtgx)dx. Con esto la integral ser´a

du

u = lnu= ln|secx+ tgx|+C.

Ejercicios

Hallar las integrales siguientes usando un cambio de variable adecuado

1. cos 3x dx R: 13sen 3x+C

2. x2√x3+ 1dx R: 29(x3+ 1)3/2+C

3. (1+24x)3 dx R:−(1+21x)2 +C

4. 2x(x2+ 3)4 dx R: 15(x2+ 3)5+C

5. √x−1dx R: 32(x−1)3/2+C

6. 513x dx R:−13ln|5−3x|+C

7. 1+4x

1+x+2x2 dx R: 2

1 +x+ 2x2+C

8. (x+1)2 6 dx R:−5(x+1)2 5 +C

9. (1−2x)1.3 dx R:(1−2x)2.3

4.6 +C

10. cos 2x dx R: 12sen 2x+C

11. (lnxx)2 dx R: (ln3x)3 +C

12. xsen(x2)dx R: −12cosx2+C

13. secxtgx√1 + secx dx R: 23(1 + secx)3/2+C

14. ex√1 +ex dx R: 2

3(1 +ex)3/2+C

15. cos4xsenx dx R: −15cos5x+C

16. dx

xlnx R: ln(lnx) +C

(30)

18. cos(xπ/x2 ) dx R:−π1senπx+C

19. xx2+2+1x dx R:

1

2ln|x2+ 2x|+C

20. sec3xtgx dx R: sec33x+C

21. xa√b+cxa+1 dx R: 2(b+cxa+1)3/2

3c(a+1) +C

22. cosxcos(senx)dx R: sen(senx) +C

23. x

4

x+2 dx R:

4

7(x+ 2)7/4−38(x+ 2)3/4+C

24. 3x−1

(3x2−2x+1)4 dx R:−

1

6(3x2−2x+1)3 +C

25. sen3xcosx dx R: 14sen4x+C

26. tg2xsec2x dx R: 13tg3x+C

27. exe+1x dx R: ln|1 +ex|+C

2.2

.

Cambio de variable en la integral definida

Cuando se hace el ca

m

bio de variable

u

=

g

(

x

), tendre

m

os que hacer ta

m

bi´

en un ca

m

bio

en los l´ı

m

ites de integraci´

on: en lugar del valor de

x

en

a

, to

m

are

m

os el valor de

u

cuando

x

=

a

, esto es

b

a

f

(

x

)

dx

=

g(b)

g(a)

f

(

u

)

du

=

F

(

u

)

g(b)

g(a)

=

F

[

u

(

b

)]

F

[

u

(

a

)]

,

(

2

.

6

)

donde

u

(

a

) y

u

(

b

) son los valores de

u

en

a

y

b

de la nueva variable.

Ejemplo

Calcular la integral

1 0 2x(x

2+ 4)2 dx

Soluci´on

Sabemos que la funci´onf1(x) = 2xes derivada de la funci´onf2(x) =x2+ 4, por lo cual podemos

hacer el cambio de variable u = x2+ 4, con lo que du = 2x dx. De estamanera, si x = 0,

u= 02+ 4 = 4; y six= 1,u= 12+ 4 = 5. Con todo esto, la integral se transforma en

1 0

2x(x2+ 4)2 dx=

5 4

u2du= u

3

3

5 4

= 5

3

3 − 43

3

= 61 3 .

(31)

2.2 Cambio de variable en la integral definida

21

Ejemplo

Calcular la integral

1

−1e

x2 dx

Soluci´on

Si hacemos, por ejemplo,u=x2, tenemos quedu/2√u=dx, con lo que la integral se convierte en

1 1

eu

2√u du= 0.

Evidentemente este resultado es err´oneo, puesto que el ´area bajo la curva dada no es cero, como se ve en la figura 2.1.

(32)

Ejercicios

Encontrar las siguientes integrales usando cambios de variable.

1. 01(2x−1)100 dx R: 1011 2. 01x(x2−1)99 dx R:−2001 3. 13x2

2+x3 dx R:

2 3[

29−√3] 4. 13(2xdx+1)2 R: 212

5. 32(x2x+6+3x)2 dx R:−86411

6. 15√x−1 dx R: 163 7. 12x3√2 +x4 dx R: 12[18√2−√3] 8. 25/2x(x2+ 1)3/2 dx R: 841√29−800√5

160

9. 03(x2+1)dx6 R: 10232560

10. 13√535x dx R: 1 3[45

8−9√518]

2.3

.

Integraci´

on por partes

Este

m

´

etodo se utiliza cuando en el integrando hay productos de funciones que no pueden

reducirse a un ca

m

bio de variable. Recorde

m

os que para derivar un producto de funciones se

usa la regla

d

dx

[

u

(

x

)

v

(

x

)] =

u

dv

dx

+

v

du

dx

,

(

2

.

7

)

que al integrar nos da

u v

=

u v

dx

+

v u

dx,

(

2

.

8

)

y co

m

o

v

dx

=

dv

y

u

dx

=

du

, tene

m

os que

u v

=

u dv

+

v du,

(

2

.

9

)

o, reordenando

u dv

=

u v

v du.

(

2

.

10

)

La f´

or

m

ula

2

.

10

nos per

m

ite ca

m

biar integrales de productos por otras integrales

m

´

as f´

aciles

de obtener. Es i

m

portante tener cuidado al elegir cu´

al es la funci´

on

u

y cu´

al es la funci´

on

v

,

ya que si elegi

m

os

m

al, en lugar de si

m

plificar la integral se puede co

m

plicar cada vez

m

´

as.

Ejemplo

Encontrar la integral

(33)

2.3 Integraci´

on por partes

23

Soluci´on

Hagamosu=xydv=exdx. Con esto tenemos quedu=dxyv=ex. Esto convierte la integral

en la forma siguiente

xex dx=xex−

exdx.

La segunda integral nos daex, con lo cual concluimos que

xex dx=xex−ex+C=ex(x−1) +C.

Ejemplo

Calcular la integral

lnx dx.

Soluci´on

En este caso nos conviene m´as haceru= lnxydv=dx. Con estodu=dx

x yv=x, y la integral

se convierte en

lnx dx=xlnx−

xdx

x =xlnx−x+C.

Ejemplo

Encontrar la integral

arc senx dx.

Soluci´on

Aqu´ı hacemosu= arc senxydv=dx. Con esto se tiene quedu= √dx

1−x2 yv=x. Esto hace que

la integral se convierta en

arc senx dx=xarc senx−

x√ dx

1−x2.

La segunda integral se calcula con el cambio de variableu= 1−x2, lo cual nos da

(34)

Cuando se tiene que calcular por partes una integral definida, la f´

or

m

ula a usar es

b

a

u dv

= [

u v

]

b

a

b

a

v du.

(

2

.

11

)

Ejemplo

Evaluar la integral

π

2

0 xsenx dx.

Soluci´on

Aqu´ı hacemosu=xydv= senxdx. Con esto se tiene quedu=dxyv=−cosx. Esto hace que la integral se convierta en

π

2

0

senx dx=−xcosx

π

2

0

+

π

2

0

cosx dx.

El primer t´ermino de la expresi´on del segundo miembro nos da cero, mientras que la otra integral es inmediata y da 1,por lo tanto

π

2

0 senx dx= 1.

Ejercicios

Evaluar las integrales siguientes

1. xlnx dx R: 12x2lnx−14x2+C

2. xe2x dx R:e2xx

2 −14

+C

3. xsen 4xdx R:−14xcos 4x+161 sen 4x+C

4. x2cos 3x dx R: 13x2sen 3x+29xcos 3x−272 sen 3x+C

5. (lnx)2 dx R:x(lnx)2−2xlnx+ 2x+C

6. e2xsen 3x dx R: e2x

13(2 sen 3x−3 cos 3x) +C

7. xsenhx dx R:xcoshx−senhx+C

8. 01xe−x dx R: 12 e

9. 12lnx2x dx R: 12−12ln 2

(35)

2.4 Fracciones parciales

25

13. cos(lnx)dx R: 12x(cos lnx+ sen lnx) +C

14. 12x4(lnx)2 dx R: 325(ln 2)2−6425ln 2 +6215 15. sen√x dx R: 2(sen√x−√xcos√x) +C

16.

π √

π/4x

3cos(x2)dx R:2+√2 4 −

2

π

16

2.4

.

Fracciones parciales

Cuando en una integral hay funciones racionales (o sea, cocientes entre polino

m

ios) y no hay

posibilidad de hacer alg´

un ca

m

bio de variable, se puede usar el

m

´

etodo de fracciones parciales,

que consiste en desco

m

poner una fracci´

on en varias

m

´

as si

m

ples. Esto es co

m

o revertir una

su

m

a de fracciones.

Para usar este

m

´

etodo, pri

m

ero hay que asegurarse de que la fracci´

on involucrada es propia

(esto es, que el grado del nu

m

erador sea

m

enor que el del deno

m

inador). Si no lo es, se debe

hacer la divisi´

on correspondiente. Despu´

es se debe factorizar total

m

ente el deno

m

inador. Hecho

lo anterior, se distinguir´

an varios casos.

Factores lineales diferentes

El integrando se desco

m

pondr´

a en la for

m

a

P

(

x

)

(

a

1

x

+

b

1

)(

a

2

x

+

b

2

)

...

(

a

n

x

+

b

n

)

=

=

C

1

a

1

x

+

b

1

+

C

2

a

2

x

+

b

2

+

...

+

C

n

a

n

x

+

b

n

.

(

2

.

12

)

Factores lineales repetidos

El integrando se desco

m

pondr´

a en for

m

a si

m

ilar a la anterior,

pero el factor lineal repetido se expresar´

a co

m

o

P

(

x

)

(

a

1

x

+

b

1

)

m

=

C

1

a

1

x

+

b

1

+

C

2

(

a

1

x

+

b

1

)

2

+

...

+

C

m

(

a

1

x

+

b

1

)

m

.

(

2

.

13

)

Factores cuadr´

aticos irreducibles diferentes

El integrando se desco

m

pondr´

a en la for

m

a

P

(

x

)

(

a

1

x

2

+

b

1

x

+

c

1

)(

a

2

x

2

+

b

2

x

+

c

2

)

...

(

a

n

x

2

+

b

n

x

+

c

n

)

=

C

1

x

+

D

1

a

1

x

2

+

b

1

x

+

c

1

+

C

2

x

+

D

2

a

2

x

2

+

b

2

x

+

c

2

+

...

+

C

n

x

+

D

n

a

n

x

2

+

b

n

x

+

c

n

.

(

2

.

14

)

Factores cuadr´

aticos irreducibles repetidos

El integrando se desco

m

pondr´

a en for

m

a

si-m

ilar a la anterior, pero el factor repetido se expresar´

a co

m

o

P

(

x

)

(

a

1

x

2

+

b

1

x

+

c

1

)

m

=

=

C

1

x

+

D

1

a

1

x

2

+

b

1

x

+

c

1

+

C

2

x

+

D

2

(

a

1

x

2

+

b

1

x

+

c

1

)

2

+

...

+

C

m

x

+

D

m

(36)

Para encontrar los valores de los coeficientes

C

i

,

D

i

, se resuelve el siste

m

a lineal que resulta

de igualar los nu

m

eradores al efectuar las su

m

as correspondientes.

Ejemplo

Encontrar la integral

5x2+ 20x+ 6

x3+ 2x2+x dx

Soluci´on

Factorizando el denominador tenemos que 5x2+ 20x+ 6

x(x+ 1)2 =

c1

x + c2

x+ 1 +

c1

(x+ 1)2. Sumando las fracciones tenemos que

c1

x + c2

x+ 1 +

c1

(x+ 1)2 =

c1(x+ 1)2+c2x(x+ 1) +c3x

x(x+ 1)2 , igualando los numeradores tendremos la ecuaci´on

c1(x2+ 2x+ 1) +c2(x2+x) +c3x= 5x2+ 20x+ 6,

lo que al igualar los coeficientes de cada potencia dexnos da el sistema de ecuaciones

c1+c2= 5, 2c1+c2+c3= 20, c1= 6,

cuya soluci´on es

c1= 6, c2=−1, c3= 9,

por lo que se tiene que

5x2+ 20x+ 6

x3+ 2x2+x =

6

x+ −1

x+ 1 + 9 (x+ 1)2. As´ı pues, el problema se convierte en

5x2+ 20x+ 6

x3+ 2x2+x dx=

6

x dx+

1

x+ 1 dx+

9 (x+ 1)2 dx. Con los m´etodos estudiados antes encontramos que

6

x dx= 6 lnx,

1

x+ 1 dx=−ln(x+ 1),

9

(x+ 1)2 dx=− 9

x+ 1. As´ı que finalmente obtenemos

5x2+ 20x+ 6

x3+ 2x2+x dx= 6 lnx−ln(x+ 1)−

9

(37)

2.4 Fracciones parciales

27

Ejemplo

Hallar la integral

2x3−4x−8 (x2−x)(x2+ 4) dx

Soluci´on

Factorizando, podemos reescribir la funci´on como 2x3−4x−8

x(x−1)(x2+ 4) =

c1

x + c1

x−1 +

c3x+c4

x2+ 4 . Sumando las fracciones involucradas tenemos que

c1(x−1)(x2+ 4) +c2x(x2+ 4) + (c3x+c4)x(x−1)

x(x−1)(x2+ 4) =

2x3−4x−8

x(x−1)(x2+ 4). Igualando los coeficientes de potencias iguales en los numeradores tenemos que

c1+c2+c3= 2

−c1−c3+c4= 0

4c1+ 4c2−c4=−4

de donde obtenemosc1= 2,c2=−5,c3= 5,c4= 7. Con esto tenemos que la integral se convierte

en las integrales

2x3−4x−8

x(x−1)(x2+ 4) dx=

2

x dx+

−5

x−1 dx+

5x+ 7

x2+ 4 dx, lo cual nos da, despu´es de integrar cada una de ellas

2x3−4x−8

x(x−1)(x2+ 4) dx= 2 lnx−5 ln(x−1) + 5 2ln(x

2+ 4) + 14 arc tgx

2

+C.

Ejemplo

Determinar la integral

8x3+ 13x

(x2+ 2)2 dx

Soluci´on

(38)

8x3+ 13x

(x2+ 2)2 =

Ax+B x2+ 2 +

Cx+D

(x2+ 2)2. Desarrollando en forma an´aloga a los ejemplos anteriores tenemos que

Ax3+Bx2+ (2A+C)x+ (2B+D) = 8x3+ 13x,

lo cual nos conducir´a a los valores

A= 8, B= 0, C=−3, D= 0.

Con esto, y calculando las integrales, tendremos

8x3+ 13x

(x2+ 2)2 dx= 4 ln(x

2+ 2) + 3

2(x2+ 2)+C.

Ejercicios

Encontrar las integrales siguientes

1. xx+12 dx R: 12x2−x+ ln|x+ 1|+C

2. (x+5)(x−x92) dx R: 2 ln|x+ 5| −ln|x−2|+C

3. xx22+1x dx R:x−ln|x|+ 2 ln|x−1|+C

4. 01 2x+3

(x+1)2 dx R: 2 ln 2 +

1 2+C

5. 12 4x2−7x−12

x(x+2)(x−3) dx R:

9 5ln83

6. (x+5)12(x−1) dx R: 16x+51 +361 lnxx−+51+C

7. 5xx23+3+2xx−22 dx R: 2 ln|x|+ 3 ln|x+ 2|+1x+C

8. x2

(x+1)2 dx R: ln|x+ 1|+

2

x+1−

1 2(x+2)2 +C

9. 01 x3

x2+1 dx R:

1−ln 2 2

10. (x3x21)(−4xx2+5+1) dx R: ln(x−1)2+ ln

x2+ 1−3 arc tgx+C

11. 2(xx32−+1)(x2+3x2+2)x−1 dx R: 12ln|x2+ 1 +12ln(x2+ 2)−√12arc tg√x2+C

12. x31+1 dx R: 13ln|x−1| −16ln(x2+x+ 1)−√13arc tg

2x+1 3

+C

13. 25x3x+32+2x2x+4 dx R: 13ln172

14. dx

x4−x2 R:

1

x+

1 2lnxx−+11

+C

15. (x2+2x−x3+4)2 dx R: −

1 2(x2+2x+4)−

2√3 9 arc tg

x+1 3

Figure

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