Producto tensorial de haces de Hilbert. El haz conjugado

todo z∈B sea

H⁰⁰(z) =H(z)⊗ H⁰(z)

el producto tensorial de H(z) y H⁰(z). Sea Λ el conjunto de secciones de B que toma valores en H⁰⁰(z) de la forma

z7→

n

X

i=1

si(z)⊗s⁰_i(z), dondes_i∈Γ ys⁰_i ∈Γ⁰.

La funci´on, z7→

n

X

i=1

s_i(z)⊗s⁰_i(z)

2

=

n

X

i=1 n

X

j=1

hs_i(z), s_j(z)i

s⁰_i(z), s⁰_j(z)

es continua. Las condiciones (T.1) y (T.2) se satisfacen. ExistenE⁰⁰= ((H⁰⁰(z)),Γ⁰⁰) y un ´unico Γ⁰⁰ tal que Λ⊂Γ⁰⁰. EscribimosE⁰⁰ =E ⊗ E⁰. Si E es trivial y de rango 1 tenemos queE ⊗ E⁰ ∼=E⁰. Por otro lado, s´ı

E =M

i∈J

E_i entonces

E ⊗ E⁰∼= M

i∈J

E_i

!

⊗ E⁰. Luego, por el Teorema 1.2.4, tenemos la siguiente:

Proposici´on 25. Sean B un espacio paracompacto, E un haz separable de Hilbert sobre B, E⁰ un haz trivial de Hilbert sobre B de rango infinito. Entonces E ⊗ E⁰ es isomorfo a E, y por lo tanto trivial.

Conclu´ımos con la siguiente definici´on.

Definici´on 1.2.4. Si E = ((H(z)),Γ) es un haz de Hilbert sobre B, y si H(z) denota al espacio conjugado a H(z), entonces

H(z) ,Γ

es el haz de Hilbert conjugado a E y lo denotamos como E.

Cap´ıtulo 2 Algebras ´ C

SeaHun espacio de Hilbert yK(H) el conjunto de operadores compactos lineales acotados en H. Sea A ⊂ K(H) un subconjunto cerrado de K(H) con la topolog´ıa inducida por la norma. Adem´asA es tal que cumple las siguientes propiedades:

1. Cerradura bajo la suma;

2. Cerradura bajo la composici´on;

3. Cerradura bajo la multiplicaci´on por escalares;

4. Cerradura bajo adjunci´on

Este conjunto A es un tipo especial de ´algebra de Banach involutiva, a tal ´algebra le llamamos ´algebraC^∗.

En este cap´ıtulo nos centraremos en el estudio de las ´algebrasC^∗, a partir de las cuales construiremos haces, es decir, haces de ´algebras C^∗, posteriormente estudia- remos las relaciones, locales y globales, entre estos haces de ´algebras C^∗ y los haces de Hilbert.

2.1. Algebras ´ C

elementales

En esta secci´on definiremos las ´algebrasC^∗elementales, un tipo especial de ´alge- braC^∗. Para lograr esto introduciremos varias definiciones previas. Concluiremos la secci´on con un resultado que nos relaciona la categor´ıa de los espacios de Hilbert con un elemento distinguidoxde norma 1 con la categor´ıa de las ´algebrasC^∗ elementales con una proyecci´on distinguida de rango 1.

Definici´on 2.1.1. Sea A un ´algebra sobre C. Una involuci´on en A es una apli- caci´on A → A dada por x 7→ x^∗, esta aplicaci´on es tal que para todos x, y ∈ A y λ∈C:

1. (x^∗)^∗ =x;

2. (x+y)^∗ =x^∗+y^∗; 3. (λx) =λx^∗;

4. (xy)^∗ =y^∗x^∗

43

A un ´algebraA con involuci´on la llamaremos ´algebra involutiva.

Definici´on 2.1.2. Un ´algebranormada involutivaes un ´algebra normadaA con una involuci´on x 7→ x^∗ tal que kx^∗k = kxk para todo x ∈ A. Si adem´as, A es completa, llamaremos aA un ´algebra involutiva de Banach.

Definici´on 2.1.3. Un ´algebra C^∗ es un ´algebra involutiva de Banach A tal que kxk² =kx^∗xk para todo x∈A.

Definici´on 2.1.4. Sea A un ´algebraC^∗. Diremos queA es elemental si existe un espacio de HilbertH tal que A es isomorfo a K(H)

Otros hechos conocidos son los siguientes:

1. Todo isomorfismoϕ:H → H⁰ induce un isomorfismo ϕ:A→A⁰.

2. Sean H y H⁰ espacios de Hilbert separables, y A = K(H), A⁰ = K(H⁰).

Entonces Aes isomorfo a A⁰ si, y s´olo si dim (H) = dim (H⁰).

3. Sean ϕ, ϕ⁰ : H → H⁰ isomorfismos de espacios de Hilbert, entonces ϕ y ϕ⁰ inducen el mismo isomorfismoϕ:A→A⁰ si, y s´olo siϕ⁰ =λϕ conλ∈S¹. Proposici´on 26. El grupo de automorfismos deA, Aut (A) es isomorfo al cociente del grupo unitario U(H) por su centro, i. e.,

Aut (A)∼=U(H)/Z(U(H)).

Demostraci´on. Una prueba de esto la podemos encontrar en [1].

Recordemos que un operador de Hilbert-Schmidt es un operador acotado T en un espacio de HilbertH con la norma dada por:

kTk²_HS = Tr (T^∗T) =X

i∈I

kT e_ik²,

donde (e_i)_i∈I es una base para Hyk · k es una norma en H.

SeaA⁰ el conjunto de operadores de Hilbert-Schmidt de A, este conjuntoA⁰ es un ideal bilateral denso enA con el siguiente producto escalar

(a, b)7→ ha, bi= Tr (ab^∗) = Tr (b^∗a),

es un espacio de Hilbert. Si p es una proyecci´on de rango 1, Ap es un subespacio vectorial cerrado deA⁰, y las normas inducidas enAppor la norma deA⁰ y la norma de Hilbert enA⁰ coinciden. En efecto, si a∈A, entonces

(ap)^∗(ap) =p^∗aap=λp, λ >0, Tr ((ap)^∗(ap)) =λ=k(ap)^∗(ap)k=kapk².

2.1 ´AlgebrasC^∗elementales 45

Si la dimensi´on del espacio de Hilbert H es a, diremos que A es de rango a². An´alogamente si la dimensi´on deHesa=∞, diremos queAes de rangoa. Notemos que en el caso finito, esta nueva noci´on de rango coincide con la usual.

SeaH un espacio de Hilbert,x∈ H,kxk= 1, y denotamos α(H, x) := (A, p),

dondeA=K(H) y pes la proyecci´on sobreCx.

SeaA un ´algebraC^∗ elemental, p una proyecci´on de rango 1, y denotamos β(A, p) = (H, x),

dondeH=Apyx=p.

Lema 2.1.1. 1. Sean H un espacio de Hilbert, x ∈ H y kxk = 1. Tomemos α(A, p) de tal forma que β(α(H, x)) = (Ap, p). Si para todo a∈Ap, ϕ(a) = ax, entoncesϕ:Ap→ H es un isomorfismo tal que ϕ(p) =x.

2. Sea A un ´algebra C^∗ elemental, p ∈A una proyecci´on de rango 1. Tomemos β(A, p) = (H, x)yα(H, x) = (A⁰, p⁰). Seaψ(a) :H → Huna aplicaci´on lineal para toda a∈A, H=Ap, dada por ψ(a)y =ay. Entonces ψ:A→A⁰ es un isomorfismo tal queψ(p) =p⁰.

Demostraci´on.

1. Veamos queϕes lineal,

ϕ(λa+b) = (λa+b)x=λax+bx=λϕ(a) +ϕ(b). Sia∈Ap, entoncesa=ap, en consecuencia,

Tr (a^∗a) = Tr (pa^∗ap) =ha^∗ax, ai=kaxk²=kϕ(a)k², ϕes isom´etrico, y as´ıϕ(p) =p(x) =x.

2. Existe un espacio de Hilbert H₀ y un x₀ ∈ H con kx₀k = 1 tal que hay una correspondencia entre (A, p) y α(H₀, P_Cx0). Sea ϕ₀ : (H, x) → (H₀, x₀) el isomorfismo dado en (1). En consecuencia, para todoa∈A y todo b∈ H,

ϕ0(ψ(a)b) =ϕ0(ab) = (ab)x0 =a(bx0) =a(ϕ(b)).

De esta manera,ψ(a) =ϕ⁻¹₀ aϕ0, y por lo tantoψ:A→A⁰ es isomorfismo.

A los isomorfismo ϕyψ les llamaremosisomorfismo can´onicos.

Observaci´on 2.1.1. Consideremos las siguientes categor´ıas:

1. la categor´ıa de espacios de Hilbert con un elemento distinguido de norma 1;

2. la categor´ıa de ´algebrasC^∗elementales con un elemento proyecci´on distinguido de rango 1.

En ambos casos, sus morfismos son los isomorfismos correspondientes a cada cate- gor´ıa tales que preservan la estructura respectiva. Entonces α yβ son funtores para las categor´ıas 1 y 2, respectivamente. Luego por el Lema 2.1.1, existe una equivalen- cia entre estas categor´ıas.

Observaci´on 2.1.2. Sean Hy H⁰ espacios de Hilbert, σ:H → H⁰ un isomorfismo, λ∈C y

L={τ :H → H⁰ :τ ∈Hom H,H⁰

, τ =λσ}.

S´ıλ, µ∈C, denotamos por hλσ, µσi=λµ, entoncesL es un espacio de Hilbert con dimensi´on compleja 1. Siσ⁰ :H → H es otro isomorfismo distinto deσ, y si adem´as σ yσ⁰ inducen el mismo L, entonces σ⁰=θσ con |θ|= 1. Por lo tanto,

λσ⁰, µσ⁰

=hλθσ, µθσi=λθµθ=λµ,

la estructura deLno depende de la elecci´on deσ. Siρ, ρ⁰ ∈Ly siξ∈ Hconkξk= 1, entonceshρ, ρ⁰i=hρ(ξ), ρ⁰(ξ)i. Es decir, la norma de Hilbert de un elemento de L coincide con su norma como aplicaci´on lineal de H enH⁰. La aplicaci´on

L× H → H (ρ, x) 7→ ρ(x)

induce una aplicaci´on lineal ϕ:L⊗ H → H. Posteriormente veremos que ϕ es un isomorfismo.