En este trabajo realizamos un estudio detallado de la geometría y estructura de vigas de Banach y vigas de Hilbert (en infinitas dimensiones). Luego introducimos el concepto de homomorfismo de haz, consideramos los haces de Banach (Hilbert) E y E0, y definimos el homomorfismo ϕ:E → E0 como homomorfismos de fibra a fibra, es decir, ϕz:E(z) → E0 (z ) es un homomorfismo, de esta manera definimos ϕ:= (ϕz)z∈B.
Haces de espacios de Banach
- Subconjuntos totales
- El espacio total asociado a un haz
- Propiedades del m´ odulo Γ
- Homomorfismos
- Im´ agenes inversas
- Subhaces
- Separabilidad
- Anexos
Como nota final, el conjunto de espacios de Banach (Hilbert) se denominará conjunto de Banach (Hilbert). Sea B un espacio paracompacto, Y un subconjunto cerrado de B, E= ((E(z)),Γ) un rayo de Banach sobre B, t una sección continua de Y.
Haces de espacios de Hilbert
Sumas de espacios de Hilbert
Recordemos que si T es un operador, entonces existe un único operador U tal que U2 =T, entonces definimos T1/2 :=U. La expresión anterior es una función continua de z y desaparece en z0 y es menor o igual que ε en un cuarto de z0.
El espacio fibrado principal asociado a un haz de rango constante 24
El conjunto P tiene una proyección cartográfica ρ:P →B; para todosz∈B, ρ−1(z) es el conjunto de isomorfismos de H en H(z). Por el contrario, si P admite una sección continua z 7→ U(z) y si (ξλ) es una base ortonormal de H, las secciones z 7→ U(z)ξλ son continuas; para todos z∈B, U(z)ξλ forma una base ortonormal H(z), por lo que E es trivial. Si H y H0 son espacios de Hilbert de dimensión infinita, entonces existe un isomorfismo isométrico.
Sabemos que podemos ampliar el barrio V; es decir, se ha definido para una sección continua t de E en una vecindad V0 de V que se puede suponer que está contenida en U.
Grassmannianas infinitas
Siz ∈ B y suficientemente cerca de z0 en la topología fuerte, kzξi−ξik es muy pequeño y zξi son una base de z(H), si ortonormalizamos zξi, vemos que existe una vecindad fuerte V de z0 en B tal que si z∈V, existe en z(H) una base ortonormal {η1,. Sea H un espacio de Hilbert de dimensión infinita, Gr(H)f un H Grassmanniano fuerte, D un paquete canónico sobre Gr(H)f,. Según el Teorema 1.2.2, para todo z∈Y existe una base ortonormal (ξi(z))i∈I de z(H), de modo que las aplicaciones z 7→ ξi(z) de Y a H están conectadas en La topología uniforme.
Para cada subespacio vectorial cerrado K de H de codimensión n, sea (ξi(K))i∈I una base ortonormal de K tal que las asignaciones PK →ξi(K) estén conectadas en la topología fuerte, Lema 1.2. 6.
Segundo teorema de trivialidad
Sea s00n el segmento que coincide con consnenVn y sea con0n enBn+1∩(B\Wn); es continua por la Proposición 8 y es distinta de cero en Vn∪Bn+1, por construcción, luego por la Proposición 7, s00n se extiende a la sección continua sobre B; existe una vecindad cerrada Vn+1 de Vn∪Bn+1 en la que la extensión es distinta de cero. Por lo tanto, podemos construir una vecindad cerrada Vn+1 de Y ∪Bn+1 contenida en Vn y una sección continua distinta de cero n+1 en Vn+1 que se extiende de la siguiente manera. Sea H un espacio de Hilbert de dimensión infinita, Gr(H)f un H Grassmanniano fuerte, D un paquete canónico sobre Gr(H)f,.
El conjunto de proyecciones de rango menor o igual a a, connfinito, está cerrado en Gr(H)f, i.
Suma de un haz arbitrario con un haz trivial
Dado que dePH(z)si(z) son linealmente independientes, deK1(z) y deK(z) = H(z) K1(z) definen subhaces D1 y DofE tales que E =D ⊕ D1 yDes son triviales y de rango infinito. Si E es un radio trivial con rango infinito sobre B, entonces E ⊕ E0 es isomorfo a E y, por tanto, trivial. Sea H un espacio de Hilbert de dimensión infinita, Gr(H)f su Grassmanniano fuerte, D el paquete canónico sobre Gr(H)f.
Por el teorema 1.2.4, podemos suponer que es una viga parcial de la viga constante sobre B definida por H0.
Tercer teorema de trivialidad
La aplicación z7→ H0(z) de B sobre el conjunto de subconjuntos cerrados de H0 es semicontinua desde abajo, según el Corolario 1.2.2. Por el teorema 1.2.4, podemos suponer que E es un subconjunto de un paquete de productos definido por H0 sobre B. El corolario 1.1.2 implica que ϕ es una aplicación semicontinua inferior de B sobre el conjunto de conjuntos cerrados no vacíos de H0.
Entonces la sección z 7→ ks(z)k−1s(z) abarca un elemento de Γ de calibre 1, por lo tanto, abarca un elemento.
Existencia de haces no triviales
Existe en el espacio Sea H un espacio de Hilbert de dimensión infinita, Gr(H)f su Grassmanniano fuerte, F el paquete canónico sobre Gr(H)f, R es el conjunto de z∈Gr(H)f tal que el La dimensión y codimensión de z(H) es infinita. Si z∈R, existe un operador unitario de H tal que z(H)7→z0(H), por lo que F |R no es localmente trivial.
Otro ejemplo
Suponiendo que H es trivial y que el rango de H es infinito, podemos darle una estructura de haz de Hilbert sobre cuaterniones.
Producto tensorial de haces de Hilbert. El haz conjugado
Concluimos la sección con un resultado que relaciona la categoría de espacios de Hilbert con un elemento distintivo de norma 1 con la categoría de álgebras elementales C∗ con una proyección distintiva de rango 1. Sea A0 el conjunto de operadores de Hilbert-Schmidt de A. , este setA0 es un opA ideal bilateral cercano con el siguiente producto escalar. Si p es una proyección de rango 1, Ap es un subespacio vectorial cerrado de A0, y las normas inducidas en Appor, la norma de A0 y la norma de Hilbert en A0 coinciden.
Esto significa que la norma de Hilbert de un elemento de L coincide con su norma como aplicación lineal de H en H0.
Haces de ´ algebras C ∗ elementales
En ambos casos, sus morfismos son isomorfismos correspondientes a cada categoría para preservar la estructura en cuestión.
Haces de ´ algebras C ∗ elementales asociadas a haces de Hilbert
Relaciones entre haces de Hilbert y haces de ´ algebras C ∗ . Resultados
Sea A un paquete de álgebras C∗ elementales sobre B con un corte p tal que para cada z p(z) sea una proyección de rango 1. Sea A un paquete de álgebras C∗ elementales sobre B con un corte p, tal que para cada z∈B, p(z) es una proyección de rango 1, y. La sección θt,t de A(H) definida en Y es una sección continua en Y, y θt,t(z) es una proyección de rango 1 para todosz∈Y, por lo que la condición se cumple ´en de Fell.
Sea z0 ∈ B, entonces existe una vecindad Y de Z0 y una sección p de proyecciones, de rango 1 de A definida sobre Y.
Relaciones entre haces de Hilbert y haces de ´ algebras C ∗ . Primer
Considere un espacio topológico paracompacto, y dado que una viga de rango 1 es localmente trivial, existe una biyección entre la clase de vigas de rango 1 y Hˇ1 B;S1.
Relaciones entre haces de Hilbert y haces de ´ algebras C ∗ . Segundo
Consideremos un espacio topológico paracompacto B, entonces el mapeo A 7→δ(A) induce una correspondencia biyectiva entre las clases de paquetes localmente triviales de 'álgebras elementales C∗ sobre B de rango infinito y Hˇ3(B;Z). Consideremos un conjunto de álgebras elementales C∗ A sobre B, separables y de rango infinito, que verifican la condición de Fell. Si suponemos que B es un espacio topológico paracompacto de dimensión infinita, entonces A es localmente trivial.
Sea A0 el 'álgebra C' de operadores compactos en un espacio de Hilbert de infinitas dimensiones.
G-haces principales
- Haces principales y cohomolog´ıa no abeliana
- Espacios clasificantes de G-haces principales
- Clases caracter´ısticas de G-haces
- Fibraciones asociadas
Otra forma de describir las clases de isomorfismo del paquete principal es mediante el uso de espacios de clasificación. Una viga principal G (EG, BG, G) se denomina espacio de clasificación de vigas principales G si tiene la propiedad de que para cada viga principal (P, M, G) existe una función única f, excepto homotopía, tal que f∗(EG) es isomorfo a P. Un hecho estándar es que los espacios de clasificación existen y son únicos, excepto por la equivalencia de homotopía.
Una caracterización útil de los espacios clasificadores en la categoría CW es el hecho de que un paquete principal G (P, M, G) es un espacio clasificador si y sólo si πq(P) = 0 para todo lo que
Cambiando el grupo estructural
Reduciendo el grupo estructural
Saturado por todos los H caminos en P, el espacio orbital Pm/H y una reducción del haz (P, M, G) corresponde por lo tanto a una sección del haz P/H →M con fibra Pm /H en m. Definir una reducción de GaH significa tomar, para cada m∈M, un camino de H en Pm, o equivalentemente, un elemento de Pm/H, y esto define una sección de P/H. Si G tiene una reducción a H, entonces siempre podemos elegir trivializaciones locales tales que las funciones de transición tomen valores en H, y por tanto π∗([P]) = 0.
En general, no hay problemas en extender una función f desde el n-esqueleto al (n+ 1)-esqueleto siπn(F) = 0.
Obstrucci´ on y transgresi´ on
El siguiente lema nos permite calcular grupos de homotopía de fibras de Bφ:BH →BG en el caso en que φ sea la inclusión. El diagrama conmutativo anterior es el diagrama de las secuencias largas exactas de fibraciones (EG, BG, G) y (EH, BH, H) mediante la aplicación de.
Extendiendo el grupo estructural
La clase de obstrucci´ on
Además, EG/ˆ S1 es un rayo G-principal sobre BGˆ canónicamente identificado como un subgrupo. Pero si proyectamos B sobre BGˆ, la fibra es EG, que es contráctil. Por lo tanto, B es del tipo homotópico de BG y, en consecuencia, es otra realización de BG. Del Teorema 3.2.2 vemos que si (P, M, G) es un paquete de principio G con función clasificadora f : M → BG entonces la viga G se eleva a una viga ˆG si y sólo si hay elevación en f aBG.
Como hemos considerado BGˆ como una viga BS1, del teorema 3.2.2 se deduce que no hay torcedura en el grupo de coeficientes y que el obstáculo para levantar f es una clase c.
La clase de Dixmier-Douady
Péicha φ(eαβγ)∈Hˇ3(M;Z) ha e petet clase característica, jaikuaaukáva D(P) rupive ha ñahenói clase Dixmier-Douady. Explícitamente, jagueraha ramo wαβγ péicha ateαβγ = exp (2πiwαβγ), upéicharamo pe clase Dixmier-Douady oguereko petet representante. Tojekuaa [μ] ha eha pe clase cohomología rehegua ojedefiníva extensión central G-pe, ha upévare oimerae fibra P → M-pe.
De 4.8 se deduce que la clase Chern en H2(Pm0;Z) está representada por el cociclo −nabc.
La relaci´ on entre las dos clases
SetP rim(A) es un espacio topológico donde para cada T ⊂P rim(A), T es la clave de T. En este apéndice estudiaremos la nación parasheath de los grupos abelianos y sus morfismos, verás cuál es un funcionario. Un conjunto dirigido L es un conjunto con un preorden≤ tal que para cada α, β en Λ, existe aγ en Λ tal que α≤γ y β ≤γ.
Si F y G son prehaces de grupos abelianos, entonces f : F → G es un morfismo de prehaces de grupos abelianos si y solo si F(U) :F(U)→G(U) es un homomorfismo de grupos abelianos. Tenemos que f : F → G es un isomorfismo de presheaves si y solo si para cada U ⊂X abierto, f(U) :F(U)→G(U) es un isomorfismo de grupos abelianos si y solo si f( U) es biyectiva. Entonces el grupo de cohomología de homotopía Hn(X;G) es isomorfo al grupo de cohomología de ˇCech Hˇn(X;G) si G es contable o X es un espacio k.
