para todo existe no existe tal que implica entonces si y sólo si Conjuntos conjunto elementos Ejemplo pertenece conjunto vacío

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Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y

estructuras algebraicas

En este tema vamos a analizar diversos conceptos que no están propiamente incluidos en el temario, así como algunas cuestiones sobre terminología y notación. Comenzamos con algunos símbolos:

El símbolo∀se lee ”para todo”. El símbolo∃se lee ”existe” (y∄se lee ”no existe”). El símbolo | se lee ”tal que”. La expresiónpqse lee ”p implica q” o también ”si p entonces q” (y significa que si la condición de la izquierda se cumple entonces se cumple la de la derecha). En esta situación se dice quepes condición suficiente paraq, o queqes condición necesaria parap. La expresiónpqse lee ”p si y sólo si q” (y significa que las dos condiciones son equivalentes, es decir, que ambas se cumplen o no simultáneamente). En esta situación se dice que cualquiera de las condiciones es condición necesaria y suficiente para la otra. El símbolo∨significa ”o” (llamado también disyunción) y el símbolo∧se traduce como ”y” (llamado también conjunción). Para finalizar, algunas notaciones que vamos a utilizar son:

Dados elementosa1,a2, . . . ,an, para designar la suma de ellosa1 a2 . . .an en

matemáticas es frecuente utilizar la notación

n i1

ai. De forma análoga, n i1

ai designa el

producto de dichos elementos.

Conjuntos

Unconjuntoes la reunión en un todo de determinados objetos diferenciables unos de otros. A los objetos que forman un conjunto se les llamaelementosdel conjunto.

Ejemplo: Algunos conjuntos son

1, 2, 3,a,b,c,5, 2, 8, 125,

el conjunto de los números pares, el conjunto de las personas de esta ciudad, etc. Así, en el primer conjunto de los anteriores, diremos que 1 es un elemento del conjunto y

escribiremos 1 ∈ 1, 2, 3(se lee ”1perteneceal conjunto1, 2, 3”). Análogamente 2, 3 ∈ 1, 2, 3. (Si queremos decir que algo no pertenece al conjunto basta usar el símbolo ∉; por ejemplo 4 ∉ 1, 2, 3.)

Un conjunto puede describirse enumerando sus elementos (éstos suelen ponerse entre llaves separados por comas, como ocurre con los tres primeros casos anteriores) o

definiéndolo por las propiedades que verifican sus elementos (como ocurre con los últimos 2 casos anteriores).

Si un conjunto consta de un número finito de elementos se dice que es un conjunto finito y si no se dice que es infinito. Se llamaconjunto vacíoal que no tiene ningún elemento, y se designará por.

SeanAyBconjuntos. Diremos queBes unsubconjuntodeAcuando todos los elementos deBestán enA. Esto lo denotaremos del siguiente modoBA(se lee ”B está contenidoenA”). Si queremos decir que el conjuntoBno es un subconjunto deA

escribiremosBA. (A veces se utiliza⊂en vez de⊆para designar la inclusión.)

Dados conjuntosAyB, para comprobar que son iguales (AB) hay que ver que ambos tienen exactamente los mismos elementos. Para demostrar esto, en la práctica, lo que se hará en la mayoría de las ocasiones será observar que se verifican las dos inclusiones BAyAB.

Ejemplo:1, 2es un subconjunto de1, 2, 3;3es un subconjunto de todos los números impares, etc.

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cumplen, cada uno de ellos, la propiedad de estar o bien enAo bien enB. Este nuevo conjunto se denotaráAB(se lee ”AuniónB”). De modo matemático podríamos expresarlo así

AB  x|xAo bienxB.

Se denominainterseccióndeAyBal conjunto cuyos elementos cumplen, cada uno de ellos, la propiedad de estar tanto enAcomo enB. Este nuevo conjunto se denotaráAB (se lee ”AintersecciónB”). De modo matemático podríamos expresarlo así

AB  x|xAyxB.

Se llamadiferenciadeAporBal conjunto formado por los elementos que están enApero no enB. Se denota porAB(también se denotaA\B; incluso algunos docentes lo llaman complementariodeBenAy lo denotan porBc). De modo matemático podríamos

expresarlo así

AB  x|xAyxB. Ejemplo:

a)

A  1, 2, 3 B  6, 2, 4 AB  1, 2, 3, 4, 6 AB  2 AB  1, 3 BA  6, 4 Observemos que los elementos repetidos se consideran una sola vez en la unión.

b)

A  1, 9, 3 B  6, 2, 4 AB  1, 2, 3, 4, 6, 9 AB   AB  1, 9, 3 BA  6, 2, 4

Elproducto cartesianode dos conjuntosAyBse denota porABy es el conjunto de los ”pares” de elementos deAy deB, es decir

AB  a,b|a ∈ AybB

La definición se extiende de forma natural para cualquier número de conjuntos. En el caso de que hagamos el producto cartesiano de un conjuntoAconsigo mismonveces

utilizaremos la notaciónAnpara denotar

nveces

AA. . .A(como ocurrirá por ejemplo con R2,R3 y en general conRn. En estos casos sus elementos los denominamos vectores).

Algunosconjuntos numéricos destacablesson los siguientes:

i) El conjunto de los númerosnaturales

N  0, 1, 2, 3, . . . .. A veces nos interesa tomar el conjunto

N∗  1, 2, 3, . . . ., formado por todos los naturales excepto el 0.

ii) El conjunto de los númerosenteros

Z  0, 1,−1, 2,−2, . . . .. Es claro que todo número natural es un número entero.

iii) El conjunto de los númerosracionalesofraccionarios

Q   mn tales quem,n ∈ Zymes no nulo.

Este conjunto puede también verse comolos números decimales que son periódicos (incluyendo el caso de números sin decimal [los enteros] y números con una expresión

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decimal finita). Así por ejemplo serían números racionales 23  0.6  0. 666. . . ,

7

−2  −3. 5 y 42  2. De este modo se ve claramente que todo número enterones un

número racional, puesnn1.

iv) El conjunto de los números realesR, algo más difícil de dar explícitamente,

podríamos verlo comoel conjunto de los números decimales, tanto los periódicos como los no periódicos. Serían ejemplos de números reales, aparte de todos los números racionales, algunos que no lo son, como 2  1. 41421. . . ,

log25  2. 32192. . . , y otros tantos números que tienen infinitos decimales, pero no pueden darse con una expresión que se repita periódicamente. También tenemos los conjuntos

R  xR|x  0yR−  xR|x  0

A los números reales que no son racionales se les llama números irracionales. El conjunto de los númerosirracionalesesR−Q.

v) El conjunto de los númeroscomplejos

C  abi|a,bR

donde se consideraicomo la raíz cuadrada de−1,i  −1 . Algunos números

complejos serían los siguientes: 2−3i, 3 i,−4−0. 4i, etc. Es claro que todo número realxes un número complejo puesxx0i.

De la definición de los conjuntos numéricos anteriores se deduce que

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C

Aplicaciones

Unaaplicación(ofunción) deAhaciaB(o deAenB) es una forma de asignar a cada elemento deAun elemento deB. Escribiremosf : ABóAf B. Al conjuntoAse le llamarádominio(oconjunto inicial) y al conjuntoB codominio(oconjunto final) de la aplicación. SiaAentonces el elemento deBque le asignamos al elementoase llamará imagendeapor fy se denotaráfa. Esto también se expresa con las siguientes notaciones

Af B a ˆ fa

Af B afaEjemplo:

a) Seaf : 1, 2, 6, 4 → 2, 4, 6, 8, 9definida del modo siguiente: al 1 le asignamos el 4, al 2 el 9, al 6 el 8, y al 4 el 9. Entoncesfestá dada por

f1  4 f2  9 f6  8 f4  9

(es decir, la imagen del 1 es el 4, la imagen del 2 es el 9, la imagen del 6 es el 8, y la imagen del 4 es el 9).

b) SeaAun conjunto. Se llamaaplicación identidadenAa la aplicaciónI : AA definida porIa  a∀a ∈ A(otras formas de denotar la aplicación identidad esi,id, 1,iA,

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I2  2 I5  5 I0  0

Notación: Dada una aplicaciónf : ABCentoncesfa,bpodrá denotarse también porfa,b.

Imagen y antiimagen

Si tenemos una aplicaciónf : XYy tenemos subconjuntosX′ ⊆ XeY′ ⊆ Y llamaremos:

I) ImagenporfdeX′ al conjunto (que siempre está contenido enY) fX′  fa|a ∈ X′, o de otro modo fX′  bY|∃aX′ cumpliendofa  b

es decir, todas las imágenes porfde elementos deX′. Como caso particular tenemos fX  fa|a ∈ X, o de otro modo

fX  bY|∃aXcumpliendofa  b

al que llamaremosimagendef, y lo denotaremos por Imf(por supuesto también se da ImfY).

II) AntiimagenporfdeY′ al conjunto

f−1Y′  aX|fa ∈ Y′

es decir, los elementos del conjunto inicialXcuya imagen está enY′. Notación: SibYpodremos ponerf−1ben vez def−1b. Y si además f−1b apodremos poner tambiénf−1b a.

Ejemplo: En el apartado a) del último ejemplo se tiene que Imf  4, 8, 9. Y si tomamosX′  1, 2, 4eY′  8, 9, entonces

fX′  4, 9 f−1Y′  2, 4, 6

Algunos tipos de aplicaciones

Supongamos que tenemos una aplicaciónf : XY. Diremos quefes:

i) Inyectivasi se cumple la siguiente propiedad:

Si tenemosa,bXtales quefa  fb, entoncesab; o, dicho de otro modo,cada par de elementos distintos del conjunto inicial tienen distintas imagénes.

ii) Suprayectivaosobreyectivasi ImfY. (Como siempre se tiene ImfY, quefsea suprayectiva equivale a que∀y ∈ Y∃x ∈ Xtal quefx  y, es decir, quetodo elemento del conjunto final Y sea imagen de algún elemento del conjunto inicial X).

iii) Biyectivasi es tantoinyectivacomosuprayectiva. Ejemplo:

a) Sea

f : 1, 2, 3 → a,b,c, 0 dada por

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f1  a f2  c f3  0

Entoncesfes inyectiva (porque no hay elementos que tengan imágenes iguales), pero no es suprayectiva (Imf  a,c, 0, yb ∉ Imf). Por ellofno es biyectiva.

b) Sea

g : 1, 2, 3 → a,b definida del siguiente modo:

g1  a g2  b g3  a

Entoncesgno es inyectiva (porque hay elementos distintos que tienen imágenes iguales; en concreto se tiene queg1  g3), pero sí es suprayectiva (porque Img  a,b). Luegog no es biyectiva.

c) Sea

h : 1, 2, 3 → a,b,∗ la aplicación definida por

h1  a h2  ∗ h3  b

Entonceshes inyectiva y suprayectiva, con lo que es biyectiva. d) Consideremos

: 1, 2, 3 → a,b,∗ la aplicación dada por

1  b 2  ∗ 3  b

Entoncesno es inyectiva (1  3) ni suprayectiva (a ∉ Im). Por tanto no es biyectiva.

Composición de aplicaciones

Sean Xf Y gZ

aplicaciones. Entonces es posible definir la aplicación compuesta defyg, la cual está dada del siguiente modo:

A cada elementoaX, primero le aplicamosfy nos resulta un elementobfa ∈ Y. A este elemento obtenido le aplicamosgy resultagb  gfa. A la aplicación así definida se la denotará porgfy se le llama lacomposicióndefyg(se lee ”g compuesto con f”). Con esta notación tendremos

gfa  gfa Ejemplo:

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1) Sean f : 1, 2, 3, 4 → 2, 3, 7, 9 g : 2, 3, 7, 9 → 2, 3 1) Sean f : 1, 2, 3, 4 → 2, 3, 7, 9 g : 2, 3, 7, 9 → 2, 3 definidas por: f1  7 f2  7 f3  9 f4  2 g2  3 g3  3 g7  3 g9  2 Entonces gf : 1, 2, 3 → 2, 3 está definida por

gf1  gf1  g7  3 gf2  gf2  g7  3 gf3  gf3  g9  2 gf4  gf4  g2  3 2) Sean f : R → R g : R → R dadas por fx  3x2 gx  2x−1 para cadaxR. Entonces es posible calcular las aplicaciones

gf : RR fg : RR y están dadas, para cadax, por

gfx  gfx  g3x2 23x21 6x21

fgx  fgx  f2x−1  32x−12  34x2 −2x1  12x2 −6x3

3) Sea

f : XX

una aplicación de un conjuntoXen sí mismo. Entonces a la composición ff : XX

la denotaremos porf2. En general, a la composición defconsigo mismanveces, la

denotaremos porfn.

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composición en ambos sentidos (cosa que no ocurre siempre) no tienen por qué coincidir gfyfg.

Inversa

Sea

f : XY

una aplicación biyectiva. Entonces dadoyYexiste un único elementoxXtal que fx  y

Éste es precisamente el que cumple que

f−1y x

Así puede definirse otra aplicación

g : YX definida por

gy  f−1y

De hecho se dice que esta aplicación es lainversa de fy se denota simplemente por f−1 : YX

(no confundamos esta notación con la que se da en la situación general en la que tenemos una aplicación cualquieraf, no necesariamente biyectiva, yf−1 se utiliza para hallar

antiimágenes de subconjuntos del espacio final. En este caso la peculiaridad que se da al ser fbiyectiva es que todo elemento tiene antiimagen y además ésta es única). En esta situación se tiene que

f−1f I

X ff−1  IY

Ejemplo: Consideremos

f : RR la aplicación definida, para cadax ∈ R, por

fx  2x1

Veamos quefes biyectiva. Empecemos por la inyectividad. Supongamos que para a,b ∈ Rse tiene quefa  fb, es decir, 2a1  2b1. Entonces restando 1 y

dividiendo después entre 2 se tiene queab. Para probar quefes suprayectiva tomemos un elemento arbitrarioy ∈ R. Debemos encontrar alguna antiimagen, es decir, un elemento xRtal quefx  y, es decir, tal que 2x1  y. Procediendo como antes, es decir, restando 1 y dividendo entre 2, se tiene que el elemento buscado esxy−12 . En conclusión existe la inversaf−1 : R → R. El cálculo de ésta se hace igual que la demostración de la suprayectividad: para cadayRf−1y  x, confx  y. Con anterioridad ya habíamos deducido quexy−12 , es decir,

f−1y  y−1 2

Estructuras algebraicas

Este apartado está dedicado a ver las estructuras algebraicas que usaremos más adelante y que, por tanto, deben ser conocidas. Comenzamos con la estructura de grupo abeliano.

Definición: Ungrupo abelianoes un parG,∗dondeGes un conjunto y ”∗” es una ley de composición interna (LCI) enG(una LCI es una aplicación∗ : GGG; lo cual

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se traduce en que cada par de elementosx,yGse pueden ”operar” mediante ”∗” para dar otro elemento deGal que denotaremos porxy) que verifica:

1. ”∗” esasociativa: ∀a,b,cGse tiene que

ab∗ca∗bc (en lo sucesivo pondremosabcsin paréntesis).

2. ”∗” esconmutativa:∀a,bGse tiene que abba

3. Existencia de elementoneutropara ”∗”: es decir,∃e ∈ Gtal que aeaea

∀a ∈ G. El neutro lo llamaremoseen este caso.

4. Todo elementoaGposee elementosimétrico bpara ”∗” que cumple que abbae

Nota: Si no se cumple la propiedad conmutativa se dice que es un grupo no abeliano. Observación: Todos los conjuntos numéricos anteriormente mencionados, exceptoN, con la operación interna ”suma habitual de números” constituyen grupos abelianos. En esta situación el elemento neutro es el número 0, y el simétrico de un elementoaes el opuesto b  −a. El problema deNes que no todo elemento tiene opuesto; por ejemplo el 1 no tiene opuesto enN, es decir, no existe ningún elementonNque cumpla que 1n  0. Sin embargo con la operación interna ”producto habitual de números” ningún conjunto numérico constituye un grupo abeliano; por ejemplo el 0 no tiene simétrico. Precisamente esto lo que da lugar a la estructura de cuerpo, que es la que vemos a continuación.

Definición: Uncuerpoes una ternaK,,dondeKes un conjunto y ”” y ”” son LCI enKque verifican:

I)K,es un grupo abeliano (denotaremos por 0 al neutro deK,).

II) ”” esasociativa.

III) ”” esconmutativa.

IV) (Propiedadesdistributivas)∀a,b,cKse tiene que

a bc  abac y ab cacbc

V) Existe un elementoneutropara ”” (al que denotaremos por 1). Esto se traduce en que a1  1aa

para cualquiera.

VI) Todo elementoaK−0posee elemento simétrico para ””, al que denotaremos pora−1 y que será denominado elinversodeaenK. Se verifica entonces que

1  aa−1  a−1 a. Observación:

1. A las LCI ”” y ”” se les llamará respectivamentesumayproducto.

2. Puede omitirse el signo del producto. Así en expresiones comoabpondremos simplementeab.

3. Pueden eliminarse los paréntesis en expresiones de la formaabcabcó

abcabcponiendo simplementeabcóabc, respectivamente, gracias a la asociatividad de la suma y el producto.

4. Las propiedades asociativas, conmutativas o distributivas pueden extenderse a cualquier número finito de elementos. Por ejemplo esta última sería así:

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ab1b2 . . .bn  ab1 ab2 . . .abn

Ejemplo: De los conjuntos numéricos anteriormente mencionados, con la suma y el producto habituales, son cuerposQ,RyC. En éstos todo elemento no nulo tiene inverso, cosa que no ocurre enZ(ni enN, que ni siquiera era un grupo abeliano para la suma), pues por ejemplo 2 no tiene inverso, ya que∄n ∈ Ztal que 2n  1.

Propiedad: Dado un cuerpoKse cumple que:

Paraa,bKse tieneab  0 si y sólo sia  0 ób  0.

Nota: De todos los cuerpos existentes usaremos especialmenteRy ocasionalmenteC.

Números complejos

El conjunto de los números complejos esC  abi|a,bR, dondei  −1 (es decir,i2 −1). Este conjunto tiene estructura de cuerpo (como ya hemos dicho

anteriormente) con la suma y el producto definidos de forma usual:

Dadosz1  a1 b1iyz2  a2 b2i, lasumase realiza coordenada a coordenada, es

decir,

z1 z2  a1 a2b1 b2i.

Elproductose realiza utilizando la propiedad distributiva del siguiente modo:

z1z2  a1a2 a1b2ib1a2ib1b2i2  a1a2 a1b2ib1a2ib1b2  a1a2 −b1b2a1b2 b1a2i

Sizabies un número complejo (ésta se llamaforma binómicadez),ase llama parte realdezybse llamaparte imaginariadez. Si la parte imaginaria es 0 entonceszes realmente un número real; si la parte real es 0 se dice quezes un número imaginario puro. Se llamaconjugadodezal número complejo zabi.

Todo número complejo no nulozabitieneinverso(para el producto), y éste es z−1  z

|z|2. De este modo se define la división de un número complejozentre otro número

complejou ≠ 0 como z

uzu−1.

Se llamamódulodezal número realr  |z|  a2 b2, el cual es siempre positivo,

salvo paraz  0 (en cuyo caso el módulo da 0). Se llamaargumentodez ≠ 0 al único ángulocomprendido entre−y(concretamente−  ) que cumple la relación

z

|z|  cosisen, es decir

z  |z|cosisen  |z| cosi|z|sen

Ésta se llama laforma trigonométricadel número complejoz. También se dice que la forma polardezesr. Estas formas permiten hacer cálculos de multiplicación, división y

potencia más fácilmente porque:

Producto |zu|  |z||u| argzu  argzargu

Cociente |

z u | 

|z| |u|

arg uz  argz−argu

Potencia |z

n| |z|n

argzn nargz

 Sizr yur′′ entonceszurr′y uzr

r

Se puede definir la función exponencial también para números complejos. Ésta función satisface muchas de las propiedades algebraicas de la exponencial real:

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exy exey

exy ex

ey

e0 1

eit  costisentpara cada número realt(i  −1 ).

Precisamente esta última propiedad es nueva y es la que nos va a dar laforma exponencialde los números complejos:

 Para cada número complejozse tiene quez  |z|eiargz.

Multiplicar y dividir en forma exponencial es sencillo por las propiedades enunciadas anteriormente.

Raíces n-ésimas: Siz ≠ 0, dado un número naturaln ≥ 2, se tiene quezposeen raíces n-ésimasdistintas (es decir, números complejosz1,z2, . . . ,zn tales quezknzpara

k  1, 2, . . . ,n). Estos números tienen todos módulo nr y sus argumentos son (reducidos al

intervalo-,) 1  n 2  1 2n 3  2 2n 4  3 2n . . . . nn−1 2n

Veamos algunos ejemplos de operaciones con complejos:

1. 2i5−4i  7−3i 2−6i−−32i  5−8i 2. 32i  2−i  6−3i4i−2i2 6i2 8i 3. 6−4i  64i 26i−1  240−6i  1 20 − 3 20i 4. u  3−3i |u|  32 −32  18  3 2 Si  argu entonces se tiene que

3 2cosisin  3−3i de donde se deduce que

3 2 cos  3

3 2 sin  −3 o lo que es lo mismo

cos  1 2

sin  − 1

2

y por tanto este ángulo vale 315o 7

4 rad, lo que nos da  −4 rad para que el ángulo esté comprendido en-,.

5.

v  −44i |v|  4 2 argv  135o 3

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Tomandowv8 |w| |v|8 4 28

 220

argw  834  6  1080o, que resulta ser 0rad  0o

6. Hallemos las 3 raíces cúbicas del número complejo z  −27i

Como |z|  −272 27 argz 270o 3 2 rad

se tiene que las 3 raíces cúbicas buscadasz1,z2 yz3verifican que

|z1|  |z2|  |z3|  327  3

En cuanto al argumento se cumple argz1  270 o 3  90 o 2 rad argz2  argz1 360 o 3  90 o 120o 210o 7 6 rad −56 rad argz3  argz2 360 o 3  210 o 120o 330o 11 6 rad6 rad En definitiva

z1  |z1|cos argz1 sin argz1i  301i  3i

z2  |z2|cos argz2 sin argz2i  3− 3

2 − 12i  − 3 3

2 − 3 2i z3  |z3|cos argz3 sin argz3i  3 3

2 − 1 2i  3 3 2 − 3 2i

Figure

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