para todo existe no existe tal que implica entonces si y sólo si Conjuntos conjunto elementos Ejemplo pertenece conjunto vacío

Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y

estructuras algebraicas

En este tema vamos a analizar diversos conceptos que no están propiamente incluidos en el temario, así como algunas cuestiones sobre terminología y notación. Comenzamos con algunos símbolos:

El símbolo∀se lee ”para todo”. El símbolo∃se lee ”existe” (y∄se lee ”no existe”). El símbolo | se lee ”tal que”. La expresiónp  qse lee ”p implica q” o también ”si p entonces q” (y significa que si la condición de la izquierda se cumple entonces se cumple la de la derecha). En esta situación se dice quepes condición suficiente paraq, o queqes condición necesaria parap. La expresiónp  qse lee ”p si y sólo si q” (y significa que las dos condiciones son equivalentes, es decir, que ambas se cumplen o no simultáneamente). En esta situación se dice que cualquiera de las condiciones es condición necesaria y suficiente para la otra. El símbolo∨significa ”o” (llamado también disyunción) y el símbolo∧se traduce como ”y” (llamado también conjunción). Para finalizar, algunas notaciones que vamos a utilizar son:

Dados elementosa1,a2, . . . ,an, para designar la suma de ellosa1 a2 . . .an en

matemáticas es frecuente utilizar la notación

n i1

∑



producto de dichos elementos.

Conjuntos

Unconjuntoes la reunión en un todo de determinados objetos diferenciables unos de otros. A los objetos que forman un conjunto se les llamaelementosdel conjunto.

Ejemplo: Algunos conjuntos son

1, 2, 3,a,b,c,5, 2, 8, 125,

el conjunto de los números pares, el conjunto de las personas de esta ciudad, etc. Así, en el primer conjunto de los anteriores, diremos que 1 es un elemento del conjunto y

escribiremos 1 ∈ 1, 2, 3(se lee ”1perteneceal conjunto1, 2, 3”). Análogamente 2, 3 ∈ 1, 2, 3. (Si queremos decir que algo no pertenece al conjunto basta usar el símbolo ∉; por ejemplo 4 ∉ 1, 2, 3.)

Un conjunto puede describirse enumerando sus elementos (éstos suelen ponerse entre llaves separados por comas, como ocurre con los tres primeros casos anteriores) o

definiéndolo por las propiedades que verifican sus elementos (como ocurre con los últimos 2 casos anteriores).

Si un conjunto consta de un número finito de elementos se dice que es un conjunto finito y si no se dice que es infinito. Se llamaconjunto vacíoal que no tiene ningún elemento, y se designará por.

SeanAyBconjuntos. Diremos queBes unsubconjuntodeAcuando todos los elementos deBestán enA. Esto lo denotaremos del siguiente modoB ⊆ A(se lee ”B está contenidoenA”). Si queremos decir que el conjuntoBno es un subconjunto deA

escribiremosB ⊈ A. (A veces se utiliza⊂en vez de⊆para designar la inclusión.)

Dados conjuntosAyB, para comprobar que son iguales (A  B) hay que ver que ambos tienen exactamente los mismos elementos. Para demostrar esto, en la práctica, lo que se hará en la mayoría de las ocasiones será observar que se verifican las dos inclusiones B ⊆ AyA ⊆ B.

Ejemplo:1, 2es un subconjunto de1, 2, 3;3es un subconjunto de todos los números impares, etc.

cumplen, cada uno de ellos, la propiedad de estar o bien enAo bien enB. Este nuevo conjunto se denotaráAB(se lee ”AuniónB”). De modo matemático podríamos expresarlo así

AB  x|x ∈ Ao bienx ∈ B.

Se denominainterseccióndeAyBal conjunto cuyos elementos cumplen, cada uno de ellos, la propiedad de estar tanto enAcomo enB. Este nuevo conjunto se denotaráA∩B (se lee ”AintersecciónB”). De modo matemático podríamos expresarlo así

A∩B  x|x ∈ Ayx ∈ B.

Se llamadiferenciadeAporBal conjunto formado por los elementos que están enApero no enB. Se denota porA−B(también se denotaA\B; incluso algunos docentes lo llaman complementariodeBenAy lo denotan porBc_{). De modo matemático podríamos}

expresarlo así

A−B  x|x ∈ Ayx ∉ B. Ejemplo:

a)

A  1, 2, 3 B  6, 2, 4 AB  1, 2, 3, 4, 6 A∩B  2 A−B  1, 3 B−A  6, 4 Observemos que los elementos repetidos se consideran una sola vez en la unión.

b)

A  1, 9, 3 B  6, 2, 4 AB  1, 2, 3, 4, 6, 9 A∩B   A−B  1, 9, 3 B−A  6, 2, 4

Elproducto cartesianode dos conjuntosAyBse denota porABy es el conjunto de los ”pares” de elementos deAy deB, es decir

AB  a,b|a ∈ Ayb ∈ B

La definición se extiende de forma natural para cualquier número de conjuntos. En el caso de que hagamos el producto cartesiano de un conjuntoAconsigo mismonveces

utilizaremos la notaciónAn_{para denotar}

nveces

AA. . .A(como ocurrirá por ejemplo con R2_,R3 _{y en general conR}n_{. En estos casos sus elementos los denominamos vectores).}

Algunosconjuntos numéricos destacablesson los siguientes:

i) El conjunto de los númerosnaturales

N  0, 1, 2, 3, . . . .. A veces nos interesa tomar el conjunto

N∗  1, 2, 3, . . . ., formado por todos los naturales excepto el 0.

ii) El conjunto de los númerosenteros

Z  0, 1,−1, 2,−2, . . . .. Es claro que todo número natural es un número entero.

iii) El conjunto de los númerosracionalesofraccionarios

Q   _mn tales quem,n ∈ Zymes no nulo.

Este conjunto puede también verse comolos números decimales que son periódicos (incluyendo el caso de números sin decimal [los enteros] y números con una expresión

decimal finita). Así por ejemplo serían números racionales 2₃  0.6  0. 666. . . ,

7

−2  −3. 5 y 42  2. De este modo se ve claramente que todo número enterones un

número racional, puesn  n₁.

iv) El conjunto de los números realesR, algo más difícil de dar explícitamente,

podríamos verlo comoel conjunto de los números decimales, tanto los periódicos como los no periódicos. Serían ejemplos de números reales, aparte de todos los números racionales, algunos que no lo son, como 2  1. 41421. . . ,

log₂5  2. 32192. . . , y otros tantos números que tienen infinitos decimales, pero no pueden darse con una expresión que se repita periódicamente. También tenemos los conjuntos

R  x ∈ _R|x  0y_R−  x ∈ _R|x  0

A los números reales que no son racionales se les llama números irracionales. El conjunto de los númerosirracionalesesR−Q.

v) El conjunto de los númeroscomplejos

C  abi|a,b ∈ _R

donde se consideraicomo la raíz cuadrada de−1,i  −1 . Algunos números

complejos serían los siguientes: 2−3i, 3 i,−4−0. 4i, etc. Es claro que todo número realxes un número complejo puesx  x0i.

De la definición de los conjuntos numéricos anteriores se deduce que

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C

Aplicaciones

Unaaplicación(ofunción) deAhaciaB(o deAenB) es una forma de asignar a cada elemento deAun elemento deB. Escribiremosf : A → BóA →f B. Al conjuntoAse le llamarádominio(oconjunto inicial) y al conjuntoB codominio(oconjunto final) de la aplicación. Sia ∈ Aentonces el elemento deBque le asignamos al elementoase llamará imagendeapor fy se denotaráfa. Esto también se expresa con las siguientes notaciones

A →f B a ˆ fa

A →f B a → fa Ejemplo:

a) Seaf : 1, 2, 6, 4 → 2, 4, 6, 8, 9definida del modo siguiente: al 1 le asignamos el 4, al 2 el 9, al 6 el 8, y al 4 el 9. Entoncesfestá dada por

f1  4 f2  9 f6  8 f4  9

(es decir, la imagen del 1 es el 4, la imagen del 2 es el 9, la imagen del 6 es el 8, y la imagen del 4 es el 9).

b) SeaAun conjunto. Se llamaaplicación identidadenAa la aplicaciónI : A → A definida porIa  a∀a ∈ A(otras formas de denotar la aplicación identidad esi,id, 1,iA,

I2  2 I5  5 I0  0

Notación: Dada una aplicaciónf : AB → Centoncesfa,bpodrá denotarse también porfa,b.

Imagen y antiimagen

Si tenemos una aplicaciónf : X → Yy tenemos subconjuntosX′ ⊆ XeY′ ⊆ Y llamaremos:

I) ImagenporfdeX′ al conjunto (que siempre está contenido enY) fX′  fa|a ∈ X′, o de otro modo fX′  b ∈ Y|∃a ∈ X′ cumpliendofa  b

es decir, todas las imágenes porfde elementos deX′. Como caso particular tenemos fX  fa|a ∈ X, o de otro modo

fX  b ∈ Y|∃a ∈ Xcumpliendofa  b

al que llamaremosimagendef, y lo denotaremos por Imf(por supuesto también se da Imf ⊆ Y).

II) AntiimagenporfdeY′ al conjunto

f−1Y′  a ∈ X|fa ∈ Y′

es decir, los elementos del conjunto inicialXcuya imagen está enY′. Notación: Sib ∈ Ypodremos ponerf−1ben vez def−1b. Y si además f−1_{b  apodremos poner tambiénf}−1_{b  a.}

Ejemplo: En el apartado a) del último ejemplo se tiene que Imf  4, 8, 9. Y si tomamosX′  1, 2, 4eY′  8, 9, entonces

fX′  4, 9 f−1Y′  2, 4, 6

Algunos tipos de aplicaciones

Supongamos que tenemos una aplicaciónf : X → Y. Diremos quefes:

i) Inyectivasi se cumple la siguiente propiedad:

Si tenemosa,b ∈ Xtales quefa  fb, entoncesa  b; o, dicho de otro modo,cada par de elementos distintos del conjunto inicial tienen distintas imagénes.

ii) Suprayectivaosobreyectivasi Imf  Y. (Como siempre se tiene Imf ⊆ Y, quefsea suprayectiva equivale a que∀y ∈ Y∃x ∈ Xtal quefx  y, es decir, quetodo elemento del conjunto final Y sea imagen de algún elemento del conjunto inicial X).

iii) Biyectivasi es tantoinyectivacomosuprayectiva. Ejemplo:

a) Sea

f : 1, 2, 3 → a,b,c, 0 dada por

f1  a f2  c f3  0

Entoncesfes inyectiva (porque no hay elementos que tengan imágenes iguales), pero no es suprayectiva (Imf  a,c, 0, yb ∉ Imf). Por ellofno es biyectiva.

b) Sea

g : 1, 2, 3 → a,b definida del siguiente modo:

g1  a g2  b g3  a

Entoncesgno es inyectiva (porque hay elementos distintos que tienen imágenes iguales; en concreto se tiene queg1  g3), pero sí es suprayectiva (porque Img  a,b). Luegog no es biyectiva.

c) Sea

h : 1, 2, 3 → a,b,∗ la aplicación definida por

h1  a h2  ∗ h3  b

Entonceshes inyectiva y suprayectiva, con lo que es biyectiva. d) Consideremos

 : 1, 2, 3 → a,b,∗ la aplicación dada por

1  b 2  ∗ 3  b

Entoncesno es inyectiva (1  3) ni suprayectiva (a ∉ Im). Por tanto no es biyectiva.

Composición de aplicaciones

aplicaciones. Entonces es posible definir la aplicación compuesta defyg, la cual está dada del siguiente modo:

A cada elementoa ∈ X, primero le aplicamosfy nos resulta un elementob  fa ∈ Y. A este elemento obtenido le aplicamosgy resultagb  gfa. A la aplicación así definida se la denotará porg∘fy se le llama lacomposicióndefyg(se lee ”g compuesto con f”). Con esta notación tendremos

g∘fa  gfa Ejemplo:

1) Sean f : 1, 2, 3, 4 → 2, 3, 7, 9 g : 2, 3, 7, 9 → 2, 3 1) Sean f : 1, 2, 3, 4 → 2, 3, 7, 9 g : 2, 3, 7, 9 → 2, 3 definidas por: f1  7 f2  7 f3  9 f4  2 g2  3 g3  3 g7  3 g9  2 Entonces g∘f : 1, 2, 3 → 2, 3 está definida por

g∘f1  gf1  g7  3 g∘f2  gf2  g7  3 g∘f3  gf3  g9  2 g∘f4  gf4  g2  3 2) Sean f : R → R g : R → R dadas por fx  3x2 gx  2x−1 para cadax ∈ _R. Entonces es posible calcular las aplicaciones

g∘f : _R → _R f∘g : _R → _R y están dadas, para cadax, por

g∘fx  gfx  g3x2_{  23x}2_{−1  6x}2₋₁

f∘gx  fgx  f2x−1  32x−12  ₃_4x2 −_2x₁  _12x2 −_6x₃

3) Sea

f : X → X

una aplicación de un conjuntoXen sí mismo. Entonces a la composición f∘f : X → X

la denotaremos porf2_{. En general, a la composición defconsigo mismanveces, la}

denotaremos porfn_.

composición en ambos sentidos (cosa que no ocurre siempre) no tienen por qué coincidir g∘fyf∘g.

Inversa

Sea

f : X → Y

una aplicación biyectiva. Entonces dadoy ∈ Yexiste un único elementox ∈ Xtal que fx  y

Éste es precisamente el que cumple que

f−1_{y  x}

Así puede definirse otra aplicación

g : Y → X definida por

gy  f−1y

De hecho se dice que esta aplicación es lainversa de fy se denota simplemente por f−1 : Y → X

(no confundamos esta notación con la que se da en la situación general en la que tenemos una aplicación cualquieraf, no necesariamente biyectiva, yf−1 se utiliza para hallar

antiimágenes de subconjuntos del espacio final. En este caso la peculiaridad que se da al ser fbiyectiva es que todo elemento tiene antiimagen y además ésta es única). En esta situación se tiene que

f−1_{∘f  I}

X f∘f−1  IY

Ejemplo: Consideremos

f : _R → _R la aplicación definida, para cadax ∈ R, por

fx  2x1

Veamos quefes biyectiva. Empecemos por la inyectividad. Supongamos que para a,b ∈ Rse tiene quefa  fb, es decir, 2a1  2b1. Entonces restando 1 y

dividiendo después entre 2 se tiene quea  b. Para probar quefes suprayectiva tomemos un elemento arbitrarioy ∈ R. Debemos encontrar alguna antiimagen, es decir, un elemento x ∈ _Rtal quefx  y, es decir, tal que 2x1  y. Procediendo como antes, es decir, restando 1 y dividendo entre 2, se tiene que el elemento buscado esx  y−1₂ . En conclusión existe la inversaf−1 : R → R. El cálculo de ésta se hace igual que la demostración de la suprayectividad: para caday ∈ _Rf−1y  x, confx  y. Con anterioridad ya habíamos deducido quex  y−1₂ , es decir,

f−1y  y−1 2

Estructuras algebraicas

Este apartado está dedicado a ver las estructuras algebraicas que usaremos más adelante y que, por tanto, deben ser conocidas. Comenzamos con la estructura de grupo abeliano.

Definición: Ungrupo abelianoes un parG,∗dondeGes un conjunto y ”∗” es una ley de composición interna (LCI) enG(una LCI es una aplicación∗ : GG → G; lo cual

se traduce en que cada par de elementosx,y ∈ Gse pueden ”operar” mediante ”∗” para dar otro elemento deGal que denotaremos porx∗y) que verifica:

1. ”∗” esasociativa: ∀a,b,c ∈ Gse tiene que

a∗b∗c  a∗b∗c (en lo sucesivo pondremosa∗b∗csin paréntesis).

2. ”∗” esconmutativa:∀a,b ∈ Gse tiene que a∗b  b∗a

3. Existencia de elementoneutropara ”∗”: es decir,∃e ∈ Gtal que a∗e  a  e∗a

∀a ∈ G. El neutro lo llamaremoseen este caso.

4. Todo elementoa ∈ Gposee elementosimétrico bpara ”∗” que cumple que a∗b  b∗a  e

Nota: Si no se cumple la propiedad conmutativa se dice que es un grupo no abeliano. Observación: Todos los conjuntos numéricos anteriormente mencionados, exceptoN, con la operación interna ”suma habitual de números” constituyen grupos abelianos. En esta situación el elemento neutro es el número 0, y el simétrico de un elementoaes el opuesto b  −a. El problema de_Nes que no todo elemento tiene opuesto; por ejemplo el 1 no tiene opuesto en_N, es decir, no existe ningún elementon ∈ _Nque cumpla que 1n  0. Sin embargo con la operación interna ”producto habitual de números” ningún conjunto numérico constituye un grupo abeliano; por ejemplo el 0 no tiene simétrico. Precisamente esto lo que da lugar a la estructura de cuerpo, que es la que vemos a continuación.

Definición: Uncuerpoes una ternaK,,dondeKes un conjunto y ”” y ”” son LCI enKque verifican:

I) K,es un grupo abeliano (denotaremos por 0 al neutro deK,).

II) ”” esasociativa.

III) ”” esconmutativa.

IV) (Propiedadesdistributivas)∀a,b,c ∈ Kse tiene que

a bc  abac y ab c  acbc

V) Existe un elementoneutropara ”” (al que denotaremos por 1). Esto se traduce en que a1  1a  a

para cualquiera.

VI) Todo elementoa ∈ K−0posee elemento simétrico para ””, al que denotaremos pora−1 y que será denominado elinversodeaenK. Se verifica entonces que

1  aa−1  a−1 a. Observación:

1. A las LCI ”” y ”” se les llamará respectivamentesumayproducto.

2. Puede omitirse el signo del producto. Así en expresiones comoabpondremos simplementeab.

3. Pueden eliminarse los paréntesis en expresiones de la formaabc  abcó

abc  abcponiendo simplementeabcóabc, respectivamente, gracias a la asociatividad de la suma y el producto.

4. Las propiedades asociativas, conmutativas o distributivas pueden extenderse a cualquier número finito de elementos. Por ejemplo esta última sería así:

ab1b2 . . .bn  ab1 ab2 . . .abn

Ejemplo: De los conjuntos numéricos anteriormente mencionados, con la suma y el producto habituales, son cuerpos_Q,_Ry_C. En éstos todo elemento no nulo tiene inverso, cosa que no ocurre en_Z(ni en_N, que ni siquiera era un grupo abeliano para la suma), pues por ejemplo 2 no tiene inverso, ya que∄n ∈ _Ztal que 2n  1.

Propiedad: Dado un cuerpoKse cumple que:

Paraa,b ∈ Kse tieneab  0 si y sólo sia  0 ób  0.

Nota: De todos los cuerpos existentes usaremos especialmenteRy ocasionalmenteC.

Números complejos

El conjunto de los números complejos es_C  abi|a,b ∈ _R, dondei  −1 (es decir,i2 _{ −1). Este conjunto tiene estructura de cuerpo (como ya hemos dicho}

anteriormente) con la suma y el producto definidos de forma usual:

Dadosz1  a1 b1iyz2  a2 b2i, lasumase realiza coordenada a coordenada, es

decir,

z1 z2  a1 a2b1 b2i.

Elproductose realiza utilizando la propiedad distributiva del siguiente modo:

z1z2  a1a2 a1b2ib1a2ib1b2i2  a1a2 a1b2ib1a2i−b1b2  a1a2 −b1b2a1b2 b1a2i

Siz  abies un número complejo (ésta se llamaforma binómicadez),ase llama parte realdezybse llamaparte imaginariadez. Si la parte imaginaria es 0 entonceszes realmente un número real; si la parte real es 0 se dice quezes un número imaginario puro. Se llamaconjugadodezal número complejo z  a−bi.

Todo número complejo no nuloz  abitieneinverso(para el producto), y éste es z−1  z

|z|2. De este modo se define la división de un número complejozentre otro número

complejou ≠ 0 como z

u  zu−1.

Se llamamódulodezal número realr  |z|  a2 _b2_{, el cual es siempre positivo,}

salvo paraz  0 (en cuyo caso el módulo da 0). Se llamaargumentodez ≠ 0 al único ángulocomprendido entre−y(concretamente−   ≤ ) que cumple la relación

z

|z|  cosisen, es decir

z  |z|cosisen  |z| cosi|z|sen

Ésta se llama laforma trigonométricadel número complejoz. También se dice que la forma polardezesr. Estas formas permiten hacer cálculos de multiplicación, división y

potencia más fácilmente porque:

 Producto |zu|  |z||u| argzu  argzargu

 Cociente |

z u | 

|z| |u|

arg uz  argz−argu

 Potencia |z

n_{|  |z|}n

argzn_{  nargz}

 Siz  r yu  r_′′ entonceszu  rr_′_′y _uz  r

r′ _−′

Se puede definir la función exponencial también para números complejos. Ésta función satisface muchas de las propiedades algebraicas de la exponencial real:

 exy _{ e}x_ey

 ex−y _ ex

ey

 e0 _{ 1}

 eit  costisentpara cada número realt(i  −1 ).

Precisamente esta última propiedad es nueva y es la que nos va a dar laforma exponencialde los números complejos:

 Para cada número complejozse tiene quez  |z|eiargz_.

Multiplicar y dividir en forma exponencial es sencillo por las propiedades enunciadas anteriormente.

Raíces n-ésimas: Siz ≠ 0, dado un número naturaln ≥ 2, se tiene quezposeen raíces n-ésimasdistintas (es decir, números complejosz1,z2, . . . ,zn tales quezkn  zpara

k  1, 2, . . . ,n). Estos números tienen todos módulo nr y sus argumentos son (reducidos al

intervalo-,) 1  _n 2  1 2_n 3  2 2_n 4  3 2_n . . . . n  n−1 2_n

Veamos algunos ejemplos de operaciones con complejos:

1. _2i5−4i  7−3i 2−6i−−32i  5−8i 2. _32i  2−i  6−3i4i−2i2 _{ 6i2  8i} 3. 6−4i  64i 26i−1  2₄₀−6i  1 20 − 3 20i 4. u  3−3i |u|  32 −32  18  3 2 Si  argu entonces se tiene que

3 2cosisin  3−3i de donde se deduce que

3 2 cos  3

3 2 sin  −3 o lo que es lo mismo

cos  1 2

sin  − 1

2

y por tanto este ángulo vale 315o _ 7

4 rad, lo que nos da  −4 rad para que el ángulo esté comprendido en-,.

5.

v  −44i |v|  4 2 argv  135o _ 3

Tomandow  v8 _{|w|  |v|}8 _{ 4 2}8

 220

argw  83₄  6  1080o, que resulta ser 0rad  0o

6. Hallemos las 3 raíces cúbicas del número complejo z  −27i

Como |z|  −272 _{ 27 argz  270}o _ 3 2 rad

se tiene que las 3 raíces cúbicas buscadasz1,z2 yz3verifican que

|z1|  |z2|  |z3|  327  3

En cuanto al argumento se cumple argz1  270 o 3  90 o  2 rad argz2  argz1 360 o 3  90 o _120o _{ 210}o _7 6 rad −56 rad argz3  argz2 360 o 3  210 o _120o _{ 330}o _11 6 rad −6 rad En definitiva

z1  |z1|cos argz1 sin argz1i  301i  3i

z2  |z2|cos argz2 sin argz2i  3− 3

2 − 12i  − 3 3

2 − 3 2i z3  |z3|cos argz3 sin argz3i  3 3

2 − 1 2i  3 3 2 − 3 2i