Capítulo III. Resultados
3.3 Quálitas vs aseguradora El Águila
35 𝑃𝑞𝑎= 4,694.88.
De igual forma para 𝑘2 𝑞𝑞𝑎∗= 647,428.41,
𝑃𝑞𝑎= 13,339.58.
Para el caso
𝑞𝑞𝑎∗= 3,186,177.91 + 32.10 √𝑘
el valor de 𝑞𝑞𝑎∗ para 𝑘1 y 𝑘2 son iguales.
36 Para encontrar el equilibrio de Stackelberg, Quálitas considera la mejor respuesta de la aseguradora El Águila y la introduce en su función de beneficios, la cual maximiza respecto a la variable 𝑞𝑞𝑎:
𝜋𝑞𝑎𝑐 = (15,851.93 − 0.003 𝑞𝑞𝑎− 0.003 𝑞𝑎𝑔− 2,182.51) 𝑞𝑞𝑎.
Para obtener los beneficios de Quálitas solo en términos de 𝑞𝑞𝑎, se sustituye en 𝜋𝑞𝑎𝑐 la cantidad óptima de pólizas de la aseguradora El Águila en 𝑞𝑎𝑔:
𝜋𝑞𝑎𝑐 = (8,292.45 𝑞𝑞𝑎− 0.001 𝑞𝑞𝑎2).
A continuación, se deriva 𝑞𝑞𝑎 de la función de beneficio 𝜋𝑞𝑎𝑐 , obteniendo
𝑑 𝜋𝑞𝑎𝑐
𝑑 𝑞𝑞𝑎= −0.003 𝑞𝑞𝑎∗+ 8,292.45 = 0.
Posteriormente, se despeja 𝑞𝑞𝑎∗ de la ecuación anterior y se sustituye en la expresión (3.11), con lo cual:
𝑞𝑞𝑎∗= 2,136,940.52, 𝑞𝑎𝑔∗= 317,159.07.
Después, se sustituyen las cantidades óptimas en (3.2) y (3.3) para obtener la demanda y precio promedio del mercado:
𝐷 = 2,454,099.59, 𝑃 = 6,328.74.
Con esta información se obtiene el beneficio de Quálitas cuando comparte el mercado con la aseguradora El Águila,
𝜋𝑞𝑎𝑐 = 8,860,238,824.94.
3.3.2 Estrategia de Quálitas cuando no desea compartir el mercado con la aseguradora El Águila
Para obtener el costo hundido que Quálitas debería acordar con el gobierno para no compartir el mercado con la aseguradora El Águila, basta con que la empresa seguidora tenga beneficio 0 para no generar incentivos a que esta continúe en el mercado.
De esta forma, la ecuación de beneficio de la aseguradora El Águila es:
𝜋𝑎𝑔𝑛𝑐 = (15,851.93 − 0.003 𝑞𝑎𝑔∗− 0.003 𝑞𝑞𝑎− 5,097.99)(1,385,629.33 − 0.5 𝑞𝑞𝑎) − 𝑘.
37 Después, se sustituye 𝑞𝑎𝑔∗ cuando la aseguradora El Águila comparte el mercado como el valor de 𝑞𝑎𝑔 en la ecuación de beneficio cuando no comparte el mercado y se hace 𝜋𝑎𝑔𝑛𝑐 = 0, lo cual implica que
21,964,912,771 − 7,450,487,530.58 + 2,688.49 𝑞𝑞𝑎− 7,925.97 𝑞𝑞𝑎− 7,063,937,710 − 5,376.97 𝑞𝑞𝑎+ 2,688.49 𝑞𝑞𝑎− 0.0009 𝑞𝑞𝑎2+ 0.001 𝑞𝑞𝑎2+ 2,549.00 𝑞𝑞𝑎− 𝑘 = 0.
Al resolver la ecuación cuadrática resultante, se obtiene 𝑞𝑞𝑎∗ =5,376.97 ± √0.003 𝑘
0.0019
= 2,771,258.66 ± 32.10 √𝑘.
Se coloca en (3.7) 𝑞𝑎𝑔 = 0, considerando que la aseguradora El Águila no continuará en el mercado y por lo tanto su cantidad de pólizas será 0 y utilizando
𝑞𝑞𝑎∗= 2,771,258.66 − 32.10 √𝑘,
se sustituye en 𝜋𝑞𝑎𝑛𝑐 la cantidad óptima de pólizas de Quálitas,
𝜋𝑞𝑎𝑛𝑐= (1,305.37 + 0.124 √𝑘) (3,186,177.91 − 32.10 √𝑘).
A continuación, es necesario igualar el beneficio de la empresa líder cuando decide compartir el mercado y cuando no, la finalidad de hacerlo es establecer una cuota mínima que incentive a Quálitas para aplicar el costo hundido. Dado que,
𝜋𝑞𝑎𝑐 = 8,860,238,825.82
e igualando 𝜋𝑞𝑎𝑛𝑐 con 𝜋𝑞𝑎𝑐
𝜋𝑞𝑎𝑛𝑐 = −4𝑘 + 251,660.67 √𝑘 − 780,683,190.
Para encontrar el valor del costo hundido se resuelve la ecuación anterior, obteniendo:
𝒌𝟏= 10,708,114.63,
𝒌𝟐= 3,557,268,624.62.
Se sustituye 𝑘1 en 𝑞𝑞𝑎∗ para encontrar la cantidad y precio óptimos de Quálitas 𝑞𝑞𝑎∗= 2,666,197.73,
38 𝑃𝑞𝑎= 5,505.69.
De igual forma para 𝑘2 𝑞𝑞𝑎∗= 856,372.11,
𝑃𝑞𝑎= 12,528.77.
Para el caso
𝑞𝑞𝑎∗= 2,771,258.66 − 32.10 √𝑘
el valor de 𝑞𝑞𝑎∗ para 𝑘1 y 𝑘2 son iguales.
3.4 Aseguradoras GNP o El Águila vs Quálitas
Para las Secciones 3.4.1 y 3.4.2 la aseguradora Quálitas ocupará el papel de empresa seguidora y las aseguradoras GNP y El Águila el de empresa líder respectivamente. La finalidad de hacerlo es conocer los beneficios que las empresas GNP y El Águila generan cuando comparten el mercado con la aseguradora Quálitas.
3.4.1 Estrategia de GNP cuando comparte el mercado con Quálitas
En el siguiente escenario se abordará el duopolio formado por Quálitas y GNP. La ecuación de beneficio de Quálitas (3.7) estará determinada por 𝑄 = 𝑞𝑞𝑎+ 𝑞𝑔𝑛𝑝, con lo cual,
𝜋𝑞𝑎𝑐 = (13,669.42 𝑞𝑞𝑎− 0.003 𝑞𝑞𝑎2− 0.003 𝑞𝑔𝑛𝑝 𝑞𝑞𝑎).
Dado que Quálitas busca maximizar su beneficio, para encontrar la mejor respuesta de Quálitas se deriva 𝜋𝑞𝑎𝑐 respecto a 𝑞𝑞𝑎,
𝑑 𝜋𝑞𝑎𝑐
𝑑 𝑞𝑞𝑎= −0.007 𝑞𝑞𝑎∗− 0.003 𝑞𝑔𝑛𝑝+ 13,669.42 = 0.
Posteriormente se despeja 𝑞𝑞𝑎∗ de la ecuación anterior, obteniendo
𝑞𝑞𝑎∗= 𝑀𝑅𝑞𝑎(𝑞𝑔𝑛𝑝) = 1,761,284.92 − 0.5 𝑞𝑔𝑛𝑝, (3.12) donde 𝑀𝑅𝑞𝑎(𝑞𝑔𝑛𝑝) es la mejor respuesta de Quálitas, y representa la cantidad óptima de pólizas que
esta debería emitir con base en la estrategia de la aseguradora GNP.
Para el equilibrio de Stackelberg, GNP considera la mejor respuesta de Quálitas y la introduce en su función de beneficios, la cual maximiza respecto a la variable 𝑞𝑔𝑛𝑝:
39 𝜋𝑔𝑛𝑝𝑐 = (5,529.33 𝑞𝑔𝑛𝑝− 0.001 𝑞𝑔𝑛𝑝2) .
A continuación, se deriva 𝜋𝑔𝑛𝑝𝑐 respecto a 𝑞𝑔𝑛𝑝 , así
𝑑 𝜋𝑔𝑛𝑝𝑐
𝑑 𝑞𝑔𝑛𝑝 = −0.003 𝑞𝑔𝑛𝑝∗+ 5,529.33 = 0.
Posteriormente, se despeja 𝑞𝑔𝑛𝑝∗ de la ecuación anterior y se sustituye en la expresión (3.12), esto es:
𝑞𝑔𝑛𝑝∗ = 1,424,893.00, 𝑞𝑞𝑎∗= 1,048,838.43.
Respecto a la demanda y el precio se sustituyen en (3.2) y (3.3) las cantidades óptimas de GNP y Quálitas,
𝐷 = 2,473,731.42, 𝑃 = 6,252.56.
Considerando esta información se obtiene el beneficio de GNP cuando comparte el mercado con Quálitas,
𝜋𝑔𝑛𝑝𝑐 = 3,939,354,499.02.
3.4.2 Estrategia de la aseguradora El Águila cuando comparte el mercado con Quálitas
El siguiente escenario aborda el duopolio formado por Quálitas y la aseguradora El Águila.
Para ello, se presenta la ecuación de beneficio de Quálitas, con 𝑄 = 𝑞𝑞𝑎+ 𝑞𝑎𝑔. Sea la función de beneficio de la aseguradora El Águila,
𝜋𝑎𝑔𝑐 = (15,851.93 − 0.003 𝑞𝑎𝑔− 0.003 𝑞𝑞𝑎− 5,097.99) 𝑞𝑎𝑔
Se deriva 𝜋𝑎𝑔𝑐 respecto a 𝑞𝑎𝑔, dado que Quálitas busca maximizar su beneficio y se despeja 𝑞𝑞𝑎∗ de la derivada resultante, obteniendo,
𝑞𝑞𝑎∗= 1,761,284.92 − 0.5 𝑞𝑎𝑔 (3.13) Para encontrar el equilibrio de Stackelberg, la aseguradora El Águila considera la mejor respuesta de Quálitas y la introduce en su función de beneficios, la cual maximiza respecto a la variable 𝑞𝑎𝑔.
𝜋𝑎𝑔𝑐 = 3,919.22 𝑞𝑎𝑔− 0.001 𝑞𝑎𝑔2
A continuación, se deriva 𝜋𝑎𝑔𝑐 respecto a 𝑞𝑞𝑎,
40 𝑑 𝜋𝑎𝑔𝑐
𝑑 𝑞𝑎𝑔 = −0.003 𝑞𝑎𝑔∗+ 3,919.22 = 0
Por último, se despeja 𝑞𝑎𝑔∗ de la ecuación anterior y se sustituye en la expresión (3.13), 𝑞𝑎𝑔∗= 1,009,973.74, 𝑞𝑞𝑎∗= 1,256,298.06.
Respecto a la demanda y el precio se sustituyen en (3.2) y (3.3) las cantidades óptimas de la aseguradora El Águila y Quálitas, de esta forma,
𝐷 = 2,266,271.79, 𝑃 = 7,057.61.
Considerando esta información se obtiene el beneficio de El Águila cuando comparte el mercado con Quálitas,
𝜋𝑎𝑔𝑐 = 1,979,159,167.17.
3.5 Asociaciones de las aseguradoras
Una vez que se obtuvieron los costos hundidos referentes a las aseguradoras, se consideraron 4 nuevos casos en los que las compañías se asocien entre sí o con otras empresas para aumentar sus beneficios y que el costo hundido que Quálitas debería implementar sea mayor.
Estas asociaciones se dividen en dos casos generales, el primero incluye a las aseguradoras GNP y El Águila, en estos se pretende que compartan tanto el número de pólizas que poseen, sus costos totales y los beneficios que generen en alguna proporción, ver (Tabla 4). El segundo escenario de asociaciones se plantea con inversionistas que no necesariamente se dediquen al sector asegurador y solo apoyen en algún porcentaje con los costos totales de la aseguradora con la finalidad de obtener una retribución para los inversionistas y un aumento en los beneficios para GNP o El Águila.
Para la asociación 1 debido a que las dimensiones de GNP son significativamente mayores que las de la aseguradora El Águila, se propone que GNP mantenga el 100% de sus gastos y contribuya con la mitad de los costos de la empresa El Águila, con lo cual la proporción de la asociación que le correspondería a GNP es del 97% y del 3% para la aseguradora El Águila. En la asociación dos, se puede observar (Tabla 4) que las proporciones son iguales entre GNP y El Águila, representando el caso ideal de las asociaciones. Respecto a las proporciones de las asociaciones 3 y 4 (Tabla 4), se consideró uno de los requisitos que se solicita para cotizar en la bolsa de valores, el cual menciona que los accionistas no pueden tener una participación mayor al 25% del capital social de la empresa (Mapfre, 2020) y una participación mayor con el fin de que los accionistas de las aseguradoras tengan derecho preferente, con lo cual la proporción de estas es del 75% del total.
41 Caso Empresa 1 Empresa 2 Proporción de
la empresa 1
Proporción de la empresa 2
1 GNP El Águila 97% 3%
2 GNP El Águila 50% 50%
3 GNP Otro 75% 25%
4 El Águila Otro 75% 25%
Tabla 4: Casos para las asociaciones de las aseguradoras seguidoras. Elaboración propia.
Considerando los casos anteriores se obtuvieron los beneficios que las asociaciones tendrían al compartir el mercado con Quálitas. Para esto se aplicaron los porcentajes de la Tabla 4 para construir modelos de regresión lineal, los cuales se concentran en la Tabla 5.
Caso Ecuación de Costo Total Costo Marginal 1 −1,359,613,536 + 3,290.74 𝐷 3,290.74 2 −704,004,175 + 1,697.08 𝐷 1,697.08 3 −943,032,713 + 2,458.03 𝐷 2,458.03 4 −85,653,750.9 + 3,823.49 𝐷 3,823.49
Tabla 5: Costos marginales de las asociaciones. Elaboración propia.
3.5.1 Beneficio de las asociaciones cuando comparten el mercado con Quálitas
En los siguientes casos se abordarán duopolios formados por Quálitas y las asociaciones, las asociaciones representarán las empresas líderes y Quálitas la seguidora. Sea, 𝑞𝑎𝑖 la cantidad de pólizas que lanza la asociación 𝑖 al mercado, Quálitas reaccionará de la mejor forma posible, esto es, mostrará su mejor respuesta en términos de su cantidad de pólizas.
Los beneficios generados por las asociaciones se obtuvieron utilizando los costos marginales de las asociaciones y la ecuación de cantidad óptima de Quálitas estimada anteriormente,
𝑞𝑞𝑎∗= 1,761,284.92 − 0.5 𝑞𝑔𝑛𝑝. En donde se sustituye en 𝑞𝑔𝑛𝑝 las cantidades óptimas de las asociaciones.
Tabla 6: Beneficios totales por aseguradora derivados de las asociaciones. Elaboración 42
propia.
Para encontrar el equilibrio de Stackelberg, las asociaciones consideran la mejor respuesta de Quálitas y la introducen en su función de beneficios, las cuales son:
𝜋𝑎1𝑐 = (15,851.93 − 0.003 𝑞𝑎1− 0.003 𝑞𝑞𝑎− 3,290.74) 𝑞𝑎1, 𝜋𝑎2𝑐 = (15,851.93 − 0.003 𝑞𝑎2− 0.003 𝑞𝑞𝑎− 1,697.08) 𝑞𝑎2, 𝜋𝑎3𝑐 = (15,851.93 − 0.003 𝑞𝑎3− 0.003 𝑞𝑞𝑎− 2,458.03) 𝑞𝑎3, 𝜋𝑎4𝑐 = (15,851.93 − 0.003 𝑞𝑎4− 0.003 𝑞𝑞𝑎− 3,823.49) 𝑞𝑎4.
En donde 𝑞𝑎1, 𝑞𝑎2, 𝑞𝑎3 y 𝑞𝑎4 son las cantidades de pólizas de las asociaciones.
Una vez obtenidas las ecuaciones de beneficio de las asociaciones, el procedimiento elaborado para la obtención de los beneficios se realizó de la misma forma que en los apartados anteriores, cuando la empresa líder decide compartir el mercado con la seguidora. Con lo cual, el beneficio obtenido para la asociación 1 es de $4,225,280,791.41, para la 2 de $6,904,289,948.47, mientras que para las asociaciones 3 y 4 se ubicaron en $5,543,446,652.39 y $3,475,665,677.87 respectivamente
3.5.2 Beneficios individuales por aseguradora al compartir el mercado con Quálitas
Se obtuvieron los beneficios totales de las aseguradoras con el fin de realizar una comparación cuando GNP o la aseguradora El Águila se enfrentan individualmente a Quálitas y los casos cuando deciden aliarse para aumentar sus beneficios.
Caso Beneficio de las seguidoras
GNP vs Quálitas 3,939,354,499.06
El Águila vs Quálitas 1,979,159,167.17
GNP con Asociación 1 vs Quálitas 4,102,364,295.00 El Águila con Asociación 1 vs Quálitas 122,946,496.41 GNP con Asociación 2 vs Quálitas 3,452,144,974.29 El Águila con Asociación 2 vs Quálitas 3,452,144,974.29 GNP con Asociación 3 vs Quálitas 4,157,584,989.30 El Águila con Asociación 4 vs Quálitas 2,606,749,258.40
43 Respecto a la asociación 1 si bien la aseguradora GNP podría generar beneficios mayores, debido a la disminución en los beneficios para la aseguradora El Águila, la asociación no se considera viable para llevarse a cabo.
En la Tabla 6 se observa que la asociación 2 es irrelevante, ya que genera beneficios menores para las empresas seguidoras que en sus casos individuales.
Para comprender si las asociaciones 3 y 4 son viables, se obtuvieron los beneficios para los inversionistas, para el primero se calculó un promedio de inversión de $464,083,108.07 que le permitiría un beneficio de $1,385,861,663.10 y con esto una utilidad de $921,778,555.03, mientras que para el segundo su inversión se evaluó en $27,191,397.37 con un beneficio de $868,916,419.47 y una utilidad de $841,725,022.10. Generando beneficios mayores para las aseguradoras GNP Y El Águila con las asociaciones que sin ellas, y un beneficio positivo para los inversionistas.
3.6 Quálitas vs Asociaciones 3 y 4
El siguiente escenario abordará el duopolio formado por Quálitas y la asociación 3. En este caso Quálitas se considera la empresa líder y El Águila la seguidora.
3.6.1 Estrategia de Quálitas cuando comparte el mercado con la asociación 3
A continuación, se presenta la ecuación de beneficio de la asociación 3 considerando 𝑄 = 𝑞𝑞𝑎+ 𝑞𝑎3,
𝜋𝑎3𝑐 = (15,851.93 𝑞𝑎3− 0.003 𝑞𝑎32− 0.003 𝑞𝑞𝑎 𝑞𝑎3− 2,458.03 𝑞𝑎3)
= (13,393.90 𝑞𝑎3− 0.003 𝑞𝑎32− 0.003 𝑞𝑞𝑎 𝑞𝑎3).
Dado que la asociación 3 busca maximizar su beneficio, para encontrar su mejor respuesta se deriva 𝜋𝑎3𝑐 respecto a 𝑞𝑎3,
𝑑 𝜋𝑎3𝑐
𝑑 𝑞𝑞𝑎= −0.007 𝑞𝑎3∗− 0.003 𝑞𝑞𝑎+ 13,393.90 = 0.
Posteriormente se despeja 𝑞𝑎3∗ de la ecuación anterior, obteniendo
𝑞𝑎3∗= 𝑀𝑅𝑎3(𝑞𝑞𝑎) = 1,725,784.41 − 0.5 𝑞𝑞𝑎, (3.14) donde 𝑀𝑅𝑎3(𝑞𝑞𝑎) es la mejor respuesta de la asociación 3 y representa la cantidad óptima de pólizas que la seguidora debería emitir con base en la estrategia de la aseguradora Quálitas.
44 Para el equilibrio de Stackelberg, Quálitas considera la mejor respuesta de la asociación 3 y la introduce en su función de beneficios, la cual maximiza respecto a la variable 𝑞𝑞𝑎:
𝜋𝑞𝑎𝑐 = (15,851.93 − 0.003 𝑞𝑞𝑎− 0.003 𝑞𝑎3− 2,182.51) 𝑞𝑞𝑎.
Para obtener los beneficios de Quálitas solo en términos de 𝑞𝑞𝑎, se sustituye en 𝜋𝑞𝑎𝑐 la cantidad óptima de pólizas de la asociación 3 en 𝑞𝑎3,
𝜋𝑞𝑎𝑐 = 6,972.47 𝑞𝑞𝑎− 0.001 𝑞𝑞𝑎2.
A continuación, se deriva 𝜋𝑞𝑎𝑐 respecto a 𝑞𝑞𝑎 para obtener:
𝑑 𝜋𝑞𝑎𝑐
𝑑 𝑞𝑞𝑎= −0.003 𝑞𝑞𝑎∗+ 6,972.47 = 0.
Posteriormente, se despeja 𝑞𝑞𝑎∗ de la derivada anterior, y se sustituye en la expresión (3.14), esto es:
𝑞𝑞𝑎∗= 1,796,785.43, 𝑞𝑎3∗= 827,391.70.
Respecto a la demanda y el precio se sustituyen en (3.2) y (3.3) las cantidades óptimas de Quálitas y la asociación 3, de esta manera,
𝐷 = 2,624,177.13, 𝑃 = 5,668.75.
Con esta información se obtiene el beneficio de Quálitas cuando comparte el mercado con la asociación 3,
𝜋𝑞𝑎𝑐 = 6,264,018,010.18.
3.6.2 Estrategia de Quálitas cuando no desea compartir el mercado con la asociación 3
Para obtener el costo hundido que Quálitas debería acordar con el gobierno para no compartir el mercado con la asociación 3, se considera la ecuación de beneficio de esta última con 𝑄 = 𝑞𝑞𝑎+ 𝑞𝑎3.
Para iniciar, se sustituye 𝑞𝑎3∗ cuando la asociación 3 comparte el mercado como el valor de 𝑞𝑎3 en la ecuación de beneficio cuando no comparte el mercado, esto es,
27,357,030,683 − 11,5557,493,063 + 3,348.48 𝑞𝑞𝑎− 7,925.97 𝑞𝑞𝑎− 4,242,044,556 − 6,696.95 𝑞𝑞𝑎+ 1,229.02 𝑞𝑞𝑎− 0.0009 𝑞𝑞𝑎2+ 0.001 𝑞𝑞𝑎2+ 3,348.48 𝑞𝑞𝑎− 𝑘 = 0.
Después, se resuelve la ecuación cuadrática resultante para obtener,
45 𝑞𝑞𝑎∗ =6,696.95 ± √0.003 𝑘
0.0019
= 3,451,568.82 ± 32.10 √𝑘.
Se coloca en (3.7) 𝑞𝑎3= 0, considerando que El Águila no entrará al mercado y por lo tanto su cantidad de pólizas será 0, entonces
𝜋𝑞𝑎𝑛𝑐 = (15,851.93 − 0.003 𝑞𝑞𝑎∗− 2,182.51) 𝑞𝑞𝑎∗
y utilizando
𝑞𝑞𝑎∗= 3,451,568.82 − 32.10 √𝑘,
se sustituye en 𝜋𝑞𝑎𝑛𝑐 la cantidad óptima de pólizas de Quálitas 𝜋𝑞𝑎𝑛𝑐= (275.52 + 0.124 √𝑘) (3,451,568.82 − 32.10 √𝑘).
Para continuar, es necesario igualar el beneficio de la empresa líder cuando decide compartir el mercado y cuando no, su finalidad radica en establecer una cuota mínima que incentive a Quálitas para aplicar el costo hundido. Dado que
𝜋𝑞𝑎𝑐 = 6,264,018,010.18
e igualando 𝜋𝑞𝑎𝑛𝑐 con 𝜋𝑞𝑎𝑐 ,
𝜋𝑞𝑎𝑛𝑐 = −4𝑘 + 421,177.27 √𝑘 − 5,313,037,345.88.
Para encontrar el valor del costo hundido se resuelve la ecuación anterior, obteniendo 𝒌𝟏= 214,745,934.85,
𝒌𝟐= 8,215,628,697.00.
Se sustituye 𝑘1 en 𝑞𝑞𝑎∗ para encontrar la cantidad y precio óptimos de Quálitas:
𝑞𝑞𝑎∗= 2,981,082.30,
𝑃𝑞𝑎= 4,283.77.
Al utilizar 𝑘2
𝑞𝑞𝑎∗= 541,487.55,
𝑃𝑞𝑎= 13,750.68.
46 Para el caso
𝑞𝑞𝑎∗= 3,451,568.82 + 32.10 √𝑘
los valores de 𝑞𝑞𝑎∗ para 𝑘1y 𝑘2 son iguales.
3.6.3 Estrategia de Quálitas cuando comparte el mercado con la asociación 4
En el siguiente escenario se abordará el duopolio formado por Quálitas y la asociación 4, por lo que se presenta la ecuación de beneficio de esta última con 𝑄 = 𝑞𝑞𝑎+ 𝑞𝑎4,
𝜋𝑎4𝑐 = (12,028.44 𝑞𝑎4− 0.003 𝑞𝑎42− 0.003 𝑞𝑞𝑎 𝑞𝑎4).
Para encontrar la mejor respuesta de la asociación 4, se deriva 𝜋𝑎4𝑐 respecto a 𝑞𝑎4 y se despeja 𝑞𝑎4∗ de la derivada resultante, obteniendo
𝑞𝑎4∗= 𝑀𝑅𝑎4(𝑞𝑞𝑎) = 1,549,846.76 − 0.5 𝑞𝑞𝑎. (3.15) Para encontrar el equilibrio de Stackelberg, Quálitas considera la mejor respuesta de la asociación 4 y la introduce en su función de beneficios, la cual maximiza respecto a la variable 𝑞𝑞𝑎:
𝜋𝑞𝑎𝑐 = (15,851.93 − 0.003 𝑞𝑞𝑎− 0.003 𝑞𝑎4− 2,182.51) 𝑞𝑞𝑎.
Para obtener los beneficios de Quálitas solo en términos de 𝑞𝑞𝑎, se sustituye en 𝜋𝑞𝑎𝑐 la cantidad óptima de pólizas de la asociación 4 en 𝑞𝑎4:
𝜋𝑞𝑎𝑐 = (7,655.20 𝑞𝑞𝑎− 0.001 𝑞𝑞𝑎2).
A continuación, se deriva 𝜋𝑞𝑎𝑐 respecto a 𝑞𝑞𝑎,
𝑑 𝜋𝑞𝑎𝑐
𝑑 𝑞𝑞𝑎= −0.003 𝑞𝑞𝑎∗+ 7,655.20 = 0.
Posteriormente, se despeja 𝑞𝑞𝑎∗ de la derivada anterior, y se sustituye en la expresión (3.15), con lo cual:
𝑞𝑞𝑎∗= 1,972,723.09, 𝑞𝑎4∗= 563,485.22.
Respecto a la demanda y precio,
𝐷 = 2,536,208.30, 𝑃 = 6,010.12.
Con esta información se obtiene el beneficio de Quálitas cuando comparte el mercado con la asociación 4,
47 𝜋𝑞𝑎𝑐 = 7,550,797,372.77.
3.6.4 Estrategia de Quálitas cuando no desea compartir el mercado con la asociación 4
Para obtener el costo hundido que Quálitas debería acordar con el gobierno para no compartir el mercado con la asociación 4, basta con que la empresa seguidora no tenga beneficios, esto es, 24,568,077,580 − 9,321,119,505 + 3,007.11 𝑞𝑞𝑎− 7,925.97 𝑞𝑞𝑎− 5,925,838,568 − 6,014.22 𝑞𝑞𝑎+ 1,911.75 𝑞𝑞𝑎− 0.0010 𝑞𝑞𝑎2+ 0.0019 𝑞𝑞𝑎2+ 3,007.11 𝑞𝑞𝑎− 𝑘 = 0.
Resolviendo la ecuación cuadrática resultante 𝑞𝑞𝑎∗=6,014.22 ± √0.003 𝑘
0.0019
= 3,099,693.51 ± 32.10 √𝑘.
Se coloca en (3.7) 𝑞𝑎4 = 0, considerando que la asociación 4 no entrará al mercado y por lo tanto su cantidad de pólizas será 0,
𝜋𝑞𝑎𝑛𝑐 = (15,851.93 − 0.003 𝑞𝑞𝑎∗− 2,182.51) 𝑞𝑞𝑎∗
y utilizando
𝑞𝑞𝑎∗= 3,099,693.51 − 32.10 √𝑘
se sustituye en 𝜋𝑞𝑎𝑛𝑐 la cantidad óptima de pólizas de Quálitas
𝜋𝑞𝑎𝑛𝑐= (1,640.98 + 0.124 √𝑘) (3,099,693.51 − 32.10 √𝑘).
Para continuar, es necesario igualar el beneficio de la empresa líder cuando decide compartir el mercado y cuando no para establecer una cuota mínima que incentive a Quálitas para aplicar el costo hundido. Dado que
𝜋𝑞𝑎𝑐 = 7,550,797,372.77
e igualando 𝜋𝑞𝑎𝑛𝑐 con 𝜋𝑞𝑎𝑐 ,
𝜋𝑞𝑎𝑛𝑐 = −4𝑘 + 333,498.58 √𝑘 − 2,464,254,759.42.
Para encontrar el valor del costo hundido se resuelve la ecuación anterior, con lo cual:
𝒌𝟏= 67,149,829.09,
48 𝒌𝟐= 5,652,054,146.94.
Se sustituye 𝑘1en 𝑞𝑞𝑎∗ para encontrar la cantidad y precio de Quálitas 𝑞𝑞𝑎∗= 2,836,601.80,
𝑃𝑞𝑎= 4,844.43.
Al utilizar 𝑘2
𝑞𝑞𝑎∗= 685,968.04,
𝑃𝑞𝑎= 13,190.02.
Para la cantidad óptima
𝑞𝑞𝑎∗= 3,099,693.51 + 32.10 √𝑘 ,
el valor de 𝑞𝑞𝑎∗ para 𝑘1 y 𝑘2 son iguales.
Una vez obtenidos los costos hundidos, se muestra en la Tabla 7 un resumen de los resultados generados.
Aseguradoras Beneficio de Quálitas Costo Hundido
Quálitas vs
GNP 7,223,397,647.82 93,854,094.90
El Águila 8,860,238,824.94 10,708,114.63 Asociación 1
(GNP y El Águila)
7,034,450,747.22 ---
Asociación 2 (GNP y El Águila)
5,599,032,633.40 ---
Asociación 3 (GNP e Inversor)
6,264,018,010.18
214,745,934.85 8,215,628,697 Asociación 4
(Águila e Inversor)
7,550,797,372.77
67,149,829.09 5,652,054,146.94
Tabla 7: Costos hundidos de Quálitas. Elaboración propia.
49 3.7 Análisis de resultados
A partir de la Sección 3.2 se presenta el duopolio formado por Quálitas como empresa líder y GNP como Seguidora 1, considerando una repartición del mercado se calcula que la cantidad óptima que Quálitas debería emitir es de 1,929,481 pólizas a un precio de $5,926.22, mientras que para GNP es de tan solo 628,349 pólizas y que generaría un beneficio para la líder de $7,223,397,648.82 aproximadamente.
Al analizar el segundo caso en el que se plantea que Quálitas no comparta el mercado con GNP y que la seguidora obtenga beneficio $0 se obtienen 2 costos hundidos, el primero de
$93,854,094.90 que ocasionaría una emisión de 2,875,141 pólizas para Quálitas con un precio individual de $4,694.88, y un segundo de $6,252,738,564.80 que generaría una emisión de 647,428 pólizas a un precio de $13,339.58. Con lo anterior se concluye que, si los objetivos de la empresa líder se basan en un aumento de cartera de clientes, el implementar un costo hundido bajo y disminuir su precio en $1,231.34 le permitiría alcanzarlos, sin embargo, si su meta es elevar los precios de póliza con una cartera de clientes baja, el colocar un costo hundido elevado es la opción ideal.
En resumen, si la empresa Quálitas decidiera implementar algún costo hundido, está podría disminuir sus precios, sin embargo, al hacerlo podría ocasionar inseguridad entre sus contratantes por una posible baja en la calidad del servicio, lo cual genere menor renovación o contratación de pólizas.
En caso contrario, el aumentar sus tarifas en poco más del doble puede provocar una baja drástica en su cuota de mercado aún menor de la que se prevé y que afecte sus beneficios.
En el caso del duopolio formado por Quálitas como la empresa líder y El Águila como la Seguidora 2 pasa algo semejante respecto al caso anterior, no obstante, debido a la naturaleza de la empresa Seguidora 2 las cantidades son significativamente menores. El beneficio para Quálitas se ubicaría en $8,860,238,824.94 considerando una venta óptima de 2,136,941 pólizas a un precio de
$6,328.74.
Sin embargo, si la empresa líder decidiera no compartir el mercado con la Seguidora 2, los costos hundidos que estas enfrentarían serían de $10,708,774.63 generando un precio de $5,505.69 con una venta mínima de 2,666,198 pólizas o $3,557,268,624.62 lo que le permitiría aumentar sus precios hasta $12,528.77 y reducir su emisión en 856,372 pólizas.
Al igual que en el caso de Quálitas con GNP, no le es conveniente a la aseguradora Quálitas aplicar estos costos hundidos a la aseguradora El Águila, esto por las mismas razones por las que tampoco le es conveniente hacerlo con GNP.
50 Posteriormente se trataron los casos en los que las empresas GNP y El Águila ocuparon el papel de líderes con Quálitas como la seguidora, considerando únicamente los beneficios que tendrían GNP y El Águila cuando comparten el mercado con Quálitas. Los beneficios obtenidos se ubicaron en $3,939,354,499.02 con una producción de 1,424,893 pólizas a un precio de $6,252.56 para GNP vs Quálitas, y $1,979,159,167.17 con 1,009,973.74 pólizas respecto a un precio de $7,057.61 para el segundo duopolio.
De igual forma se elaboraron 4 posibles asociaciones para las seguidoras con el fin de aumentar sus beneficios y posicionarse de mejor forma en el mercado, sin embargo, no todas mostraron beneficios favorables. Para el primer caso el beneficio para la Seguidora 1 fue de
$4,102,364,295, mientras que para la Seguidora 2 fue de $122,946,496.41. Para la asociación 2 los resultados solo favorecieron a la aseguradora El Águila, mientras que para GNP sus beneficios disminuyeron. Comparando los resultados obtenidos con los anteriores, las asociaciones 1 y 2 no son viables.
En las asociaciones 3 y 4 las empresas seguidoras buscan inversionistas para asociarse, el beneficio para GNP fue de $4,157,584,989.30 y de $2,606,749,258.40 para la aseguradora El Águila, como se observa estos valores son mayores a los reportados cuando las aseguradoras deciden enfrentarse individualmente a Quálitas, lo cual ocasiona que sean factibles a realizarse al menos desde la perspectiva de GNP y El Águila. Referente a los beneficios de los inversionistas en dichas asociaciones, en promedio se necesitaría una inversión de $464,083,108.03 para la asociación 3, lo que generaría un beneficio de $1,385,861.663.10 con una utilidad de $921,778.55.03 anual, y
$27,191,397.37 de inversión para la asociación 3 con beneficios de $868,916,419.47 y utilidad de
$841,725.10.
Una vez obtenidos los beneficios de GNP, El Águila, y los inversionistas para las asociaciones 3 y 4, se muestra claramente que estas son factibles para su realización al aumentar los beneficios para las seguidoras y generar incentivos a inversionistas externos, por lo cual se sugiere a las aseguradoras involucradas considerar seriamente los resultados y propuestas expuestos. Finalmente, se obtuvieron los costos hundidos que Quálitas debería acordar con el Estado en caso de que las empresas seguidoras decidieran realizar las asociaciones antes mencionadas, estos se calcularon en
$214,745,934.85 o $8,215,628,697 para sacar del mercado a GNP y de $67,149,829.09 o
$5,652,054,146.94 para el caso de la aseguradora El Águila, generando aumentos de 229% y 627%
para los niveles más bajos de los costos y disminuyendo los beneficios para Quálitas de
$7,223,397,647.82 a $6,264,018,010.18 respecto a GNP y de $8,860,238,824.94 a $7,550,797,372.77 para la aseguradora El Águila.
51
Conclusión
En este trabajo se generó un mecanismo, a través de la aplicación de teoría de juegos, que muestra estrategias que permiten a la empresa Quálitas sacar a GNP o El Águila del mercado, sin apoderarse completamente del mercado para no caer en prácticas monopólicas. Dichas estrategias se basan en un costo hundido, el cual Quálitas debería proponer al gobierno para su implementación y que le permitiría abarcar una mayor cuota de mercado.
Si bien este mecanismo de apoderamiento del mercado es óptimo para Quálitas, debería tener cuidado con la percepción de los contratantes. Lo anterior debido a que, si Quálitas decidiera llevar a cabo la estrategia de no compartir el mercado, sus precios podrían disminuir y aumentar el número de pólizas que se emitan para alcanzar el beneficio deseado, sin embargo, la disminución de precios podría generar incertidumbre en las personas por una posible deficiencia en la calidad del servicio e incentivarlas a no adquirir el seguro.
En las estrategias de sacar del mercado a GNP o El Águila, se consideran ciertas desventajas que podrían tener éstas en el mercado. Para nivelar estas debilidades, se proponen asociaciones entre GNP y El Águila, o estas últimas con terceras. Estas asociaciones, si bien podrían resultar una gran opción, existen datos que muestran que la mayoría de las fusiones no funcionan como se desea. Según lo señala Holthausen a través del diario El Comercio (2017), la principal razón de dicha falla es el choque cultural que las empresas tienen al momento de realizar la fusión. Por ejemplo, Reed & Milne (2007) hacen referencia al caso Daimler y Chrysler, en el que las empresas del sector automotriz se separaron debido al choque entre ellas por el rumbo y visión que pretendían otorgar a la fusión. De igual manera, Roquet & Grau (2009) sustentan que el 70% de los casos de fusión o adquisición, de acuerdo con su sinergia prevista, no son logrados.
De esta forma, el presente trabajo concluye que las asociaciones podrían aumentar el beneficio para las aseguradoras GNP y El Águila con el fin de impedir la implementación de los costos hundidos, sin embargo, el hacerlo no garantiza el éxito de la fusión.
Por lo anterior, la hipótesis planteada al inicio del trabajo se acepta y dichas estrategias no son consideradas prácticas monopólicas ya que las aseguradoras pueden continuar en el mercado, pero deciden no hacerlo porque que sus beneficios serían $0. Y existe al menos una asociación que ayudaría a las aseguradoras GNP y El Águila a detener a la empresa Quálitas de apoderarse del mercado, alcanzando de esta manera el objetivo en un inicio descrito, bajo las limitaciones de un enfoque racional y sustentado en que los mercados tienen información eficiente.