Realizaci´ on geom´ etrica asociada a una G-cubierta

Definici´on 2.4.2. Sea ∆la categor´ıa cuyos objetos son conjuntos finitos ordenados [n] = {0<1< ⋯ <n} para alg´un enteron≥0, y sus morfismos son funciones no decrecientes.

SiAes alguna categor´ıa, unobjeto simplicial AenAes un funtor contravariante de

∆ aA, es decir,A∈ A^∆op (escribimos aA([n])comoAnpara reducir terminos). De manera similar, un objeto cosimplicialB en Aes un funtor covariante de ∆ aA, es decir, B∈ A^∆ (nuevamente escribimos a B([n]) comoBⁿ). Esta es una categor´ıa SA cuyos objetos son objetos simpliaciles enA y sus morfismos son transformaciones naturales.

Ejemplo 2.4.3. SiAes la categor´ıaSets en la categor´ıaSSetslos objetos son llamados conjuntos simpliciales. Similarmente, siAes la categor´ıa esAbtenemos la categor´ıaSAb donde los objetos son grupos abelianos simpliciales. An´alogamente, si A es la categor´ıa Top, entoncesSTop consta de espacios simpliciales.

con la topolog´ıa de la uni´on ajena. Para cada funci´on no decreciente f ∶ [m] Ð→ [n], el morfismof^∗∶= N^Top(U)n(f) ∶ N^Top(U)nÐ→ N^Top(U)m es defido por

f^∗∣Uσn ∶U_σⁿ Ð→U_{αf(0)⋯αf(m)}, dado con la inclusi´on o la funci´on identidad.

Definici´on 2.5.2. Una cubierta abierta invariante U de un G-espacio X es una G- cubierta regular si el complejo simplicial asociado a su nervio Comp(N (U)) es un G-complejo simplicial regular, esto es, si satisface las siguietne dos condiciones:

(RC1) para Uα∈ U y g∈G, siUα∩gUα /= ∅ entonces Uα=gUα,

(RC₁) si U₀, . . . , U_n∈ U y g₀, . . . , g_n∈G y las interseccionesU₀∩ ⋯ ∩U_n y g₀U₀∩ ⋯ ∩g_nU_n son no vac´ıas, entonces existe g∈G tal quegU_i=g_iU_i para todai≤n.

Teorema 2.5.3. Sea X un G-espacio paracompacto, con Gun grupo finito. Entonces las G-cubiertas localmente finitas, regulares de X, son cofinales en el conjunto de cubiertas abiertas de X.

Demostraci´on. Elijamos una cubierta invarianteU deX. SeaComp(N (U))es el complejo simplicial asociado al nervio deU. EntoncesComp(N (U))es unG-complejo simplicial. Sea f = {f_α}es una G- partici´on de la unidad subordinada aU y seaf ∶XÐ→ ∣Comp(N (U))∣

asociados por el mapeo

f(x) = ∑

α

fα(x)vα.

Observemos quef esta bien definida comoG-mapeo, ya que es finita fα=0 y f(gx) = ∑

α

f_α(gx)v_α

= ∑

g⁻1α

f_α(g⁻1gx)v_α

= ∑α

f_g−1α(x)v_α

= g∑

α

f_g−1α(x)g⁻¹vα

= g∑

α

f_α(x)v_α

= gf(x),

para alguna funci´on de X a un poliedro f ∶ X Ð→ ∣K∣, f⁻¹(stK) denota la cubierta abierta de X por imagenes inversas de estellas abiertas de v´ertices deK. Supongamos que K es unG- complejo y quef es equivariante. Entoncesf⁻¹(st_K)es una cubierta invariante por la Proposici´on 2.3.2. M´as a´un, siK es unG-complejo regular entoncesf⁻¹(stK)es una G cubierta regular. Ya que siU0∩ ⋯ ∩Un /= ∅ /=g0U0∩ ⋯ ∩gnUn, dondeUi=f⁻¹(stK(vi)), entonces por la Porposici´on 2.1.6 ⟨v₀, . . . , v_n⟩ y ⟨g₀v₀, . . . , g_nv_n⟩ son simplejo de K. La regularidad de K implica que f⁻¹(st_K)es regular.

Al definirf ∶XÐ→ ∣Comp(N (U))∣, tenemos quef⁻¹(st_{Comp(N (U))})es un refinamiento de U. De hecho, para alg´un α,f⁻¹(st_{Comp(N (U))}(v_α)) =f_α⁻¹((0,1]) ⊂U_α. Sea Lla segunda subdivisi´on baric´entrica deComp(N (U))tal que∣L∣ = ∣Comp(N (U))∣yLes unG-complejo regular por la Proposici´on 2.3.3. Entonces V =f⁻¹(st_L) es unaG-cubierta regular tal que refina aU.

Teorema 2.5.4. Sea X una G-variedad diferencial suave. Entonces

1. existe un G-complejo simplicial regular K y una triangulaci´on suave equivariante h∶KÐ→X,

2. si h∶K Ð→X y h1∶LÐ→X son triangulaciones suaves equivariantes de X existe subdiviciones equivariantes K^′ y L^′ de K y L, respectivamente, tal que K^′ y L^′ son G-isomorfismos.

La demostraci´on se puede consultar [12].

Sea U = {U_α}α∈I un G-espacio abierto X. Para alg´un subgrupo H de G y α ∈ I, definimos U_α^H = U_α∩X^H = {x ∈ U_α ∶hx= x para todah ∈ H}. Denotemos por U^H a la colecci´on de {U_α^H}α∈I. Es claro que U^H es una cubieta deX^H.

Definici´on 2.5.5. La cubierta U es llamada una cubierta buena equivariante de X si esta es una G-cubierta regular y U^H es una cubierta buena de X^H para todo subgrupo H≤G.

Teorema 2.5.6. Cada G-variedad suave tiene una cubierta buena equivariante. M´as a´un, las cubiertas buenas equivariantes son cofinales en el conjunto de cubiertas abiertas de una G-variedad X.

Demostraci´on. Por el Teorema 2.5.4 y sin p´erdida de generalidad, supongamos que X es el espacio subyacente de unG-complejo simplicial regular deK. Consideremos la cubierta abierta

M = {stK(v) ∶v∈Vert(K)}.

Por la Proposici´on 2.3.2, M es G-invariante. M´as a´un, M es una G-cubierta regular, lo cual se sigue de si tomamos U =st_K(v) ∈ M y g∈G con∅ /=U∩gU =st_K(v) ∩st_K(gv), que se sigue de ⟨v, gv⟩ es un simplejo enK por la Proposici´on 2.1.6. La regularidad de K implica que v=gv y por lo tanto,U =gU.

Si parai=0, . . . , n,U_i=st_K(v_i)enMyg_i enGtal queU₀∩⋯∩U_nyg₀U₀∩⋯∩g_nU_n= stK(g0v0) ∩ ⋯ ∩stK(gnvn) son no vac´ıos, nuevamente por la Proposici´on 2.1.6 existen dos simplejos en K, ⟨v0, . . . , vn⟩ y ⟨g0v0, . . . , gnvn⟩ y como K es regular existe g ∈ G talque gv_i = g_iv_i para toda i, lo que es equivalente a gU_i = g_iU_i para toda i. Entonces por la Definici´on 2.5.2 Mes unaG-cubierta regular.

Para alg´un subgrupoHdeG, la Proposici´on 2.3.4-(1) prueba queK^H es un subcomplejo simplicial deK yX^H es homeomorfo aK^H. ElegimosU =st_K(v) enM. Consideremos la intersecci´onU∩K^H =st_K(v)∩K^H. Siv∈Vert(K^H), entonces por la Proposici´on 2.3.4-(2), U∩K^H =st_K^H(v). Si v∉K^H, es claro que U ∩K^H = ∅. Supongamos que U∩K^H /= ∅ y elijamos x ∈U ∩K^H. Entonces x∈ U =st_K(v) implica que v ∈K(x), por la Proposici´on 2.1.5 y x∈K^Hda K(x) ⊂K^H por la Proposici´on 2.3.4-(2). As´ıv∈K^H, contradiciendo la hip´otesis dev∉K^H. Entonces

M^H = {U∩K^H ∶U ∈ M} = {st_KH(v) ∶v∈Vert(K^H)}, y por lo tanto, M^H es una cubierta buena de K^H, por el Teorema 2.1.8.

Notemos que una subdivisi´on baric´entrica de unG-complejo regular es tambi´en regular.

Entonces para alguna cubierta abierta dada U de X, existe un entero m tal que la m-

´

esima subsivisi´on baric´entrica K^(m) de K tiene las propiedades de que V = {st_K(m)(v) ∶ v ∈ Vert(K^(m))} refina a U, que V es a´un una cubierta buena equivariante, ya que V es

nuevamente el conjunto de estrellas abiertas del G-complejo regular K^(m), lo cual prueba la cofinalidad de las cubiertas buenas equivariante en el conjunto de cubiertas abiertas de X.

SiK es unG-complejo simplicial, entonces el espacio de ´orbitaK/Gtiene la estructura de un complejo simplicial ordinario, es decir, no equivariante, donde los v´ertices deK/Gson definidos como las ´orbitas v=Gv de la acci´on deGen los v´erticesv deK,s= ⟨v₀, . . . , v_n⟩ ser´ıa un simplejo deK/Gsi y s´olo si, existen representantesvidevitales ques= ⟨v0, . . . , vn⟩ es un simplejo de K.

Por la definici´on deK/G, la proyecci´on natural π∶K Ð→ K/G

v ↦ Gv=v

es una funci´on simplicial, cada simplijeo deKes enviado homeomorfamente en el correspon- diente simplejo imagen enK/G. Adem´as siK es unG-complejo regular y sis= ⟨v0, . . . , vn⟩ y s^′= ⟨v^′₀, . . . , v^′_n⟩ son simplejos de K que definen el mismo simplejo s de K/G, entonces

⟨v₀, . . . , v_n⟩ =g⟨v₀^′, . . . , v_n^′⟩ para alg´un g∈G. As´ı el conjunto de todos los simplejos sobre un simplejo dadosdeK/Gforman una ´orbita de un simplejosdeK que se proyecta sobre s.

Ahora consideremos la cubierta buena st_K/G de K/G. El conjunto U^′ =π⁻¹(st_K/G) es una cubierta abierta de K. Veamos que para cada v´erticev de K,

π⁻¹(stK/G(v)) = ∐

g∈G

stK(gv). (2.1)

Sean g, g^′ ∈ G. Si stk(gv) ∩stK(g^′v) /= ∅, entonces ⟨gv, g^′v⟩ es un simplejo en K, por la Proposici´on 2.1.6 y por lo tanto, gv=g^′v por la Definici´on 2.3.1-(2.(R1)). Por lo tanto, st_K(gv) =st_K(g^′v)o bien son ajenos, parag, g^′∈G. As´ı el lado derecho de 2.1 es la uni´on ajena de estrellas abiertas.

Para obtener la igualdad, elejimos x ∈ st_K(gv) para alg´un g, entonces gv ∈ K(x) y v=π(gv) ∈π(K(x)) =K/G(π(xX))por la Proposici´on 2.2.3. Por lo tanto,π(x) ∈st_K/G(v) lo cual prueba que ∐

g∈G

st_K(gv) ⊂π⁻¹(st_K/G(v)).

Por otra parte, elejimos x ∈ π⁻¹(st_K/G(v)) y sea K(x) = ⟨w₀, . . . , w_n⟩. Por el Teo- rema 2.1.8 existe una ´unica expresi´on x = ∑ⁿ

i=0

λ_iw_i con λ_i ≥ 0 para i = 0, . . . , n. Apli- cando π tenemos que π(x) = ∑ⁿi=0λiwi. Esto prueba K/G(π(x)) = ⟨w0, . . . , wn⟩, ya que x ∈π⁻¹(st_K/G(v)), π(x) ∈ st_K/G(v) y por lo tanto, v ∈K/G(π(x)) = ⟨w₀, . . . , w_n⟩, lo que implica quev=w_i, es decir,w_i=gvpara alg´ung∈G. Por lo tanto,gv∈K(x)yx∈st_K(gv), lo que prueba la otra contenci´on.

Corolario 2.5.7. Sea X una G-variedad diferencial. Entonces existe una cubierta abierta de subespacios G-invariantes tal que cada intersecci´on finita de elementos en esta cubierta abierta es homeomorfa a la ´orbita de un espacio contra´ıble, es decir, un espacio de la forma G/H×D, donde H es un subgrupo deG y D es contra´ıble.

Demostraci´on. Por el Teorema 2.5.6, laG-variedad diferencialX tiene una cubierta buena U = {Uα}tal que cadaUαes la estrella de un v´erticevα∈Vert(K). Aqu´ıKes unG-complejo

regular. Definimos una nueva cubierta abiertaV = {Vα} definidos porVα= ⋃

g∈G

g(stK(vα)).

Entonces Vα es G- invariante y cada intersecci´on finita Vα0 ∩ ⋯ ∩Vαp es homeomorfa a G/H×Ddonde Des el espacio contra´ıble st_K/G(v_α0) ∩ ⋯ ∩st_K/G(v_αp).