Complejos celulares
Para el par (X, ξ), donde X es un espacio de Hausdorff y ξ es su descomposición celular, que satisface los siguientes axiomas: la función característica). Demos el siguiente desglose de celdas para S2. tomando la descomposición celular de esta manera:. Veamos que no es un complejo CW, verifiquemos cada uno de los axiomas: topología débil) consideremos el grupo no cerrado Athe que se muestra en la siguiente figura.
Variedades
Una estructura diferencial de una variedad topológica M es una familia de letras compatibles U = {(Uα, ϕα)}α∈Λ tal que. Por tanto el producto M × N es una variedad diferencial de dimensión m+n con coordenadas de letras de la forma {U×V, ϕ×ψ}.
Elementos de topolog´ıa equivariante
Si {Xα ∶α ∈ J} es un conjunto de espacios G, entonces el producto Πα∈JXα es un espacio G bajo la acción diagonal. El siguiente resultado muestra que el conjunto de estrellas abiertas es una buena cobertura de un complejo simplicial.
Una cubierta buena equivariante de una G- variedad diferencial 19
Aproximaci´ on simplicial
Una subdivisión de K es un K′ complejo simple tal que ∣K′∣ = ∣K∣y cada simplex s′ de K′ está contenido en algún simplex de K. Una subdivisión baricéntrica de K es un complejo simple K′ v '' Los erticios son los símplex de K y los símplex de K′ son el conjunto ⟨s0,. De la definición anterior es fácil ver que si ∶KÐ→Les es una función simple, entonces para cada {v0,.
Dado un complejo simple K de dimensión qn definimos la subdivisión baricéntrica cero (K(0)) como K, la primera subdivisión baricéntrica (K(1)) como K′, recursivamente definimos la subdivisión baricéntrica qth (K(q )) como K(q−1). Sea {wi} el conjunto de vértices de Ly y sea Ui=ϕ−1(stL(wi)), tenga en cuenta que esto es una cobertura para ∣K∣. Entonces, para cada conjunto A en K tenemos que diam(A) <δ, lo que implica que A⊂Ui para algún i.
Entonces el conjunto Vert(K) se envía al conjunto Vert(L) con la función f.
Complejos simpliciales equivariantes
Por lo tanto, f(vi) ∈L(ϕ(x))y es, por tanto, una aproximación simple a ϕ. a) si K es un complejo G simple, entonces el subespacio adyacente ∣K∣ conduce a una acción G tal que ∣K∣ es un espacio G. El siguiente teorema demuestra que algún complejo G simplicial después de pasar por la segunda subdivisión baricéntrica es un complejo G simplicial regular. Si K es un complejo G simple, entonces la acción inducida en la subsección K′ satisface (R1).
En particular, esto significa que para cada nodo v de K(x) hv y v están en el mismo símplex K(x) y, por lo tanto, debido a la regularidad de K, hv=v. Debido a la linealidad de la función henK(x), tenemos que cada punto en K(x) está fijado por h. Esto significa que K(x) ⊂ ∣K∣h, entonces ∣K∣h es una colección simplex de K que satisface las condiciones i) y ii) en la Definición 2.1.1, por lo que ∣K ∣h es en realidad un subcomplejo simple de K.
Por otro lado, el conjunto KH(x), visto como un simplex de KH, también es un simplex de K que contiene x y por definición de K(x) tenemos que K(x) ⊂KH(x).
Cubiertas buenas equivariantes
Que para cada espacio paracompacto, coberturas invariantes localmente finitas y cofinitas en el conjunto de todas las coberturas. Sea ∆ una categoría cuyos objetos son conjuntos finitos ordenados [n] = {0<1< ⋯ De manera similar, un objeto B cosimplicial con A es una función covariante de ∆ aA, es decir, B∈ A∆ (nuevamente escribimos B([n]) como Bn). Esta es una categoría SA cuyos objetos son objetos simples en A y sus morfismos son transformaciones naturales. De manera similar, si A es la categoría es, obtenemos la categoría SAb donde los objetos son grupos abelianos simples. Sea la segunda subdivisión baricéntrica de Comp(N (U)) tal que ∣L∣ = ∣Comp(N (U))∣andLes es un complejo G regular según la Proposición 2.3.3. La cobertura U se denomina buena cobertura equivalente de X si es una cobertura G regular y UH es una buena cobertura de XH para cualquier subgrupo H≤G. Según el teorema 2.5.4 y sin pérdida de generalidad, supongamos que X es el espacio subyacente de un complejo simplicial G-regular de K. Tenga en cuenta que una subdivisión baricéntrica de un complejo regular G también es regular. Si K es un complejo G simple, entonces el espacio orbital K/G tiene la estructura de un complejo simplificador simple, es decir, no equivariante, donde los vértices de K/G se definen como órbitas de acción v=Gv. Degenerar los vértices de K,s= ⟨v0,. Entonces existe una cubierta abierta de G-subespacios invariantes tal que cada intersección finita de elementos en esta cubierta abierta es homeomorfa a la órbita de un espacio contráctil, es decir, un espacio de la forma G/H×D, donde H es un El subconjunto de G y D es contráctil. Según el teorema 2.5.6, la variedad diferencial G Ahora definimos E1p,q como el q-ésimo elemento de la cohomología de este complejo: los grupos equivariantes de la teoría K satisfacen ciertas propiedades, de modo que producen una estructura de teoría de cohomología generalizada. El axioma de dimensión para una teoría de cohomología∗ establece que hn(∗) =0 para n ≠ 0. En esta sección mostraremos cómo el sistema de Cartan-Eilenberg se asocia con la teoría de equivarianza K del espacio WU con respecto a la cubierta G de con el prehaz de grupos locales de la teoría K. Luego, de las propiedades cohomológicas de la teoría K equivalente y de la equivalencia homotópica relativa (Ap×∆p, Ap×∆˙p) Ð→ (Wp, Wp−1) se deduce que,. Definimos la categoría C = [X/G], donde los objetos son los elementos del functor entre las categorías, de la siguiente manera. Si C es una categoría pequeña, cualquier categoría, podemos hablar de la categoría de todos los funtores F∶ C Ð→ D y llamarla DC. El objetivo de este trabajo es mostrar explícitamente la construcción de un sistema de Cartan-Eilenberg para los grupos equivalentes de la teoría K de una variedad diferencial G, siendo G un grupo finito. Dicho sistema define una secuencia espectral cuya segunda página está dada por la cohomología ˇCech relacionada con el prehaz de grupos locales de representaciones. Cada módulo graduado A con diferencial d y filtrado FpA define un sistema de Cartan-Eilenberg con H(p, q). Sin embargo, en el caso de complejos de cohomología celular H∗ y CW filtrados por esqueleto, la familia H en cuestión define efectivamente un sistema Cartan-Eilenberg. Este es el primer ejemplo de una teoría de cohomología generalizada, es decir, una teoría que satisface todos los axiomas de Eilenberg-Steenrod para una teoría de cohomología (cf. [6]), excepto el axioma de dimensión. Más precisamente, el teorema de Atiyah-Jánich muestra que la teoría K de un complejo celular finitoX satisface. Consideremos el caso específico del espacio equivalente a G de la teoría K que consta de un solo punto. Para definir los grupos relativos de la teoría K-equivariante (cf. [2]) usaremos la construcción del espacio de fibras homotópicas. Sin embargo, en el caso de grupos equivalentes de la teoría K, esto no es cierto, como lo establece el teorema de periodicidad de Bott. 3.12). Debido a esta propiedad de la periodicidad, esta teoría no puede satisfacer el axioma de dimensión que caracteriza una teoría de cohomología, según los axiomas de Eilenberg-Maclane, sino satisfaciendo el resto de los axiomas anteriores y utilizando la periodicidad de Bott para definir los grupos K para cada número entero. , que utiliza. En la siguiente sección, la fuga del espacio G X asociado con la cubierta se presentará de tal manera que la secuencia espectral inducida por el correspondiente sistema de Cartan-Eilenberg converge al equivalente de la teoría K. Este último se presentará en Sección 3.6. Este resultado se deriva de la existencia de una equivalencia homotópica entre Fred(HG) y Ω2Fred(HG), que, siendo U(H)-equivariante (cf. [11]), induce una equivalencia homotópica entre Fred(HG) y Ω2Fred( HG) de donde se sigue el isomorfismo (3.12). Por otro lado, sea Xp el conjunto de puntos x∈X que están contenidos en al menos p+1 elementos distintos de U, es decir, x∈Uσp para algunos σp. Dado que los grupos E1p,q=KGp+q(Wp, Wp+1;P) son triviales para p≥Ny para p<0, se deduce que el primer término de la secuencia espectral que definen se ubica en Ncolumnas del plano cartesiano , de la columna p=0 a la columna p=N−1. Este lema es importante para la demostración del teorema 3.6.1 que se presenta en la siguiente sección. El concepto de categoría fue introducido por Samuel Eilenberg y Saunder Mac Lane en 1942 y fue un paso importante en la teoría de la homología. Categoría superior, que consta de todos los espacios topológicos y aplicaciones continuas entre ellos. La categoría Ab, que consta de todos los grupos abelianos y sus morfismos, son los homomorfismos entre ellos. Dada una categoría C, definimos la categoría opuesta Cop como aquella categoría que consta de los mismos objetos de C, pero los morfismos para cada par de objetos A, B∈ C0 son C(B, A). La categoría ModR de todos los módulos adecuados en un anillo R con unidad, junto con sus homomorfismos de módulo. La categoría de espacios topológicos en los que ocurre G, denotada por G−Top, es aquella en la que los objetos son los espacios G y los morfismos son las funciones continuas equivalentes. Definimos una categoría G, donde los objetos son elementales y los morfismos están determinados por los elementos de G. Funtores Diremos que F es equivalencia si existe un funtor G∶ D Ð→C tal que G○F,1∶ C Ð→ C es naturalmente equivalente y F ○G,1∶ D Ð→ D también es equivalente en forma de por supuesto es. Diremos que una categoría es una categoría pequeña si su clase de objetos es un conjunto. En las siguientes definiciones, aplicaremos los conceptos de categoría, funtor y transformación natural.
Realizaci´ on geom´ etrica asociada a una G-cubierta
Realizaci´ on gruesa asociada a un G-complejo celular
Sucesiones espectrales y sistemas de Cartan-Eilenberg en K-teor´ ıa 37
Aplicaci´ on
Sistemas de Cartan-Eilenberg
K-teor´ıa equivariante
La filtraci´ on asociada a una cubierta
Sucesi´ on espectral para K-teor´ıa equivariante
Transformaciones naturales
