(Apuntes)
Juan Carlos S´anchez Monreal
Comentarios
1. Introducci´on algebraica 4
1.1. Relaci´on de equivalencia y de orden . . . 4
1.2. Aplicaciones entre conjuntos . . . 6
1.3. Bibliograf´ıa . . . 9
1.4. Ejercicios . . . 9
2. Espacios vectoriales 12 2.1. Definici´on de espacio vectorial . . . 12
2.2. Subespacio vectorial . . . 14
2.3. Bases . . . 17
2.4. Cambio de base . . . 21
2.5. Rango de un sistema de vectores . . . 22
2.6. Bibliograf´ıa . . . 22
3. Aplicaciones lineales 23 3.1. Homomorfismos . . . 23
3.2. Expresi´on anal´ıtica de una aplicaci´on lineal . . . 29
3.3. Rango de la matriz asociada . . . 37
3.4. Matrices equivalentes . . . 38
3.5. Operaciones con aplicaciones lineales . . . 40
4. Diagonalizaci´on 43 4.1. Introducci´on . . . 43
4.2. Autovalores y autovectores . . . 45
4.3. Teorema fundamental de diagonalizaci´on . . . 46
4.4. Diagonalizaci´on por semejanza ortogonal de matrices sim´etricas . . . 50
4.5. Aplicaciones de la diagonalizaci´on . . . 51
4.6. Bibliograf´ıa . . . 51
4.7. Ejercicios . . . 52
4.7.1. Cuestiones . . . 52
4.7.2. Problemas . . . 52
A. Demostraciones 53 A.1. Introducci´on algebraica . . . 53
A.2. Espacios vectoriales . . . 55
A.3. Diagonalizaci´on . . . 57
B. Soluciones: Cuestiones y problemas 61
Introducci´
on algebraica
1.1.
Relaci´
on de equivalencia y de orden
Al conjunto cuyos elementos son precisamente los subconjuntos deXse le llama el conjunto de las partes de X, y se le representa por P(X). Obs´ervese que A ∈ P(X)⇔A⊂X.
Dado un conjunto X, entonces decimos que una relaci´on binaria en X es un subconjunto R ⊂ X×X. Cuando un par (x, y) ∈ X×X pertenezca a R diremos que x est´a relacionado con y seg´un R, y escribiremos xRy.
Una relaci´on binaria R en X puede verificar alguna de las siguientes propiedades: 1. Reflexiva: ∀x∈X :xRx (∀x∈X : (x, x)∈R)
2. Sim´etrica: SixRy =⇒yRx 3. Transitiva: Si xRy, yRz =⇒xRz 4. Antisim´etrica: SixRy, yRx=⇒x=y
Larelaci´on de equivalencia, verifica las propiedades: Reflexiva, sim´etrica, ytransitiva.
La relaci´on de orden (parcial): verifica las propiedades: Reflexiva, transitiva, y anti-sim´etrica. Una relaci´on de orden en la que dos elementos cualesquiera siempre est´en relaciona-dos se llama relaci´on de orden total.
Ejemplo 1
N={1,2,3, . . .} la relaci´on “ser menor o igual”es de orden total.
En el plano de la Geometr´ıa elemental la relaci´on de equipolencia1 es una relaci´on de equiva-lencia.
1Dos vectores son equipolentes cuando tienen la misma direcci´on, sentido y longitud.
C(x) es el subconjunto de X formado por todos los elementos relacionados con x: C(x) ={y∈X :y∼x}.
Proposici´on 1.1.
Si y∈C(x) =⇒C(y) =C(x).
Este resultado nos dice que en cada clase de equivalencia cualquiera de sus elementos puede servir de representante.
Proposici´on 1.2.
∀x∈X : x∈C(x). Para x, y ∈X, si C(x)T
C(y)6= Ø =⇒C(x) =C(y).
Este resultado afirma, en primer lugar, que no hay ninguna clase de equivalencia vac´ıa, y en segundo, que dos clases de equivalencia distintas (es decir, de representantes no relacionados) no pueden tener ning´un elemento en com´un.
Definici´on 1.1 (Partici´on).
Dado un conjunto X una partici´on suya es una colecci´on de subconjuntos de X disjuntos dos a dos, y cuya uni´on es todo X.
P(X) =
(
Xi : ∀i6=j , Xi∩Xj = Ø ; [ i
Xi =X
)
.
Definici´on 1.2 (Conjunto cociente).
Dado un conjunto X y la relaci´on de equivalencia ∼. Definimos el conjunto cociente X sobre
∼, que lo representaremos de la forma(X/∼); como el conjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia de ∼.
Ejemplo 2
SiX es el conjunto de todos los vectores del plano y∼la relaci´on de equipolencia, entoncesX/∼ tie-ne por elementos las clases de vectores equipolentes. A cada clase se le da el nombre de “vector libre ”.
1.2.
Aplicaciones entre conjuntos
Definici´on 1.3 (Aplicaci´on).
Dados dos conjuntos X e Y una aplicaci´on es una forma de hacerle corresponder a cada elemento de X un ´unico elemento de Y.
∀x∈X, ∃!y∈Y : y=f(x) =⇒f :X −→Y es aplicaci´on.
Dada una aplicaci´onf :X −→Y, al conjuntoX se le llama eldominio (de definici´on) de f, al conjunto Y el codominio def. Al subconjunto de elementos de Y que son im´agenes de X se le llama la imagen2 def.
Imf ={y∈Y : ∃x∈X : f(x) = y}.
Diremos que dos aplicaciones son iguales si tienen el mismo dominio, el mismo codominio, y asocian el mismo elemento del codominio a uno mismo del dominio.
Definici´on 1.4 (Imagen directa y rec´ıproca).
Sea f :X −→Y una aplicaci´on, y A ⊂X. Entonces se define la imagen (directa) de A como
f∗(A) ={f(x) : x∈A}.
Si B ⊂Y, se define la imagen rec´ıproca de B como
f∗(B) ={x∈X : f(x)∈B}.
Seg´un esta definici´on, tenemos f∗(A) ⊂Y, f∗(B)⊂ X. Adem´as, ocurre que f
∗(X) =Imf, y
f∗(Y) =X
Definici´on 1.5 (Gr´afica o Grafo).
Una funci´on f :X −→Y puede ser considerada como un subconjunto del producto cartesiano
X×Y.
Γ(f) ={(x, y)∈X×Y; x∈Dom(f), y =f(x)}
y que denominaremos gr´afica de f o grafo de f.
Definici´on 1.6 (Conjunto imagen).
Seaf :X−→Y una funci´on y seaA ⊂X. El conjunto imagendeAporf, que denotaremos por f(A), es el subconjunto de Y formado por todas las im´agenes de los elementos de A:
f(A) ={y∈Y : y=f(x), x∈A}.
La aplicaci´on f restringida al subconjun to A se denomina la restricci´on de f a A y se denota por f|A.
Definici´on 1.7 (Composici´on).
Sean las funciones f :X −→ Y y g :Y −→Z. Se define la composici´on g◦f de f y g como la aplicaci´on g ◦f :X −→Z dada por (g◦f)(x) =g(f(x)).
La composici´on de aplicaciones es asociativa. Definici´on 1.8 (Aplicaci´on inyectiva).
Diremos que una aplicaci´on f : X −→ Y es inyectiva si elementos distintos de X tienen im´agenes distintas en Y. Es decir, si x, x′ ∈ X, x 6=x′ =⇒ f(x)6= f(x′) o equivalentemente,
si f(x) =f(x′) =⇒x=x′
∀y ∈Imf, ∃!x∈X : f(x) =y. Definici´on 1.9 (Aplicaci´on sobreyectiva o suprayectiva).
Una aplicaci´on f :X −→Y es sobreyectiva si todo elemento de Y es imagen de alguno de X. Es decir, si ∀y∈Y, ∃x∈X : f(x) =y o lo que es lo mismo, si Imf =Y
Definici´on 1.10 (Aplicaciones biyectiva).
Diremos que una aplicaci´on es biyectiva, si es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Es decir, una aplicaci´on f :X −→Y es biyectiva si y s´olo si
∀y∈Y,∃!x∈X :f(x) =y. Ejemplo 3
La aplicaci´on inclusi´on
i: A⊂X −→X
x 7−→x
es siempre inyectiva. Adem´as es sobreyectiva si y s´olo si A=X. En este caso tenemos la aplicaci´on identidad enX
1X : X −→X
x 7−→x
que claramente es biyectiva.
Definici´on 1.11 (Funci´on inversa).
Sea f :X −→Y una aplicaci´on biyectiva. Sea y ∈Y, como sabemos que ∃!x∈X : f(x) =y, el asignar a cada y∈Y el ´unico x∈X : f(x) =y, nos define una aplicaci´on de Y en X que llamaremos la inversa de f y representamos por f−1, es decir
f−1 :Y
−→X, f−1(y) =x
⇐⇒f(x) =y.
N´otese que f−1 es una aplicaci´on biyectiva como f, est´a determinada de forma ´unica por f, y adem´as cumple
f ◦f−1 = 1Y , f−1
Proposici´on 1.3.
Sean X e Y dos conjuntos, y sean f :X −→Y y g :Y −→X dos aplicaciones tales que
g◦f = 1X entonces f es inyectiva yg es sobreyectiva.
Si adem´as se tiene f◦g = 1Y entonces f y g son biyectivas y f =g−1, g =f−1.
Proposici´on 1.4.
Sean f :X −→Y y g :Y −→Z. Entonces se verifica: Si C⊂ Z =⇒(g◦f)−1(C) =f−1(g−1(C)).
Si f y g son inyectivas, entonces g◦f es inyectiva.
Si g◦f es inyectiva, entoncesf es inyectiva.
Si f y g son sobreyectivas, entonces g◦f es sobreyectiva.
Si g◦f es sobreyectiva, entonces g es sobreyectiva.
Es claro que existen aplicaciones que no son ni inyectivas ni sobreyectivas, ni por supuesto biyectivas. Sin embargo, veremos que toda aplicaci´on se puede poner como composici´on de una inyectiva, una biyectiva y unas sobreyectiva.
Proposici´on 1.5.
Sea f :X −→Y una aplicaci´on. Se define enX la siguiente relaci´on binaria
x, x′ ∈X, x∼x′ ⇐⇒f(x) =f(x′).
Entonces ∼ es una relaci´on de equivalencia en X. Si
p:X −→X/∼ x 7−→C(x)
b :X/∼ −→Imf C(x) 7−→f(x)
i:Imf −→Y f(x) 7−→f(x)
se tiene f =i◦b◦p, adem´as p es sobreyectiva, b biyectiva e i inyectiva.
Corolario 1.1.
Si f es inyectiva =⇒p es biyectiva.
Una isometr´ıa de un conjuntoX es toda aplicaci´on f :X−→X que conserve distancias.3
1.3.
Bibliograf´ıa
De [1] est´a sacada la mayor parte de la teor´ıa de este cap´ıtulo. De [2] en el apartado de
Aplicaciones hemos sacado laProposici´on (1.4), y lo primeros ejercicios de la siguiente secci´on. Las demostraciones han sido adaptadas a partir de [1].
1.4.
Ejercicios
1. [2] Sea f : X −→ Y una aplicaci´on y consideremos los subconjuntos A ⊂ X y B ⊂ Y.
Entonces demostrar que se satisfacen:
a) A⊂f−1(f(A)).
b) f(f−1(B))
⊂B.
2. [2] Sea f :X −→Y y sean Bi ⊂Y para i= 1,2. Entonces demostrar que:
a) B1 ⊂B2 −→f−1(B1)
⊂f−1(B2).
b) f−1(B1
∪B2) =f−1(B1)
∪f−1(B2).
c) f−1(B1
∩B2) =f−1(B1)
∩f−1(B2).
d) f−1(B1−B2) =f−1(B1)−f−1(B2).
3. [2] Sea f :X −→Y y sean Ai ⊂X para i= 1,2. Entonces demostrar que:
a) A1 ⊂A2 −→f(A1)⊂ f(A2).
b) f(A1∪A2) =f(A1)∪f(A2).
c) f(A1∩A2)⊂f(A1)∩f(A2).
d) f(A1−A2)⊃f(A1)−f(A2).
4. [2] Sea {Bi ⊂Y : i∈I} una familia de subconjuntos de Y. Entonces demostrar que se
verifica:
a) f−1 [
i∈I Bi
!
=[ i∈I
f−1(Bi).
b) f−1 \
i∈I Bi
!
=\ i∈I
f−1(Bi).
3Ver en el libro [1], los tres ejemplos que pone de grupos (p´ag. 15-19): Conjunto de vectoresX de un plano con la relaci´on de equipolencia enX, soluciones de la ecuaci´on diferencialf′
(x) +f(x) = 0, yX conjunto de los puntos del borde de un tri´angulo equil´atero. Un estudio de sus tres isometr´ıas m´as evidentes de X: rotaciones de 120◦
,240◦
y 360◦
5. [2] Sea {Ai ⊂X : i∈I} una familia de subconjuntos de X. Entonces demuestra que se
verifica:
a) f [ i∈I
Ai
!
=[ i∈I
f(Ai).
b) f \ i∈I
Ai
!
⊂\
i∈I
f(Ai).
6. [2] Sea f : X −→ Y una aplicaci´on y consideremos los subconjuntos A ⊂ X y B ⊂ Y.
Entonces demuestra que se satisface:
a) Si f es inyectiva entonces A=f−1(f(A)).
b) Si f es sobreyectiva entonces f(f−1(B)) =B.
7. [2] Sea f : X −→ Y una aplicaci´on inyectiva y sean Ai ⊂ X para i = 1,2. Entonces
demuestra que:
a) f(A1∩A2) =f(A1)∩f(A2).
b) f(A1−A2) =f(A1)−f(A2).
8. [1] Se considera en Z la siguiente relaci´on binaria x ∼ y ⇔ ∃k ∈ Z : x−y = 3k.
Probar que ∼ es una relaci´on de equivalencia en Z. ¿En cu´antas clases de equivalencia se descompone Z?
9. [1]Decir cuales de los siguientes subconjuntos deR×Rson gr´aficos de aplicaciones y para
los que lo sean decir de cual se trata
G1 ={(x, y)∈R×R: x2+y2 = 16} , G2 ={(x, y)∈R×R: x=y2} , G3 ={(x, y)∈R×R: y= 7x} , G4 ={(x, y)∈R×R: x+y= 0} .
10. [1] Sea f :X −→ X una aplicaci´on. Demostrar que f es inyectiva si y s´olo si cumple la
siguiente propiedad
si g, h:X−→ X son tales que f ◦g =f ◦h=⇒ g =h.
Demostrar que f es sobreyectiva si y s´olo si g◦f =h◦f =⇒ g =h. 11. [1] Sea A un subconjunto de X. Se consideran las aplicaciones
F :P(x)−→ P(x) , H :P(x)−→ P(x)
12. [1]El siguiente razonamiento es err´oneo. Sea X un conjunto y sea R una relaci´on binaria
en X sim´etrica y transitiva. Entonces si xRy =⇒ yRx por la condici´on de simetr´ıa, y como xRy e yRx =⇒ xRx , ∀x ∈ X por ser una relaci´on transitiva. As´ıparece que hemos demostrado que R tiene que ser tambi´en reflexiva. Esto no es cierto (buscar un contraejemplo) pero ¿d´onde est´a el error?
13. [1]SeanX eY dos conjuntos, yX×Y su producto cartesiano. Probar que las aplicaciones
(llamadas proyecciones)
p: X×Y −→ X (x, y) 7→x
, q: X×Y −→ Y (x, y) 7→y
son sobreyectivas. ¿Pueden ser alguna vez inyectivas? Obtener la descomposici´on can´onica de la Proposici´on (1.5) para las aplicaciones p y q.
14. [1] Aplicar laProposici´on (1.5) (descomposici´on can´onica) a la aplicaci´on f :Z−→ N∗,
donde N∗ =N∪ {0}, dada porf(x) =x2, ∀x∈Z.
15. [1]SeanX eY dos conjuntos,∼y∼′ relaciones de equivalencia enX eY respectivamente,
y p : X −→ X/∼, p′ : Y −→ Y /
∼′ las proyecciones p(x) = C(x), ∀x ∈ X, p′(y) = C(y), ∀y∈Y. Diremos que una aplicaci´on f :X −→ Y escompatible con las relaciones
∼ y ∼′ si x∼ x′ =⇒ f(x)∼′ f(x′). Demostrar que para cada aplicaci´on f : X −→ Y
compatible con ∼ y ∼′ existe una ´unica aplicaci´on ˜f :X/
∼ −→ Y /∼′ : ˜f ◦p = p′◦f. Decir quien es ˜f cuando X =Y ≡vectores de un plano,∼=∼′≡relaci´on de equipolencia
y f(AB) = 2AB.
16. [1] Sea V el conjunto de los polinomios de grado a lo sumo 2 con coeficientes en R, es
decir
V =
a0 +a1x+a2x2 : a0, a1, a2 ∈R .
Se define D : V −→ V por D(a0 +a1x+a2x2) = a1 + 2a2x. Demostrar que D es una aplicaci´on y que no es inyectiva. Sea tambi´en E : V −→ R definida por E(a0+a1x+ a2x2) =a0+a1+a2 (valoraci´on en x= 1). Probar que E es una aplicaci´on sobreyectiva. ¿Es sobreyectivaE◦D? Aplicar la descomposici´on can´onica establecida en laProposici´on
(1.5) a D. Dar una interpretaci´on a la aplicaci´on biyectiva b que aparece en esta. 17. [1]Sean X eY dos conjuntos finitos. Probar queCard(X)≤Card(Y) si y s´olo si existe
Espacios vectoriales
2.1.
Definici´
on de espacio vectorial
Antes de definir el concepto matem´atico de espacio vectorial, tenemos que introducir las definiciones matem´aticas de grupo, anillo y cuerpo.
Definici´on 2.1 (Grupo).
Un grupo (G,∗) es un conjunto G, y una aplicaci´on
G×G−→G
(x, y)7→x∗y
que verifica las siguientes propiedades
1. Asociativa:
x∗(y∗z) = (x∗y)∗z, ∀x, y, z ∈G. 2. Existencia elemento neutro (e):
∃e∈G: e∗x=x∗e =x, ∀x∈G. 3. Existencia elemento sim´etrico (x)¯ :
∀x∈G, ∃x¯∈G: x∗x¯= ¯x∗x=e.
Si adem´as se verifica la propiedad:
4. Conmutativa:
x∗y=y∗x, ∀x, y ∈G diremos que (G,∗) es un grupo conmutativo o abeliano.
Definici´on 2.2 (Anillo).
Un anillo A es un conjunto con dos operaciones + y · llamadas suma y producto respectiva-mente, tales que,
1. (A,+) es un grupo abeliano.
2. Asociativa con respecto al producto (·):
x·(y·z) = (x·y)·z, ∀x, y, z ∈A.
3. Existencia elemento neutro (1) con respecto al producto:
∃1∈A: x·1 = 1·x=x, ∀x∈A. 4. Distributiva:
x·(y+z) =x·y+x·z,
(x+y)·z=x·z+y·z, ∀x, y, z ∈A.
Un anillo (A,+,·) se dice conmutativosi su producto lo es, es decir: 5. Conmutativa con respecto al producto:
x·y=y·x, ∀x, y ∈A.
Definici´on 2.3 (Anillo unitario).
Se dice que (A,+,·) es anillo unitario si ∃1∈A que es unidad para el producto, tal que
x·1 = 1·x, ∀x∈A. Definici´on 2.4 (Anillo conmutativo).
Se dice que (A,+,·) es anillo conmutativo si el producto es conmutativo
x·y=y·x, ∀x, y ∈A. Definici´on 2.5 (Cuerpo).
(C,+,·) es un cuerpo si es anillo, y adem´as, verifica la siguiente condici´on:
∀x∈C, x6= 0, ∃x−1
∈C : x·x−1 =x−1
·x= 1.
A partir de ahora, representaremos la estructura algebraica de cuerpo con la letra K, que engloba el cuerpo de los reales R y el de los complejos C, es decir,
K=R´oC.
Y a los elementos que constituyen K con letras del abecedario griego.
Definici´on 2.6 (Espacio Vectorial).
Un espacio vectorial sobre un cuerpo K es un grupo abeliano (V,+) junto con la aplicaci´on
K×V −→V
(λ, x) 7→λ·x
1. λ·(x+y) =λ·x+λ·y, ∀x, y ∈V, ∀λ ∈K.
2. (λ+µ)·x=λ·x+µ·x, ∀x∈V, ∀λ, µ∈K.
3. (λ·µ)·x=λ·(µ·x), ∀x∈V, ∀λ, µ∈K.
4. 1·x=x, ∀x∈V. 1 es la unidad con respecto al producto de K.
Los elementos que pertenecen a un espacio vectorial se les llamavectores, y a los que per-tenecen a Kse les nombra comoescalares. Estos espacios vectoriales se les puede representar como V(K). El s´ımbolo que representa el producto de un escalar con un vector (·) se puede quitar.
A los espacios vectoriales se les nombra tambi´en como espacios lineales. CuandoK=R
se dice espacios lineales realesy cuando K=C espacios lineales complejos.
Ejemplo 4
1. El conjuntoV =F(A,K) de funciones definidas en un conjuntoA, es un espacio vectorial sobre Krespecto de las siguientes operaciones, dadas f, g∈V yλ∈K:
f +g: (f+g)(x) =f(x) +g(x), ∀x∈A. λf: (λf)(x) =λf(x), ∀x∈A.
2. V = P[x] el conjunto de los polinomios con coeficientes en K es un espacio vectorial sobre K respecto de las operaciones usuales de suma de polinomios y producto de un escalar por un polinomio.
3. El conjuntoV =Mm×n(K) de las matrices de tama˜nom×n(cuyos elementos pertenecen a un
cuerpoK) es un espacio vectorial respecto de la suma de matrices y del producto de un escalar por una matriz.
2.2.
Subespacio vectorial
Definici´on 2.7 (Subespacio vectorial).
Sea V(K) un espacio vectorial y un subconjunto U ⊆ V. Se dir´a que U(K) es un subespacio vectorial deV(K)si al restringir las operaciones deV aU resulta queU cumple las propiedades de espacio vectorial.
Un espacio vectorial V(K) tiene dos subespacios impropios: U = {0} y U = V. Otro subespacio cualquiera de V(K) se dir´a propio.
Corolario 2.1. Un subconjunto U de un espacio vectorial V(K) es un subespacio suyo si y s´olo si ∀α, β ∈K, ∀x, y ∈U:
A veces representaremos los espacios vectoriales sin especificar el cuerpo de los escalaresK
con el fin de simplificar la escritura, por ejemplo, escribir V en vez de V(K).
Definici´on 2.8 (Subespacio suma).
SeanU1 yU2 dos subespacios de un espacio vectorialV. Se llamasumadeU1 yU2 al conjunto,
U1+U2 ={u1+u2 : u1 ∈U1, u2 ∈U2}.
Este conjunto es un subespacio de V y se trata del menor de todos los subespacios1 de V que contienen a U1 y U2.
Podemos generalizar el subespacio suma a n subespacios vectoriales {U1, . . . , Un} de un espacio vectorial V. Se llama suma de estos subespacios a
U1+· · ·+Un =
( n X
i=1
ui : ui ∈Ui , i= 1, . . . , n
)
.
Este conjunto es un subespacio deV. Se trata del menor de todos los subespacios deV que contienen a todos los Ui (i= 1,2, . . . , n).
Proposici´on 2.1.
Sean U y W dos subespacios vectoriales de V. Entonces
U ∩W y U+W son subespacios vectoriales deV.
La uni´on de subespacios vectoriales de un espacio vectorialV, en general, no es subespacio vectorial de V. Un contraejemplo ser´ıa:
Consideramos los subespacios vectoriales U1 =
(x,0)∈R2 : x
∈R , U2 =
(0, y)∈R2 : y
∈R .
El conjunto U1 ∪U2 no es un subespacio vectorial ya que, por ejemplo, u1 = (1,0) y u2 = (0,1) son vectores deU1∪U2 y, sin embargo, su suma u1+u2 = (1,1)∈/U1∪U2.
Podr´ıamos generalizar la Proposici´on (2.1) a n subespacios vectoriales {U1, . . . , Un}, es decir,
n
\
i=1
Ui y U1+U2+. . .+Un son subespacios vectoriales deV.
1Esto es equivalente a decir:
SiU1⊂U, U2⊂U, ∄U ⊂V subespacio vectorial deV donde U ⊂U1+U2.
Definici´on 2.9 (Envolvente lineal).
SeaH ={u1, u2, . . . , un}un subconjunto den vectores de un espacio vectorialV(K). Definimos
L(H) =
( n X
i=1
aiui: ai ∈K, i= 1,2, . . . , n
)
A cada una de estas sumas se le llama una combinaci´on lineal de los vectores de H.
L(H) es un subespacio vectorial de V, y se le suele llamar tambi´en clausura lineal deH.
H es un subconjunto de L(H), y adem´as, L(H) es el menor subespacio deV que contiene a H, es decir2,
Si H ⊂U =⇒ L(H)⊂U. Definici´on 2.10 (Sistemas equivalentes de vectores).
Sean S = {u1, u2, . . . , um} y T = {v1, v2, . . . , vn} dos sistemas de vectores de un espacio vec-torial V. Se dice que S y T son equivalentes3 si engendran el mismo subespacio vectorial, L(S) =L(T).
Proposici´on 2.2.
El envolvente lineal de H cumple las siguientes propiedades:
1. Si H ⊂H′, entonces L(H)⊂L(H′).
2. L(H) =H ⇔H es un subespacio de V(K).
3. Si U1, U2, . . . , Un son subespacios de V(K) tales que Ui =L(Hi) (∀ ∈ {1,2, . . . , n}) entonces U1 +U2+. . .+Un=L(H), con H =H1∪H2∪. . .∪Hn.
Proposici´on 2.3.
Supongamos que U y W son dos subespacios vectoriales de V(K) tales que V = U + W. Entonces, son equivalentes:
1. ∀z ∈V, ∃!(x, y)∈U ×W : z =x+y. 2. U ∩W ={0}.
2Aplicando elCorolario (2.1)tenemos: (∀i= 1, . . . , n), x∈L(H) =⇒ x=
n X
i=1
αiui, como ∀i, ui∈U =⇒ n X
i=1
αiui∈U =⇒ x∈U.
Definici´on 2.11 (Suma directa).
Sean V(K) un espacio vectorial, U, W dos subespacios suyos tales que
V =U +W , U ∩W ={0};
entonces diremos que V es suma directa deU yW, y pondremos V =U⊕W; es decir, cuando cada vector de V se escribe de manera ´unica como suma de uno de U y otro de W.
Proposici´on 2.4.
Sean {U1, U2, . . . , Un} subespacios vectoriales de V(K) tales que V = U1 + U2 + . . .+Un. Entonces, son equivalentes:
1. ∀z ∈V,∃!(u1, u2, . . . , un)∈U1×U2×. . .×Un: z =u1+u2+. . .+un. 2. ∀j ∈ {1,2, . . . , n−1}: (U1+. . .+Uj)T
Uj+1 ={0}.
En la Proposici´on (2.4), el segundo apartado es mucho m´as fuerte que suponer Ui ∩Uj =
{0}, ∀i 6= j, ya que Ui∩Uj con i < j est´a contenido (U1 +· · ·+Uj−1)∩Uj. Por ejemplo, para el caso n= 3, tenemos que el segundo apartado se convierte en la condici´on
U1∩U2 ={0} , (U1+U2)∩U3 ={0}. Definici´on 2.12.
Sea V(K) un espacio vectorial y {U1, U2, . . . , Un} subespacios vectoriales de V tales que V = U1+U2+. . .+Un, y que se cumple alguno de los apartados de la Proposici´on(2.4), entonces diremos que V es suma directa de los subespacios {U1, U2, . . . , Un}, V =U1⊕U2⊕. . .⊕Un.
2.3.
Bases
Definici´on 2.13 (Sistema generador).
Dado un espacio vectorial V(K), cuando tengamos un subconjunto H de V tal que L(H) = V, diremos que H es un sistema de generadores o un conjunto generador de V.
Cuando un espacio vectorialV(K) admita un sistema de generadores finito diremos que es
finitamente generado.
Definici´on 2.14 (Linealmente independiente o sistema libre).
Sea V(K)un espacio vectorial, y sea H ={u1, u2, . . . , un} ⊂V. Diremos que H es linealmente independiente si cumple:
n
X
i=1
αiui = 0 =⇒ α1 =α2 =. . .=αn = 0.
Diremos que H es linealmente dependiente si no es linealmente independiente; es decir, si podemos encontrar escalares αi ∈K(i= 1, . . . , n) no todos nulos con
n
X
i=1
Es claro de esta definici´on que si 0∈H, entonces H es dependiente.
Proposici´on 2.5.
Sea V(K) un espacio vectorial, y sea H = {u1, u2, . . . , un} ⊂ V. Entonces H es linealmente dependiente si y s´olo si podemos poner un vector de H como combinaci´on lineal del resto.
Las nociones de dependencia e independencia lineal se ha definido s´olo para conjuntos finitos de vectores, pero se puede generalizar a un conjunto cualquiera H ⊂V como sigue:
Definici´on 2.15.
Sea V(K) un espacio vectorial, y sea H un subconjunto finito o no de V. Diremos que H es linealmente independiente si todo subconjunto suyo finito es linealmente independiente. En el caso de que H no sea linealmente independiente diremos que es linealmente dependiente; esto ocurre cuando existe un subconjunto finito de H linealmente dependiente.
Proposici´on 2.6.
Sean V(K) un espacio vectorial y H, H′ dos subconjuntos de V con H ⊂H′. Entonces:
1. Si H es linealmente dependiente tambi´en lo es H′.
2. Si H′ es linealmente independiente tambi´en lo es H.
Definici´on 2.16 (Base).
Sea V(K) un espacio vectorial, y B ⊂V tal que B es linealmente independiente y L(B) =V, entonces diremos que B es una base de V.
Ejemplo 5
Una base de P[x] (conjunto de polinomios):
B =
1, x, x2, . . . , xn, . . . .
La base can´onica de Rn(R):
B={e1, e2, . . . , en}, e1 = (1,0, . . . ,0), e2= (0,1, . . . ,0), . . . , en= (0,0, . . . ,0,1).
Proposici´on 2.7.
Todo espacio vectorial finitamente generado tiene una base.
Si quitamos de un sistema generador un subconjunto suyo formado por vectores que de-penden linealmente del resto, el subconjunto as´ı obtenido sigue siendo un sistema generador. Proposici´on 2.8.
Teorema 2.1 (Teorema de la base). Dos bases de un mismo espacio vectorial (finitamente generado) tienen el mismo n´umero de vectores.
Definici´on 2.17.
Si V(K) es un espacio vectorial finitamente generado, al n´umero de vectores de una de sus bases le llamaremos la dimensi´on de V(K), y lo denotaremos como dimKV. Por definici´on
pondremos que la dimensi´on del espacio vectorial trivial {0} es cero.
Proposici´on 2.9.
Sea V(K) un espacio vectorial, y sea B ={u1, u2, . . . , un} una base de V. Entonces si x∈V
se expresa
x= n
X
i=1
αiui = n
X
i=1
βiui =⇒ αi =βi (∀i∈ {1,2, . . . , n}). (2.1)
SiB es un sistema generador de V(K) que cumple la propiedad (2.1), entonces B es una base.
Definici´on 2.18 (Base ordenada).
Sea V(K) un espacio vectorial de dimensi´on n, y sea B = {u1, u2, . . . , un} una base suya. A cada lista ordenada obtenida con los vectores de B la llamaremos una base ordenada. Por ejemplo, B ={u1, u2, . . . , un} es una de la n! bases ordenadas inducidas por la misma base de
V. A la lista ordenada de escalares {α1, α2, . . . , αn} le llamaremos las coordenadas de
x= n
X
i=1
αiui en la baseB.
A estas coordenadas en la base B se les puede identificar como una matriz fila o columna:
(x)B ≡(αi) con (i= 1, . . . , n).
LaProposici´on (2.9) nos dice
∀x∈V, ∃!(α1, α2, . . . , αn)∈Kn : x= n
X
i=1 αiui
Es decir, si V(K) es un espacio vectorial con dimKV = n, cada base ordenada B =
{u1, u2, . . . , un} nos da una aplicaci´on biyectiva.
bB : Kn −→ V
(α1, α2, . . . , αn) 7→ bB(α1, α2, . . . , αn) = n
X
i=1 αiui
Proposici´on 2.10.
Sea V(K) un espacio vectorial con dimKV = n. Entonces un sistema de generadores con n
vectores es necesariamente una base de V(K).
Teorema 2.2 (Ampliaci´on de la base). Sea V(K) un espacio vectorial con dimKV =n, y sea
H = {u1, u2, . . . , um}, m < n, un conjunto de vectores linealmente independientes (H es una base de L(H)). Entonces, existen {um+1, . . . , un} ∈V tales que {u1, u2, . . . , um, um+1, . . . , un}
es una base de V(K).
Proposici´on 2.11.
Sea V(K) un espacio vectorial con dimKV =n. Entonces un conjunto de vectores linealmente
independiente con n vectores es necesariamente una base de V(K).
Tenemos entonces que para un espacio vectorial V(K) con dimKV =n, son equivalentes:
1. B ={u1, u2, . . . , un} es una base V. 2. B es un sistema generador de V. 3. B es linealmente independiente.
Sea U un subespacio vectorial de un espacio V(K) finitamente generado, entonces U es tambi´en finitamente generado (como espacio vectorial sobre K).
Dado un subespacio U de V(K), es posible encontrar otro subespacio U′ de V tal que
V =U ⊕U′. Se dice que U′ es unsubespacio suplementario de U en V.
Proposici´on 2.12.
Sean U y W dos subespacios vectoriales de V(K). Entonces
dimK(U +W) + dimK(U ∩W) = dimKU+ dimKW.
Corolario 2.2. Sean U y W dos subespacios vectoriales de V(K) tales que V = U +W. Entonces:
V =U⊕W ⇔dimKV = dimKU+ dimKW.
En general para k subespacios U1, U2, . . . , Uk de V(K) tenemos:
dimK
k
X
i=1 Ui
!
+ k−1
X
j=1
dimK(U1+U2+. . .+Uj)∩Uj+1 =
k
X
j=1
Ejemplo 6
1. El espacio vectorialKn y el sistema de vectoresB ={e
1, e2, . . . , en}definidos como:
e1= (1,0,0, . . . ,0), e2 = (0,1,0, . . . ,0), . . . , en= (0,0,0, . . . ,1)
forman una base que se llama Base Can´onica deKn.
a) Se ve claramente que es un sistema generador, puesto que cualquier vector
(x1, x2, . . . , xn) = n
X
i=1
xiei =x1(1,0,0, . . . ,0) +x2(0,1,0, . . . ,0) +· · ·+xn(0,0,0, . . . ,1).
b) Y sistema independiente ya que
n
X
i=1
λiei = 0 =⇒ (λ1, λ2, . . . , λn) = (0,0, . . . ,0) =⇒ λ1 =λ2=· · ·=λn= 0.
2. En el espacio vectorialMm×n(R) de las matrices reales de tama˜no m×n, las m·nsiguientes
matrices Eij (i= 1,2, . . . , m; j= 1,2, . . . , n) forman una base, siendo:
Eij una matriz que tiene nulos todos sus elementos excepto el que ocupa el lugar (ij), que vale
la unidad
B ={Eij : i= 1,2, . . . , m; j= 1,2, . . . , n}
es una base que denominaremosBase usual deMm×n.
3. En el espacio vectorial V de los polinomios reales de grado menor o igual que n (con una indeterminadax), el siguiente sistemaB de n+ 1 polinomios es una base:
B=
1, x, x2, . . . , xn .
A esta baseBla llamaremosBase usualdel espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual quen.
2.4.
Cambio de base
SeanB ={u1, u2, . . . , un}yB′ ={u′
1, u′2, . . . , u′n}dos bases ordenadas del espacio vectorial V(K). Dado x∈V, tenemos:
x= n
X
i=1
αiui = n
X
j=1 α′
ju′j.
Ahora nos plantearemos la relaci´on que hay entre las coordenadas (α1, α2, . . . , αn) y (α′
Ponemos cada vector de B′ en combinaci´on lineal deB u′ j = n X i=1
aijui (∀j ∈ {1,2, . . . , n}).
Tenemos n
X
j=1 α′
ju′j = n X j=1 α′ j n X i=1 aijui ! = n X i=1 n X j=1 aijα′
j ! ui = n X i=1 αiui.
Utilizando ahora la unicidad para las coordenadas dex en B.
De laProposici´on (2.9), tenemos n
X
j=1 aijα′
j =αi (∀i∈ {1,2, . . . , n}).
A estas f´ormulas se las conoce con el nombre de las ecuaciones del cambio de base.
Si lo expresamos de forma matricial tenemos:
u′ 1 u′ 2 ... u′ n
=At
u1 u2 ... un
con A= (aij), (i, j = 1,2, . . . , n) =⇒
α1 α2 ... αn =A α′ 1 α′ 2 ... α′ n B A t
−→ B′ =⇒ (x)B′ −→A (x)B
A: Matriz del cambio de base.
2.5.
Rango de un sistema de vectores
Se llama rango de un sistema de vectores S = {u1, u2, . . . , up}, de un n´umero finito de vectores de un cierto espacio, a la dimensi´on del subespacio que engendra S; el rango se denota poniendo rang S, de modo que
rang S = dimKL(S)
el rango de S es, pues, el mayor n´umero de vectores linealmente independientes que hay enS.
2.6.
Bibliograf´ıa
Aplicaciones lineales
3.1.
Homomorfismos
Los homomorfismos son aplicaciones lineales que conservan la suma y el producto escalar. Es decir, las aplicaciones lineales son aquellas que respetan la estructura de espacio vectorial. Definici´on 3.1 (Aplicaciones lineales).
Dados dos espacios vectoriales V(K), V′(K), entenderemos por una aplicaci´on lineal (u
homo-morfismo de espacios vectoriales) deV(K)en V′(K)toda aplicaci´onf :V −→V′ que verifique
las dos siguientes condiciones:
1. f(x+y) = f(x) +f(y), ∀x, y ∈V. 2. f(λx) =λf(x), ∀λ ∈K, ∀x∈V.
Si adem´as de lineal f es inyectiva diremos que es una aplicaci´on lineal inyectiva o mono-morfismo de espacios vectoriales. Si f es sobreyectiva diremos que es una aplicaci´on lineal sobreyectiva o un epimorfismo de espacios vectoriales. Si f es biyectiva se dir´a aplicaci´on lineal biyectiva o isomorfismo de espacios vectoriales. Una aplicaci´on linea de V(K) en si mismo se dice endomorfismo de V. Un endomorfismo biyectivo se llama automorfismo de V(K).
Ejemplo 7
Si U1 y U2 son dos subespacios suplementarios de un espacio vectorial V (V = U1⊕U2), se
llaman proyeccionesa las aplicaciones
p1 :V −→U1
u7→u1
, p2 :V −→U2
u7→u2
,
donde u = u1+u2 es la descomposici´on de un vector u ∈ V, donde u1 ∈U1, u2 ∈ U2. Estas
proyecciones son, ambas, aplicaciones lineales.
De entre todas las posibles aplicaciones lineales de un espacio vectorial V en otro V′, hay dos
que son triviales:
• La aplicaci´on nula0 :V −→V′, en la que 0(u) = 0, ∀u∈V.
• La aplicaci´on identidadi:V −→V′, en la quei(u) =u, ∀u∈V.
Sea f : C −→ C definida por f(z) = ¯z (conjugado de z). Entonces f verifica f(z+z′) = f(z) +f(z′), ∀z, z′ ∈C,f(λz) =λf(z), ∀λ∈R, ∀z∈C, perof(λz) = ¯λf(z) si λ∈Cen lugar
de ser λ∈R.
SeaV el espacio vectorial de las funciones deRenRdos veces derivables yF(R,R) el de todas las funciones de R en R (el primero es claramente un subespacio del segundo). La aplicaci´on
D : V −→ F(R,R) definida por D(f) = f′′+f siendo f′′ la segunda derivada de f, verifica D(f +g) =D(f) +D(g), ∀f, g∈V,D(λf) =λD(f), ∀λ∈R, ∀f ∈V.
Proposici´on 3.1.
Sean V(K) y V′(K) dos espacios vectoriales y f : V −→ V′ una aplicaci´on. Entonces, f es
lineal si y s´olo si cumple:
f(ax+by) =af(x) +bf(y); ∀a, b∈K, ∀x, y ∈V. Proposici´on 3.2.
Sea f :V −→V′ una aplicaci´on lineal de V(K) en V′(K). Entonces:
1. f(0) = 0′, f(−x) =−f(x), ∀x∈V.
2. f m
X
i=1 aixi
!
= m
X
i=1
aif(xi), ai ∈K, xi ∈V (∀i∈ {1, . . . , m}).
3. Ker(f) = {x∈V : f(x) = 0′} es un subespacio vectorial de V. Adem´as, f es inyectiva ⇔ Ker(f) = {0}.
4. Im(f) ={f(x) : x∈V}es un subespacio de V′. Adem´as,f es sobreyectiva ⇔ Im(f) =
V′.
Ejemplo 8
Considera la aplicaci´on lineal f :R3 −→R2 definida por:
f(x, y, z) = (x, y)
Los vectoresu= (1,0,0) yv= (0,1,0) son linealmente independientes y tambi´en lo son sus im´agenes
f(u) = (1,0) y f(v) = (0,1). Sin embargo, los vectores a = (1,0,1) y b = (2,0,0) tambi´en son independientes, pero sus im´agenes f(a) = (1,0) y f(b) = (2,0) son dependientes. De este ejemplo se desprende que, en general, la independencia de vectores no es una propiedad que se conserve por las aplicaciones lineales.
Proposici´on 3.3.
1. Si U′ es un subespacio vectorial de V′ =⇒ f−1(U′) es un subespacio vectorial de V.
2. Si U es un subespacio vectorial deV =⇒ f(U) es un subespacio vectorial de V′.
Definici´on 3.2 (Nulidad y rango).
Dada una aplicaci´on lineal f :V −→V′ es costumbre llamar a dimKKer(f) la nulidad de f,
nulidad(f), y adimKIm(f)el rango def, rango(f). Obs´ervese que0≤nulidad(f)≤dimKV,
y a 0≤rango(f)≤dimKV′. Adem´as,
f es inyectiva ⇔nulidad(f) = 0
f es sobreyectiva ⇔rango(f) = dimKV′
f es la aplicaci´on nula (f(x) = 0′,∀x∈V)⇔nulidad(f) = dimKV ⇔rango(f) = 0.
SiV(K) es un espacio vectorial con dimKV =nyB ={u1, u2, . . . , un}es una base ordenada
suya, podemos definir una aplicaci´on bB:Kn −→V, mediante bB(a1, a2, . . . , an) =Pn
i=1aiui.
Ejercicio 1
Demostrar quebBes lineal, y quebBes un isomorfismo deKn(K)enV(K). Y queKer(bB)es el cero deKn(K),
es decir, que los vectores deBson independientes y que su imagen es todoV, que forman un sistema generador.
Proposici´on 3.4.
Sean V(K), V′(K) y V′′(K) espacios vectoriales y f : V −→ V′, g : V′ −→ V′′ aplicaciones
lineales. Entonces g◦f :V −→V′′ tambi´en es una aplicaci´on lineal
Si V y V′ son espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo y con la misma dimensi´on, es
posible encontrar un isomorfismo de V(K) en V′(K).
Proposici´on 3.5.
Sea1 f :V −→V′ una aplicaci´on lineal entre espacios vectoriales V(K), y V′(K), entonces
1. El conjunto imagen f(V) es un subespacio vectorial V′, que se llama imagen de la
aplicaci´on lineal f y se denota por Im(f).
2. Si {u1, u2, . . . , up} es un sistema generador de V, entonces {f(u1), f(u2), . . . , f(up)} es un sistema generador de f(V) =Im(f). Se llama rango de f a:
rango(f) = dimK(Im(f)) =rango(f(u1), f(u2), . . . , f(up)))
3. El conjunto Ker(f) = {u∈V : f(u) = 0} es un subespacio vectorial de V, y se llama
n´ucleo de la aplicaci´on lineal f.
4. Si el espacio vectorial V tiene dimensi´on finita, se verifica2 que:
dimKKer(f) + dimKIm(f) = dimKV
1Demostraci´on: [3], p.153.
Ejemplo 9
Seaf :R3−→R4 la aplicaci´on lineal definida por
f(x, y, z) = (x+z, y−z, x+y, x−y+ 2z)
Como e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), ye3= (0,0,1) es un sistema generador deR3, los vectores
u1=f(e1) = (1,0,1,1), u2 =f(e2) = (0,1,1,−1), u3 =f(e3) = (1,−1,0,2)
generan f(R3) =Im(f), comou
3 =u1−u2 resulta que
Im(f) =L({u1, u2}) ={(α, β, α+β, α−β) : α, β ∈R} ⊂R4
El n´ucleo def est´a formado por
x+z=y−z=x+y=x−y+ 2z= 0⇔x=−y=−z Ker(f) ={(γ,−γ,−γ) : γ ∈R} ⊂R3
dimRR3 = 3, dimRIm(f) = 2, dimRKer(f) = 1
Teorema 3.1. Sean3 V(K), V′(K) espacios vectoriales y B = {u
1, u2, . . . , un} una base de V(K), (u′
1, . . . , u′n)∈V′ ×. . .×V′. Entonces
∃!f :V −→V′ (lineal) tal quef(ui) =u′
i, ∀ ∈ {1, . . . , n}
Adem´as,
f es inyectiva ⇔ f∗(B) es linealmente independiente.
f es sobreyectiva ⇔ f∗(B) genera a V′.
f es biyectiva ⇔ f∗(B) es una base de V′.
Ejemplo 10
Seaf :R3−→ M
2×2(R) una aplicaci´on lineal de la que se sabe que
f(1,0,0) =
3 1 2 4
, f(0,1,0) =
1 −1 −5 5
, f(0,0,1) =
2 −2 −3 4
Como los vectores {e1, e2, e3}forman una base deR3 (base can´onica), se puede asegurar que hay una
y s´olo una aplicaci´on f que cumple lo exigido, dicha aplicaci´on est´a dada por:
f(x, y, z) =xf(1,0,0) +yf(0,1,0) +zf(0,0,1) =
3x+y+ 2z x−y−2z
2x−5y−3z 4x+ 5y+ 4z
Este resultado nos dice que conocidas las im´agenes de los vectores que forman una base de V(K) queda completamente determinada la aplicaci´on lineal (es decir, la imagen de cualquier otro vector).
Las aplicaciones lineales inyectivas son las que conservan la dimensi´on, las que tienen por n´ucleo al subespacio nulo, las que transforman una base cualquiera del espacio origen en una base del espacio imagen.
Corolario 3.1. Sea4 f :V −→V′ una aplicaci´on lineal. Entonces
dimKV =nulidad(f) +rango(f)
Corolario 3.2. Sean U yW dos subespacios de V(K). Entonces
dimK(U +W) + dimK(U ∩W) = dimKU+ dimKW
Proposici´on 3.6.
Sean5 V(K), V′(K) espacios vectoriales con la misma dimensi´on n, y f :V −→V′ una
aplica-ci´on lineal. Entonces son equivalentes:
f es biyectiva.
f es inyectiva.
f es sobreyectiva.
nulidad(f) = 0
rango(f) = n
Sea f :V −→V′ (aplicaci´on lineal) entre espacios vectoriales, sobre el mismo cuerpoK. Si
B ={e1, . . . , en}es una base deV, entoncesf es inyectiva si y s´olo sif(B) = {f(e1), . . . , f(en)} es una base de f(V), es decir, si y s´olo si f(B) es un sistema independiente de vectores de V′.
SeanV(K) yV′(K) espacios vectoriales isomorfos. Seaf :V −→V′un isomorfismo deV en
V′. SiB ={u1, u2, . . . , un}es una base ordenada deV entoncesB′ ={f(u1), f(u2), . . . , f(un)}
es una base ordenada de V′. Uno puede comprobar que si un vector x ∈V tiene coordenadas
(a1, a2, . . . , an) en B, entonces f(x) tiene coordenadas (a1, a2, . . . , an) en B′.
Adem´as podemos construir muchos isomorfismos6 de V en V′ (siendo estos espacios iso-morfos). En efecto, para cada base ordenada B ={u1, u2, . . . , un} deV, y cada base ordenada B′ ={u′
1, u′2, . . . , u′n} deV′, poniendo ui 7→u′i, ∀i ∈ {1,2, . . . , n}, tenemos un isomorfismo de V en V′. De modo que parece conveniente cuando estemos trabajando con un espacio
vecto-rial y otro isomorfo con ´el, no perder de vista c´omo identificamos uno con otro, es decir, el isomorfismo que estamos utilizando.
4Demostraci´on:[1], p.118. 5Demostraci´on:[1], p.119.
6Un isomorfismo que s´olo depende de la naturaleza de V y V′
se dice natural (no utiliza bases ni otro elemento extra fuera deV yV′
para su definici´on). En este caso,V yV′
Proposici´on 3.7.
Sea7 f : V −→ V′, aplicaci´on lineal entre los espacios vectoriales V(K) y V′(K). Se verifica
que:
Si V tiene dimensi´on finita =⇒ f es inyectiva ⇔dimKV = dimKIm(f).
SiB ={u1, u2, . . . , un}es una base deV =⇒ fes inyectiva⇔ f(B) ={f(u1), f(u2), . . . , f(un)}
es una base de Im(f), es decir, ⇔ f(B) es un independiente de vectores de V′.
Ejemplo 11
La aplicaci´on lineal f :R3 −→R4 definida mediante
f(x, y, z) = (x, x+y, y+z, x+y+z)
es inyectiva ya que las im´agenes de los vectores de la base can´onica {e1, e2, e3}de R3 son los vectores
f(1,0,0) = (1,1,0,1), f(0,1,0) = (0,1,1,1), f(0,0,1) = (0,0,1,1) que forman una base de la imagen, ya que son linealmente independientes, pues:
rango(f(e1), f(e2), f(e3)) =rango
1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1
= 3
La inyectividad de f tambi´en se pod´ıa haber comprobado viendo queKer(f) = 0, as´ı es:
Ker(f) ={x= 0, x+y= 0, y+z= 0, x+y+z= 0}={0}
Cuando se dispone de una aplicaci´on lineal, entre dos espacios vectoriales V y V′, que
adem´as es biyectiva, puede considerarse que V y V′ son iguales. Desde el punto el punto
de vista de los espacios vectoriales, no hay nada que permita diferenciar a V de V′. Estas
aplicaciones lineales y biyectivas se llaman isomorfismos. Definici´on 3.3 (Isomorfismos).
Se llama isomorfismo a una aplicaci´on f : V −→ V′, entre los espacios vectoriales V(K) y
V′(K), que sea lineal y biyectiva. Sif :V −→V′ es un isomorfismo, los dos espacios vectoriales
se dicenisomorfos. Un isomorfismof :V −→V, de un espacio en s´ı mismo, recibe el nombre de automorfismo (AutK(V)).
Proposici´on 3.8.
La composici´on de dos isomorfismos es, tambi´en un isomorfismo.
Una aplicaci´on lineal f :V −→V′ es isomorfismo si y s´olo si:
Im(f) = V′ y Ker(f) ={0}
Si V tiene dimensi´on finita, una aplicaci´on lineal f : V −→ V′ es un isomorfismo ⇔ dimKV = dimKIm(f) = dimKV′.
Si V tiene dimensi´on finita, una aplicaci´on lineal f : V −→ V es automorfismo ⇔ es inyectiva ⇔ es sobreyectiva.
Si f : V −→ V′ es un isomorfismo Longrightarrow f−1 : V′ −→ V tambi´en es un
isomorfismo.
Dos espacios vectoriales de dimensi´on finita sobre el mismo cuerpo K son isomorfos ⇔ tienen la misma dimensi´on
V(K)≃V′(K)⇔dim
KV = dimKV′
Demostraci´on:[1], p.159. Otra demostraci´on en [3], p.118.
Ejemplo 12
1. Sea V un espacio vectorial, sea U un subespacio de V, y sean U1 y U2 dos subespacios
suple-mentarios de U respecto de V, esto es, tales que V =U ⊕U1 y V =U ⊕U2. Para cualquier
u1 ∈U1, como entonces u1 ∈ V, existen unos ´unicos u ∈ Uy u2 ∈ U2 tales que u1 = u+u2;
pues bien, la aplicaci´on f :U1 −→ U2 definida mediante f(u1) =u2 es un isomorfismo de U1
en U2.
2. El espacio vectorialRnes isomorfo al espacio vectorialV de los polinomios de grado menor que
n. Un isomorfismo entre ellos lo es la aplicaci´on f :V −→Rn dada por
f
n−1
X
i=0
aixi
!
=f(a0+a1x+· · ·+an−1xn−1) = (a0, a1, . . . , an−1)
3.2.
Expresi´
on anal´ıtica de una aplicaci´
on lineal
Sean V(K) y V′(K) dos espacios vectoriales. Sea B = {u1, u2, . . . , un} una base de V en
la que las coordenadas de x ∈V son x = (x1, x2, . . . , xn). Sea B′ ={u′
1, u′2, . . . , u′m} una base de V′ en la que las coordenadas de x′ ∈ V′ son x′ = (x′
1, x′2, . . . , x′m). Si f : V −→ V′ es la aplicaci´on lineal que transforma {ui} en f(ui) = Pm
j=1aiju′j (i = 1,2, . . . , n), entonces la imagen x′ =f(x) de unx∈V viene dada, por sus coordenadas, mediante
x′
j = n
X
i=1
x′ =f(x) =
n
X
i=1
xif(ui) = n X i=1 xi m X j=1 aiju′
j = = m X j=1 n X i=1 xiaij ! u′ j = m X j=1 x′
ju′j =⇒x′j = n
X
i=1 xiaij
Mt
≡MBB′(f). Matriz asociada a la aplicaci´on lineal f con respecto a las bases B, B′.
Haciendo un tratamiento matricial, tenemos:
f(B) =MB′; M = (aij) (M ∈ M
m×n(K)), B′ ≡(u′1, u′2, . . . , u′m)t
f(B)∈(f(u1), f(u2), . . . , f(un))t, (B′
∈ Mm×1(K), f(B)∈ Mn×1(K))
Mt
≡(at
ij)≡(aji); (i= 1,2, . . . , m),(j = 1,2, . . . , n)
X′ =MtX, (X = (x1, x2, . . . , xn)t, X′ = (x′
1, x′2, . . . , x′m)t)
X ∈ Mn×1(K), X′ ∈ Mm×1(K)
f(B)≡ f(u1) f(u2) .. . f(un) =
a11 a12 · · · a1m
a21 a22 · · · a2m ..
. ... . .. ... an1 an2 · · · anm
u′ 1 u′ 2 .. . u′ m
≡MB′
X′ ≡ x′ 1 x′ 2 ... x′ m =
a11 a21 · · · an1
a12 a22 · · · an2 ... ... ... ... a1m a2m · · · anm
x1 x2 ... xn
Haciendo un esquema
B′ −→M f(B)
(x)B M
t
Ejemplo 13
Consideremos la aplicaci´on lineal f :R3−→R4 en la que
f(1,0,0) = (3,2,−1,1), f(1,1,0) = (5,−4,1,−2), f(1,1,1) = (2,1,−6,3)
Recurriendo a la linealidad def se obtienen f´acilmente las im´agenes de los vectores de la base can´onica de R3.
f(1,0,0) = (3,2,−1,1)
f(0,1,0) =f(1,1,0)−f(1,0,0) = (2,−6,2,−3)
f(0,0,1) =f(1,1,1)−f(1,1,0) = (−3,5,−7,5) Por lo tanto, se obtiene que f(x1, x2, x3) = (y1, y2, y3, y4) viene dado por
y1= 3x1+ 2x2−3x3, y2= 2x1−6x2+ 5x3
y3=−x1+ 2x2−7x3, y4 =x1−3x2+ 5x3
Sean V(K) y V′(K) espacios vectoriales de dimensi´on finita. Sea B = {u1, u2, . . . , un}
una base de V, y sea B′ = {u′
1, u′2, . . . , u′m} una base de V′. Llamaremos (x1, x2, . . . , xn) e (x′
1, x′2, . . . , x′m) a las coordenadas de x∈V y de x′ ∈V′ (respectivamente). Si f : V −→ V′ es una aplicaci´on lineal en la que f(ui) = Pm
j=1aiju′j, (i = 1,2, . . . , n), entonces x7→x′ =f(x) admite la siguiente ecuaci´on matricial respecto de las bases B y B′.
x′ 1 x′ 2 .. . x′ m =
a11 a21 · · · an1
a12 a22 · · · an2 ..
. ... . .. ... a1m a2m · · · anm
x1 x2 .. . xn
X′ =Mt
X M = (aij), (i= 1,2, . . . , n) (j = 1,2, . . . , m)
Se dice que M = (aij) es la matriz de la aplicaci´on lineal f respecto de las bases B y B′.
Definici´on 3.4.
Dada una aplicaci´on lineal f :V −→V′, y dadas B ={u
1, u2, . . . , un}, B′ ={u′1, u′2, . . . , u′m}
bases ordenadas de V y V′ respectivamente, se define la matriz de f respecto de las bases B de
V yB′ de V′, M(f, B, B′), por
MBB′(f)≡M(f, B, B′) =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... ... ...
am1 am2 · · · amn
donde8
f(ui) = m
X
j=1 aiju′
j (∀j ∈ {1, . . . , n})
SeaMm×n(K) el conjunto de las matrices de orden m×n sobre K. Si V yV′ son espacios vectoriales sobre K con dimKV =n, dimKV′ =m, la aplicaci´on
FB,B′ : HomK(V, V′) −→ Mm×n(K) f 7→M(f, B, B′)
es biyectiva9.
Cada matriz de orden m×n sobre K es la matriz de una ´unica aplicaci´on lineal de V en V′ fijadas las bases ordenadas B en V y B′ en V′.
Proposici´on 3.9.
SeanV(K), V′(K)espacios vectoriales, y seaHomK(V, V′)el conjunto de todas las aplicaciones
lineales de V en V′. Si definimos una suma y un producto por escalares en HomK(V, V′) por
(f+g)(x) =f(x) +g(x), ∀x∈V (λf)(x) =λf(x),∀x∈V
siendo f, g ∈ HomK(V, V′), y λ ∈K, tenemos que HomK(V, V′) es un espacio vectorial sobre
K.
Proposici´on 3.10.
Sean10 V(K), V′(K) espacios vectoriales finitamente generados, entonces HomK(V, V′) es
fini-tamente generado y
dimKHomK(V, V′) = dimKV dimKV′
Proposici´on 3.11.
SeaV un espacio vectorial sobreK. SeaX un conjunto yF :X −→V una aplicaci´on biyectiva. Si definimos una suma en X, y un producto de escalares de K por elementos de X mediante
x+y=F−1(F(x) +F(y)), λx=F−1(λF(x))
∀x, y ∈X, ∀λ∈K, entonces X es un espacio vectorial sobre K, F un isomorfismo de espacios vectoriales, y adem´as, esta definici´on de las operaciones de X es ´unica con la propiedad de que
F sea un isomorfismo.
8Expresamos como matrices columnas a los vectores. 9Demostraci´on: [1],p.123,124.
