RESOLVER PROBLEMAS - Pensamiento Algebraico

HOJA DE CAPTURA DE

Método de correspondencia usado __

inicialmente __ exclusivamente __ algunas veces __ lo guiaron a la solución __ con ayuda __ sin ayuda __

Comentarios:__________________________

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Método algebraico usado __ inicialmente __ exclusivamente __ algunas veces __ lo guiaron a la solución __ con ayuda __ sin ayuda __

Variables utilizadas __ x __ y representación de __ una ecuación __ un sistema de ecuaciones __

__ Método usado para resolver el sistema de ecuaciones

Comentarios:__________________________

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Monitoreo o autoevaluación

__ Planes alternativos mencionados o considerados.

Comentarios:__________________________

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__ Progreso con la estrategia seleccionada.

Evidencia:____________________________

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Comentarios:__________________________

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__ Conexiones matemáticas consideradas o discutidas:

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Comentarios:__________________________

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Resumen

__ El estudiante resolvió el problema sin ayuda.

__ El estudiante resolvió el problema, pero necesitó ayuda.

__ El estudiante no resolvió el problema aun con ayuda.

Tiempo de trabajo:______________________________

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Solución: min__________________________

visión retrospectiva:

min___________________________

Descripción de los métodos usados y el orden.

Estimación del tiempo.

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Otros aspectos importantes que deben contemplarse en la evaluación del aprendizaje de los estudiantes son:

(I) La participación del estudiante en el diseño de problemas proyectos. Es decir, problemas en donde el estudiante tenga que colectar cierta información de fuentes diversas como periódicos, censos, reportes climáticos o de centros especializados. Esta información le servirá para resolver problemas en contextos que involucren datos específicos.

(II) La escritura de un diario personal. Aquí el estudiante reportará semanalmente sus experiencias en la resolución de problemas y el aprendizaje de las matemáticas.

Identificará, por ejemplo, cuáles fueron las dificultades encontradas al resolver los problemas en ese periodo. Además, se reportarán los aspectos matemáticos que les fueron de mayor o menor interés.

(III) Es importante que el estudiante participe en el proceso de formular problemas durante y fuera de la instrucción. En esta dirección, se sugiere que reformule o diseñe problemas que involucren las siguientes variables:

a) Se le dé un problema al estudiante y en base al enunciado se le pide que formule un problema similar y que lo resuelva.

b) Se le proporcione una información incompleta, se le pide que complete la información y que plantee un problema y que lo resuelva.

c) Se les pide que diseñen sus propios problemas, en donde ellos mismos tienen que seleccionar información adecuada.

Aquí, se les puede indicar el contexto del problema, es decir, un problema de precios, de tiempo, de patrones, de demostración, etcétera.

d) Se les dan problemas con un exceso de información y se les pide que identifiquen y reestructuren el problema y que lo resuelvan.

e) Se colocan semanalmente en algún lugar del salón de clases una lista de 2 o 3 problemas para que se resuelvan (los problemas de la semana); la responsabilidad de diseñar estos problemas puede ser por equipos y se puede dar un espacio en la clase para discutir sus soluciones.

f) Se proporciona un problema resuelto. La solución presenta un problema conceptual o de procedimiento. Se le pide al estudiante que identifique el error y que lo resuelva correctamente.

EJEMPLOS DE PROBLEMAS Y SOLUCIONES

En este capítulo se presenta una lista de problemas que pueden servir de ejemplos para discutir aspectos relacionados con las estrategias, el uso de representaciones y el contenido matemático. Varios de estos ejemplos fueron diseñados teniendo en cuenta ideas generales de las matemáticas y no un contenido curricular específico. Sin embargo, se espera que el lector también diseñe su propia lista de problemas teniendo como punto de partida los que se incluyen aquí. Es importante mencionar que el nivel de dificultad de los problemas es amplio. Es decir; abarcan desde el nivel primario hasta el nivel de los primeros semestres de universidad.

ALGUNOS PROBLEMAS CON DIVERSOS MÉTODOS DE SOLUCIÓN O VARIAS

SOLUCIONES

Una preocupación constante de los maestros que identifican un potencial en el uso de la resolución de problemas para el aprendizaje de las matemáticas es el tipo de problemas para el aprendizaje de las matemáticas es el tipo de problemas que deben considerar en la instrucción.

Bajo este capítulo se presenta una lista de problemas que pueden ser un vehículo para la discusión de aspectos relacionados con el contenido matemático, estrategias de solución, representaciones, análisis de información y viabilidad de la solución o soluciones.

Un propósito, al enlistar estos problemas, es mostrar que en seleccionar o formular problemas con un potencial de discusión tanto para clase como para el trabajo fuera de clase no es un proceso sofisticado.

Es importante mencionar el contenido matemático de los problemas incluye desde el nivel elemental hasta los primeros semestres de universidad. Sin embargo, los problemas no están enlistados en ese orden y en gran parte se presentan algunas de las soluciones.

Se espera que el lector encuentre otras soluciones a estos problemas. Además, se invita al lector a que hagan su propia lista de problemas y discutan las ideas y estrategias de resolución con sus compañeros porque, como ya se ha recalcado anteriormente, es

fundamental que los estudiantes formulen o rediseñen sus propios problemas.

Problema 1. ¿Puedes obtener el número 525 a partir de una suma de números consecutivos? Justifica tu respuesta.

Solución: Un camino para resolver este problema puede ser el considerar la suma

1 + 2 + 3 +… + 32 = 528.

Como el resultado es mayor que 525, es necesario hacer algunos ajustes teniendo en cuenta la información del enunciado. Como la diferencia entre 528 y 525 es tres, es pertinente quitar 1 + 2 para que se cumpla la condición de que sean consecutivos.

Otra forma puede ser el pensar si existen dos (o tres, cuatro, cinco, etc.) números consecutivos que sumados den 525. La siguiente tabla puede ayudar a organizar la información asociada a esta idea.

Al observar la tabla, se puede conjeturar que no existe solución cuando el número de términos es divisible entre 4. Lo cual es cierto, ya que si el número de términos es divisible entre 4, entonces habrá un número par de números consecutivos tales como [a + (a + 1)] + [(a + 2) + (a + 3)] cuando se tengan cuatro términos [a + (a + 1)] + [(a + 2) + (a + 3)] + [(a + 4) + (a + 5)] + [(a + 6) + (a + 7)], en el caso de tener ocho términos.

Cada suma de dos números consecutivos será impar, independientemente de que a sea par o impar y toda la suma será la de un número par de números impares, la cual siempre es par. Así, la suma no puede ser 525, ya que ésta es impar.

Problema 2. Encontrar los valores de a y b de tal manera que la línea recta 2x + 3y = a sea tangente a la gráfica de f(x) = bx² en el punto donde x = 3.

Solución: La ecuación 2x + 3y = a representa una familia de líneas rectas con la misma pendiente, m = 2/3. Al escribir la ecuación como y= (-2/3)x + a/2, se obtiene explícitamente tal pendiente, y a/2 es la ordenada de la intersección de la línea con el

eje y. La expresión f(x) = bx² representa una familia de parábolas con vértice en el origen;

el signo de b determina la dirección hacia donde se abre la parábola (hacia arriba o hacia abajo). El valor de b determina el tamaño de la abertura.

Cualquier línea recta tangente a f(x) en x tendrá f’(x) = 2bx como pendiente (interpretación geométrica de la derivada).

Por lo tanto, esta pendiente debe ser la misma que la de la línea recta dada, esto es, (-2,3).

Como x = 3, 2b(3) = -2/3 y por lo tanto b = -1/9.

Cuando x = 3 y b = -1/9, se obtiene que f(3)

= -1; como la línea recta tangente toca a la gráfica de f en el punto (3, – 1), al sustituir los valores x = 3 y y = -1 en la ecuación de la recta se obtiene que a = 3. Por lo tanto, los valores a = 3 y b = -1/9 dan como ecuación de la recta 2x + 3y = 1 y de la parábola f(x)

= (-1/9) x². Es conveniente graficar ambas ecuaciones para verificar los resultados.

Problema 3. Encontrar todos los rectángulos cuyas medidas de sus lados estén dados en números enteros (positivos) y cuya área y perímetro sean numéricamente iguales.

Solución:

(a) Método algebraico. Si a y b representan los lados de los rectángulos entonces: A = a x b y P = 2a + 2b. Ahora, como A debe ser igual a P, se tiene que a x b

= 2a + 2b, al despejar a se obtiene que a = (2b)/(b-2). El problema ahora es decidir para qué valores enteros de b se obtienen valores enteros de a. 2b/(b-c) se puede escribir como 1 + (b + 2)/(b – 2); para que esta expresión sea un entero, (b + 2)/(b – 2) debe ser un entero. Se observa que los candidatos deben ser mayores que 2. Al explorar con 3, 4, 5, 6, 7 y 8, se observa que 3, 4 y 6 dan un valor entero para a, y de 7 es imposible obtener un entero. Esto se debe a que la diferencia entre el numerador y el denominador es una constante.

(b) Método de tabulación:

En virtud de que el área aumenta más rápida que el perímetro, no se necesita avanzar más.

Problema 4. En el rectángulo de la siguiente figura se selecciona un punto P arbitrario sobre la diagonal. A partir de P se trazan perpendiculares a los lados del rectángulo.

Estas perpendiculares cortan a los lados en los puntos E, F, G y H respectivamente. ¿Qué se puede decir del área del rectángulo AEPG con respecto al área del rectángulo DFPH?

Solución: En la representación gráfica se nota que la diagonal del rectángulo lo divide en dos regiones con áreas iguales. De donde se observa que el ∆GPC es congruente al

∆HPC y que el ∆EBP es congruente al ∆FBP.

De aquí que el área de AEPG es la misma que el área de DFPH (en este ejemplo resalta el poder de la representación).

El siguiente es otro ejemplo donde es importante analizar la representación del problema:

Problema 5. ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 30 estudiantes haya al menos dos que tengan la misma fecha de cumpleaños?

Solución: La probabilidad se puede calcular asumiendo que cada fecha es igualmente probable. El procedimiento se basa en calcular la probabilidad de que 30 gentes escogidas al azar tengan diferente fecha de cumpleaños, y esta probabilidad se le resta a 1. Es decir,

Problema 6. Tres viajeros se hospedan en un hotel y pagan $10.00 cada uno, (o $30.00 en

total). Después, el dueño del hotel se da cuenta de que les ha cobrado incorrectamente. Le pide a su ayudante que les regrese $5.00. El ayudante se da cuenta de que no puede dividir $5.00 entre los tres y decide darles $1.00 a cada viajero y quedarse con los $2.00 restantes. Así el costo del hospedaje fue de $9.00 por cada viajero ($27.00 en total). Los $27.00 pagados por el cuarto más los $2.00 que el ayudante tomó son $29.00. Sin embargo, los viajeros pagaron $30.00 originalmente ¿Qué pasó con el peso faltante?

Solución: Cada viajero pagó originalmente

$10, lo que equivale a un total de $30.

Después cada uno recibió $1, lo que da un total de $27. Ahora, de los $27 pagados, $25 fueron para el hotel y $2 para el ayudante.

Por lo tanto, decir que $27 fueron para el hotel y $2 para el ayudante no es correcto.

Los $27 incluyen también los $2 que tomó el ayudante.

Problema 7. José trabaja en una librería después de sus horas de clase. Su salario es de $6.00 por hora si trabaja 15 horas a la semana. Si trabaja más de 15 horas, se le paga su salario más la mitad por cada hora extra. ¿Cuántas horas debe trabajar José para que gane $135.00 durante una semana?

Solución: Por 15 horas que trabaje José en una semana se le pagarán 90 pesos (6 x 15 = 90). Si desea ganar $135 debe trabajar horas extras, las cuales se pagan a $9 cada una.

Como 135 – 90 = 45, José necesita trabajar 5 horas más. Es decir, para ganar $135 necesita trabajar un total de 20 horas a la semana.

Problema 8. Un granjero amarra un chivo en la esquina exterior de un establo de 10 por 20 metros. La cuerda con que lo ata es de 25 metros. El chivo puede pastar en cualquier lugar fuera del establo hasta donde la cuerda alcance. ¿Cuál es la medida del área donde el chivo puede pastar?

Solución (se deja al lector). Sugerencia:

Trate de representar el problema gráficamente.

Problema 9. Explica el siguiente patrón y generalízalo:

321 – 123 = 198 432 – 234 = 198 543 – 345 = 198

Solución (se deja al lector). Sugerencia: El primer número se puede representar como (k

= 2) 100 + (k + 1) 10 + k y el segundo como k(100) + (k + 1) 10 + (k +2), donde k puede ser 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ó 7.

Problema 10. Pruebe que si n es un entero entonces n(n4 – 1)/5 es un entero.

Solución: se construye la siguiente tabla.

El residuo de dividir n entre 5 puede ser 0, 1, 2, 3 o 4. En cada caso, el residuo de dividir n4 entre 5 es 0, 1, 1, 1, 1. Así, n es divisible entre 5 (y también n(n4 -1)/5) ó n4 – 1 es divisible entre 5 (y aquí también n(n4 – 1)/5).

Por lo tanto, n(n4 – 1)/5) siempre será un entero.

Problema 11. Uri Geller, un famoso

“adivinador”, puede decir el resultado de cualquier partido de fútbol antes de que empiece el juego. ¿Puedes explicar cuál es su secreto?

Solución. Sugerencia: Analizar la información.

¿Cuál es el marcador del partido antes de que empiece el juego?

El marcador siempre es 0-0.

Problema 12. En la papelería de la escuela hubo una oferta para vender dos tipos de lapiceros. Algunos se vendieron a $4.00 y otros a $5.00 En 15 minutos, se vendieron 21 lapiceros. (A tu maestro se le olvidó dar más información; tampoco escribió la pregunta.

Completa la información del problema y resuélvelo). Este es un ejemplo de problemas en los que no se plantea una pregunta o no existe un hecho relevante.

I. Después de que el estudiante resuelva el problema, pedirle que diseñe uno similar o relacionado.

II. Plantear al estudiante un problema que contenga un error conceptual o de procedimiento y pedir al estudiante que encuentre ese error.

III. Plantear problemas para que el estudiante los explique sin necesidad de resolverlos (método del teléfono).

Problema 13. Diez presidentes se reúnen para discutir asuntos económicos de sus países. Antes de empezar la reunión, cada presidente se saluda con cada uno de los otros estrechándose la mano. Un periodista quiso contar cuántos saludos de mano ocurrieron pero no le dio tiempo de contarlos. Dile al periodista cómo contar todos los saludos de mano entre estos presidentes.

Solución (se deja al lector). Sugerencia:

Representa el problema gráficamente (usa una circunferencia).

Problema 14. Una compañía de bebidas refrescantes empaca sus productos en cajas.

Las empaca como se muestra en la figura de tal manera que entran exactamente 40 botellas. Un trabajador le sugiere al gerente de la compañía que se pueden acomodar 41 botellas en la misma caja con sólo reordenar las botellas. Demuéstrale al gerente que el trabajador está en lo cierto o que está equivocado.

Solución (se deja al lector). Sugerencia:

Piensa en otro arreglo y mide las dimensiones de la caja. El teorema de Pitágoras te puede ayudar a encontrar las dimensiones.

Problema 15. Un autobús escolar con capacidad para 36 personas, en su primera parada recoge a un estudiante; en la segunda recoge dos; en la tercera tres, y así sucesivamente. Si ningún estudiante se baja del autobús, ¿después de qué parada se llenará el autobús?

Solución: Una tabla puede ayudar a representar la información.

Se observa que el autobús se llenará en la octava parada.

Problema 16. Dos postes de teléfono de 10 m y 25 m de altura respectivamente se colocarán a una distancia de 40 m uno del otro. Los postes deben ser sujetados a un punto de apoyo situado entre ambos. ¿Dónde debe situarse el punto de apoyo para que la suma de las longitudes del cable de cada poste al punto de apoyo sea mínima?

Solución (se deja al lector), sugerencia: Use el principio de alineamiento descrito anteriormente).

b) Uso del cálculo: La longitud de cada cable se puede expresar como:

La longitud total del cable, se puede expresar en función de la distancia x desde el poste de 25 m. Es decir, w = BC + AC; de donde

Ahora, derivando se obtiene que:

Para encontrar el valor de la distancia mínima, se iguala la derivada a cero y se obtiene que x

= 28 (4/7), lo que indica que el punto de apoyo se colocará a 28(4/7) m de distancia del poste de 25 m.

Problema 17. Un cubo de madera que mide 10 cm. por lado se pinta de rojo. El cubo pintado se corta en cubos pequeños de 2 cm.

por lado. ¿Cuántos cubos de 2 cm. por lado no tienen pintada ninguna cara?

Solución (se deja al lector). Algunas preguntas que pueden ayudar:

1. ¿Dónde se ubican los cubos con tres caras pintadas?

2. ¿Dónde están los cubos con dos caras pintadas?

3. ¿Dónde están los cubos con una sola cara pintada?

4. ¿Dónde están los cubos que no tienen ninguna cara pintada?

Problema 18. Un libro se abre al azar. El producto de los números de las páginas en que se abrió el libro es 3192. ¿Cuáles son los números de las páginas en que se abrió el libro?

Solución: Algunas maneras de resolver este problema son:

I. Ensayo y error o aproximaciones sucesivas. Es decir, se intenta establecer un rango que contenga a la solución. Por ejemplo, al observar que y 50 x 50 = 2500 y 60 x 60 = 3600, determina que la respuesta se ubica entre los 50s. 54 x 55 y 55 x 56 se eliminan porque estos productos contienen ceros. 56 x 57 contiene el dígito 2 en las unidades; el resultado requerido se obtiene al hacer la multiplicación de estos números.

II. Otra forma de resolver este problema es por medio de una factorización. Por ejemplo, 3192 puede factorizarse como 2 x 2 x 2 x 7 x 57. de donde se observa que 56 x 57 da la solución requerida.

III. Otra forma es pensar en la raíz cuadrada de 3192. Es decir, dos números iguales cuyo producto sea 3192. Con la calculadora se obtiene que la raíz cuadrada de 3192 es 56.4977. Como queremos los números consecutivos, esto nos da una indicación de que los números pueden ser 56 y 57.

Problema 19. ¿Puedes encontrar dos números enteros positivos a y b cuyo producto sea un millón y ninguno de los dos números incluya ceros en su representación?

Solución:

(a) Factorización:

(b) Casos más simples: Considerar números más pequeños y encontrar sus factores de acuerdo a las condiciones del problema. Por ejemplo, la siguiente tabla nos orienta hacia la solución:

En la tabla se observa el patrón entre el número de ceros y la potencia de los factores.

De aquí que 1 000 000 se puede representar como 26 x 56.

Otro medio de resolución puede implicar el encontrar los factores primos del número 1 000 000 como punto de partida y esto produce la solución directamente.

Problema 20. En un pueblo, 2/3 de las mujeres están legalmente casadas con 3/5 de los hombres del pueblo. Todos los demás adultos no están casados. ¿Qué fracción de los adultos en el pueblo están casados?

Solución:

(a) Método de ensayo y error: La idea es buscar fracciones equivalentes a 2/3 y a 3/5 que tengan el mismo numerador. Por ejemplo, 6/9 y 6/10. En efecto, 6 mujeres casadas de un total de 9 y 6 hombres casados de un total de 10 cumplen las condiciones del problema y da un total de 12 personas casadas en un total de 19 adultos. Es decir, la fracción 12/19 corresponde a la población adulta que es casada.

(b) Método de fracciones equivalentes: La idea es enlistar las fracciones equivalentes a 2/3 y 3/5 fijarse en las que tengan el mismo numerador. Por ejemplo, 6/9 y 6/10; 12/18 y 12/20, e incluso y (n x 6)/(n x 9) y (n x 6)/(n x 10). Todos estos pares cumplen las condiciones del problema. Así:

F = (6+6)/(9+10)=12/19; F = (12+12)/(18+20)=(24/38)=12/19 (c) Existe una solución algebraica que se deja al lector.

Problema 21. ¿Cuál(es) de las siguientes pelotas no pertenece?

Una bola de billar.

Una pelota de béisbol.

Una pelota de baloncesto.

Una pelota de fútbol americano.

Solución: En este tipo de problemas lo que interesa es el argumento que el estudiante puede presentar para defender su solución y su disposición a aceptar que existen varias soluciones. Por ejemplo, la respuesta puede involucrar la forma, material, tamaño o consistencia de la pelota.

Problema 22. Los estudiantes de un grupo de sexto año se forman para abordar el medio de transporte que los llevará de excusión.

Cada coche puede transportar a 5 estudiantes.

Pedro ocupa el lugar 16 de la fila y Javier el 19. ¿Abordarán Pedro y Javier el mismo coche? Si el total de alumnos es 32, ¿cuántos coches se necesitan para transportar a todos los alumnos?

Solución: Una tabla puede ayudar a presentar la información del problema adecuadamente y a identificar la solución.

Se observa que Pedro y Javier se irán en el mismo coche y que se necesitan 7 coches para transportar a los 32 alumnos.

Problema 23. Para celebrar el inicio de las clases, los alumnos de sexto año deciden organizar una fiesta en la casa de María. Su hermano observa que al abrir la puerta por primera vez llega un invitado, la segunda vez llegan 3 invitados, al abrir por tercera ocasión la puerta entran 5 invitados, y así sucesivamente. ¿Cuántos invitados habrán entrado en la novena vez que abre la puerta?

¿Cuántas veces se ha abierto la puerta cuando han entrado 23 invitados?