de modo queuestá uniformemente enL1(T)y, por tanto, satisface la condición (1.24).
Su función frontera es 0, pues Pr(t) ! 0 cuando r ! 1 para cada t 6= 0 en [ ; ].
Sin embargo, u > 0, así que no puede ser la integral de Poisson de 0, la cual es idénticamente0.
Notemos, por otra parte, que
u=P( )
donde = 2 y es la medida de Dirac en 0. En efecto, P( ) rei = 1
2 Z
Pr( t)d (t) = Z
Pr( t)d (t) =Pr( ) =u rei y
F(t) = Z t
0
d (t) = (0) = 1:
Nuestro siguiente propósito es salirnos un poco del disco y explorar regiones más generales. Lo notable hasta aquí es que con la solución del problema de Dirichlet en el disco y con el uso de teoremas de Variable Compleja se puede dar solución al problema de Dirichlet en dominios planos muy generales.
1.3. Algunos resultados sobre funciones armónicas en do-
i.e.,
@
@xj
' = 0 en :
Proposición 1.35 Para n > 2, la función radial f(x) = jxj2 n es armónica en Rnn f0g.
Demostración. Tenemos que
@f
@xj = @
@xj 0
@ Xn j=1
x2j 1 A
2 n 2
= (2 n)xj
0
@ Xn j=1
x2j 1 A
n 2
y
@2f
@x2j = n(2 n)x2j 0
@ Xn j=1
x2j 1 A
n 2 2
+ (2 n) 0
@ Xn j=1
x2j 1 A
n 2
= n(2 n)x2jjxj n 2+ (2 n)jxj n: Luego,
f = Xn j=1
@2f
@x2j = n(2 n)jxj n 2 Xn j=1
x2j+ (2 n)jxj n Xn j=1
1
= n(2 n)jxj n+n(2 n)jxj n
= 0 parax6= 0.
De manera similar a como lo hicimos en el toro, introducimos el siguiente concepto:
De…nición 1.36 Una identidad aproximada enRnes una familia de funciones(' ) 2I dondeI es un conjunto dirigido y la familia satisface:
(i) Para cada 2I, se tiene R
Rn' (x)dx= 1:
(ii) 9K >0 tal que sup
2I
R
Rnj' (t)jdt K <1: (iii) 8 >0, se veri…caR
jxj> j' (x)jdx!0cuando “crece”en el conjunto dirigido I.
A continuación veremos que las funciones armónicas están caracterizadas por una importante propiedad. Se trata de la llamada propiedad del valor medio (PVM), la cual es bien conocida en el caso de dimensiónn= 2, por aplicación de los resultados para funciones holomorfas de una variable compleja.
Teorema 1.37 (Propiedad del Valor Medio para Funciones Armónicas) Sea u una función continua en un dominio Rn. Entonces, u es armónica en , u satisface la propiedad del valor medio en , esto es, para cada x0 2 y para cada r >0 tal que
Br(x0) =fx2Rn:jx x0j rg se tiene
u(x0) = 1 j n 1j
Z
n 1
u(x0+r )d (1.25)
donde n 1 = fx2Rn:jxj= 1g es la esfera unitaria en Rn, d es la medida de Lebesgue en n 1 y j n 1j=R
n 1d : Demostración.
())Supongamos que u es armónica en . Sean x0 2 yr >0 tal que Br(x0) =fx2Rn:jx x0j rg :
Por demostrar que se cumple (1.25). Como u es continua en el compacto Br(x0), tenemos queu es acotada en Br(x0). Es decir, existeK >0 tal que
ju(x)j K six2Br(x0) o bien,
ju(x0+ty)j K siy 2 n 1 ,t2(0; r]: Para cadat2(0; r]sea
f(t) = 1 j n 1j
Z
n 1
u(x0+t )d :
Como consecuencia del Teorema de Convergencia Dominada, tenemos que f es diferenciable en(0; r]y se puede derivar bajo el signo de la integral (ver [11], teo. 2.27, pp. 54-56). Así,
f0(t) = 1 j n 1j
Z
n 1
0
@ Xn j=1
@u
@xj
(x0+t ) j
1 Ad :
Por la regla de la cadena, para '(t) =x0+t , se tiene
D(u ') (t) =Du('(t))D'(t) =Du('(t))'0(t): Entonces,
f0(t) = 1 j n 1j
Z
n 1
D u(x0+t )d
dondeD u(x0+t ) es la derivada direccional deu en la dirección del vector normal exterior en el puntox0+t .
Tomando el cambio de variable x=x0+t obtenemos f0(t) = 1
tn 1j n 1j Z
@Bt(x0)
D u(x)d (x)
donde@Bt(x0)es la frontera de la bolaBt(x0) yd es la medida de Lebesgue natural en @Bt(x0).
Ahora, recordemos que siF es un campo vectorial suave de…nido en una regiónR y n es la normal unitaria exterior a @R, entonces el Teorema de la Divergencia nos
asegura que Z
R
divFdV = Z
@R
F ndS:
En particular, cuando F = rg = @x@g
1;@x@g
2; : : : ;@x@g
n , con g función escalar, se tienedivF=
Xn j=1
@g
@xj = g y entonces Z
R
gdV = Z
@R
@g
@ndS:
Usando este hecho, tenemos f0(t) = 1
tn 1j n 1j Z
Bt(x0)
u(x)dx= 0;
ya queu es armónica en Bt(x0) .
Puesto que esto vale para toda t2(0; r], se sigue quef es constante en (0; r].
Esto implica que
f(t) =f(r) = 1 j n 1j
Z
n 1
u(x0+r )d 8t2(0; r]: Pero, por otro lado, por el Teorema de Convergencia Acotada,
tl m!0f(t) = l m
t!0
1 j n 1j
Z
n 1
u(x0+t )d
= 1
j n 1j Z
n 1
tl m!0u(x0+t )d
= 1
j n 1j Z
n 1
u(x0)d =u(x0): Por lo tanto, concluimos que
u(x0) = 1 j n 1j
Z
n 1
u(x0+r )d :
(()Caso 1: Supongamos queu2C2( )y satisface la propiedad del valor medio en . Probaremos queu es armónica en procediendo por contradicción.
Supongamos que u no es armónica en . Entonces,9x0 2 tal que u(x0)6= 0:
Supongamos, sin pérdida de generalidad, que u(x0)>0:
Por continuidad, debe existir unr >0 tal que u(x)>0 8x2Br(x0): Más aún, podemos elegir tal r de modo que
Br(x0) : De…namos
f(t) = 1 j n 1j
Z
n 1
u(x0+t )d 8t2(0; r]: Es decir,
f(t) =u(x0) 8t2(0; r];
ya que, por hipótesis,usatisface la PVM. Así,f es constante en(0; r]y, por lo tanto, f0(t) = 0 8t2(0; r]:
Por otra parte, por el mismo argumento de antes, obtenemos 0 =f0(t) = 1
tn 1j n 1j Z
Bt(x0)
u(x)dx >0 8t2(0; r]: Esta contradicción prueba queu debe ser armónica en .
Caso general: Asumamos únicamente que u es continua en y satisface la PVM.
Dado que el problema es local (es decir, requerimos mostrar que u = 0 en una vecindad de cada puntox02 ), podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que es un dominio acotado y que u es acotada en .
Sea 2Cc1 tal que sop = B1(0), 0, R
Rn = 1 y es radial (i.e., (x) = (jxj), con continua. Por ejemplo, basta considerar
(x) = (
e
1 1 jxj2
si jxj<1 0 si jxj 1
y siM =R
Rn >0, entonces tomamos = M1 ).
De…namos
"(x) =" n x
" para" >0:
Obsérvese que ( ")">0 es una identidad aproximada en Rn. Mostraremos que la función u " veri…ca la propiedad del valor medio en
"=fx2 :d(x; @ )> "g
y como u " es de claseC1, entonces será armónica en ", por el Caso 1.
Seax02 " y sear >0tal queBr(x0) ". Entonces, 1
j n 1j Z
n 1
(u ") (x0+r )d
= 1
j n 1j Z
n 1
Z
Rn
u(x0 y+r ) "(y) dy d
= Z
Rn
"
1 j n 1j
Z
n 1
u(x0 y+r )d
#
"(y)dy (1.26) por el Teorema de Fubini. Pero, como Br(x0 y) yu satisface la propiedad del valor medio en , sabemos que
1 j n 1j
Z
n 1
u(x0 y+r )d =u(x0 y): (1.27) Sustituyendo (1.27) en (1.26), obtenemos
1 j n 1j
Z
n 1
(u ") (x0+r )d = Z
Rn
u(x0 y) "(y)dy= (u ") (x0): Esto muestra queu " veri…ca la PVM en " y, por el Caso 1,u " es armónica en " para todo" >0.
Para demostrar queues armónica en , tomemosx2 = S
">0
". Entonces,x2 "
para algún " >0. Luego, (u ") (x) =
Z
Rn
u(x y) "(y)dy
= Z 1
0
rn 1 Z
n 1
u(x r ) "(r )d dr en coordenadas polares
= " n Z 1
0
rn 1 Z
n 1
u(x r ) r
" d dr;
Pero, como (x) = (jxj), se sigue que (u ") (x) = " n
Z 1
0
rn 1
"Z
n 1
u(x r )d
# r
" dr
= " n Z 1
0
rn 1 j n 1ju(x) r
" dr;
ya queu satisface la PVM en . Así, (u ") (x) = u(x)
Z 1
0
rn 1 j n 1j" n r
" dr
= u(x) Z 1
0
rn 1 j n 1j "(r )dr
= u(x) Z 1
0
rn 1 Z
n 1
"(r )d dr
= u(x) Z
Rn "(y)dy
= u(x)
dado que( ")">0 es una identidad aproximada enRn. Esto muestra que u=u "
y, por tanto u es armónica en ". Concluimos entonces que u es armónica en una vecindad de cada puntox2 .
Observación 1.38 La propiedad del valor medio, tal como aparece en el teorema an- terior, es equivalente al siguiente hecho: para cada x0 2 y para cada r > 0 tal que
Br(x0) =fx2Rn:jx x0j rg se tiene
u(x0) = 1 jBr(x0)j
Z
Br(x0)
u(x)dx: (1.28)
Demostración. Supongamos que para cadax0 2 y para cada r >0tal que Br(x0) =fx2Rn:jx x0j rg
se tiene
u(x0) = 1 j n 1j
Z
n 1
u(x0+r )d : Entonces, 8s2(0; r]
u(x0)sn 1= sn 1 j n 1j
Z
n 1
u(x0+s )d ) u(x0)
Z r 0
sn 1ds= 1 j n 1j
Z r 0
sn 1 Z
n 1
u(x0+s )d ds ) u(x0)rn
n = 1
j n 1j Z
Br(x0)
u(x)dx ) u(x0) = n
rnj n 1j Z
Br(x0)
u(x)dx= 1 jBr(x0)j
Z
Br(x0)
u(x)dx:
Recíprocamente, si
u(x0) = 1 jBr(x0)j
Z
Br(x0)
u(x)dx entonces
u(x0) = n rnj n 1j
Z r 0
sn 1 Z
n 1
u(x0+s )d ds:
Derivando ambos miembros con respecto a r, obtenemos
0 = n
rnj n 1jrn 1 Z
n 1
u(x0+r )d n2 rn+1j n 1j
Z r 0
sn 1 Z
n 1
u(x0+s )d ds o, equivalentemente,
n rj n 1j
Z
n 1
u(x0+r )d = n2 rn+1j n 1j
Z
Br(x0)
u(x)dx
= n2
rn+1j n 1jjBr(x0)ju(x0): Por tanto,
1 j n 1j
Z
n 1
u(x0+r )d = n
rnj n 1jjBr(x0)ju(x0) =u(x0):
Una consecuencia de la propiedad del valor medio es el Principio del Máximo, que se enuncia como sigue:
Corolario 1.39 (Principio del Máximo para Funciones Armónicas) Seauuna función armónica a valores reales de…nida en una región Rn. Entoncesuno puede alcanzar un máximo en a menos que u sea constante en .
Demostración. Supongamos que u sí alcanza un valor máximo en ; es decir, 9 2 tal que
u(x) u( ) m 8x2 : (1.29)
Sea
A=fx2 :u(x) =mg:
Nótese que A es no vacío, pues 2A. Mostraremos queA es abierto.
Seax02A, de modo que
u(x0) =m (1.30)
y sear >0 tal que
Br(x0) :
A…rmamos que Br(x0) A. Si no, entonces 9y 2 Br(x0) tal que y =2 A. Esto implica que u(y)< m.
ComoBr(x0)es un conjunto abierto y ues continua en ,9 >0su…cientemente pequeño tal que
B (y) Br(x0) y u(z)< m 8z2B (y): (1.31) Puesto que ues armónica en , se cumple la propiedad del valor medio. Así,
u(x0) = 1 jBr(x0)j
Z
Br(x0)
u(x)dx
= 1
jBr(x0)j
"Z
B(y)
u(x)dx+ Z
Br(x0) B (y)
u(x)dx
# : De (1.29) y (1.31), se sigue que
u(x0) < 1 jBr(x0)j
"Z
B (y)
mdx+ Z
Br(x0) B (y)
mdx
#
= 1
jBr(x0)j Z
Br(x0)
mdx
= m:
Esto muestra que u(x0) < m, lo cual contradice a (1.30). Por lo tanto, debe satisfacerse la contención Br(x0) A. Y, en consecuencia,A es abierto.
Por otra parte, el conjunto
A=fx2 :u(x)< mg
también es abierto pues, por la continuidad de u, dado x 2 A existe > 0 su…cientemente pequeño tal que
u(z)< m 8z2B (x) y entoncesB (x) A.
Como A es no vacío y es conexo, se sigue que A debe ser necesariamente vacío. Consecuentemente, A= . Y así,u es constante en .
Con una argumentación análoga se demuestra el Principio del Mínimo para fun- ciones armónicas:
Corolario 1.40 (Principio del Mínimo para Funciones Armónicas) Seauuna función armónica a valores reales de…nida en una región Rn. Entoncesuno puede alcanzar un mínimo en a menos que u sea constante en .
He aquí una consecuencia inmediata de los Principios del Máximo y del Mínimo:
Corolario 1.41 Sea un dominio acotado en Rn y sea u : ! R tal que u es armónica en y continua en . Entonces, u alcanza su valor máximo y su valor mínimo en la frontera @ (y sólo en la frontera @ si u no es constante).
Demostración.Puesto que ues continua en el compacto , sabemos queu alcanza su máximo y su mínimo en . Así,9x0; x1 2 tales que
u(x0) u(x) u(x1) 8x2 :
De acuerdo con los principios del máximo y del mínimo, si uno es constante en , entoncesx0; x1 no pueden estar en . En tal caso, x0; x12 =@ .
En cambio, si u es constante en entonces, por continuidad, u es constante en la cerradura . En tal caso,
u(x0) =u(x) =u(x1) 8x2
y, obviamente, ualcanza su máximo y su mínimo en cada punto de . En particular, u alcanza su máximo y su mínimo en la frontera@ .
Como consecuencia de este resultado, establecemos la unicidad de la solución del problema clásico de Dirichlet (si existe) en dominios acotados deRn. Enunciamos esto como sigue:
Corolario 1.42 Sea un dominio acotado en Rn y sean u; v funciones continuas en la cerradura y armónicas en tales que u(x) = v(x) 8x 2 @ . Entonces, u(x) =v(x) 8x2 :
Demostración. Podemos asumir que u y v son funciones con valores reales. Es claro que la función u v es continua en la cerradura y armónica en . Luego, por el Corolario 1.41, tenemos que u v alcanza su valor máximo y su valor mínimo en la frontera @ .
Pero, por hipótesis, u v= 0 en @ . Por lo tanto, u v= 0 en todo .