El Capítulo 1 caracteriza la clase de funciones armónicas en el disco unitario que son integrales de Poisson de funciones onLp[ ; ], met1< p 1, o de medidas de Borel en M[ ; ], y se investiga el comportamiento de los límites en las topologías correspondientes. Nuevamente caracterizamos la clase de funciones armónicas en el semiespacio superior que son integrales de Poisson de funciones sobre Lp(Rn), con 1 < p 1, o de medidas de Borel sobre M(Rn), e investigamos las funciones puntuales y no tangenciales. comportamiento de esta clase de funciones armónicas. Generaliza la situación presentada en el Capítulo 2 y proporciona soluciones (no únicas) al problema de Dirichlet donde la condición de frontera se entiende en términos de la topología de!n+1DL01.
Introducción
Las funciones armónicas más simples, que no son constantes, son las funciones de coordenadas xj; por ejemplo, F(x) =x1 es armónico. Dado que el laplaciano es un operador lineal, las sumas y múltiplos escalares de funciones armónicas son armónicos. Para la función y2Rny ua v, la traducción simple deu es la función uy(x) =u(x y) para x2 +y=fw+y:w2 g: Está claro que las traslaciones de funciones armónicas son armónicas.
Funciones armónicas en el disco unitario
El núcleo de Poisson en el disco unitario
Recuerde que, dada una función continua f the... definida en el toro T = @D, el problema clásico de Dirichlet en el disco nos pide encontrar una función u the... definida en D que sea armónica inD, continua inDy tal que uj@D =f. R es una función armónica y positiva, es decir, u 0, entonces existe una medida positiva 2M(T), de modo que u es la integral de Poisson de. El término "positivo" se utiliza aquí en el sentido de "no negativo". Con esto hemos caracterizado la clase de funciones armónicas sobre el disco unitario que son integrales de Poisson de funciones sobre Lp(T), con 1< p 1, o integrales de Poisson de medidas de Borel sobre M(T).
Solución al problema clásico de Dirichlet en el disco unitario . 26
Resolver el problema clásico de Dirichlet en el disco unitario La parte (b) del Corolario 1.21 nos permite resolver el problema clásico de Dirichlet. Prueba Supongamos que ve otra solución del problema de Dirichlet en la versión Lp(T) con función de frontera p. Por los mismos argumentos utilizados en la demostración del Teorema 1.10, existe una función g2Lp(T) tal que v=P(g).
Convergencia no tangencial y comportamiento frontera de inte-
Se sabe que F es una función de variación acotada en T y por lo tanto F0( ) existe y es para casi todas las funciones, ya que todas las funciones de variación acotada tienen esta propiedad). Demostraremos que cada uno de estos términos tiende a 0 cuando r tiende a 1. i) siu es una función armónica en el disco D tal que sup. Cuando u es una función armónica en D que satisface la condición (1.22) o la condición (1.23), sabemos que podemos recuperar u de su función de frontera f mediante u=P(f).
Algunos resultados sobre funciones armónicas en dominios R n
Entonces u es armónico en , u satisface la propiedad del valor medio en , es decir, para cada x0 2 y para cada r >0, de modo que. Entonces u alcanza un valor máximo y un valor mínimo en el límite @ (y sólo en el límite @ si u no es constante). Prueba. Como u es continua en el compacto, sabemos que u alcanza su máximo y su mínimo en v.
El problema clásico de Dirichlet en bolas de R n
El problema clásico de Dirichlet en la bola unitaria
Según los principios de máximos y mínimos, si uno es constante en , entonces x0; x1 no puede estar dentro. Como consecuencia de este resultado, establecemos la unicidad de la solución del problema clásico de Dirichlet (si existe) en dominios acotados Rn. Entonces, por el Corolario 1.41, tenemos que u v alcanza un valor máximo y un valor mínimo en la frontera.
El núcleo de Poisson en la bola unitaria
Ahora bien, como consecuencia de la Proposición 1.35, para >2, la función radial jx sj2 n es armónica en Rnn fsg con respecto a x. Solución al problema clásico de Dirichlet sobre la esfera unitaria Teorema 1.46 (Solución al problema clásico de Dirichlet sobre B =B1(0)) Sea.
Solución al problema clásico de Dirichlet en la bola unitaria
El problema clásico de Dirichlet en cada bola BR(x0) Si queremos resolver el problema clásico de Dirichlet en cada bola BR(x0) de.
A continuación, procedemos formalmente: Suponiendo que los datos (la función de frontera) son una función en Cc1(Rn), queremos encontrar una función u(x; t) de... definida en Rn+1 +, continua en Rn+1+ para que . Veamos la secuencia de funciones fj(x) = u(x; tj) donde (tj)1j=1 es una secuencia de números positivos tal que tj #0 y sea fj 2 M(Rn) definida por. El problema de Dirichlet en Rn+1+ en la versión de distribución templada: Dada una distribución templada T en Rn, encuentre una función armónica u definida en Rn+1+ cuyo valor límite sea exactamente T.
Definición…definición 3.6 Una distribución templada es una función lineal continua de la clase de Schwartz S. Dada una distribución templada T en Rn, encuentre una función armónica u definida en Rn+1+ cuyo valor límite sea sólo T. En otras palabras, queremos encontrar una función armónica u(x; t) definida en Rn+1+ tal que en un sentido adecuado tengamos.
En J(B), dada la topología inducida por (C0(Rn))N, definimos el funcional lineal F :J(B): !Cso. Ogata en [16] definió la noción de convolución S0 para extender la validez de la fórmula de intercambio de Fourier. Por este motivo damos la siguiente definición. con la topología inducida por la función.
Lembre-se que dada f 2 L1loc(Rn) (ou seja, uma função localmente integrável em Rn), forx2Rn, ela é definida...ne.
Recuerde que la solución del problema clásico de Dirichlet en Rn+1+ no es única, porque si u(x; t) es una solución, entonces v(x; t) =u(x; t) +t también es una solución. Entonces necesariamente necesitas la integral de Poisson de su función de frontera x7 !u(x;0); es,. Este teorema puede interpretarse nuevamente como la unicidad para soluciones acotadas del problema clásico de Dirichlet en Rn+1+ con una función de frontera continua y acotada, que ya demostramos en el Corolario 2.2.
Funciones subarmónicas
No podemos usar el mismo argumento que la prueba presentada antes, ya que la desigualdad (2.21) no es válida para p < 1. Para simplificar la notación, en el resto de la demostración denotaremos los puntos (x; t) de Rn+ 1 simplemente comox2Rn +1. En particular, denotaremos el centro de la bola B por x0 y el origen de Rn+1 por 0.
Prueba. Procedemos como lo hicimos en la demostración del Teorema 2.17, pero esta vez comenzamos con la desigualdad. Prueba: Si se verifica (b), ya sabemos qué es armónico en Rn+1+ por el Teorema 2.9; además, por la proposición 2.12,. Consideremos la secuencia de funciones fj(x) = u(x; tj) donde (tj)1j=1 es una secuencia de números positivos tal que tj #0.
El teorema de Banach-Alaoglu ([21] págs. 68-69) nos asegura que dicha esfera es compacta en Lp(Rn) con la topología débil. Según el teorema de representación 2.14, esta función debe ser la integral de Poisson de su función límite u(; tj). El teorema de Banach-Alaoglu ([21] págs. 68-69) nos asegura que dicha esfera es compacta en M(Rn) con la topología débil.
Es una cuasinorma en L1w(Rn) (es decir, satisface todo lo que hace una norma, pero en lugar de la desigualdad del triángulo solo tenemos .kf+gkL1w C1kfkL1w+kgkL1w.
Definición 2.30 El operador de Poisson máximo no tangencial o función de apertura N >0 se define por. Como antes, cada f 2L1loc(Rn) tiene una distribución templada a lo largo del funcional. Específicamente, preguntamos lo siguiente: Dada una distribución templada T en Rn, existirá una función armónica u definida en Rn+1+ cuyo valor límite es exactamente T.
Por tanto, el primer problema que debemos abordar es el de encontrar una definición de convolución adecuada para el núcleo de PoissonPt y una distribución T 2 S0. Diferentes autores han presentado y estudiado diferentes definiciones para comprender la convolución de dos distribuciones. La convolución S0 es una operación conmutativa que expande adecuadamente la convolución de dos distribuciones templadas definidas por L.
Definición 3.13 Denotaremos por DL01 el doble espacio fuerte de B, es decir el espacio de funcionales lineales y continuos definidos en B) equipado con: topología fuerte. Schwartz en todos los casos en los que se aplica la definición de Schwartz. Finalmente, señalamos que esta definición está motivada porque cuando las distribuciones templadasS; Por tanto, T son funciones integrables.
Así, por la integral estimada en el Lema D.2 del Apéndice D y en virtud de (3.23), tenemos eso.
Extensiones Armónicas de Distribuciones 101
Motivación: un primer encuentro con la teoría de distribuciones 102
Dos funciones definen la misma distribución precisamente cuando son iguales en casi todas partes. Definición 3.4 Dada una distribución T 2 D0(U), llamamos al soporte de T el complemento del conjunto abierto más grande V donde T es cero. Lo primero que hay que observar es que, en esta situación concreta, no podemos referirnos a la definición clásica de convolución introducida por L.
Se sabe que, por esta definición, el espacio O0C está formado por aquellas distribuciones T, de modo que para cada polinomio P se verifica que P T... la suma finita de las derivadas (en el sentido de distribuciones) de las funciones en L1 , el espacio más grande de distribuciones templadas, que actúa sobre S0 con la convolución ([6], theo. Para motivar la definición de la convolución S0, recordemos que dado '; f; g2Cc1 podemos expresar la acción de la convolución clásica f g en la función Sin embargo, podríamos requerir que bajo la definición correspondiente de la convolución f(eg ') se modere la distribución en alguna clase que naturalmente se generalice al espacio L1.
Aquí Se 'T denota el producto de la distribución T con la regularización S ',e que está bien definida porque Se ' es C1 y aumenta lentamente junto con todas sus derivadas ([24], p. 248). La función gamma fue introducida por Leonhard Euler en 1730 en respuesta a un problema de interpolación que se había estudiado desde el siglo XVIII: ¿Cuál es la mejor manera de encontrar una función continua de una variable real o compleja que coincida con la función factorial en números enteros? . Esta función se define paraz2C tal que Rez >0, for. Existen otras denizaciones equivalentes, ver por ejemplo [17]).
Es evidente, por ejemplo, del estudio de series asintóticas, integrales definidas, series hipergeométricas, función zeta de Riemann, teoría de números, etc. Cuando se tiene una solución fundamental E de un operador diferencial P = P(@) y sif 2 D0, entonces podemos ver que una solución de la ecuación P u=f viene dada por u=E f, cuando se define la convolución.
