3. CINETICA DEL PUNTO MATERIAL
3.5. Conceptos mecánicos derivados
3.5.1. Trabajo Elemental
P1 v = término de resistencia viscosa. Se toma en cuenta para velocidades v d 2 m/s, depende de la forma de los cuerpos y de la naturaleza de los medios en contacto.
P2 v2 = término de resistencia hidráulica. Se toman a medida que aumenta la velocidad. 2 < v < 200 m/s.
Pn vn = términos de resistencia balística. Se tienen en cuenta para grandes valores de v > 200 m/s.
Todos los Pi se determinan en forma experimental.
b) Fuerza dependiente del tiempo: G G F F t( ) dW F tG drG
( )
para integrar, se debe conocer drG
en función del tiempo:
drG V t dtG ( ) luego:
dW F t V t dtG G ( ) ( ) en una terna cartesiana, será:
dW F Vx xF Vy yF Vz z dt f t dt( )
? W
³
t f t dt t1 2 1
2
( )
c) Fuerza dependiente de la posición: FG FG(rG) Para una terna cartesiana:
? dW F x y zG( , , )drG
dW Fx dxFy dyFz dz
W Fx dx Fy dy Fz dz
z z y
y x
x 1 2
1 2 1
2 1
2
³ ³ ³
c.1) Fuerzas Conservativas:
Se definen así a las fuerzas que resultan ser el gradiente () de una cierta función escalar. Son un caso particular de fuerzas posicionales y el campo que generan se denomina campo conservativo.
Sea la función escalar u = u (x,y,z) continua y derivable.
Luego será
FG u x y z u
xi u
y j u zk
( , , ) w
w
w w
w w
En este caso, el campo de fuerzas es un campo de gradientes y por lo tanto rot 0
= u
r G
G ot
F . Se dice que el campo conservativo es irrotacional:
0 ˆ ˆ
ˆ
rotG G
w w w
w w
w
z y
x F F
F
z y x
k j i F
x ; Fy y
Fx w w w
w ;
z Fx x
Fz w w w w
z Fy y
Fz w w w
w (3.12)
Resulta importante analizar si para todos los campos irrotacionales las fuerzas derivan de una función escalar uniforme (simplemente valuada).
El trabajo aquí será:
dW u
xi u
y j u
zk dx i dy j dz k
§
©¨ ·
¹¸
w
w w
w w
w
w w
w w
w u
xdx u
d ydy u
zdz du
³
2
1 2 1
2 1
u
u du u u
W (3.13)
Como se observa, en un campo conservativo el trabajo dependerá exclusivamente de la posición final e inicial del punto de aplicación de la fuerza, es decir, de los valores que adopta la función escalar u en dichos puntos, sin importar la trayectoria para ir de uno a otro. En el caso de una línea cerrada, el trabajo de la fuerza es nulo
Si P1 { P2 W12 0 .Recordando el Teorema de Stockes:
³³
³
l FGdrG snˆrotFGdsen el cual la integral de línea representa el trabajo de circulación de la fuerza G F y la integral de superficie es el flujo del rotor del campo a través de la superficie limitada por l.
Si se tiene un campo irrotacional, es decir rotFG
= 0, resultará:
³
l
r d FG G 0
ó W12 u2 u1 0 si P1 {P2
El trabajo a lo largo de una línea cerrada es cero, lo que será válido si se cumplen las condiciones del Teorema de Stockes, es decir, que el campo sea simplemente conexo.
c.2) Fuerzas no conservativas:
Si el campo es múltiplemente conexo, como el de la figura, el flujo del rotor del campo a través de la superficie limitada por l no cumple las condiciones de nulidad por cuanto en S0 no está definido y por lo tanto, el flujo a través de esta superficie S0 representaría el trabajo de circulación en la línea 1’ lo que haría que el trabajo a lo largo de una línea cerrada que abarcase la parte no definida fuese distinto de cero.
Para aclarar lo anterior considérese el espacio de múltiple conexión no definido en la zona S y tómense los puntos del campo P1 y P2
El trabajo de las fuerzas G
F del campo a lo largo de un camino que vaya de P1 a P2 por la línea 11 será W12 = u2 - u1 ya que esta región es de simple conexión.
Sin embargo, si se va a lo largo de la línea 12 (espacio de múltiple conexión) el trabajo W sería diferente, ya que se lo podría considerar como la suma de los siguientes trabajos:
2 2 2 2 2 1 '' 1 ' 1 1 1
12 W c W Wcc cc W ccc Wc
W es: W1 1c cc W2 2cc c
W11cW2 2c u2 u1 (en simple conexión)
W1cc2cc * módulo del campo (trabajo de circulación en una línea cerrada que limita la zona no definida)
* 1 2
12 u u
W
Esta última expresión establece que el trabajo entre dos puntos para un camino múltiplemente conexo es igual al trabajo para un camino simplemente conexo más tantas veces el módulo del campo como vueltas desarrolla el camino alrededor de la zona no definida.
Como conclusión de este análisis, se observa que las ecuaciones (3.12) resultan ser una condición necesaria pero no suficiente para que un campo sea conservativo. Estas aseguran que el campo es irrotacional, pero será conservativo si además la función potencial u = u(x,y,z) es uniforme, es decir, está definida en toda la región. Esto garantizará que el trabajo W a lo largo de una línea cerrada sea nulo.
El peso de una partícula y la fuerza de un resorte elástico son dos ejemplos de fuerzas conservativas que se encuentran a menudo en Mecánica. En el primer caso, será:
G G
F mg j ; dr dx idy jdz k
³
³
2 1 2
1
2 1
y y r
r mg dr m g dy
W
G
G G G
Por lo tanto W1 2 m g y
1y2 mg y'El trabajo sólo depende del desplazamiento vertical de la partícula. En el caso analizado, resulta positivo debido a que los sentidos de la fuerza y del desplazamiento coinciden. Si el movimiento de la partícula fuese ascendente, el trabajo resultaría negativo, puesto que los sentidos de la fuerza gravitacional y del desplazamiento serían opuestos. Más adelante se analizará el significado mecánico en ambos casos.
Para el resorte, tomando x=0 en la posición del mismo sin deformar (x1 y x2 coinciden con su elongación), es:
K = constante elástica del resorte.
FrG K x x
³
³
2 1
2 1
2 1
r r
x
r dr x Kx dx
F W
G
G G G
W1 2 1 2 K x22 x12
El trabajo sólo depende de las longitudes inicial x1 y final x2 del resorte.
d) Fuerzas de fricción:
El trabajo de una fuerza de fricción ejercida sobre un objeto móvil por un medio fijo depende de la trayectoria (cuanto más larga sea ésta, mayor será el trabajo). Por consiguiente, las fuerzas de fricción no son conservativas. Generalmente el trabajo se disipa en forma de calor.