Los estudiantes se sienten atraídos por la conveniencia de consultar la copiosa bibliografía de la materia con la frecuencia necesaria para la complementación necesaria y la comprensión completa de los temas. Respecto al cuadro anterior, la actual asignatura de Mecánica Racional no incluye en su programa el estudio de la estática (que, por otra parte, es un caso específico de la dinámica).
CINEMÁTICA DEL PUNTO
Concepto de velocidad
Para pasar de P1 a P2 la velocidad varió de VG1. se llama expresión vectorial de la aceleración promedio. Lo que se llama aceleración angular instantánea y refleja la tasa de cambio de la velocidad angular a lo largo del tiempo.
Expresiones de Gaston Darboux
Diagramas
Es decir que la velocidad del punto P' que mueve la hodógrafa es la aceleración del punto P que describe la trayectoria. El área bajo la curva a = a(t) mide el cambio de velocidad a lo largo del tiempo.
Movimientos - Estudio cinemático
- Movimientos periódicos
- Movimientos Circulares
- Movimiento oscilatorio armónico (MOA)
- Movimientos centrales
Para determinar la ecuación de la trayectoria de P, y = y(x), se utilizarán las ecuaciones MOA como sus respectivas ecuaciones horarias (paramétricamente) en los movimientos proyectados. En particular, si r1 = r2 la trayectoria de P es circular... y el movimiento es el mismo que en el caso b). y).
CINEMATICA DE LOS SISTEMAS DE PUNTOS
Definiciones
En sistemas móviles el resultado siempre es m > n, ya que df representa los diferentes grados de movilidad del sistema, ya que son el número de parámetros libres que se pueden variar arbitrariamente. Cuando m = n, el sistema material permanece inmóvil, ya que no habrá parámetros libres, y las coordenadas del sistema serán el resultado de resolver el sistema de ecuaciones formado por las condiciones de conexión.
Sistemas materiales rígidos
Cuando las restricciones pueden expresarse en formas algebraicas simples del tipo anterior, se denominan holonómicas, y en ellas las ecuaciones de enlace o enlace pueden expresarse en función de las coordenadas únicamente, o de las coordenadas y el tiempo si los marcos de referencia son móviles. ; en estos, el número de coordenadas generalizadas es igual al número de grados de libertad. El tamaño 6 representa el número de parámetros libres o grados de libertad para el sistema rígido en el espacio.
Movimientos de los sistemas rígidos
Ahora se demostrará que en un movimiento de rotación la velocidad de un punto del cuerpo es normal al plano definido por el punto y el eje de rotación. Esta propiedad junto con la condición geométrica de rigidez establece que en el movimiento de rotación cada punto del sistema rígido realiza un movimiento circular centrado en el eje de rotación y en un plano normal al mismo. Ahora bien, no sólo se debe estudiar el cambio de velocidad de un punto en el tiempo ( )G.
Si analizamos el punto P del mencionado cuerpo, consideramos por separado sus movimientos debidos a cada movimiento en el mismo intervalo 't. Supongamos que en el punto O hay una rotación ZG y una traslación WG, que forman un ángulo entre ellas.
Movimiento rototraslatorio
Luego se estudia el movimiento del sistema rígido, analizando el de la tríada móvil que va solidariamente unida a él. Físicamente, los derivados de los versores móviles representan la velocidad de sus afijos debido a la rotación del triple. Encuentre el estado de velocidad y la velocidad del origen del triple en movimiento. que es un sistema de seis ecuaciones con seis incógnitas.
Este es el movimiento del sistema rígido respecto al triplete absoluto debido a la simultaneidad de los dos movimientos anteriores. Es decir, la velocidad absoluta de cualquier punto de un sistema rígido es el resultado de la suma de su resistencia y velocidades relativas.
Movimiento polar
- Trayectorias Polares
De esta manera, el movimiento polar puede describirse como un rodamiento sin deslizamiento del poloide a lo largo del herpoloide. Teniendo en cuenta que en el plano el diseño se reduce significativamente, es conveniente utilizar los cosenos directores de la lista corta adjunta al cuerpo para encontrar la configuración. Por supuesto, si se conociera el vector velocidad del origen 01, este punto podría tomarse como centro de reducción para determinar la velocidad de cualquier otro punto de la lámina Pi a través de:.
Así, el movimiento plano de una placa rígida puede describirse como la rotación antideslizante de una ruleta en la base, siendo el punto de contacto en cualquier instante el centro instantáneo de rotación. Ahora bien, sustituyendo en esta última expresión los vectores referentes a las ternas absolutas y móviles respectivamente, se obtienen las ecuaciones de la base y de la ruleta.
CINETICA DEL PUNTO MATERIAL
Leyes de Newton
Esta es la ecuación del movimiento y es una de las fórmulas más importantes de la mecánica. Esta definición asegura que la aceleración de la partícula medida por observadores en dos sistemas de referencia inercial diferentes será la misma. Por tanto, la forma de la ley del movimiento es invariante ante una transformación de este tipo.
G ¦ G G. que es la ecuación general de la estática y que dice: "Toda fuerza activa se pierde en la conexión". Un campo de fuerza, por tanto, se define por su intensidad, ya que la fuerza depende de la masa que se coloca en el campo.
Conceptos mecánicos derivados
- Trabajo Elemental
- Potencia
- Energías Cinética y Potencial Partiendo de la ecuación de Newton
- Cantidad de Movimiento y Momento de la Cantidad de Movimiento
³l FGdrG snˆrotFGds . en la que la integral lineal representa el trabajo de circulación de la fuerza G F y la integral de superficie es el flujo rotórico del campo a través de la superficie delimitada por l. En el caso analizado es positivo porque coinciden las direcciones de fuerza y desplazamiento. Si el movimiento de la partícula fuera hacia arriba, el trabajo sería negativo, ya que las direcciones de la fuerza gravitacional y el desplazamiento serían opuestas.
El trabajo de una fuerza de fricción ejercida sobre un objeto en movimiento por un medio fijo depende de la trayectoria (cuanto más larga es, mayor es el trabajo). El producto de la masa de un punto material por su vector velocidad se llama vector momento QG mVG.
Algunos casos particulares del movimiento del punto material
- Movimiento de caída en un medio resistente
- Movimiento de un punto material en un campo gravitacional newtoniano
- Vibraciones Mecánicas
- Vibraciones libres de un sistema mecánico de un grado de libertad sujeto a una fuerza elástica
- Vibraciones forzadas de un sistema sin amortiguamiento
- Vibraciones Forzadas de un Sistema con Amortiguamiento Viscoso
- Concepto de transmisibilidad y aislación
Para este caso, es interesante determinar la cantidad de amortiguación presente en el sistema midiendo la tasa de reducción de la oscilación. Esta situación crítica surge cuando la frecuencia de la fuerza motriz del sistema coincide con su frecuencia natural. Se observa que el movimiento de la masa aumenta ilimitadamente con el tiempo.
Las diversas formas de solución de esta ecuación se encuentran en vibraciones libres de un sistema amortiguado. La amplitud de la vibración transmitida desde el suelo al equipo será así inferior al 10% en frecuencias superiores a 15 Hz.
CINETICA DE LOS SISTEMAS MATERIALES
Trabajo elemental de las fuerzas que actúan sobre un sistema material
V01 se puede sacar de la suma como factor común, al ser la velocidad del centro de reducción, se considera que todos los puntos del cuerpo se mueven con él.
Expresión general de la energía cinética para un sistema material
La primera suma, de 1 2/m Vo21, se llama energía cinética de tracción o traslación, y es la que tendría el sistema suponiendo que toda la masa estuviera concentrada en el centro de la reducción, siendo generada por la velocidad de esta última. . Este e3 se puede anular si se toma como centro de reducción un punto fijo del sistema (si lo hay), de modo que resultaría VG01 0G. Pero el caso más importante de cancelación de e3 es cuando se toma como centro de reducción el baricentro "G" del sistema, lo que da lugar al teorema de König: "La energía cinética de cualquier sistema material es en todo instante igual a la energía cinética energía correspondiente al baricentro, suponiendo que allí se concentra toda la masa, más la energía cinética correspondiente al sistema en su movimiento respecto al baricentro.
Entonces, si 01 es el centro de reducción, entonces rGG es el vector de posición de G con respecto a 01. Pero e3 también puede cancelarse si tomamos el centro de gravedad como centro de reducción; en este caso rGG 0 e3 0G y:.
Expresión general de la cantidad de movimiento para un sistema material
Si se tomara como centro de reducción el centro de gravedad G del sistema, tendríamos (01{ G):. y dado que la segunda suma del miembro derecho de la igualdad es la cantidad de movimiento alrededor del centroide, esto anula, como se mostró antes, la ganancia. 4.9) Este último término implica que el momento total de un sistema material es igual al que tendría su baricentro si toda la masa estuviera concentrada en él. Para sistemas rígidos, (4.9) es la expresión más directa para determinar la cantidad de movimiento.
Expresión general del momento cinético para un sistema material Siendo para una partícula: G
La primera adición al término de la derecha en (4.10) expresa que parte del momento cinético relativo al punto 01 sería el momento que tendría toda masa como si estuviera concentrada en el punto G y con la velocidad de 01. De hecho para ejemplo, mi yic c2 zi2 es el momento de inercia de la iésima masa con respecto al eje ic; gráfico. Los términos de los lados de la diagonal principal representan los momentos centrífugos o productos de inercia de la masa mi con respecto a dos planos coordenados, cambiados de signo.
La matriz I o i1 se conoce como TENSOR DE INERCIA de la masa mi con respecto al triple de origen 01. Q es la cantidad de movimiento del sistema con respecto al triple que se supone fijo y rGG es el vector G posición desde 01.
Teoremas de la cinética
- Teorema de la derivada de la cantidad de movimiento Recordando que para una partícula P i de un sistema se tenía
- Teorema de la derivada del momento cinético
- Potencia
- Teorema de las áreas
- Teoremas de conservación
- Teorema de la conservación de la cantidad de movimiento
- Teorema de la conservación del momento cinético
Esta es la expresión de la ecuación de Newton para ternas de referencia en movimiento. Si la tripleta respecto de la cual se hace referencia a KG o1 no es inercial, es decir que gira con ella. Esta es la expresión de la ecuación de Euler para ternas de referencia en movimiento.
Esta expresión dice que el trabajo elemental de todas las fuerzas que actúan sobre el sistema es igual a la variación de su energía cinética. Esta expresión establece que el momento cinético de un sistema de partículas con respecto a cualquier punto es igual al doble de la suma de las masas por la velocidad areolar con respecto al centro de los momentos.
Movimiento de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo
Por otro lado, la distribución espacial de la masa del cuerpo permanecerá constante con respecto a este sistema fijado en él, el tensor de inercia es constante. En el caso de la placa en forma de paralelogramo de la figura de la izquierda, se puede observar que si no hay movimiento está en equilibrio estático (con reacciones en 0 vertical y ninguna reacción en 01). La placa en la figura de la derecha está en equilibrio estático (si Z = 0) con reacciones en 01 y 0.
Una placa rectangular homogénea con lados a y b gira alrededor de la diagonal y está sometida a su peso mgG. Tomando un ángulo M entre el plano de la chapa y un plano de referencia vertical que pasa por AB, tenemos.
Dinámica del Movimiento Polar: Movimiento de un Cuerpo Rígido Alrededor de un Punto Fijo
Se puede observar claramente que mientras las reacciones estáticas generadas por el peso en este caso permanecen inalteradas con el movimiento, el par dinámico gira con la chapa. Para el estudio que se propone realizar se tomará conjunta y separadamente al cuerpo una tríada de referencia móvil que, para mayor simplicidad, coincidirá con los ejes principales de inercia del mismo con origen en el punto fijo 0. La Figura ilustra el elipsoide de inercia de dicho cuerpo (Ver Apéndice I, Tensores Cartesianos – A1.4).
Estas tres ecuaciones junto con (4.27) son seis ecuaciones diferenciales de primer orden en Zx,Zy,Zz,\,T,M que nos permiten calcular los ángulos de Euler en función del tiempo, que es el objetivo perseguido (aunque es la integración analítica sólo es posible en algunos casos especiales). Las ecuaciones de Newton (4.20') son útiles en este problema para determinar las reacciones en el punto fijo 0; tendrá:.
