TRIGONOMETRÍA Y POLÍGONOS REGULARES

SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y PROBLEMAS RELACIONADOS:

Resolver un triángulo significa obtener todos sus elementos (ángulos, lados perímetros y área). Para ello basta conocer tres de sus elementos entre lados y ángulos, y entre la aplicación del Teorema de Pitágoras y el buen conocimiento de las razones trigonométricas es suficiente para resolverlos; bueno es claro que debe conocer las fórmulas básicas que intervienen para hallar el perímetro y el área. He aquí un ejemplo:

Resolver el siguiente triangulo rectángulo:

Puesto que conocemos dos ángulos, el ángulo recto y el de 30º se deduce por la propiedad de la suma de los ángulos internos en un triángulo igual a 180º, que el ángulo en B mide 60”; de esta manera conocemos el valor de cada uno de sus ángulos. Ahora para conocer las medidas de sus lados hacemos uso de las razones trigonométricas, en este caso ya cualquiera nos sirve, pero por comodidad tomamos la función tangente para el ángulo B = 60º; así tenemos que:

Tan 60º = cateto opuesto = cateto opuesto = b cateto adyacente 5 5

despejando el cateto opuesto, o sea, b, se tiene: b = 5tan60°

como sabemos por la tabla de valores exactos: tan60° = 3 entonces: b=5 3

finalmente para obtener el valor del lado c, usamos el Teorema de Pitágoras:

c= b² +a²

sustituyendo los valores de a y b, se tiene:

c=

( )

^{5 3 2 +52 ⇒c= 75+25} por lo tanto c = 10 SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS Y

PROBLEMAS RELACIONADOS

Llamamos triángulo no rectángulo a aquel que no tiene un ángulo recto, este tipo de triángulos también en un inicio del texto los llamamos triángulos oblicuángulos. En este tipo de triángulos puede suceder dos casos: uno, cuando se da un ángulo y los lados que lo forman y dos, cuando el lado comprendido entre ellos y otro cuando se conocen dos ángulos y el lado común a ellos; para resolver cada caso existen las siguientes relaciones:

LEY DE COSENOS:

Sea el triángulo ABC donde conocemos los lados BC Y AB y el ángulo formado por ellos llamémosla CD aquí tenemos por Teorema de Pitágoras:

A

b

C

c

a=5

BC² = CD² + DB²

pero: DB = DA + AB; entonces:

BC²=CD² +(DA + AB)² C

D

Simplificando se tiene finalmente: AC² = BC + AB² – 2AB٠BCCOSB, como: BC = a;

AB =c y AC = b esta expresión toma la forma:

en forma análoga se obtienen expresiones cuando:

a) Se conocen los lados BC y AC, y el ángulo comprendido entre ellos G.

b) Se conocen los lados AC Y AB, y el ángulo comprendido entre ellos A.

Estas expresiones son de evidente utilidad en la solución de cualesquier tipo de triángulos donde generalmente se conocen dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos.

Por ejemplo:

Si en cualquier caso el ángulo conocido es de 90º las expresiones se reducen al Teorema de Pitágoras.

LEY DE SENOS.

Sea ahora el triángulo AB en el cual se conocen dos ángulos sean estos a y b y el lado común G., nuevamente trazando la altura correspondiente al vértice C formamos los triángulos rectángulos CDB y CDA, como son conocidos los ángulos en A y B tenemos:

Es fácil deducir que si los ángulos que se conocen son B y C; y el lado es a ó los ángulos conocidos son A y G y el lado es b la igualdad completa es tomando (1).

BC sen B = AC sen A = AB sen C

otra forma de escribir esto, o más bien de describirlo es ∴ “los productos de los senos de los ángulos con su lado opuesto son iguales entre si.

EJEMPLO: La distancia entre dos hombres que miran un globo aerostatito es de 600 metros, si los ángulos de elevación con los que lo miran respectivamente son de 60” y 35º respectivamente. ¿A qué altura del piso se encuentra el globo y a que distancia de la perpendicular del globo con el piso se encuentra cada una de las personas?.

COSB = DB BC

pero: DB = AD + AB AD

⇒: COSB = AB BC

⇒ AD = BCCOSB - AB

b

²

= a

²

+ c

²

– 2accosB

c

²

= a

²

+ b

²

+ 2ab cos C

a

²

= b

²

+ c

²

– 2bc cosA.

Sen B =CD; sen A = DC BC AC Entonces:

CD = BC sen B = AC sen A …(1) C

D

D A C B

SOLUCIÓN: En la figura A representa el punto donde está situado uno de los hombres, B. el otro y C la posición del globo:

d d 600m

Como A + B + C = 180 porque los ángulos internos de un triángulo suman 180º entonces A= 180º - 35-60º es decir c= 85º por la ley de los senos tenemos:

sen 85º = sen 60º de donde a = 600 sen sen 60º del mismo modo sen 85º = sen 35º 600 a sen 85º. 600 b

por tanto b = 600 sen 35º pero como nos interesa calcular la altura, es decir la pppppppp sen 85º

perpendicular que va del vértice C al lado c y esto lo obtener a partir de cualquiera de los dos triángulos que se forman ACS o CSB, partamos del triángulo ACS, tenemos que sen 60º = CS de donde CS= b sen 60º, lo cual es la altura del globo para PPPPppp b

encontrar la distancia, basta calcular con el mismo procedimiento AS y restarlo de 600.

AS = bcos 60º y de que un hombre se encuentra a la distancia AS y el otro a 600-AS ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN:

En grupos de trabajo colaborativo conteste las cuestiones y compara las respuestas con los otros equipos.

1. Aplicando las leyes de los senos, cosenos y de los tangentes, resolver los siguientes triángulos oblicuángulos:

a) a = 22 cm b = 10 cm c = 17 cm

b) a = 5,3 cm b = 10.9 cm c = 13 cm

c) a = 45 cm b = 52 cm c = 50 cm

d) a = 33 cm b = 46 cm c = 51 cm.

e) a = 3 cm b = 5 cm c = 7 cm

f) a = 84 cm b = 53cm c = 62 cm

g) a = 23.77 cm b = 29.74 cm c = 24.69 cm

h) a = 14 cm b = 15 cm c = 16 cm.

2. Hallar los demás elementos del triángulo, conocidos dos lados y el ángulo comprendido.

a) a = 32 cm b = 28 cm ≮c =56° 48’

b) a = 50 cm b = 78 cm ≮c = 78° 22’

c) b = 50 cm c = 78 cm ≮A = 69°15’

d) b = 25.61 cm c = 31.8 cm ≮A= 37°41’

e) a = 20 cm c = 13 cm ≮B = 106°58’

f) a = 75.45 cm c = 81.3 cm ≮B =89°11’

g) a = 11 cm b = 21 cm ≮C = 98°

h) b = 80cm c = 49 cm ≮A = 101°22’

3. Hallar los demás elementos del triángulo, conocidos un lado y los dos ángulos adyacentes:

a) ≮A = 51°

≮B = 28°

c =39 cm

b) ≮B= 39°

≮C =84°39’

b = 32 cm

c) ≮C = 14°29’

≮A = 46°51’

b = 32 cm

d) ≮A = 80°

≮B = 35°

c = 12m e) ≮B =113°47’ f) ≮C = 48° g) ≮A = 29°44’ h) ≮B = 25°

C

60 35

° ° S 60

O

4. Hallar los demás elementos del triángulo, conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

a) a = 68.7 cm b = 28°

≮B =39 cm

b) b= 11.36cm c =6,77 cm ≮C = 53°40’

c) b = 374 cm a= 318 cm ≮A = 34°15’

d) a = 42.3 m c = 83.44 m ≮C= 105°30’

e) b = 4m a = 13m ≮ B =15°14’

f) a = 50 cm b = 40 cm ≮ A= 99°

RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS El triángulo rectángulo isósceles y el triángulo

equilátero tienen propiedades que permiten calcular las funciones trigonométricas de los ángulos de 30°, 45° y 60°.

1. Cuánto mide la altura QS en el triángulo PQR?

___________________

2. En el triángulo rectángulo QRS, ¿cuál es el cateto opuesto al ángulo de 30°?_____________

3. ¿Cuál es el valor del seno de 30°?____________

¿Cómo calcular las funciones trigonométricas del ángulo de 45º?

1. Considerar un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos valgan 1.

2. Usar el teorema de Pitágoras para obtener la medida de la hipotenusa.

3. Aplicar las definiciones del seno, coseno y tangente para obtener el valor de cada función.

ACTIVIDADES:

De acuerdo con la ilustración de la parte superior, encuentre los valores del seno, coseno y la tangente de los ángulos de 30° y 60° y proponga al grupo estrategias de solución. Construya ejemplos similares.

Q 2

TEMA 3. CÁLCULO DE DISTANCIAS INACCESIBLES

In document INTRODUCCIÓN (página 63-67)