Las actividades propuestas se desarrollan a partir de información previa y ejemplos encaminados a hacer más accesible la gestión de los contenidos de cada bloque. En este apartado se evalúa el dominio de los contenidos del programa y el desempeño del estudiante como parte de su propio proceso de aprendizaje, así como la reorientación y planificación de actividades. Cuando los extremos o medias de una proporción son iguales, se trata de la media proporcional de los diferentes términos.
SEMEJANZA
Triángulos semejantes. Criterios de semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si las medidas de sus ángulos homólogos son congruentes y las longitudes de sus lados son proporcionales (los lados o ángulos correspondientes son homólogos; por ejemplo, homólogo a A es A'; homólogo a es. El significado de LLL es un Criterio de semejanza entre dos triángulos: a) 3 lados de uno son congruentes con 3 lados del otro triángulo.
Semejanza de polígonos y circunferencia. Razón de los perímetros de dos polígonos semejantes
Semejanza en el espacio. Razón de áreas y volúmenes de dos cuerpos semejantes
EL TEOREMA DE PITÁGORAS Y OTRAS RELACIONES EN LOS TRIÁNGULOS
ANTECEDENTES HISTÓRICOS DE LA GEOMETRÍA
- PROBLEMAS DE EQUIVALENCIA
- PROBLEMAS SOBRE LA CONVERSIÓN DE GRADOS A RADIANES Y VICEVERSA
- PROBLEMAS GRÁFICOS
También aplicaron sus conocimientos de geometría en la construcción de pirámides como CHEOPS, KEFREN y MEKERINOS, que son cuadrangulares y sus planos laterales triangulares equiláteros. CHEOPS es una de las siete maravillas del mundo antiguo donde se ha comprobado que además Para que la precisión en sus dimensiones esté perfectamente orientada. En Grecia, la geometría comenzó como una ciencia deductiva, con los matemáticos Tales De Mileto, Heródoto, Pitágoras De Samos y Euclides De Alejandría; que fue a Egipto para aprender geometría. TOLES DE MILETO.- (Siglo VII a.C.) fue uno de los siete sabios y fundador de la escuela "JONICA", se inició en la filosofía y las ciencias, especialmente en la geometría.
Resolvió algunas dudas, como la altura de las pirámides, porque conocía la sombra que proyectan; igualdad de ángulos base en un triángulo isósceles; el valor de un ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto; Mostró algunos teoremas relacionados con la proporcionalidad de segmentos definidos en dos rectas intersecadas por un sistema de paralelas. PLATÓN.- (Siglo IV a.C.) En la primera mitad de este siglo se inició en Atenas un movimiento científico a través de la Academia de Platón; su filosofía señala que las matemáticas no tienen ningún propósito práctico, sino que simplemente se cultivan con el único fin de conocer; por esta razón se opuso al uso de la geometría. Básico incluye todas las tareas que se pueden resolver con regla y compás; el superior examina tres de los problemas más famosos de la geometría antigua que no se pueden resolver con regla y compás.
Calculó un valor más aproximado del "área de la elipse", el volumen del cono, de la esfera; Estudió la llamada "ESPIRAL DE ARQUÍMEDES" que se aplicó para la solución de la trisección del ángulo. GARZA DE ALEJANDRÍA.- (Siglo II d.C.) en su obra destaca la demostración de la fórmula que lleva su nombre, que sirve para calcular el área de un triángulo a partir de sus lados.
DEMOSTRACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
El área del cuadrado RSZX se puede calcular como la suma del área del cuadrado TUYW y cuatro veces el área del triángulo UXY. Otra forma de calcular el área del cuadrado RSZX es observando que su lado es a+b. Hemos demostrado que el área formada por los catetos es igual al área formada por la hipotenusa.
El área que forma este cuadrado es c2 y consta de 5 áreas: 4 triángulos abc y el área formada por b – a. La figura que hemos formado consta de 4 áreas: a2, b2 y 2 veces el área que forma el triángulo abc. Debemos reordenar toda el área para demostrar que esta área contiene c2 y 2 veces el área que forma el triángulo abc, con lo cual habremos demostrado que: a2 + b2 = c2.
La línea que aparece en el dibujo nos dice que necesitamos dividir el área total en dos áreas para poder hacer la demostración. Una vez dividida el área, la giramos hacia el lado izquierdo y la organizamos como se muestra en la siguiente imagen.
TEOREMA DE PITÁGORAS Y CÁLCULO GEOMÉTRICO
Sea el triángulo rectángulo ABC (rectángulo en Â); Es cierto que cualquier cateto es promedio proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. La altura de un triángulo rectángulo es la media proporcional entre las dos partes. El teorema de Pitágoras se aplica a los triángulos rectángulos. Además, si a2+b2=c2, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo y c es la hipotenusa, es decir, lo inverso del teorema de Pitágoras también es cierto.
Esta propiedad no se mostrará aquí, pero es importante porque nos permite confirmar, por ejemplo, que un triángulo de medidas 3, 4, 5 es un triángulo rectángulo. Basta considerar la proporcionalidad de los triángulos ABH y ACH en la figura anterior.
RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
H = altura del árbol h = altura de la estaca S = sombra del árbol s = sombra de la estaca SOLUCIÓN. Analice los ejemplos presentados en el tema cinco como grupo y prepare un problema donde se apliquen estas relaciones.
CÁLCULO DE DISTANCIAS INACCESIBLES APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
El barco del dibujo está a 150 m de la playa y el ángulo entre el borde de la playa y la cima de la ola es de 6º. ¿Qué altura tiene la ola? La tabla al final de este tema muestra la tangente de ángulos agudos. En la tabla, en la columna correspondiente a tan (que indica la tangente), hay que fijarse en la que corresponde al número 6 (que es el ángulo).
Desde la playa, el ángulo entre la superficie del agua y la punta de la vela es de 9º.
TRIGONOMETRÍA
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
En los triángulos del ejercicio anterior calcula el valor de cada uno de los ángulos internos. El argumento de la función se puede dar en cualquier sistema de medida angular; a saber: gradientes, grados sexagesimales o radianes, los dos últimos se utilizarán en el texto, lea el argumento como un ángulo en el primer caso y como un arco si se utiliza el sistema circular, es decir Es decir, el seno de un ángulo viene dado por el cateto opuesto del triángulo rectángulo formado por su proyección horizontal sobre el eje X y el radio del círculo unitario, como se ve claramente en la figura anterior, en la que se observa que la representación geométrica de la función seno es el cateto opuesto del triángulo rectángulo, subtendido por la proyección del ángulo θ; de modo que si consideramos un ángulo de cero grados, entonces el valor del seno es naturalmente cero; Con la asociación del cateto opuesto con el valor del seno, se observa que el valor del seno llega al valor de uno, y más allá de este ángulo el valor del seno comienza a disminuir hasta llegar al ángulo de 180 grados donde el valor del seno nuevamente toma el valor de cero, luego de este proceso es fácil ver que desde este ángulo el valor del seno es negativo con los valores entre cero y menos uno.
Esta igualdad especial se llama "identidad trigonométrica", más adelante daremos un listado amplio de la misma así como una conceptualización de la misma, pues ahora basta con decir que una identidad es verdadera para cualquier valor de la variable. Dado el siguiente triángulo rectángulo, determina las funciones trigonométricas para cada uno de los ángulos agudos indicados. El material de apoyo presentado en cada bloque permite al estudiante normal profundizar en las funciones trigonométricas en coordenadas rectangulares y mediante la resolución de ejercicios similares a los siguientes logra crear estrategias para la enseñanza efectiva de los temas.
¿Cuál es la medida del ángulo rotulado 1 en cada uno de los triángulos rectángulos de las siguientes figuras? Mide los lados opuestos y adyacentes de cada uno de los triángulos y completa la siguiente tabla.
TRIGONOMETRÍA Y POLÍGONOS REGULARES
- OTROS TEOREMAS SOBRE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Como conocemos dos ángulos, el ángulo recto y el ángulo de 30°, se sigue de la propiedad de la suma de los ángulos internos de un triángulo igual a 180° que el ángulo en B mide 60”; de esta forma sabemos el valor de cada uno de sus ángulos. Ahora para saber las dimensiones de los lados usamos las razones trigonométricas, en este caso sirve para todos, pero por conveniencia tomamos la función tangente para el ángulo B = 60º; entonces tenemos que: Finalmente, para obtener el valor del lado c, usamos el teorema de Pitágoras:. Sustituyendo los valores de a y b obtenemos: Sea el triángulo ABC, cuyos lados BC y AB conocemos y el ángulo que forman los mismos, llamémoslo CD, aquí tenemos el teorema de Pitágoras:
Estas expresiones son obviamente útiles para resolver cualquier tipo de triángulo donde dos lados y el ángulo entre ellos sean bien conocidos. Si el ángulo conocido mide al menos 90°, entonces las expresiones se reducen al teorema de Pitágoras. Es fácil deducir que si los ángulos conocidos son B y C; y el lado es a o los ángulos conocidos son A y G y el lado es b, la igualdad completa toma (1).
EJEMPLO: La distancia entre dos hombres que miran un globo aerostático es de 600 metros, si los ángulos de elevación con los que lo miran son de 60" y 35º, respectivamente. Con base en la ilustración de arriba, encuentre los valores de el seno, el coseno y la tangente de los ángulos de 30° y 60° y sugerir estrategias de solución al grupo.
CÁLCULO DE DISTANCIAS INACCESIBLES APLICACIONES
De acuerdo con la ilustración anterior c) Si el ángulo de elevación fuera de 60°, ¿a qué altura volaría la cometa? Si los lados de la tienda forman un ángulo de 55° con el suelo, ¿cuál es el ancho de la tienda? ¿A qué distancia se encuentra la superficie de la lámpara si el haz de luz incide sobre ella en un ángulo de 35°?
Si el ángulo de elevación del globo es de 37°, encuentre la altitud a la que se encuentra el globo. ¿A qué distancia de la pared vertical de un edificio está la base de una escalera de 8 m de largo si forma un ángulo de 60° con el suelo? Un topógrafo en el fondo de un barranco observa que el ángulo de elevación en un lado del barranco es de 16°15'.
Si el ángulo de incidencia de una aeronave con respecto a un portaaviones que se aproxima es de 53°15'. ¿Cuál es la distancia entre los dos edificios, si el ángulo de depresión del marco de.
