3. Algoritmo de generación de geometrías para matrices fibrosas 60
3.4. Resultados
3.4.1. Variabilidad estadística y calibración del RVE
para poder realizar observaciones representativas del material macroscópico y no de una muestra microscópica específica.
Naturalmente, dado un valor para la fracción de volumen, el número de fibras en cada capa va a depender del tamaño de la malla, que está determinado porLµ, D¯ yNc. Para evaluar si las muestras de determinado tamaño pueden ser consideradas RVEs se puede analizar la variación estadística de alguna determinada magnitud característica de la ma- lla en un conjunto de geometrías construidas bajo los mismos parámetros. Por ejemplo, si se toma como magnitud a evaluar la densidad superficial de intersecciones (δ), entonces todos los RVE deben tener, esencialmente, el mismo valor deδ. Es decir, que si bien habrá variaciones entre distintas muestras, la variabilidad debe ser lo suficientemente pequeña para poder considerar que se trata de dos representaciones de un mismo material. Particu- larmente, puede requerirse que el coeficiente de variación (la relación entre la dispersión estándar y el valor medio) caiga por debajo de un umbral establecido.
aumenta el tamaño de recinto. Este resultado es importante ya que sugiere que se puede obtener menor variabilidad estadística en la construcción de las geometrías controlando el tamaño de las mismas. De esta forma es posible alcanzar una repetitividad estadística deseada dependiendo de la aplicación. Por ejemplo, para obtenercv < 4 %es necesario queL˜µ≥100.
0 50 100 150 200 250 300
L 0.034
0.036 0.038 0.040 0.042 0.044
(a)
0 50 100 150 200 250 300
L 0
2 4 6 8 10 12 14 16
cv [%]
(b)
Figura 3.6: Variabilidad estadística de la densidad superficial de intersecciones en función del tamaño de una malla de fibras de una sola capa. a) Valor medioµd(círculos) y dispersión estándarσd(barras de error) de la densidad de intersecciones. Se observa que la dispersión se reduce a medida que se aumentaL˜µ. b) Coeficiente de variacióncv = σd/µd versusL˜µ. Se observa que paraL˜µ = 100la variabilidad cae por debajo de4 %.
Si se consideran mallas conformadas por más capas, las intersecciones que se pro- ducen entre capas adyacentes entre sí, no incluidas en el caso de una sola capa, provoca valores más elevados paraδ. La figura 3.7 muestra este aumento en función del número de capas para mallas generadas conη = 0,3, D¯ = 1µm, Lµ = 50, θdmax = 0, ˜ls = 1.
Es interesante notar que las capas intermedias incrementan en mayor medida el número de intersecciones que las capas exteriores, puesto que cada capa intermedia es adyacente a dos capas mientras que cada capa exterior es adyacente a solo una. Como resultado se tiene que al aumentar el número de capas, el valor deδaumenta de forma monótona pero asintóticamente a un valor límite. Este comportamiento conlleva la necesidad de generar mallas con un elevado número de capas (en el caso de la figura, mayor a 20) para mantener una buena representación de una matriz real respecto de la densidad de intersecciones. No obstante, también hay que mantener en consideración el costo computacional asociado, tanto para la generación de la geometría como para su posterior análisis numérico y su implementación en un modelo multiescala mecánico.
Como solución es posible tomar un número reducido de capas, pero aplicando una condición de periodicidad sobre las intersecciones, de forma que las fibras de la capa
0 5 10 15 20 25 30 35 40 Nro. de capas
0.00 0.05 0.10 0.15
(a)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Nro. de capas 0
1 2 3 4 5 6 7
cv [%]
(b)
Figura 3.7: Dependencia de la densidad superficial de intersecciones respecto del número de capas de una malla virtual considerando 1, 5, 10, 20 y 40 capas (L˜µ= 50). a) Valor medio (círculos) y dispersión estándar (barras de error) deδversusNc. b) Coeficiente de variación deδversusNc.
inferior intersecten a las fibras de la capa superior. De esta manera se obtiene un valor deδindependiente del número de capas, con excepción del caso obvio de una sola capa (figura 3.8).
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Nro. de capas 0.00
0.05 0.10 0.15
(a)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Nro. de capas 0
1 2 3 4 5 6 7
cv [%]
(b)
Figura 3.8: Dependencia de la densidad superficial de intersecciones respecto del número de capas de una malla virtual con la condición periódica de intersecciones, considerando 1, 5, 10, 20 y 40 capas (L˜µ= 50).
a) Exceptuando el caso de una sola capa, se observa que, debido a la periodicidad en intersecciones, el valor deδse mantiene constante sin importar el número de capas b) La variabilidad estadística se mantiene respecto del caso sin periodicidad.
Además, dado que un mayor número de capas implica un mayor número de fibras, se observa una marcada disminución en la variabilidad estadística al aumentar el número de capas. Esto puede apreciarse en la figura 3.9b donde se ve que paraLµ = 100el valor de cv cae por debajo del 1 %, mientras que para una sola capa se mantenía por encima del 3 %.
0 50 100 150 200 L
0.104 0.105 0.106 0.107 0.108 0.109 0.110
(a)
0 50 100 150 200
L 0
1 2 3 4
cv [%]
(b)
Figura 3.9: Variabilidad estadística de la densidad superficial de intersecciones en función del tamaño de una malla de fibras de diez capas. a) Valor medio (círculos) y dispersión estándar (barras de error) deδvs.
L˜µ. b) Coeficiente de variación vs.L˜µ.
Adicionalmente, puede introducirse como variable la tortuosidad de las fibras consi- derando mallas generadas conθdmax >0. En este caso, como se mostró en la figura 3.12), el número de fibras es menor para un mismoLµdado que cada fibra enrulada ocupa más volumen que una fibra recta. Aún así, el efecto de la disminución deNf no es apreciable en la variabilidad estadística de las geometrías generadas desde el punto de vista de δ (figura 3.10).
0 25 50 100 150 200 250 300
L 0.0032
0.0034 0.0036 0.0038 0.0040 0.0042
(a)
0 25 50 100 150 200 250 300
L 0
2 4 6 8 10 12 14
cv [%]
(b)
Figura 3.10: Variabilidad estadística de la densidad superficial de intersecciones en función del tamaño de una malla de fibras enruladas (θdmax
= 10°). Comparando con 3.6 puede observarse que la tortuosidad de las fibras no afecta la variabilidad estadística de la geometría generada respecto de la densidad superficial de intersecciones.
Distribución de orientaciones
También es importante calibrar el tamaño mínimo del RVE para obtener baja varia- bilidad en la distribución de orientaciones obtenida. Para ello se generan mallas de fibras rectas tomando una FDO prescripta (pθ) normal truncada:
pθ(θ) =
0 if θ <0
1 C
e
−(θ−µθ)2
2(σθ)2
if 0≤θ≤π
0 if θ > π
(3.2)
tomandoµθ =π/2yσθ =π/5.
Para este análisis se toma como variable independiente el número de fibras y se evalúa el coeficiente de variación para los dos parámetros de la distribución obtenida (ˆµθ y σˆθ) para 10 geometrías por cada valor de Nf. Los resultados muestran cómo disminuye la variabilidad estadística de las geometrías generadas a medida que se aumenta el número de fibras en la malla, siendo mayor la variabilidad paraσˆθque paraµˆθ. También se observa que paraNf = 200se obtienen coeficientes de variación por debajo de5 % para los dos parámetros (figura 3.11).
En este caso se tomó como variable independiente al número de fibrasNfque a su vez depende del tamaño de recintoLµ y del número de capas tal como indica la figura 3.12.
Paraη = 0,3, El número de fibras puede estimarse de forma aproximada como Nf = 0,4 ˜LµNc, de forma que para una geometría de 200 fibras se puede realizar generando mallas de 10 capas conL˜µ = 50. Este tamaño cumple además con una baja variabilidad para la densidad superficial de intersecciones (3.9b).
Distribución de reclutamiento
La variabilidad estadística de la distribución de reclutamiento obtenida depende en gran medida del valor deθdmax. Valores pequeños implican mallas con fibras más rectas y baja variabilidad mientras que valores más altos generan mallas con fibras más enru- ladas, dando lugar también a mayor variabilidad tanto dentro de una malla como entre mallas generadas bajo los mismos parámetros (figura 3.13). Mientras queµˆr posee muy baja variabilidad para todos los valores deθdmax
estudiados, el coeficiente de variación paraσˆr se mantiene por debajo de 5 %hastaθdmax = 30°. Esto indica que si se quieren
25 50 75 100 125 150 175 200 Numero de fibras Nf
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
cv para el valor medio [%]
(a)
0 50 100 150 200
Numero de fibras Nf
0 2 4 6 8 10 12 14 16
cv para la desviacion estandar [%]
(b)
0.00 0.79 1.57 2.36 3.14
Angulo ( ) 0
1 Distr. obtenida
Distr. normal
(c)
Figura 3.11: Variabilidad estadística de la distribución de orientaciones en función del número de fibras en la malla. a) Coeficiente de variación paraµˆθversusNf. b) Coeficiente de variación paraσˆθversusNf. c) Comparación entre la FDO prescripta (negro) y la obtenida (histograma normalizado, gris) para una malla de 200 fibras.
construir RVEs con distribuciones de tortuosidad más elevadas que las que se obtienen paraθdmax = 30°, será necesario incrementar el tamaño de las mismas para mejorar la representatividad estadística.