Universidad Aut´onoma de Madrid, doble grado Matem´aticas-Inform´atica Curso 2013-14
´ALGEBRA LINEAL Y GEOMETR´IA
Hoja 10. Isometr´ıas o movimientos II 1. Estudia las siguientes isometr´ıas de R3:
⎧⎪
⎪⎨
⎪⎪
⎩
x = 1 +12x+√22y+ 12z y =−1 +√22x−√22z z = 12x−√22y+12z
,
⎧⎨
⎩
x = 1 +y y= 1−z z =−x
2. Seaf :A3R→A3R la afinidad cuyas ecuaciones respecto al sistema de referencia ortonormal R={O;e1, e2, e3} son
f
⎛
⎝ x yz
⎞
⎠ =
⎛
⎝ 1 2 1
⎞
⎠+
⎛
⎝ 0 0 −1
0 1 0
1 0 0
⎞
⎠
⎛
⎝ x yz
⎞
⎠.
a) Demuestra quef es una isometr´ıa (movimiento).
b) Decide de manera razonada sif preserva o invierte la orientaci´on.
c) ¿Tiene f puntos fijos?
d) Clasifica la isometr´ıa y describe sus elementos geom´etricos.
3. Sea R={P;v1, v2} un sistema de referencia ortonormal (con respecto al producto escalar usual) en el plano af´ınA2R. Consideremos los puntos de coordenadasA= (1,0)R,B = (0,−1)R, C= (2,2)R yD= (−2,−2)R.
a) ¿Existe alguna traslaci´on T en A2R tal queT(A) =B yT(C) =D?
b) ¿Existe alguna simetr´ıa axialS en A2R tal queS(A) =B yS(C) =D? ¿Es ´unica? En el caso de respuestas positivas, calcula los elementos geom´etricos deS.
4. Sean R = {O;e1, e2} una referencia ortonormal y f : A2 → A2 un giro de ´angulo π/2 y centro un punto en la recta x+y= 1.
a) Escribe la matriz de la aplicaci´on lineal asociada a f. b) Escribe la expresi´on en coordenadas def respecto deR. c) Calcula la imagen por f del punto (1,1).
d) Describe geom´etricamente las im´agenes de (1,1) por todos los giros de ´anguloπ/2 y centro un punto en la rectax+y= 1.
5. Seaf :A3R→A3R la afinidad cuyas ecuaciones respecto al sistema de referencia ortonormal R={O;e1, e2, e3} son
f
⎛
⎝ x yz
⎞
⎠ =
⎛
⎝ 1 1 0
⎞
⎠+
⎛
⎝ −1 0 0 0 0 1 0 1 0
⎞
⎠
⎛
⎝ x yz
⎞
⎠. Prueba que es una isometr´ıa, clasif´ıcala y describe sus elementos geom´etricos.
6. Seaf :A3R→A3Rla isometr´ıa cuyas ecuaciones respecto al sistema de referencia ortonormal R={O;e1, e2, e3} son
f
⎛
⎝ x yz
⎞
⎠ =
⎛
⎝ 1 1 0
⎞
⎠−23
⎛
⎝ −1/2 1 1 1 −1/2 1
1 1 −1/2
⎞
⎠
⎛
⎝ x yz
⎞
⎠.
Clasifica esta isometr´ıa y describe sus elementos geom´etricos.
7. Considera las isometr´ıas fj(X) =aj+AX con
A= 1 9
⎛
⎝ 4 7 −4
1 4 8
8 −4 1
⎞
⎠ a1 =
⎛
⎝ 1 1 1
⎞
⎠, a2 = 1 9
⎛
⎝ −1
−1 4
⎞
⎠. Estudia cada uno de estos movimientos indicando sus elementos geom´etricos.
