ALGEBRA LINEAL Y GEOMETR´ ´ IA
(10-3-2018)
• Grado en Matem´aticas Curso 2017–18
Hoja 6
Geometr´ıa Af´ın I:
Espacio af´ın. Subespacios afines. Sistema de referencia cartesiana. Ecuaciones
1.Sea (A, V, ϕ) un espacio af´ın, y sea (L, W, ϕ) un subespacio af´ın (o variedad lineal), es decir,L=p0+W, dondep0es un punto enA.
a)Demuestra que sip, q∈L, entoncesϕ(p, q)∈W (con lo cual la aplicaci´onϕ:L×L→W est´a bien definida).
b) Demuestra que (L, W, ϕ) es un espacio af´ın en s´ı mismo, es decir, satisface los dos axiomas de la definici´on de espacio af´ın.
2. Sea (A, V, ϕ) un espacio af´ın. Dado un vector−→v ∈V y cuatro puntosp, q, r, stales quer=p+−→v y s=q+−→v, demuestra que−→pq=−→rs.
3. SeaS el conjunto de puntos (x, y, z) deA3(R) que satisfacen la condici´on 2x+y−z= 3. Demuestra, usando la definici´on, queS es un subespacio af´ın deA3(R).
4. Demuestra que un subconjunto H del espacio af´ın An(R) es una variedad lineal si y s´olo sipara todo par de puntos deH la recta que los une est´a contenida enH.
5. SeaT =∪n∈N{x+y=n}. Decide, de manera razonada, si el conjuntoT es una subvariedad lineal de A2(R).
6. Sea R={O;−→e1,−→e2} un sistema de referencia cartesiano en el espacio af´ınA2(R) respecto del cual el punto ptiene coordenadas (0,−1). Construye otro sistema de referencia en A2(R) respecto del cual el puntoptenga como coordenadas (−1,0).
7. SeanP, QyR tres puntos deA2(R) tales que−−→ P Qy−→
P Rson linealmente independientes.
a)Prueba que los vectores−→
RP y−−→
RQson linealmente independientes.
Considera las referencias cartesianasR={P;−−→ P Q,−→
P R} yR0 ={R;−→
RP ,−−→ RQ}.
b)Escribe las coordenadas cartesianas deP, QyR respecto aR.
c)Escribe las coordenadas cartesianas deP, Q yR respecto aR0.
d)Halla las ecuaciones de cambio de coordenadas entre las dos referencias.
e)Decide, de manera razonada, si existe alg´un punto enA2(R) con las mismas coordenadas respecto a los dos sistemas de referencia.
8. Determina unas ecuaciones impl´ıcitas de las subespacios afines Lt = pt+V de A4(R), donde pt = (1,−2,3, t) yV =L{−u→1,−→u2,−→u3} con−→u1= (1,1,0,0), −→u2= (0,0,1,1) y−u→3= (1,2,−1,0) en un sistema de referencia fijado. ¿Para qu´e valor det la variedadLtpasa por el origen?
9. Halla unas ecuaciones impl´ıcitas de la variedad lineal L de A4(R) generada por los puntos p1 = (1,0,0,1), p2= (0,1,0,1) yp3= (0,0,1,1), cuyas coordenadas est´an dadas con respecto a un sistema de referencia fijado. ¿Cu´al es la dimension deL?
10.Halla unas ecuaciones impl´ıcitas del subespacio af´ın deA5(R) generado por los puntosP1= (−1,2,−1,0,4), P2= (0,−1,3,5,1), P3= (4,−2,0,0,−3) y P4= (3,−1,2,5,2).
11. En A2(R) y con respecto de una referencia dadaR, se dan los puntos A= (1,1), B = (−2,0), los vectores−u→1= (1,2) y−→u2= (−1,1) y el subespacio af´ınLde ecuacionesx1−x2= 1.
a)Halla las coordenadas deB respecto al sistema de referenciaR0={A;−→u1,−→u2}.
b)Halla una ecuaci´on impl´ıcita deLcon respecto aR0.
12. Sea R0 un sistema de referencia en el plano A2(R) que se obtiene girando un ´angulo αen sentido positivo los vectores de un sistema de referencia can´onico R. Si C es la circunferencia cuyos puntos (x1, x2)∈R2satisfacen (x1−1)2+x22= 4 en el sistema de referenciaR, halla las ecuaciones deC en el sistema de referenciaR0.¿Cu´ales son las coordenadas del centro de la circunferencia respecto deR0? 13. EnA3(R) se consideran las referencias cartesianas:
R={O;−→u1,−→u2,−→u3}yR0={O0;−→v1,−→v2,−→v3}.
SeanO0R= (−1,6,2),−→v1=−→u1+ 3−→u2+−u→3,−→v2=−−→u1y−→v3= 2−u→1+ 5−→u2+ 7−→u3. Si un planoπtiene ecuaci´on 2x−y+ 3z= 0 enR, halla su ecuaci´on respecto aR0.
