Dataismo https://dataismo.org.pe Junio 2023 Volumen 3 / No. 5 ISSN e: 2710-4494 https://doi.org/10.53673/data.v3i5.170
Mtra. Arq. Mónica Angélica Medina Ramírez
Marcos Josué Rupay Vargas [email protected]
https://orcid.org/0000- 0002-7891-1838 Docente – Universidad Nacional Intercultural de la Selva Central “Juan Santos Atahualpa”, Junín, Perú
Kiomi Llumira Aliaga Veliz https://orcid.org/0009-0007-
5322-8825 [email protected]
Estudiante – Universidad Nacional Intercultural de la Selva Central “Juan Santos Atahualpa”, Junín, Perú
Elias Ramón Alex Beltrán Huamán https://orcid.org/0009-0009-
3417-8513 [email protected]
Estudiante – Universidad Nacional Intercultural de la Selva Central “Juan Santos Atahualpa”, Junín, Perú
Cristian Pool Gómez Aranda https://orcid.org/0000-
0002-0229-313X [email protected]
Estudiante – Universidad Nacional Intercultural de la Selva Central “Juan Santos Atahualpa”, Junín, Perú
Juan Renildo Huamani Curi https://orcid.org/0000-0002-
6953-6618 [email protected]
Estudiante – Universidad Nacional Intercultural de la Selva Central “Juan Santos Atahualpa”, Junín, Perú
Freud Cayo Yupanqui Navarro https://orcid.org/0000-0002-
7724-4033 [email protected]
Estudiante – Universidad Nacional Intercultural de la Selva Central “Juan Santos Atahualpa”, Junín, Perú
Recibido 15 de Marzo 2023 | Arbitrado y aceptado 03 de Abril 2023 | Publicado el 28 de Junio 2023
ARTÍCULO GENERAL
Determinación de la rigidez lateral de un pórtico con barras biarticuladas por el método de rigidez directa
Determination of the lateral stiffness of a frame with biarticulated bars by the direct stiffness method Determinação da rigidez lateral de um pórtico com barras biarticuladas pelo método de rigidez direta
RESUMEN
El planteamiento de este artículo propone la determinación de la rigidez lateral de un pórtico añadiendo el caso particular que la estructura se encuentra arriostrado por elementos biarticulados. La rigidez lateral, matemáticamente es el cociente de la carga lateral aplicada en el entrepiso y la deformación desarrollada por la carga. Por lo que, este análisis se sustenta en el método de la rigidez directa donde se busca hallar la matriz de rigidez que posibilita la determinación del vector de deformaciones. Este análisis busca la veracidad de los datos por lo cual se planteó comprobación mediante el programa estructural Ftool, donde se asignaron los valores correspondientes y obtuvimos los desplazamientos en el nodo de estudio. El desarrollo llevado a cabo son conocimientos obtenidos en el curso de Análisis Estructural II proporcionados en la UNISCJSA. El método de la rigidez directa implica definir: un sistema Q- D con sus respectivos grados de libertad y su vector Q asociado a cargas nodales, un sistema primario donde sólo se consideran los efectos causados por las cargas sobre los elementos, un sistema complementario en el que se asignan desplazamientos y giros unitarios, ensamblaje de la matriz de rigidez, definir el vector de deformaciones y obtener el vector de fuerzas internas. Según nuestro objetivo no es necesario definir el sistema primario ni el vector de fuerzas internas para determinar la rigidez lateral.
Palabras claves: Método de rigidez directo, rigidez lateral, pórticos, elementos biarticulados, vector de deformaciones, Ftool.
ABSTRACT
The approach of this article proposes the determination of the lateral stiffness of a frame adding the particular case that the structure is braced by bi-articulated elements. Lateral stiffness, mathematically, is the quotient of the lateral load applied to the mezzanine and the deformation developed by the load. Therefore, this analysis is based on the direct stiffness method where it seeks to find the stiffness matrix that makes it possible to determine the deformation vector. This analysis seeks the veracity of the data, for which verification was proposed through the structural program Ftool, where the corresponding values were assigned and the displacements in the study node were obtained. The development carried out is knowledge obtained in the Structural Analysis II course provided at UNISCJSA. The direct stiffness method involves defining: a Q-D system with its respective degrees of freedom and its vector Q associated with nodal loads, a primary system where only the effects caused by the loads on the elements are considered, a complementary system in which Unitary displacements and turns are assigned, assembling the stiffness matrix, defining the vector of deformations and obtaining the vector of internal forces. According to our objective, it is not necessary to define the primary system or the vector of internal forces to determine the lateral stiffness.
Keywords: Direct stiffness method, lateral stiffness, frames, bi-articulated elements, strain vector, Ftool.
RESUMO
A abordagem deste artigo propõe a determinação da rigidez lateral de um pórtico acrescentando o caso particular de que a estrutura é contraventada por elementos biarticulados. A rigidez lateral, matematicamente, é o quociente entre a carga lateral aplicada ao mezanino e a deformação desenvolvida pela carga.
Portanto, esta análise é baseada no método de rigidez direta onde se busca encontrar a matriz de rigidez que permite determinar o vetor de deformação. Esta análise procura a veracidade dos dados, para o que se propôs a verificação através do programa estrutural Ftool, onde foram atribuídos os valores correspondentes e obtidos os deslocamentos no nó de estudo. O desenvolvimento realizado é conhecimento obtido no curso de Análise Estrutural II ministrado na UNISCJSA. O método da rigidez direta envolve a definição de: um sistema Q-D com seus respectivos graus de liberdade e seu vetor Q associado a cargas nodais, um sistema primário onde são considerados apenas os efeitos causados pelas cargas nos elementos, um sistema complementar em que deslocamentos unitários e voltas são atribuídas, montando a matriz de rigidez, definindo o vetor de deformações e obtendo o vetor de esforços internos. De acordo com nosso objetivo, não é necessário definir o sistema primário ou o vetor de forças internas para determinar a rigidez lateral.
Palavras-chave: Método de rigidez direta, rigidez lateral, pórticos, elementos
INTRODUCCIÓN
El método de rigidez directa es un procedimiento que permite calcular las fuerzas internas y los desplazamientos de una estructura sometidas a cargas laterales, este método se basa en el planteamiento de matrices correspondiente a las ecuaciones de equilibrio, compatibilidad y relaciones constitutivas de cada elemento de la estructura.
El desarrollo de este artículo busca minimizar la dificultad y tiempo del cálculo de la rigidez lateral de un pórtico con barras biarticuladas mediante el método de rigidez directa alcanzando un resultado verídico. Además, que se conozca el procedimiento correcto y adecuado en la determinación de la rigidez lateral.
En la actualidad no hay mucha información sobre el calculo de la rigidez lateral mediante el método de la rigidez directa para un pórtico con barras biarticuladas, como consecuencia dificulta el análisis de pórticos con barras biarticuladas.
El fin del presente artículo es demostrar cómo se determina la rigidez lateral de un pórtico con barras biarticuladas mediante el método de rigidez directa, empleando el programa Ftool para sus deformaciones.
RIGIDEZ LATERAL
Se denomina rigidez lateral a la fuerza que se opone al desplazamiento desarrollado por una carga. Esta fuerza se sitúa en un nodo perteneciente a un entrepiso o elemento que divida la estructura en niveles. Matemáticamente, se define como la carga dividida por el desplazamiento. Por ende, es necesario encontrar el desplazamiento asociado a un grado de libertad lateral para calcular la rigidez lateral. Así mismo, cuando la estructura presenta elementos biarticulados esta rigidez se ve afectada debido a que dichos elementos aportan rigidez lateral.
MÉTODO DIRECTO DE LA RIGIDEZ
Este método demuestra que la superposición de los desplazamientos conduce a un juego de ecuaciones, cuyo significado físico es que las cargas nodales (para el sistema Q – D seleccionado) se pueden expresar como combinaciones lineales de los
desplazamientos nodales. También se definió el significado físico de coeficientes de Rigidez, kij. (OTTAZZI PASINO, 2014)
El Método De La Rigidez Esta Basado En:
a) La superposición de desplazamientos
b) Las incógnitas son los desplazamientos de los nudos o grados de libertad (D).
c) Las fuerzas de extremo de barra son forzadas a cumplir las ecuaciones de equilibrio de nudo.
d) A través de las ecuaciones de equilibrio de nudo se obtiene un sistema de ecuaciones lineales (ecuaciones de equilibrio de nudo) en las cuales las incógnitas son los desplazamientos de los nudos {𝑄} = [𝐾] {𝐷}
e) La compatibilidad siempre está garantizada mediante la correlación entre los desplazamientos nodales y las deformaciones de extremo de las barras que concurren al nudo (relaciones D – d). Dicha relación, se expresan mediante {𝑑} = [𝐴] {𝐷} donde [𝐴] en la matriz de compatibilidad.
f) Las relaciones constituidas, a nivel de las barras, se expresan mediante {𝑞} = [𝑘] {𝑑} donde [𝑘] es la matriz de rigidez de la barra.
g) Es aplicado tanto a estructuras isostáticas como a hiperestáticas. (OTTAZZI PASINO, 2014)
Etapas del Método de la Rigidez
a) Determinación del sistema Q-D de la estructura.
b) Realizar el cálculo para la identificación de las cargas en los nodos, y el respectivo ensamblaje del vector {𝑄}.
c) Ensamblaje de la Matriz de Rigidez [𝐾]. Previo cálculo de los coeficientes de rigidez según los giros y desplazamientos unitarios.
d) Obtención del vector desplazamiento {𝐷} = [𝐾]!"{𝑄}
e) Cálculo del vector {𝑄} = [𝐾] {𝐷}.
(OTTAZZI PASINO, 2014) METODOLOGIA
La exposición de este artículo comprende la determinación de la rigidez lateral para un sistema de pórticos propuesto en combinación con elementos biarticulados, el proceso implicará abarcar el método de la rigidez directa para la obtención de la matriz de rigidez.
Por tanto, el procedimiento se basará en:
a) Definir la matriz de rigidez para la estructura propuesta.
b) Determinar la rigidez lateral.
c) Verificar el análisis con un programa de cálculo estructural.
Por consiguiente, se presenta la estructura en mención:
FUENTE: Elaboración propia.
Para los elementos de la estructura se condicionan las siguientes propiedades:
Barras del pórtico:
𝐸𝐼 = 1000 𝑡𝑜𝑛 − 𝑚# 𝐸𝐴 = ∞
Ilustración 1. Estructura definida
2.0 𝑚 2.0 𝑚
𝟒. 𝟎 𝒎
𝟔. 𝟎 𝒎 𝟔. 𝟎 𝒎
𝟒. 𝟎 𝒕𝒐𝒏/𝒎 𝟑 𝒕𝒐𝒏
3.0 𝑚
𝟐. 𝟎 𝒕𝒐𝒏
2.0 𝑚 𝟐. 𝟎 𝒕𝒐𝒏
𝟏 𝟐 𝟑
𝟒 𝟓 𝟔
𝟐. 𝟎 𝒕𝒐𝒏
Barras biarticuladas:
𝐸𝐼 = ∞ 𝐸𝐴 = 5000 𝑡𝑜𝑛
a) Definir la matriz de rigidez para la estructura propuesta.
SISTEMA Q-D
En este apartado debemos identificar los grados de libertad de la estructura de estudio. Los grados de libertad hace referencia a los desplazamientos y rotaciones que nuestra la estructura, se puede presentar de manera independiente. Estos casos ocurren en los nodos por lo que es en ellos donde debemos definirlos. En nuestro análisis consideraremos 4 grados de libertad.
FUENTE: Elaboración propia.
El vector Q asocia las cargas externas con los grados de libertad, por lo que para este vector sólo se considera cargas nodales. Un grado de libertad que implica desplazamiento corresponde a una fuerza ya sea horizontal o vertical de acuerdo a la orientación de la primera. Para un grado de libertad que implica giro corresponde
𝑄 = F 1 00 0 G
Ilustración 2. Sistema Q-D
3 4
1 2
𝟏 𝟐 𝟑
𝟒 𝟓 𝟔
momentos. Pero cuando se quiere hallar la rigidez lateral, sólo se considera una carga asociada al grado de libertad horizontal, para este caso nos referimos al grado de libertad 1. La carga que se asuma puede presentar cualquier magnitud porque el valor de la rigidez lateral siempre es el mismo.
Para probar lo antes mencionado, se asume un segundo caso del vector Q.
𝑄 = F 5 00 0
G
SISTEMA COMPLEMENTARIO
En esta sección se evalúan los coeficientes de rigidez que se desarrollan en los elementos dada una configuración determinada, esto hace alusión a que se generarán giros y desplazamientos unitarios. Únicamente se recolectarán los coeficientes de los nodos donde existan grados de libertad.
D1 = 1
FUENTE: Elaboración propia.
Ilustración 3. Deformada cuando D1=1
𝜹 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝜹 = 𝒄𝒐𝒔𝜽
𝟏
𝟏 𝟐 𝟑
𝟒 𝟓 𝟔
𝟏
𝜽 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟔
𝟐√𝟏𝟑
𝟏
𝑳 = 𝟐√𝟏𝟑 𝑳 = 𝟐√𝟏𝟑
Cuando D1=1, las bielas se deforman por tracción como se observa en la ilustración 3. Sus longitudes se incrementan un valor de 𝑐𝑜𝑠𝜃. La fuerza interna que se desarrolla en estas es axial con una magnitud de 𝑃 = T$%&U 𝛿 lo cual equivale a 576.92308 ton.
FUENTE: Elaboración propia.
𝑘""= 1522.55804
𝑘#" = −375
𝑘'" = −375
𝑘(" = −375
D2 = 1
Cuando D2=1, las bielas no se deforman debido a que los nodos no se desplazan en ni en x ni en y. Es por ello que no hay necesidad de generar su deformada.
Ilustración 4. Coeficientes de Rigidez cuando D1=1
𝟏 375
187.5
375
187.5
375
187.5 𝟏
576.92308 576.92308
𝟏 𝟐 𝟑
𝟒 𝟓 𝟔
480.02902 480.02902
320.019345 320.019345
FUENTE: Elaboración propia.
𝑘"#= −375
𝑘##= 5000 3 𝑘'#= 1000
3 𝑘(#= 0
Ilustración 5. Coeficientes de Rigidez cuando D2=1
𝟏 𝟏 1000
2000 3
375
1000 3
𝟏 𝟐 𝟑
𝟒 𝟓 𝟔
D3 = 1
FUENTE: Elaboración propia.
𝑘"'= −375
𝑘#'= 1000 3 𝑘''= 7000
3 𝑘('= 1000
3
Ilustración 6. Coeficientes de Rigidez cuando D3=1.
𝟏 𝟏 𝟏
1000 375 2000
3 1000
3 2000
3
1000 3
𝟏 𝟐 𝟑
𝟒 𝟓 𝟔
D4 = 1
FUENTE: Elaboración propia.
𝑘"(= −375
𝑘#(= 0 𝑘'(= 1000
3 𝑘((= 5000
3
ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ
Ilustración 7. Coeficientes de Rigidez cuando D4=1.
𝟏
𝟏 1000
2000 375 3 1000
3
𝟏 𝟐 𝟑
𝟒 𝟓 𝟔
𝑘 = \
1522.55804 −375 −375 −375
−375 5000/3 1000/3 0
−375−375 1000/3 0
7000/3 1000/3
1000/3 5000/3
]*EI
VECTOR DE DEFORMACIONES CASO 1
𝐷 = \
1522.55804 −375 −375 −375
−375 5000/3 1000/3 0
−375
−375 1000/3 0
7000/3 1000/3
1000/3 5000/3 ]
!"
× F 1 00 0
G = F
0.00075143 0.0001537 0.00007685
0.0001537 G
CASO 2
𝐷 = \
1522.55804 −375 −375 −375
−375 5000/3 1000/3 0
−375
−375 1000/3 0
7000/3 1000/3
1000/3 5000/3 ]
!"
× F 5 00 0
G = F
0.00375715 0.00076851 0.00038425 0.00076851
G
b) Determinar la rigidez lateral.
CASO 1
𝑘&%) =𝑄
𝐷 = 1
0.00075143= 1330.796 𝑡𝑜𝑛/𝑚 CASO 2
𝑘&%) =𝑄
𝐷 = 5
0.00375715= 1330.796 𝑡𝑜𝑛/𝑚 c) Verificar el análisis con un programa de cálculo estructural.
El programa a emplear es Ftool, de este se obtendrán las deformaciones que nos indicarán la veracidad de los resultados.
CASO 1
FUENTE: Elaboración propia.
FUENTE: Elaboración propia.
𝑘&%) =𝑄
𝐷 = 1
0.00075143 = 1330.8 𝑡𝑜𝑛/𝑚
Ilustración 8. Asignación de carga en Ftool Caso 1
Ilustración 9. Desplazamiento en Ftool Caso 1
CASO 2
FUENTE: Elaboración propia.
FUENTE: Elaboración propia.
𝑘&%) =𝑄
𝐷 = 5
0.0037571 = 1330.8 𝑡𝑜𝑛/𝑚
Ilustración 10. Asignación de carga en Ftool Caso2
Ilustración 11. Desplazamiento en Ftool Caso 2
CONCLUSIÓN
§ La rigidez lateral es una fuerza que se opone al desplazamiento lateral de la estructura, ésta se encuentra ubicada en los entrepisos, es decir entre niveles.
§ Su obtención sólo implica calcular la deformación que produce una fuerza controlada en el entrepiso.
§ En su cálculo no importan las cargas que puedan ir en los elementos del pórtico seleccionado para este ejemplo, sólo se debe considerar la carga nodal de valor cualquiera.
§ La rigidez lateral es la misma sin importar la carga a la cual sea sometida, esto fue verificado en el ejercicio desarrollado.
§ No es necesario considerar el sistema primario, ya que lo que se busca es solo es valor del desplazamiento lateral.
AGRADECIMIENTO
§ Damos todo el agradecimiento a Dios en primer lugar por la vida que aún no provee y también a nuestros padres por el gran esfuerzo que realizan por ayudarnos a lograr nuestros objetivos.
§ Hacemos mención de nuestro afectuoso agradecimiento al Magister Ingeniero Marcos Josue Rupay Vargas, mediante quién se obtuvieron los conocimientos expuestos en este artículo.
REFERENCIAS
Kassimali, A. (2014). Análisis Estructural. México: CENGAGE Learning.
OTTAZZI PASINO, G. (2014). ANALISIS ESTRUCTURAL I.
Rojas Rojas, R., & Padilla Punzo, H. (s.f.). ANÁLISIS ESTRUCTURAL CON MATRICES.
San Nicolás de Hidalgo: Trillas.
RUPAY VARGAS, M. J. (2023). APUNTES DE CLASE DE ANALISIS ESTRUCTURAL II. CHANCHAMAYO: UNISCJSA.
