ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
(5-12-2015) • Grado en Matem´aticas
Curso 2015-2016 • Hoja B1
1. (Definici´on) Consideramos el conjunto A ={0,2,4,6,8} con la suma m´odulo 10 y la multiplicaci´on definida seg´un la f´ormulaa·b= ab2 m´od 10. Demuestra que con esas operacionesAes un anillo, y resuelve la ecuaci´on 6·x·x= 4 en dicho anillo.
2. (Definici´on) Construye tablas para la suma y multiplicaci´on que hagan deR={0,1, c, d} un cuerpo de cuatro elementos.
3. (Ejemplos) Determinar si los siguientes conjuntos con las correspondientes operaciones son:
anillo anillo conmutativo anillo con unidad dominio de integridad anillo de divisi´on cuerpo
a)(C([0,1]),+,·), dondeC([0,1]) :={f : [0,1]−→Rcontinua}y parax∈[0,1] definimos las operaciones (f +g)(x) =f(x) +g(x), (f ·g)(x) =f(x)g(x).
b)(Mn(A),+,·) donde (A,+,·) es una anillo con unidad y las operaciones en Mn(A) son las inducidas por las deA.
c)(Z[√
d],+,·), dondedes un entero libre de cuadrados,Z[√
d] ={a+b√
d|a, b∈Z}y las operaciones se definen como:
(a+b√
d) + (a0+b0√
d) = (a+a0) + (b+b0)√ d, (a+b√
d) · (a0+b0√
d) = (aa0+bb0d) + (ab0+ba0)√ d.
d)(Q[i],+,·) dondeQ[i] ={a+bi|a, b∈Q}y las operaciones son las inducidas deC. 4. (Ejemplos) Decidir si los siguientes conjuntos son subanillos deR:
R1={a+b√2
3|a, b∈Z}, R2={a+b√3 3 +c√3
9|a, b, c∈Z}, R3={a+b√3
3|a, b∈Z}.
5. (Ejemplos) Definimos el conjunto N =
( a b
−b a
!
: a, b∈R )
. Demostrar que N es un cuerpo con las operaciones suma y producto de matrices.
6. (Dominios y cuerpos) Sea A un anillo conmutativo con unidad. Supongamos que A es finito (i.e.
|A|<∞).
a)Demuestra que todo elemento no nulo deAes bien un elemento invertible, bien un divisor de cero.
b)Demuestra que siAes un dominio de integridad entonces es un cuerpo.
c)Decide de manera razonada si las afirmaciones anteriores son ciertas si no suponemos queAes finito.
7. (Divisores de cero) Calcula el n´umero de divisores de cero del anilloZ8×Z10. 8. (Invertibles) Calcula los elementos invertibles de los siguientes anillos:
Z, Z[i], Z[√
−2], Z[√
−5], Zn, M2(Q), M2(Z), M2(Z4).
9. (Invertibles) Calcula alg´un elemento invertible deZ[√
5] distinto del 1.
10. (Ecuaciones)
a)¿Cu´antas soluciones tiene la ecuaci´on 2x= 4 enZ12?
b)Demuestra que siR es un dominio de integridad, entonces la ecuaci´onax=b cona, b∈R,a6= 0 o bien no tiene soluci´on, o bien tiene soluci´on ´unica.
c)SeaAun anillo y seaa∈Aun elemento tal quea2=a. Decide de manera razonada si necesariamente a= 0 oa= 1.Sugerencia: Analiza el casoa= 5∈A=Z20.
d)Encuentra todas las soluciones de la ecuaci´onx2−5x+ 6 = 0 enZ12, enZ7, y enZ2. e)Observa que el n´umero de soluciones dex3+x+ 2 = 0 enZ7 es distinto que enZ5.
f )Demostrar que la ecuaci´onx6+y6= 3z6tiene soluci´on ´unica en n´umeros enteros (Ayuda: considerar primero esta ecuaci´on sobreZ7).
11. (Caracter´ıstica) Sea Aun anillo conmutativo con unidad. Se define la caracter´ıstica de A, char(A), como el m´ınimo n tal que 1+ · · ·n +1 = 0. En caso de que no exista tal n, se dice que char(A) = 0.
Demostrar que siAes un dominio, entonces char(A) = 0 opun primo.
12. (Ideales) Sea r ∈ R. Decidir si el conjunto Mr = {f ∈ C([0,1])|f(r) = 0} es un ideal del anillo C([0,1]).
13. (Ideales) Seana, b∈Z. Demuestra queh{a, b}i=aZ+bZ=mcd(a, b)Z y aZ∩bZ=mcm(a, b)Z. 14. (Ideales deZ)
a)Demuestra que todo ideal enZes principal. Es decir, todo idealI deZes de la formaI=nZpara alg´unn∈Z.
b)Halla todos los ideales primos deZ, e indica cu´ales son maximales.
c)Demuestra queZ/nZes un cuerpo si y s´olo sines primo.
15. (Ideales primos y maximales) Encuentra todos los ideales maximales enZ8,Z10, Zn.
16. (Anillos) Si A y B son dos anillos, probar que el producto cartesiano A×B tambi´en lo es con las operaciones obvias (componente a componente).
17. (Ideales primos y maximales) SeaA=Z×Zel anillo producto cartesiano deZconZ. a)Demuestra que{(3x, y) :x, y∈Z}es un ideal maximal deA.
b)Demuestra que{(a,0) :a∈Z} es un ideal primo pero no maximal enA.
18.(Anillo cociente) Sean los anillosA1=Z[√
3] ={a+b√
3|a, b∈Z}yA2=Z[√
2] ={a+b√
2|a, b∈Z}.
Consideramos los anillos cocienteRi =Ai/2Ai. Parai= 1,2, calcular:
a)el tama˜no deRi,
b)todos los subgrupos deRi como grupo con la suma, c)todos los ideales deRi.
19. (Homomorfismos) Demuestra queN=
( a b
−b a
!
: a, b∈R )
es isomorfo aC. 20. (Homomorfismos) ¿Son ciertos los siguientes isomorfismos de anillos?
Z'Z[i], Q(√
−2)'Q(√
2), Q(√
2)'Q(√ 3).
21. (Teorema de Isomorf´ıa) SeaR un anillo eIyJ ideales deR comaximales, es decir conI+J =R.
a)Demuestra elTeorema Chino de los restos: tenemos queI∩J =IJ yR/IJ ∼=R/I×R/J.
Sugerencia: aplica el teorema de isomorf´ıa al homomorfismo natural f :R→R/I×R/J.
b)Aplica dicho resultado para demostrar que existe soluci´onx, z∈Zde la ecuaci´onx4+x+1 = 11·17z.
c)Calculaα, βenZ11·17tales queα= 1 (m´od 11),α= 0 (m´od 17) yβ = 0 (m´od 11), β = 1 (m´od 17).
Usalos para calcular una soluci´´ on expl´ıcita a la ecuaci´on de b).
