Examen de Admisi´on al Programa de Posgrado en Matem´aticas Universidad de Sonora
Convocatoria de Ingreso 2016
Primera Parte: Examen de ´Algebra Lineal
1. Falso o Verdadero (Falso: Dar contraejemplo. Verdadero: Argumentar). Siλ es eigenvalor de A y γ es eigenvalor de B
(a) λ2 es eigenvalor de A2
(b) Si λ6= 0 yA es invertible, λ−1 es eigenvalor de A−1 (c) λ+γ es eigenvalor de A+B.
2. Encuentre una base para el rango y el espacio nulo para la siguiente matriz
A=
1 3 3 2
2 6 9 5
−1 −3 3 0
3. Dar tres ejemplos de subespacios lineales de R3.
4. Si B es la inversa de A2 muestre que AB es la inversa deA.
5. Sea Pk el espacio de polinomios de grado menor o igual que k y definamos el mapeo lineal L:Pk → Pk+1 mediante (Lp)(x) =p00(x) +xp(x).
(a) Demuestre que el polinomio q(x) = 1 no est ˜A¡ en la imagen de L. [Sugerencia: intente primero el caso k = 2.]
(b) Sea V = {q(x) ∈ Pk+1
q(0) = 0}. Demuestre que el mapeo L : Pk → V es invertible.
[Sugerencia: de nuevo, intente primero el caso k = 2.]
6. Supongamos que A es una matriz 3 × 3 con eigenvalores λ1 = −1, λ2 = 0 y λ2 = 1 y eigenvectores correspondientes~v1 =
1 0 2
, ~v2 =
−1 1 0
y~v3 =
0 0 1
.
(a) Encuentre la matriz A.
(b) Calcule la matriz A34.
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Examen de Admisi´on al Programa de Posgrado en Matem´aticas Universidad de Sonora
Convocatoria de Ingreso 2016
Segunda Parte: Examen de C´alculo
1) Sea f :R→R una funci´on tal que f(0) = 1, f es derivable en x= 0 y f(x+y) =f(x)f(y), ∀x, y ∈R.
Demuestre que f es derivable en Ry determine f0(x).
2) Demuestre o de un contraejemplo para la siguiente afirmaci´on: Si f, g : R → R son funciones tales que
limt→ag(t) =b y lim
t→bf(t) = c, entonces limt→af(g(t)) = c.
3) Sea f :R2 →R la funci´on definida por f(x, y) =
c(x−y)2, si 0≤x < y ≤1
0, en otro caso.
Determinar el valor dec tal que
Z Z
R2
f(x, y)dxdy = 1.
4) (a) Demostrar que si a >1 entonces
n→∞lim n3 an = 0 (b) Demuestre que la sucesi´on (xn) definida por
xn = 2 n2 + 4
n2 +· · ·+2n n2 converge y determinar el valor del l´ımite.
5) Sea f :R→R una funci´on continua. Muestre que para a y b, n´umeros reales positivos, Z 0
−b/a
f(b+ax)dx= Z b/a
0
f(b−ax)dx.
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