Examen de Admisión. Convocatoria 2019
Programa de Posgrado en Matemáticas Universidad de Sonora
Primera parte: Algebra Lineal.
Duración máxima: 2 horas.
1. Demuestre que:
a) Si es un valor propio de la matriz A asociado al vector propio v, entonces k es valor propio deAk asociado al vectorv.
b) Sip(x) = 0+ 1x+ 2x2+ + nxnes un polinomio cualquiera yAes una matriz, p(A) = 0+ 1A+ 2A2+ + nAn. Supongamos que es un valor propio de A asociado al vector propiov, entoncesp( )es valor propio de p(A) asociado al vector v.
2. Sea P1 el conjunto de polinomios de grado a lo más 1, y T :P1 !R2 la función de…nida por la fórmula
T(p(x)) = (p(0); p(1)) (a) EncontrarT(4 2x)
(b) Demostrar queT es una transformación lineal (c) Demostrar queT es uno a uno
(d) EncontrarT 1(2; 1)y gra…carla
3. Sea A una matriz de n n no sigular cuyas entradas son solo unos y ceros, ¿cuál es la mayor cantidad de unos que puede tener?
4. Sea P2, el espacio de polinomios de grado a lo más 2, con el producto interior hp; qi=
Z 1 0
p(x)q(x)dx
Aplicar el proceso de Gram-Schmidt para transformar la base estandar S =f1; x; x2g en una base ortonormal.
5. Sea V un espacio vectorial de dimensión n y T :V ! V una transformación lineal tal que, kernel(T) = f0g y el conjunto fu1; u2; : : : ; ung una base para V. ¿Son los vectores T u1; T u2; : : : ; T un linealmente dependientes?, argumente su respuesta.
6. Demostrar que una matriz ortogonal Ade 2 2 tiene una de las dos formas posibles:
A= 2 4
cos sin
sin cos 3
5 ó A=
2 4
cos sin
sin cos
3 5 donde0 <2 .
Problema opcional
7. Explique porque los valores propios de ATA y AAT son reales y no negativos para cada matriz Ade m n. Cuándo estos valores propios son estrictamente positivos?
Sugerencia: Considere jjAxjj22
jjxjj22
.
2
Segunda parte: Cálculo Diferencial e Integral Duración máxima: 2 horas.
1) Calcular el ín…mo y el supremo del conjunto A= m
jmj+n :m2Z; n2N : 2) Encunetre los valores de para los cuales la serie
X1 n=0
1
( 2+ 3)n converge.
3) Seaf una función diferenciable enx=a: Calcular
xlim!a
xf(a) af(x)
x a :
4) Seaf una función diferenciable enx=a >0y tal quef(a)>0:Calcular
xlim!a
f(x) f(a)
1 lnx lna
: 5) Calcular la derivada de la siguiente función:
F(x) = Z Z x
a
exp( t2)dt a
exp( t2)dt:
6) SeaDla región comprendida entre el ejeyy la parábolax= 4y2+ 3:Calcular la integral Z
D
x3ydxdy:
Problemas opcionales
7) Seaf : [0;1] [0;1]!Rcontinua yg: [0;1]!R, la función de…nida por g(x) = supff(x; y) : 0 y 1g:
Demuestre que g es continua en[0;1].
8) Sea f : [1;1) !R una función decreciente y positiva yg: [1;1)! Runa antiderivada de f, es decir,g0(x) =f(x) para todax 2[1;1). Demuestre que P1
k=1f(k) converge si y solo sig es acotada.
9) Seaf : [a; b]![a; b]continua en[a; b]y derivable en(a; b). Supóngase que existe 2(0;1), tal quejf0(t)j para todat2(a; b). Demuestre quef tiene un único punto …jox02[a; b], es decir, f(x0) =x0.
