ECUACIONES LINEALES
Espacio Cociente, Espacio Af´ın
2.1 Proposici´on:
SeaV un espacio vectorial y W un subespacio deV. Si en el co-ciente de grupoV /W definimosα[v] = [αv] entoncesK×V /W →V /W as´ı definido es una multiplicaci´on por escalar yV /W es un espacio vec-torial.
Demostraci´on:
[v] = [w]↔v−w ∈W. As´ı pues para cada α∈K, α(v−w)∈W ´o equivalentemente αv −αw ∈ W. De donde [αv] = [αw]. Las dem´as propiedades son rutina 2
Seav∈V recordemos que [v] =v+W ={v+w|w∈W}. Recordemos adem´as que la ´unica clase subgrupo de V es [0] = W. As´ı pues en nuestro caso (trabajando con espacios), la ´unica clase de V /W que es un subespacio de V esW. Sin embargo como se sabeϕ:W →v+W, (w → v +w) es una funci´on uno a uno y sobre y como W tiene estructura de espacio vectorial tambi´en tiene v+W (pero no como subespacio de v). As´ı:
(v+w1) + (v+w2) = v+ (w1+w2)
α(v+w) = v+ (αw)
2.2 Definici´on:
i Sea W un subespacio de V. A las clases de equivalencia de V m´oduloW se les llamalos espacios afines generados por W en V.
ii SeanAyB dos subespacios deV. Decimos queAesparaleloa B (y lo denotamosA||B) si existeW, subespacio deV tal queA yB son subespacios afines generados por W. Tambi´en decimos queA es una traslaci´on paralela de B.
Note que la palabra “af´ın” no es caprichosa. En efectoϕ:W →v+W como se defini´o arriba es un isomorfismo de espacios vectoriales y la funci´onv →V,w7→v+W se llama unafunci´on de traslaci´on.
Es obvio adem´as, de lo dicho, que todo par de subespacios afines deV tienen la misma dimensi´on y para calcularla puede ser ´util la relaci´on corriente.
2.3 Proposici´on:
i π:V →V /W,x7→x+W es una funci´on lineal.
ii dim V /W +dim W =dim V.
Particularmente en el caso en queK sea finita el teorema de Lagrange dice que el n´umero de espacios afines es el cociente del n´umero de elementos de V por el n´umero de elementos de W.
Los Espacios Afines de una Aplicaci´on Lineal
Cuando f :A→B es una funci´on entonces a1 ∼a2 ↔f(a1) =f(a2) es obviamente una relaci´on de equivalencia. De hecho toda relaci´on de equivalencia es de este tipo y est´a dado por A → A/R, a 7→ [a] si A es el conjunto yR la relaci´on. Naturalmente para la relaci´on definida por f se tiene que [a] =f−1(b) ↔f(a) =b. A f1(b) lo llamamos (en
En el caso de que f :V → W sea una funci´on K-lineal entonces las fibras tienen estructura de K-espacio vectorial. De hecho las fibras son subespacios afines de V.
2.4 Proposici´on:
Seaf :V →W una funci´on lineal. Entonces
i La relaci´on de f sobre V y la relaci´on mod(ker f) coinciden.
ii Si b∈ W, entonces f−1(b) = v+ker f en donde v es cualquier elemento de f−1(b).
iii Las fibras de f son espacios afines de W, traslaci´on paralela de ker f.
Demostraci´on:
i Sea∼f la relaci´on inducida porf enV. Tenemosx∼f y↔f(x) = f(y)↔f(x−y) = 0↔(x−y)∈ker f.
ii Como∼f ymod(ker f) son relaciones que coinciden tambi´en sus
clases de equivalencia. Si b ∈ W, f−1(b) es una clase de ∼f (determinada por b) y si v ∈f−1(b) entonces f−1(b) = [v] pero [v] es la clase de v,mod(ker f). Es decir [v] =v+ker f.
iii Este punto es obvio 2.
Sistemas de Ecuaciones
2.5 Definici´on:
Una ecuaci´on del tipo f(x) = b, en donde f : V → W es una funci´on lineal, se llama un sistema de ecuaciones K-lineales. Cuando no hay posibilidad de error se dice quef(x) =bes unsistema (lineal).
ellos es por supuesto, la fibra debpor f,f−1(b). Se tiene entonces de manera inmediata que
2.6 Proposici´on:
Sif :V →W es lineal yb∈Im f, entonces:
i Las soluciones def(x) =bforman un espacio af´ın de V.
ii Sives soluci´on def(x) =b, entonces el espacio af´ın de soluciones def(x) =b esv+ker f.
iii Si{v1, ..., vp}es una base deker f (sobreK) yv es una soluci´on
def(x) =b, entonces toda otra es de la forma
x=v+α1v1+α2v2+....+αpvp conαi ∈K,∀i= 1,2, ..., p
Es claro que, entonce,ker f =f−1(0) es b´asico en la descripci´on de las soluciones de f(x) =b. Pero ker f mismo es la soluci´on de f(x) = 0. Le damos nombre especial:
2.7 Definici´on:
Seaf :V →W lineal, entonces:
i f(x) = 0 se llama el sistema homog´eneo de f.
ii Dado f(x) =b, f(x) = 0 se llamel sistema homog´eneo aso-ciado a f(x) = b.
2.8 Corolario de 2.6:
i Un sistema f(x) = b tiene un subespacio de v como soluci´on si y s´olo si b= 0.
ii La soluci´on de f(x) =b (si existe) es una traslaci´on paralela de la soluci´on homog´eneaf(x) = 0 (asociada a f(x) =b).
Complementemos la parte iii de 2.8, caracterizando la existencia y unicidad de soluciones de un sistema lineal.
2.9 Proposici´on:
Sean V y W espacios de dimensi´on finita y f : V → W una funci´on k-lineal. Entonces las siguientes afimaciones son equivalentes.
i dim V =dim W yf es inyectiva.
ii dim V =dim W yf es sobreyectiva.
iii dim V =dim W y toda ecuaci´on f(x) =btiene soluci´on.
iv Todo sistemaf(x) =b tiene exactamente una soluci´on.
v dimV =dimW y la ecuaci´on homog´enea def tiene exactamente una soluci´on.
Demostraci´on:
Recordemos que dim V =dim Im f+dim ker f.
i→ii Si f es inyectiva dim ker f = 0. As´ı pues dim Im f =dim V = dim W (hip´otesis) por tanto Im f =W.
ii→iii Es obvio.
iii→iv Supongo que f(x) = b tiene m´as de una soluci´on, entonces dim ker f 6= 0 y por tanto dim V 6=dim Im f =dim W.
iv→v y v→i son obvios.
Sistemas Equivalentes
Supogamos f : V → W una funci´on lineal. Si {v1, ..., vn} es una
base de V y{w1, ..., wn} una de W, entonces una ecuaci´on f(x) = b
toma la forma f(x1v1 +...+xnvn) = b1w1+...+bmwm si y s´olo si
coordenadas y bases se tiene que sib(vi) =αi1w1+...+αimwmentonces f(x) =b llega a ser (escritura en columna)
A1 A2 .. . An
·X=
α11 α12 · · · α1m
α21 α22 · · · α2m
..
. ... ... αn1 αn2 · · · αnm
x1 x2 .. . xn = b1 b2 .. . bn
Como en la escritura en coordenadas el espacio mismo en consideraci´on es irrelevante pensamos enf como una funci´on Km→Kn.
2.10 Proposici´on:
i Para todok6= 0,∀f :V →W las fibras def ykf son id´enticas.
ii Los sistemas siguientes tienen las mismas soluciones:
A1X = b1 A1(X) = b1 A2X = b
2 A2(X) = b2 ..
. ...
A(i)X = bi α(A(i)X) = αbi
..
. ...
A(n)X = bn A(n)X = bn
Para el siguiente paso vale la pena usar notaci´on de producto de ma-trices. SeanAi∈Knparai= 1,2, ..., myBj ∈Knparaj= 1,2, ..., r.
Se define A1 A2 .. . An
·(B1, ..., Br) =
A1B
1 · · · A1Br
A2B2 · · · A2Br
..
. ...
AnB1 · · · AnBr
El producto de matrices distribuye sobre la suma y se tienen las f´ormulas:
i (−A)·B =−(AB).
iii (αA)·B=α(A·B).
2.11 Proposici´on:
Seaf, g:V →W. Entonces
f1(b)∩g−1(c) =f−1(b)∩(f +g)−1(b+c)
´
o equivalentemente las soluciones de los sistemas i y ii dados a con-tinuaci´on coinciden:
i f(x) =by g(x) =c.
ii f(x) =by (f+g)(x) =b+c.
La soluci´on de los dos sistemas dados a continuaci´on coinciden.
A1·X = b
1 A1·X = b1 A2·X = b2 A2·X = b2
..
. ...
Aj·X = bj (Ai+Aj)·X = bi+bj
..
. ...
An·X = bn An·X = bn
De acuerdo con los problemas 9 y 10 se obtienen sistemas equivalentes (con las mismas soluciones) si se intercambian dos ecuaciones (obvio), se cambia una de las ecuaciones del sistema por la obtenida multipli-cando esta ecuaci´on por un orden no nulo y si se cambia una ecuaci´on por la suma (o diferencia) de ella con otra.
Por ejemplo el sistema
x+ 2y−3z = 4 x+ 3y−z = 11 2x+ 5y−4z = 13 2x+ 6y+ 2z = 22
la podemos escribir
En dondeA1 = (1,2,−3),A2 = (1,3,1),A3 = (2,3,−4),A4 = (2,6,2) yX= (x, y, z).
El sistema es equivalente al sistema
A1X = 4 (A2−A1)X = 7
(A3−2a1)X = 13−2×4 = 5 (A4−2A1)X = 22−2×4 = 14
Note que las matrices coeficientes son combinaciones lineales de las originales e incluye siempre la que se cambia como parte de la combi-naci´on lineal.
2.12 Proposici´on:
El sistemaAiX=bi,i= 1,2, ..., n es equivalente al sistema
m
X
j=1
βjiAj = m
X
j=1
βjibj, i= 1,2, ..., m
si para cada i,βji6= 0.
Por otra parte la consideraci´on de un sistema
A1X = b1 .. . AnX = bn
X= (x1, x2, ..., xm), Ai = (αi1, αi2, ..., αim es la forma equivalente
x1 α11 α21 .. . αn1
+x2 α12 α22 .. . αn2
+...+xm
α1m
α2m .. . αnm = b1 b2 .. . bn
Permite escribirlo en la forma
en dondeB = (b1, b2, ..., bn) en forma vertical. Por tanto
2.13 Proposici´on:
El sistemax1A1+x2A2+...+xmAm =B tiene soluci´on si y s´olo
si B ∈< A1, A2, ..., Am >en Kn 2
2.14 Corolario:
Sin=m las siguientes afirmaciones son equivalentes: i {A1, ..., An}es L.I en Rn.
ii {A,..., An}genera Rn.
iii ∀B ∈Rn,x1A1+x2A2+...+xmAm=B tiene soluci´on.
iv ∀B ∈Rn,x
1A1+x2A2+...+xmAm =B tiene exactamente una
soluci´on.
Demostraci´on:
i↔ii ↔iii es obvio. Veamosi↔ ives obvio porque {A1, ..., An} es
L.I.K (una base deRn) si y s´olo si todoB ∈Rn tiene escritura ´unica
en t´erminos deA1, ..., An.
Note que siA1, A2, ..., At es linealmente independiente, entonces
solu-cionar la ecuaci´on x1A1 +x2A2 +...+xtAt = B es equivalente a
hallar las coordenadas de B en la base {A1, A2, ..., At} del espacio
< A1, A2, ..., At>.
2.15 Ejemplo:
Consideremos el sistema
x+ 2y−3z = 4 x+ 3y+z = 11 2x+ 5y−4z = 13 2x+ 6y+ 2z = 22
Note que el sistema es equivalente a
(usando la fila 2 en 4).
Por tanto solo nos interesa el sistema
x+ 2y−3z = 4 x+ 3y−z = 11 2x+ 5y−4z = 13
Ahora bien gr´aficamente es muy f´acil verificar que enR3,
S={(1,1,2),(2,3,5),(−3,1−1,)}
son linealmente independientes (h´agalo). Este sistema es equivalente a x 1 1 2
+y 2 3 5
+z −3 1 −4 = 4 11 13 o bien x y z = 4 11 13
Pero en dos sistemas distintos no se puede igualar coordenada a co-ordenada. El punto es como “cambio de coordenadas” a la derecha para que quede en t´erminos deS. Esto es por supuesto equivalente a solucionar∗arriba. Pero el ponerlo en estos ´ultimos t´erminos muestra que se puede hacer “a pasos”. En efecto lo que buscamos es la imagen de (4,11,13) por la id´enticaR3 →(R3, S) y para hallarla necesitamos
la matriz de f. Pero
1 0 0
=α1 1 1 2
+β1 2 3 5
+γ1 −3 1 −4
si y s´olo si
1 0 0 =
α1+ 2β1−3γ1 α1+ 3β1+γ1 2α1+ 5β1−4γ1
O sea la ecuaci´on
α1+ 2β1−3γ1 = 1 α1+ 3β1+γ1 = 0 2α1+ 5β1−4γ1 = 0
cuya similitud con la original (incluyendo dificultad) es clara. Para completar el proceso se har´ıan necesarios dos m´as de ellas. As´ı pues el procedimiento “obvio” de cambio de coordenadas no representa una mejora sensible en el mecanismo de soluci´on de ∗ (y para el caso de ning´un sistema) salvo circunstancias muy especiales y poco usuales. En este caso es entonces m´as simple usar el procedimiento de sistemas equivalentes mencionados atr´as.
x+ 2y−3z = 4 x+ 3y−z = 11 2x+ 5y−4z = 13
⇔
x+ 2y−3z = 4 0x−y−4z = −7 0x+y+ 6z = 9
⇔
x+ 2y−3z = 4 y+ 4z = 7 2z = 2
As´ı puesz= 1, y= 3,x= 1.
La Forma Escalonada Reducida
Naturalmente la forma m´as simple de ecuaci´on es la del tipo X = A. Se trata de cambiar los sistemas a este ´ultimo como es natural. Aprovechamos para dar algunos nombres.
Diremos que una matriz comienza en unos si la primera entrada no cero de cada fila es 1. Diremos que una matriz comienza en unos es escalonada si parai < j el 1 de la filaiaparece primero que el uno de la fila j (de izquierda a derecha). Finalmente, una matriz escalonada es reducida si el primer 1 de cada fila est´a solo en la columna, o sea, que las dem´as entradas son cero. Ejemplo,
1 0 1 2 0 1 2 3 0 0 1 4 0 0 0 1
es escalonada pero no reducida. En cambio
1 0 0 0 2 0 1 0 3 4 0 0 1 5 −3
es escalona y reducida. Tomemos entonces un sistema cuya matriz sea escalonada y reducida como la de arriba.
1x+ 0y+ 0z+ 0w+ 2t = 3 0x+ 1y+ 0z+ 3w+ 4t = −5 0x+ 0y+ 1z+ 5w = −3
es claro que este sistema es equivalente a
x y z
=
3−2t
−5−4t−3w −3−5w+ 3t
Se tiene por tanto que dadostyw(las dos variables independientes) de la parte derecha se recibex= 3−2t,y= 5−4t−3w,z=−3−5w+ 3t. As´ı que las soluciones son del tipo (todas ellas)
(3−2t,5−4t−3w,−3−5w+ 3t, w, t) con w, t∈R
Una soluci´on particular es por supuesto (3,5,−3,0,0) cuandow= 0 = t.
Es claro que si consideramos la ecuaci´on homog´enea tenemos la soluci´on
x y z
=
−2t −4t−3w −5w+ 3t
Note que encontrar elKernell de la aplicaci´onR5 →R3 dada por
X7→
1 0 0 0 2 0 1 0 3 4 0 0 1 5 −3
Del c´alculo anterior resulta que
Ker F ={(2t,−4t−3w,−5w+ 3t, w, t)|w, t∈R}
Se tiene pues la aplicaci´on
G:R2 → ker F
(w, t) 7→ (2t,−4t,−3w,5w+ 3t, w, t)
la cual es obviamente un isomorfismo. Una base de ker F es pues la imagen de una base de R2 por G. As´ı que es suficiente tomarw= 1,
t= 0 yw= 0,t= 1 en la imagen de G=ker F para dar una base.
Por tanto, una base de ker F es {(0,−3,5,1,0),(2,−4,3,0,1)}. La relaci´on general puede tambi´en escribirse
(3,5,3,9,0) +α(0,−3,5,1,0) +β(2,−4,3,0,1) α, β∈R
Otro ejemplo. Ahora directamente solucione el sistema
2x1+x2−2x3+ 3x4 = 4
3x1+ 2x2−x3+ 2x4 = 6
3x1+ 3x2+ 3x3−3x4 = 6
Busquemos reducir el sistema a escalonado reducido, trabajemos con la matriz completa del sistema (aumentado)
2 1 −2 3 4 3 2 −1 2 6 3 3 3 −3 6
L3−←→L2→L3
2 1 −2 3 4 3 2 −1 2 6 0 1 4 −5 0
L2−2L1→L2
←→
2 1 −2 3 4
−1 0 3 −4 −2
0 1 4 −5 0
2L2+L1→L2
←→
2 1 −2 3 4 0 1 4 −5 0 0 1 4 −5 0
L2−L3→L3
←→
2 1 −2 3 4 0 1 4 −5 0
0 0 0 0 0
1
2(L1−L2)→L1
←→
1 0 −3 4 2 0 1 4 −5 0
0 0 0 0 0
(∗∗)
Por tanto el sistema es equivalente a
x1 x2
=
2 + 3x3 − 4x4 0 − 4x3 + 5x4
As´ı pues la soluci´on es (2+3x3−4x4,−4x3+5x4, x3, x4) = (2,0,0,0)+ x3(3,−4,1,0) +x4(−4,5,0,1). En este caso se tiene como soluci´on particular (2,0,0,0) y las soluciones del sistema homog´eneo est´an gene-rados por{(3,−4,1,0),(−4,5,0,1)}.
Esto sale de la escritura de la soluci´on general. Pero supongamos que no lo sabemos. Para buscar la soluci´on particular tomamos x3 = 0 = x4 y obtenemos (2,0,0,0).
Por otra parte la soluci´on del sistema homog´eneo (a partir de (∗∗)) es
x1 x2
=
3x3 − 4x4 −4x3 + 5x4
es decir (3x3−4x4,−4x3 + 5x4, x3, x4) y (x3, x4) genera la soluci´on. Luego es suficiente reemplazar los vectores (1,0) y (0,1). Se tiene
x3= 1, x4 = 0 (3,−4,1,0)
x3= 0, x4 = 1 (−4,5,0,1)
PROBLEMAS
1 ConsidereZp como espacio sobreZp (conpprimo por supuesto).
Muestre que Zp tiene ´unicamente subespacios afines triviales.
2 Considere R2 sobre R.
i Muestre que R(3,1) es un subespacio de R2 y que es
pre-cisamente la recta que pasa por el origen y (3,1).
ii D´e el espacio af´ın A, traslaci´on paralalela deR(3,1) sobre
(−1,3).
iii Ilustre el paralelismo usando “el paralelogramo (de las fuerzas)” en la suma.
iv Ilustre en el gr´afico el isomorfismo entre R(3,1) yA.
3 Repita el problema 2 para
i R(3,1) en R3 sobre R.
ii R(3,1,1) +R(3,−1,4) sobre R.
4 D´e el espacio af´ınA, traslaci´on paralela
i deR(3,1,1) sobre (−1,1,3).
ii deR(3,1,1) +R(3,−1,4) sobre (1,5,6).
5 Halle los espacios afines de un espacioV generados por los sube-spacios triviales.
6 Muestre que sif es una funci´on lineal yb∈Imf entonces la fibra de b es una estructura de espacio vectorial. D´e especificamente la suma, la multiplicaci´on por escalar y el m´odulo de la fibra de b. D´e un isomorfismo entre dos fibras def.
7 D´e las fibras de la funci´on R2 +→Rcon (x, y) 7→x+y (la suma
en R). Es decir dado un elemento b arbitrario deR gr´afique en R2 la fibra de b para la funci´on +. Ver´ıfique que en efecto las
8 Lo mismo que el problema 7 para R2→R con (x, y)7→x.
9 Halle una base (de existir) de la fibra de (3,2) en la funci´on
R3 →R2 con (x, y, z)7→(2x+y, x+z).
10 Sean f : V → W y g : W → Z con bases fijas en V, W y Z. Muestre queM(g◦f) =M(g)M(f).
11 Use la t´ecnica mencionada en la proposici´on 2.12 para mostrar que los siguientes sistemas son equivalentes.
x+ 2y−3z = 4 x+ 0y+ 0z = 1 x+ 3y−z = 11 0x+y+ 0z = 3 2x+ 5y−4z = 13 0x+ 0y+z = 1 2x+ 6y+ 2z = 22 0x+ 0y+ 0z = 0
12 Considere la aplicaci´on f:R3→R2, (x, y, z)7→(x+ 2y,5x+z).
En cu´antas filas (distintas) puede estar (1,1,2)? Considere el espacio af´ın que pasa por (1,1,2). Qu´e dimensi´on tiene? C´omo suma en ´el? Cu´al es una base de ese espacio?
13 Considere la funci´on F :R4 →R4 cuya matriz es
0 1 0 2
−1 0 1 −1
1 2 −3 6
−2 3 5 4
con respecto a las bases usuales. Decida siF es 1−1 y en caso de serlo halle la funci´on inversa y calcule la matriz deF−1 de no serlo calcule una base deIm F.
14 En 12 halle una base deR3que extienda una base de kernel def,
digamos S. Muestre como se simplifica la f´ormula de f cuando est´a dada comof : (R3, S)→R2, usela para calcular la soluci´on
f(x, y, z) = (5,−1).
15 Recuerde que Kn[x] = {p(x) ∈ K[x]|g(p(x)) ≤n}. Considere
la funci´on derivada D :Kn[x]→ Kn[x]. Calcule el espacio af´ın
16 SeaK=Ren 15 y denotemosD◦D=D2. Responda las mismas
preguntas de 15 usando D2 en cambio de D.
17 Sea D = Der[a, b] → F un[a, b] la funci´on derivada en donde Der[a, b] denota el espacio de las funciones derivables [a, b]→R
y F un[a, b] el espacio de las funciones [a, b]→ R. Halle la fibra de y= 3x+ 6 y de y=−x2+ 1. D´e una base de ker f.
18 Considere Der2[a, b] el espacio de las funciones [a, b] → R que son dos veces derivables y denote porD:Der2[a, b]→Der[a, b] a la funci´on derivada. Calcule una base del ker D2.
19 En 18 seaa= 0, b= 1 yn= 3.
i Calcule (3D0+ 4D2+D3)(x+senx).
ii Calcule una base del espacio de soluciones (3D+ 4D2)(x) = 0.
iii Calcule una base del espacio de todas las funcionesf(x) con x∈[0,1] y de valor real tales que 3f3(x) + 4f2(x) = 0.
20 Solucione los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.
a
x−3y+z = −2 2x+y−z = 6 x+ 2y+ 2z = 2
b
x−y+z = 2 x+y = 1 x+y+z = 8
c
x+ 2y−3z = 4 −x+y+z = 0 4x−2y+z = 9
d
3x−6y+z = 7 x+ 2y+z = 5 −2x+ 5y−2z = −1
a
x−y+z−w = 0 2x+y−z+ 2w = 0 2y+ 3z+w = 0
b
3x1+ 2x2+x3−x4−x5 = 0 x1−x2−x3−x4+ 2x5 = 0 −x1+ 2x2+x3+x4−x5 = 0
c
2x+ 3y−z = 0 x−y+z = 0 x+ 9y−5z = 0
d
11x−8y+ 5z = 0 3x−y−2z = 0 −x−12y+ 13z = 0
22 Encuentre la soluci´on en el espacio de los siguientes sistemas.
a
2x+ 6y−z+w = −3 x−y+z−w = 2 −x−3y+ 3z+ 2w = 9
b
x2+ 2x3−x4+x5 = 5 x1−x2+x3−2x4−x5 = 6 x1+x2−x3+x5 = −2 x1+x3−3x4−2x5 = −3
c
x−2y+z = 5 2x+y−2z = 7 x−7y+ 5z = 8
d
3x+y−z = 10 x−2y−z = −2 −x+y+z = 0 2x−y−3z = 7
