• No se han encontrado resultados

Conjunto LD  –  LI

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2020

Share "Conjunto LD  –  LI"

Copied!
27
0
0

Texto completo

(1)Sergio Yansen Núñez 1.. Determine si el conjunto 1, 3, 3, −2, 8, 7, 4, −2, −1. es L.D o L.I.. Solución: Escribiendo la combinación lineal nula de los vectores del conjunto: α1, 3, 3 + β−2, 8, 7 + γ4, −2, −1 = 0, 0, 0 El conjunto de vectores es L.I si α = β = γ = 0. α1, 3, 3 + β−2, 8, 7 + γ4, −2, −1 = 0, 0, 0 α − 2β + 4γ, 3α + 8β − 2γ, 3α + 7β − γ = 0, 0, 0 α − 2β + 4γ = 0 3α + 8β − 2γ = 0 3α + 7β − γ = 0 Escribiendo la matriz aumentada asociada al sistema de ecuaciones lineales:. A  b =. 1 −2. 4. 3. 8. −2 0. 3. 7. −1 0. 0 donde A =. 1 −2. 4. 3. 8. −2. 3. 7. −1. 0 ,. b=. 0 0. Forma 1: Como es sistema es cuadrado (número de ecuaciones = número de variables), podemos decidir en base al determinante de A.. detA =. 1 −2. 4. 3. 8. −2. 3. 7. −1. =0. Como detA = 0 y el sistema es homogéneo, el sistema tiene infinitas soluciones. Luego, el conjunto es L.D.. Conjunto linealmente dependiente - linealmente independiente.

(2) Sergio Yansen Núñez Forma 2: A la matriz A  b se le aplicarán operaciones elementales fila, para obtener una matriz escalona o escalonada reducida. En este caso se obtuvo la siguiente matriz escalonada reducida: 1 0. 2. 0. 0 1 −1 0 0 0. 0. 0. Como se observa, el número de filas no nulas es 2. Por lo tanto, el rango de la matriz 1 0. 2. 0. 0 1 −1 0 0 0. 0. es 2.. 0 1 0. Recuerde que el rango de A  b es el rango de. 2. 0. 0 1 −1 0 0 0. 0. 0. rangoA  b = 2 1 0 rangoA = 2 , pues el rango de. 2. 0 1 −1 0 0. es 2.. 0. número de variables: 3 rangoA  b = rangoA < número de variables  el sistema tiene infinitas soluciones. Luego, el conjunto es L.D.. Conjunto linealmente dependiente - linealmente independiente.

(3) Sergio Yansen Núñez 2.. Determine si el conjunto 2, 3, 3, −1, 1, 2, −1, 1, 1, 1, −2, 1. es L.D o L.I.. Solución: Escribiendo la combinación lineal nula de los vectores del conjunto: α2, 3, 3, −1 + β1, 2, −1, 1 + γ1, 1, −2, 1 = 0, 0, 0, 0 El conjunto de vectores es L.I si α = β = γ = 0 α2, 3, 3, −1 + β1, 2, −1, 1 + γ1, 1, −2, 1 = 0, 0, 0, 0 2α + β + γ, 3α + 2β + γ, 3α − β − 2γ, −α + β + γ = 0, 0, 0, 0 2α + β + γ = 0 3α + 2β + γ = 0 3α − β − 2γ = 0 −α + β + γ = 0 Escribiendo la matriz aumentada asociada al sistema de ecuaciones lineales: 2. 1. 1. 0. 3. 2. 1. 0. 3. −1 −2 0. −1. 1. A  b =. 1. 0. donde A =. 2. 1. 1. 3. 2. 1. 3. −1 −2. −1. 1. 0 ,. b=. 1. 0 0 0. A la matriz A  b se le aplicarán operaciones elementales fila, para obtener una matriz escalona o escalonada reducida. En este caso se obtuvo la siguiente matriz escalonada 1 0 0 0 0 1 0 0. reducida:. 0 0 1 0 0 0 0 0. Como se observa, el número de filas no nulas es 3. Por lo tanto, el rango de la matriz 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0. es 3.. 0 0 0 0. Conjunto linealmente dependiente - linealmente independiente.

(4) Sergio Yansen Núñez 1 0 0 0 Recuerde que el rango de A  b es el rango de. 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0. rangoA  b = 3 1 0 0 rangoA = 3 , pues el rango de. 0 1 0 0 0 1. es 2. 0 0 0 número de variables: 3 rangoA  b = rangoA = número de variables  el sistema tiene única solución y como es homogéneo, esta solución es la nula. Por tanto, α = β = γ = 0. Luego, el conjunto es L.I.. Conjunto linealmente dependiente - linealmente independiente.

(5) Sergio Yansen Núñez 3.. Determine si el conjunto 1, 3, 3, −2, 2, 1, 0, 3, −1, 2, −4, 5, 5, 4, 1, 3. es. L.D o L.I. Solución: Escribiendo la combinación lineal nula de los vectores del conjunto: α1, 3, 3, −2 + β2, 1, 0, 3 + γ−1, 2, −4, 5 + δ5, 4, 1, 3 = 0, 0, 0, 0 El conjunto de vectores es L.I si α = β = γ = δ = 0. α1, 3, 3, −2 + β2, 1, 0, 3 + γ−1, 2, −4, 5 + δ5, 4, 1, 3 = 0, 0, 0, 0 α + 2β − γ + 5δ, 3α + β + 2γ + 4δ, 3α − 4γ + δ, −2α + 3β + 5γ + 3δ = 0, 0, 0, 0 α + 2β − γ + 5δ = 0 3α + β + 2γ + 4δ = 0 3α − 4γ + δ = 0 −2α + 3β + 5γ + 3δ = 0 Escribiendo la matriz aumentada asociada al sistema de ecuaciones lineales:. A  b =. 1. 2 −1 5 0. 3. 1. 3. 0 −4 1 0. 2. −2 3. 4 0. 5. donde A =. 3 0. 1. 2 −1 5. 3. 1. 3. 0 −4 1. −2 3. 2 5. 4. 0 ,. b=. 3. 0 0 0. Forma 1: Como es sistema es cuadrado (número de ecuaciones = número de variables), podemos decidir en base al determinante de A.. detA =. 1. 2 −1 5. 3. 1. 3. 0 −4 1. −2 3. 2 5. 4. = −124 ≠ 0. 3. El sistema tiene única solución, y como es homogéneo, la sólución única es la nula. Por tanto, α = β = γ = δ = 0.. Conjunto linealmente dependiente - linealmente independiente.

(6) Sergio Yansen Núñez Luego, el conjunto es L.I. Forma 2: A la matriz A  b se le aplicarán operaciones elementales fila, para obtener una matriz escalona o escalonada reducida. En este caso se obtuvo la siguiente matriz escalonada reducida: 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 Como se observa, el número de filas no nulas es 4. Por lo tanto, el rango 1 0 0 0 0 de la matriz. 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0. es 4.. 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 Recuerde que el rango de A  b es el rango de. 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0. rangoA  b = 4 1 0 0 0 rangoA = 4 , pues el rango de. 0 1 0 0 0 0 1 0. es 4. 0 0 0 1 número de variables: 4 rangoA  b = rangoA = número de variables  el sistema tiene única solución y como es homogéneo, esta solución es la nula. Por tanto, α = β = γ = δ = 0. Luego, el conjunto es L.I.. Conjunto linealmente dependiente - linealmente independiente.

(7) Sergio Yansen Núñez 4.. Determine si el conjunto 1, 2, 3, 1, 1, 3, 1, 1, 6, 5, −7, 0, −1, 1, 4, 1. es L.D o L.I. Solución: Escribiendo la combinación lineal nula de los vectores del conjunto: α1, 2, 3, 1 + β1, 3, 1, 1 + γ6, 5, −7, 0 + δ−1, 1, 4, 1 = 0, 0, 0, 0 El conjunto de vectores es L.I si α = β = γ = δ = 0. α1, 2, 3, 1 + β1, 3, 1, 1 + γ6, 5, −7, 0 + δ−1, 1, 4, 1 = 0, 0, 0, 0 α + β + 6γ − δ, 2α + 3β + 5γ + δ, 3α + β − 7γ + 4δ, α + β + δ = 0, 0, 0, 0 α + β + 6γ − δ = 0 2α + 3β + 5γ + δ = 0 3α + β − 7γ + 4δ = 0 α+β+δ = 0 Escribiendo la matriz aumentada asociada al sistema de ecuaciones lineales:. A  b =. 1 1. 6. −1 0. 2 3. 5. 1. 0. 3 1 −7. 4. 0. 1 1. 1. 0. 0. donde A =. 1 1. 6. −1. 2 3. 5. 1. 3 1 −7. 4. 1 1. 1. 0. 0 ,. b=. 0 0 0. Forma 1: Como es sistema es cuadrado (número de ecuaciones = número de variables), podemos decidir en base al determinante de A.. detA =. 1 1. 6. −1. 2 3. 5. 1. 3 1 −7. 4. 1 1. 1. 0. =0. Como el sistema de ecuaciones es homogéneo, entonces el sistema tiene infinitas soluciones. Luego, el conjunto es L.D.. Conjunto linealmente dependiente - linealmente independiente.

(8) Sergio Yansen Núñez Forma 2: A la matriz A  b se le aplicarán operaciones elementales fila, para obtener una matriz escalona o escalonada reducida. En este caso se obtuvo la siguiente matriz escalonada reducida: 0. 0 0 1. 1 3 2 3 − 13. 0 0 0. 0. 0. 1 0 0 0 1 0. 0 0. Como se observa, el número de filas no nulas es 3. Por lo tanto, el rango de la matriz 0. 0 0 1. 1 3 2 3 − 13. 0 0 0. 0. 0. 1 0 0 0 1 0. 0 0. es 3.. 0. 0 0 1. 1 3 2 3 − 13. 0 0 0. 0. 0. 1 0 0 Recuerde que el rango de A  b es el rango de. 0 1 0. 0 0. rangoA  b = 3. 0 0 1. 1 3 2 3 − 13. 0 0 0. 0. 1 0 0 rangoA = 3 , pues el rango de. 0 1 0. es 3. número de variables: 4 rangoA  b = rangoA < número de variables  el sistema tiene infinitas soluciones. Luego, el conjunto es L.D.. Conjunto linealmente dependiente - linealmente independiente.

(9) Sergio Yansen Núñez 5.. Determine, en caso de existir, el valor de k ∈ IR tal que el conjunto 1, 2, 3, 4 , 2, 1, 2, 3 , 1, 1, 3, 1 . 4, 3, k, 9. sea L.I.. Solución: Escribiendo la combinación lineal nula de los vectores del conjunto: α1, 2, 3, 4 + β2, 1, 2, 3 + γ1, 1, 3, 1 + δ4, 3, k, 9 = 0, 0, 0, 0 El conjunto de vectores es L.I si α = β = γ = δ = 0. α1, 2, 3, 4 + β2, 1, 2, 3 + γ1, 1, 3, 1 + δ4, 3, k, 9 = 0, 0, 0, 0 α + 2β + γ + 4δ, 2α + β + γ + 3δ, 3α + 2β + 3γ + δk, 4α + 3β + γ + 9δ = 0, 0, 0, 0 α + 2β + γ + 4δ = 0 2α + β + γ + 3δ = 0 3α + 2β + 3γ + δk = 0 4α + 3β + γ + 9δ = 0 Escribiendo la matriz aumentada asociada al sistema de ecuaciones lineales: 1 2 1 4 0 A  b =. 2 1 1 3 0 3 2 3 k 0. 1 2 1 4 donde A =. 4 3 1 9 0. 2 1 1 3 3 2 3 k. 0 ,. b=. 4 3 1 9. 0 0 0. Forma 1: Como es sistema es cuadrado (número de ecuaciones = número de variables), podemos decidir en base al determinante de A. 1 2 1 4 detA =. 2 1 1 3 3 2 3 k. = 16 − 4k. 4 3 1 9 El sistema tiene única solución si 16 − 4k ≠ 0, y como es homogéneo, la sólución única es la nula.. Conjunto linealmente dependiente - linealmente independiente.

(10) Sergio Yansen Núñez Por tanto, si k ≠ 4, entonces α = β = γ = δ = 0. Luego, si k ≠ 4 el conjunto de vectores es L.I.. Forma 2: 1 2 1 4 0 2 1 1 3 0. A  b =. 3 2 3 k 0 4 3 1 9 0. A la matriz A  b se le aplicarán operaciones elementales fila, para obtener una matriz escalona o escalonada reducida. En este caso se obtendrá una matriz escalonada. Escalonando la matriz: 1 2 1 4 0. f 21 −2. 2 1 1 3 0. f 31 −3. 3 2 3 k 0. f 41 −4. 4 3 1 9 0 1. 2. 1. 4. 0. 0 −3 −1. −5. 0. 0 −4. f 23 −1. k − 12 0. 0. 0 −5 −3. −7. 1 2. 4. 0. −k + 7. 0. 1. 0 1 −1. 1. 2. 1. 0. 1. −1 −k + 7 0. f 32 4. k − 12 0. f 42 5. 0 −4. 0. 0 −5 −3. 0. 0 0 −4 −3k + 16 0 0 0 −8 −5k + 28 0. 1 2 f 43 −2. 1. 0 1 −1. 4. −7. 0. 0. 4. 0. −k + 7. 0. 0 0 −4 −3k + 16 0 0 0. 0. k−4. 0. Conjunto linealmente dependiente - linealmente independiente.

(11) Sergio Yansen Núñez Si k − 4 ≠ 0 el número de filas no nulas es 4. Por lo tanto, el rango de la matriz 1 2. 1. 0 1 −1. 4. 0. −k + 7. 0. 0 0 −4 −3k + 16 0 0 0. k−4. 0. es 4.. 0 1 2. 1. 0 1 −1. Recuerde que el rango de A  b es el rango de. 4. 0. −k + 7. 0. 0 0 −4 −3k + 16 0 0 0. 0. k−4. .. 0. rangoA  b = 4 rangoA = 4 número de variables: 4 rangoA  b = rangoA = número de variables  el sistema tiene única solución y como es homogéneo, esta solución es la nula. Por tanto, α = β = γ = δ = 0. Luego, si k ≠ 4 el conjunto es L.I. 1 2 Si k = 4 , la matriz se reduce a:. 1. 0 1 −1. 4. 0. −k + 7. 0. 0 0 −4 −3k + 16 0 0 0. 0. 0. 0. rangoA  b = 3 rangoA = 3 número de variables: 4 rangoA  b = rangoA < número de variables  el sistema tiene infinitas soluciones. Luego, si k = 4 el conjunto es L.D.. Conjunto linealmente dependiente - linealmente independiente.

(12) Sergio Yansen Núñez 6.. Determine si el conjunto 2x 3 − x + 1, x 3 − 1, x 3 + x 2 − x + 1, 3x 3 − 2 − x 2 es L.D o L.I.. Solución: Escribiendo la combinación lineal nula de los vectores del conjunto: α2x 3 − x + 1 + βx 3 − 1 + γx 3 + x 2 − x + 1 + δ3x 3 − 2 − x 2  = 0 El conjunto de vectores es L.I si α = β = γ = δ = 0. α2x 3 − x + 1 + βx 3 − 1 + γx 3 + x 2 − x + 1 + δ3x 3 − 2 − x 2  = 0 2α + β + γ + 3δx 3 + γ − δx 2 + −α − γx + α − β + γ − 2δ = 0 2α + β + γ + 3δ = 0 γ−δ = 0 −α − γ = 0 α − β + γ − 2δ = 0 Escribiendo la matriz aumentada asociada al sistema de ecuaciones lineales:. A  b =. 2. 1. 1. 3. 0. 0. 0. 1. −1 0. −1. 0. −1. 0. 1. −1. 1. −2 0. 0. donde A =. 2. 1. 1. 3. 0. 0. 1. −1. −1. 0. −1. 0. 1. −1. 1. −2. 0 ,. b=. 0 0 0. Forma 1: Como es sistema es cuadrado (número de ecuaciones = número de variables), podemos decidir en base al determinante de A.. detA =. 2. 1. 1. 3. 0. 0. 1. −1. −1. 0. −1. 0. 1. −1. 1. −2. =0. Como detA = 0 y el sistema es homogéneo, éste tiene infinitas soluciones. Luego, el conjunto es L.D.. Conjunto linealmente dependiente - linealmente independiente.

(13) Sergio Yansen Núñez Forma 2: A la matriz A  b se le aplicarán operaciones elementales fila, para obtener una matriz escalona o escalonada reducida. En este caso se obtuvo la siguiente matriz escalonada reducida: 1 0 0. 1. 0. 0 1 0. 2. 0. 0 0 1 −1 0 0 0 0. 0. 0. Como se observa, el número de filas no nulas es 3. Por lo tanto, el rango de la matriz 1 0 0. 1. 0. 0 1 0. 2. 0. 0 0 1 −1 0 0 0 0. 0. es 3.. 0. Recuerde que el rango de A  b es el rango de. 1 0 0. 1. 0. 0 1 0. 2. 0. 0 0 1 −1 0 0 0 0. 0. 0. rangoA  b = 3. rangoA = 3 , pues el rango de. 1 0 0. 1. 0 1 0. 2. 0 0 1 −1 0 0 0. es 3. 0. número de variables: 4 rangoA  b = rangoA < número de variables  el sistema tiene infinitas soluciones. Luego, el conjunto es L.D.. Conjunto linealmente dependiente - linealmente independiente.

(14) Sergio Yansen Núñez 7.. Sea v 1 , v 2 , v 3 , v 4  un subconjunto L.I de V. Determine si el conjunto v 1 + v 2 − v 3 + v 4 , v 1 − v 2 + v 3 + 3v 4 , 3v 1 − v 2 + v 3 + 7v 4  es L.D o L.I.. Solución: Escribiendo la combinación lineal nula de los vectores del conjunto: αv 1 + v 2 − v 3 + v 4  + βv 1 − v 2 + v 3 + 3v 4  + γ3v 1 − v 2 + v 3 + 7v 4  = 0 El conjunto de vectores es L.I si α = β = γ = 0. αv 1 + v 2 − v 3 + v 4  + βv 1 − v 2 + v 3 + 3v 4  + γ3v 1 − v 2 + v 3 + 7v 4  = 0 α + β + 3γv 1 + α − β − γv 2 + −α + β + γv 3 + α + 3β + 7γv 4 = 0 Como v 1 , v 2 , v 3 , v 4  es L.I. Luego, α + β + 3γ = α − β − γ = −α + β + γ = α + 3β + 7γ = 0 α + β + 3γ = 0 α−β−γ = 0 −α + β + γ = 0 α + 3β + 7γ = 0 Escribiendo la matriz aumentada asociada al sistema de ecuaciones lineales:. A  b =. 1. 1. 3. 0. 1. −1 −1 0. −1. 1. 1. 0. 1. 3. 7. 0. donde A =. 1. 1. 3. 1. −1 −1. −1. 1. 1. 1. 3. 7. 0 ,. b=. 0 0 0. A la matriz A  b se le aplicarán operaciones elementales fila, para obtener una matriz escalona o escalonada reducida. En este caso se obtuvo la siguiente matriz escalonada reducida:. Conjunto linealmente dependiente - linealmente independiente.

(15) Sergio Yansen Núñez 1 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Como se observa, el número de filas no nulas es 2. Por lo tanto, el rango de la matriz 1 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0. es 2.. 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 2 0. Recuerde que el rango de A  b es el rango de. 0 0 0 0 0 0 0 0. rangoA  b = 2 1 0 1 rangoA = 2 , pues el rango de. 0 1 2 0 0 0. es 2. 0 0 0 número de variables: 3 rangoA  b = rangoA < número de variables  el sistema tiene infinitas soluciones. Luego, el conjunto es L.D.. Conjunto linealmente dependiente - linealmente independiente.

(16) Sergio Yansen Núñez 8.. Sea v 1 , v 2 , v 3 , v 4  un subconjunto L.I de V.. Determine si el conjunto v 1 + v 2 + v 3 + v 4 , v 1 − v 2 + v 3 + v 4 , v 1 − v 2 − v 3 + 2v 4  es L.D o L.I . Solución: Escribiendo la combinación lineal nula de los vectores del conjunto: αv 1 + v 2 + v 3 + v 4  + βv 1 − v 2 + v 3 + v 4  + γv 1 − v 2 − v 3 + 2v 4  = 0 El conjunto de vectores es L.I si α = β = γ = 0 αv 1 + v 2 + v 3 + v 4  + βv 1 − v 2 + v 3 + v 4  + γv 1 − v 2 − v 3 + 2v 4  = 0 α + β + γv 1 + α − β − γv 2 + α + β − γv 3 + α + β + 2γv 4 = 0 Como v 1 , v 2 , v 3 , v 4  es L.I Luego, α + β + γ = α − β − γ = α + β − γ = α + β + 2γ = 0 α+β+γ = 0 α−β−γ = 0 α+β−γ = 0 α + β + 2γ = 0 Escribiendo la matriz aumentada asociada al sistema de ecuaciones lineales: 1 A  b =. 1. 1. 0. 1 −1 −1 0 1. 1. −1 0. 1. 1. 2. 0. 1 donde A =. 1. 1. 1 −1 −1 1. 1. −1. 1. 1. 2. 0 ,. b=. 0 0 0. A la matriz A  b se le aplicarán operaciones elementales fila, para obtener una matriz escalona o escalonada reducida. En este caso se obtuvo la siguiente matriz escalonada reducida:. Conjunto linealmente dependiente - linealmente independiente.

(17) Sergio Yansen Núñez 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Como se observa, el número de filas no nulas es 3. Por lo tanto, el rango de la matriz 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0. es 3.. 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0. Recuerde que el rango de A  b es el rango de. 0 0 1 0 0 0 0 0. rangoA  b = 3 1 0 0 rangoA = 3 , pues el rango de. 0 1 0 0 0 1. es 3. 0 0 0 número de variables: 3 rangoA  b = rangoA = número de variables  el sistema tiene solución única. Como el sistema además es homogéneo, esta solución es la nula. Por lo tanto, α = β = γ = 0. Luego, el conjunto es L.I.. Conjunto linealmente dependiente - linealmente independiente.

(18) Sergio Yansen Núñez 4 9.. 3. 3. Determine si. ,. 2 1. 3 2. 2 ,. 1. 2 2. 1 ,. 1. 1 1. L.D o L.I.. 1. En caso de ser L.D, determine un subconjunto L.I, con la mayor cantidad de vectores, a partir del conjunto original Solución: 4 α. 3 2 1. 3 +β. 3 2. 2 2. +γ. 2. 1. 1. 1 +δ. 1 1 1. 0 =. 0 0 0. 4α + 3β + 2γ + δ = 0 3α + 3β + 2γ + δ = 0 2α + 2β + 2γ + δ = 0 α+β+γ+δ = 0. A  b =. 4 3 2 1. 0. 3 3 2 1. 0. 2 2 2 1. 0. 1 1 1 1. 0. 4 3 2 1 donde A =. 3 3 2 1 2 2 2 1. 0 , b=. 1 1 1 1. 0 0 0. A la matriz A  b se le aplicarán operaciones elementales fila, para obtener una matriz escalona o escalonada reducida.. En este caso se obtuvo la siguiente matriz escalonada reducida:. 1 0 0 0. 0. 0 1 0 0. 0. 0 0 1 0. 0. 0 0 0 1. 0. El sistema la única solución y es nula, por tanto, α = β = γ = δ = 0.. Conjunto linealmente dependiente - linealmente independiente.

(19) Sergio Yansen Núñez 4 Luego,. 3. 3. 3. ,. 2. 2. 1. 2. ,. 2. 1. 2. 1. 1. ,. es L.I. 1. 1. 1. Otra forma de analizar: 4 3 2 1. 1 0 0 0. 3 3 2 1. De la matriz escalonada reducida a partir de. es. 2 2 2 1 1 1 1 1. 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1. Se observa que todas las columnas de la escalonada reducida tiene pivote ⇒ 1 el conjunto. 0 0. 0. 0. 1. ,. 0. 3 2 1. 0. ,. 1. 0. 1. 3 ,. 3 2 1. es L.I, por lo tanto. 0. 0. 4 el conjunto original. 0. ,. 0. 0. 2 ,. 2 2 1. 1 ,. 1 1. es L.I. 1. Conjunto linealmente dependiente - linealmente independiente.

(20) Sergio Yansen Núñez. 10.. Determine si. 8. 7. 5. 2. 1. 8. 8. 7. 5. 4. ,. 4. ,. 4. 4. ,. 3. ,. 1. 5. 5. 5. 5. 4. 5. 5. 5. 5. 4. L.D o L.I.. En caso de ser L.D, determine un subconjunto L.I, con la mayor cantidad de vectores, a partir del conjunto original. Solución:. α. 8. 7. 5. 2. 1. 0. 8. 8. 7. 5. 4. 0. 4. +β. 4. +γ. 4. +δ. 3. +ε. 1. =. 0. 5. 5. 5. 5. 4. 0. 5. 5. 5. 5. 4. 0. 8α + 7β + 5γ + 2δ + ε = 0 8α + 8β + 7γ + 5δ + 4ε = 0 4α + 4β + 4γ + 3δ + ε = 0 5α + 5β + 5γ + 5δ + 4ε = 0 5α + 5β + 5γ + 5δ + 4ε = 0. A  b =. 8 7 5 2 1. 0. 8 7 5 2 1. 0. 8 8 7 5 4. 0. 8 8 7 5 4. 0. 4 4 4 3 1. 0. 5 5 5 5 4. 0. 5 5 5 5 4. 0. 5 5 5 5 4. 0. 5 5 5 5 4. 0. donde A =. 4 4 4 3 1. ,b =. 0. A la matriz A  b se le aplicarán operaciones elementales fila, para obtener una matriz escalona o escalonada reducida.. Conjunto linealmente dependiente - linealmente independiente.

(21) Sergio Yansen Núñez. En este caso se obtuvo la siguiente matriz escalonada reducida:. 1 0 0 0. −2. 0. 0 1 0 0. 0. 0 0 0 1. 24 5 − 215 11 5. 0 0 0 0. 0. 0. 0 0 1 0. rangoA  b = rangoA = 4 < 5 El sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones, por lo tanto el conjunto. de vectores. 8. 7. 5. 2. 1. 8. 8. 7. 5. 4. ,. 4. 4. ,. 4. ,. 3. ,. 1. 5. 5. 5. 5. 4. 5. 5. 5. 5. 4. es L.D.. Otra forma de analizar: 8 7 5 2 1 8 8 7 5 4 la matriz escalonada reducida obtenida a partir de. 4 4 4 3 1 5 5 5 5 4 5 5 5 5 4. es. 1 0 0 0. −2. 0 1 0 0 0 0 0 1. 24 5 − 21 5 11 5. 0 0 0 0. 0. 0 0 1 0. (no es necesario la escalonada reducida, basta con una. forma escalonada) El rango de esta matriz es 4 ≠ 5 Por lo tanto, de conjunto original de vectores. Conjunto linealmente dependiente - linealmente independiente. 0 0.

(22) Sergio Yansen Núñez 8. 7. 5. 2. 1. 8. 8. 7. 5. 4. 4. ,. 4. ,. ,. 4. 3. ,. 1. 5. 5. 5. 5. 4. 5. 5. 5. 5. 4. es L.D. De la escalonada reducida, se observa que las primeras cuatro columnas tienen pivote, por tanto, el conjunto de vectores: 1. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. ,. 0. ,. ,. 1. es LI. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. y como la quinta columna de la matriz escalonada reducida no tiene pivote, se puede descartar el quinto vector del conjunto 8. 7. 5. 2. 1. 8. 8. 7. 5. 4. 4. ,. 4. ,. ,. 4. 3. ,. 1. 5. 5. 5. 5. 4. 5. 5. 5. 5. 4. ,. de lo cual se obtiene que. el conjunto. 8. 7. 5. 2. 8. 8. 7. 5. 4. ,. 4. ,. 4. ,. 3. 5. 5. 5. 5. 5. 5. 5. 5. es L.I.. Observación: (se descartó el quinto vector del conjunto original pues la quinta columna de la matriz escalonada reducida no tiene pivote). Conjunto linealmente dependiente - linealmente independiente.

(23) Sergio Yansen Núñez. 11.. Determine un subconjunto de vectores L.I (con la mayor cantidad de vectores) 1 a partir del conjunto. 2 1 1. 1 ,. 3 1. 2 ,. 4. 5 2 5. 0 ,. −1 0. .. −1. Solución: 1 1 2. 0. 2 3 5 −1 1 1 2. 0. 1 4 5 −1 El conjunto el L.I si el rango de la matriz es 4 1 0 1 0 La matriz escalonada reducida es:. 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0. El rango de esta matriz es 3 ≠ 4 La tercera columna no tiene pivote. Conjunto linealmente dependiente - linealmente independiente.

(24) Sergio Yansen Núñez 1 Un subcojunto de vectores L.I es:. 2 1 1. 1 ,. 3 1 4. 0 ,. −1 0 −1. (se descartó el tercer vector del conjunto original pues la tercera columna de la matriz escalonada reducida no tiene pivote). Conjunto linealmente dependiente - linealmente independiente.

(25) Sergio Yansen Núñez 12.. Determine un subconjunto de vectores L.I (con la mayor cantidad de vectores). a partir del conjunto. 1. 1. 0. 2. 2. 1. 1. 0. 1. 1. 1. ,. ,. 2. −1. ,. 3. ,. 1. 2. −1. 4. 3. 1. 2. −1. 1. 0. Solución: 1 1. 0. 2 2. 1 1. 0. 1 1. 1 2 −1 3 2 1 2 −1 4 3 1 2 −1 1 0 El conjunto de vectores será L.I si la matriz tiene rango 5 1 0. 1. 0. 1. 0 1 −1 0 −1 La matriz escalonada reducida es:. 0 0. 0. 1. 1. 0 0. 0. 0. 0. 0 0. 0. 0. 0. El rango de esta matriz es 3 ≠ 5, por lo tanto el conjunto es L.D. La tercera, y quinta columna no tienen pivote. Un subcojunto de vectores L.I es: 1. 1. 2. 1. 1. 1. 1. ,. 2. ,. 3. 1. 2. 4. 1. 2. 1. 2. (se descartaron el tercer, y quinto vector del conjunto original pues la quinta columna de la matriz escalonada reducida no tienen pivote). Conjunto linealmente dependiente - linealmente independiente.

(26) Sergio Yansen Núñez. 13.. Determine, si es posible, todos los valores de k ∈ IR tal que el conjunto de vectores sea L.I. 1. 1. 1. 1. 1. 1. k+1. 2. 2. 2. 1. ,. ,. 1. k−2. ,. 2. ,. 2. 1. 1. 1. k−1. 2. 1. 1. 1. 1. k. Solución: Para que el conjunto sea L.I se debe cumplir que el siguiente determinante es diferente de cero. 1. 1. 1 k+1. 1. 1. 1. 2. 2. 2. 2. 2. 1. 1. k−2. 1. 1. 1. 1. 1. 1. = k 4 − 6k 3 − 6k + 11k 2 = kk − 1k − 2k − 3. k−1 2 1. k. Por tanto, para que el conjunto sea L.I se debe cumplir que k ∈ IR − 0, 1, 2, 3. Conjunto linealmente dependiente - linealmente independiente.

(27) Sergio Yansen Núñez 14.. Determine si 1 , cos2x , sen 2 x. ⊂ CIR , es L.D o L.I.. Solución: Se sabe que cos2x = 1 − 2sen 2 x O sea, cos2x es combinación lineal de los vectores 1 y sen 2 x , pues cos2x = 1 ⋅ 1 − 2 ⋅ sen 2 x Por lo tanto, 1 , cos2x , sen 2 x. 15.. es L.D.. Determine si 1 , senx , cosx , cos x + π 4. ⊂ CIR , es. L.D o L.I. Solución: Se sabe que cos x + π 4 cos x + π 4 O sea, cos x + π 4 pues. cos x + π 4. = cosx cos π 4 =. − senxsen π 4. 2 2 cosx − senx 2 2. es combinación lineal de los vectores de 1 , senx , cosx , = 0⋅1−. 2 2 ⋅ senx + ⋅ cosx 2 2. Por lo tanto, 1 , senx , cosx , cos x + π 4. es L.D.. Conjunto linealmente dependiente - linealmente independiente.

(28)

Referencias

Documento similar

Se llega así a una doctrina de la autonomía en el ejercicio de los derechos que es, en mi opinión, cuanto menos paradójica: el paternalismo sería siempre una discriminación cuando

Sin embargo, esta interpretación ecomorfológica cuenta con una evidencia en contra, ya que en venta Micena está presente una especie de Praeovibos que exhibe también una gran

usando Excel 153 7.1 Introducción 153 7.2 Operaciones entre matrices y vectores con Excel 153 Matriz por vector columna 153 Vector fila por matriz 158 7.3 Multiplicación de

H 0 : No existe relación significativa entre el liderazgo del director y el clima organizacional en la Institución Educativa Fiscal “Teniente Hugo Ortiz” de

“⇒” Si AX = B es compatible determinado, A es equivalente por filas a una matriz escalonada reducida cuyo número de pivotes coincide con el número de incógnitas, es decir, A

Se estima una distancia de más de 11 millones de años luz hablando de una cantidad de sistemas solares que no tendrían espacio en nuestra mente y esto solo hablando del grupo

“La unificación de la clasificación de empresas otorgada por las CC.AA.”, “La unificación de criterios en la acreditación de los servicios de prevención de riesgos

En el capítulo de desventajas o posibles inconvenientes que ofrece la forma del Organismo autónomo figura la rigidez de su régimen jurídico, absorbentemente de Derecho público por