Bases (parte 1)
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(2) Sergio Yansen Núñez 2.. Determine una base para W =. x, y, z ∈ IR 3 / 2x − y + z = 0 .. Solución: 2x − y + z = 0 z = −2x + y x, y, z ∈ W x, y, z = x, y, −2x + y x, y, z = x, 0, −2x + 0, y, y x, y, z = x1, 0, −2 + y0, 1, 1 Luego, x, y, z ∈ W x, y, z ∈ 1, 0, −2 , 0, 1, 1 Un conjunto generador de W es B =. 1, 0, −2 , 0, 1, 1. Claramente B es L.I pues no existe k ∈ IR tal que 1, 0, −2 = k0, 1, 1 En efecto, si 1, 0, −2 = k0, 1, 1 , entonces de la igualación de las primeras componentes, se obtiene 1 = 0 , lo cual es una contradicción. Luego, B =. 1, 0, −2 , 0, 1, 1. es una base se W pues lo genera y es L.I.. Bases.
(3) Sergio Yansen Núñez Determine una base para W =. 3.. x, y, z ∈ IR 3 / x − y + z = 0 , x + y − z = 0 .. Solución: x−y+z = 0 x+y−z = 0 Formado la matriz aumentada: 1 −1. 1. 1. −1 0. 1. 0. La matriz escalonada reducida es: 1 0. 0. 0. 0 1 −1 0 La tercera columna no tiene pivote, por lo tanto la variable z será el paramétro Sea z = t , t ∈ IR Las ecuaciones obtenidas a partir de la matriz son: x=0 y−t = 0 De las ecuaciones anteriores, se obtiene: x=0 y=t x, y, z ∈ W x, y, z = 0 , t , t x, y, z = t0, 1, 1 Luego, x, y, z ∈ W x, y, z ∈ ⟨0, 1, 1⟩ Un conjunto generador de W es 0, 1, 1, el cual es L.I, pues 0, 1, 1 no es el vector nulo. Luego, B = 0, 1, 1 es una base se W pues lo genera y es L.I.. Bases.
(4) Sergio Yansen Núñez 4.. Determine una base para W=. x, y, z, u ∈ IR 4 / x − y + z − u = 0 , x + y − z − u = 0 .. Solución: x−y+z−u = 0 x+y−z−u = 0 Formado la matriz aumentada: 1 −1. 1. 1. −1 −1 0. 1. −1 0. La matriz escalonada reducida es: 1 0. 0. 0 1 −1. −1 0 0. 0. Las tercera y cuarta columnas no tienen pivote, por lo tanto las variables z y u serán los paramétros Sean z = t , u = λ. ; t , λ ∈ IR. Las ecuaciones obtenidas a partir de la matriz son: x−λ = 0 y−t = 0 Despejando las variables x e y se obtiene: x=λ y=t x, y, z, u ∈ W x, y, z, u = λ , t , t , λ x, y, z, u = 0 , t , t , 0 + λ , 0 , 0 , λ x, y, z, u = t0 , 1 , 1 , 0 + λ1 , 0 , 0 , 1 Luego, x, y, z, u ∈ W x, y, z, u ∈ 0 , 1 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 Un conjunto generador de W es 0 , 1 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1. Bases.
(5) Sergio Yansen Núñez Claramente 0 , 1 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1. es L.I pues no existe k ∈ IR tal que. 0 , 1 , 1 , 0 = k1 , 0 , 0 , 1 En efecto, si 0 , 1 , 1 , 0 = k1 , 0 , 0 , 1 , entonces de la igualación de las segundas componentes, se obtiene 1 = 0 , lo cual es una contradicción. Luego, B =. 0 , 1 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1. Bases. es una base se W pues lo genera y es L.I..
(6) Sergio Yansen Núñez 5.. Determine una base para W=. x, y, z, u, v ∈ IR 5 / x + y + z + u + v = 0 , x − y + z − u + v = 0. Solución: x+y+z+u+v = 0 x−y+z−u+v = 0 Formado la matriz aumentada: 1. 1. 1. 1. 1 0. 1 −1 1 −1 1 0 La matriz escalonada reducida es: 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 Las tercera , cuarta y quinta columnas no tienen pivote, por lo tanto las variables z , u y v serán los paramétros Sean z = t , u = λ , v = μ ; t , λ , μ ∈ IR Las ecuaciones obtenidas a partir de la matriz son: x+t+μ = 0 y+λ = 0 Despejando las variables x e y se obtiene: x = −t − μ y = −λ x, y, z, u, v ∈ W x, y, z, u, v = −t − μ , − λ , t , λ , μ x, y, z, u, v = −t , 0 , t , 0 , 0 + 0 , − λ , 0 , λ , 0 + −μ , 0 , 0 , 0 , μ x, y, z, u, v = t−1 , 0 , 1 , 0 , 0 + λ0 , − 1 , 0 , 1 , 0 + μ−1 , 0 , 0 , 0 , 1 Luego, x, y, z, u, v ∈ W x, y, z, u, v ∈ −1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , − 1 , 0 , 1 , 0 , −1 , 0 , 0 , 0 , 1. Bases.
(7) Sergio Yansen Núñez Un conjunto generador de W es −1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , − 1 , 0 , 1 , 0 , −1 , 0 , 0 , 0 , 1 El conjunto es L.I, en efecto: α−1 , 0 , 1 , 0 , 0 + β0 , − 1 , 0 , 1 , 0 + γ−1 , 0 , 0 , 0 , 1 = 0, 0, 0, 0, 0 −α − γ, −β, α, β, γ = 0, 0, 0, 0, 0 −α − γ = 0 −β = 0 α=0 β=0 γ=0 De las ecuaciones se obtiene α = β = γ = 0 Luego, B =. −1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , − 1 , 0 , 1 , 0 , −1 , 0 , 0 , 0 , 1. es una base se W pues lo genera y es L.I.. Bases.
(8) Sergio Yansen Núñez 6.. Determine una base para W=. x, y, z, u, v; w ∈ IR 6 / x + y + z + u + v = 0 , x − y + −z + u + v = 0 .. Solución: x+y+z+u+v = 0 x − y + −z + u + v = 0 Formado la matriz aumentada: 1. 1. 1. 1 1 0. 1 −1 −1 1 1 0 La matriz escalonada reducida es: 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 Las tercera , cuarta y quinta columnas no tienen pivote, por lo tanto las variables z , u y v serán los paramétros Sean z = t , u = λ , v = μ ; t , λ , μ ∈ IR Las ecuaciones obtenidas a partir de la matriz son: x+λ+μ = 0 y+t = 0 Despejando las variables x y y se obtiene: x = −λ − μ y = −t x, y, z, u, v, w ∈ W x, y, z, u, v, w = −λ − μ , − t , t , λ , μ , w x, y, z, u, v, w = 0, −t, t, 0, 0, 0 + −λ, 0, 0, λ, 0, 0 + −μ, 0, 0, 0, μ, 0 + 0, 0, 0, 0, 0, w x, y, z, u, v, w = t0, −1, 1, 0, 0, 0 + λ−1, 0, 0, 1, 0, 0 + μ−1, 0, 0, 0, 1, 0 + w0, 0, 0, 0, 0, 1 Luego,. Bases.
(9) Sergio Yansen Núñez x, y, z, u, v, w ∈ W x, y, z, u, v, w ∈ ⟨0, −1, 1, 0, 0, 0, −1, 0, 0, 1, 0, 0, −1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1⟩ Un conjunto generador de W es B = 0, −1, 1, 0, 0, 0, −1, 0, 0, 1, 0, 0, −1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1 B es L.I, en efecto: α0, −1, 1, 0, 0, 0 + β−1, 0, 0, 1, 0, 0 + γ−1, 0, 0, 0, 1, 0 + δ0, 0, 0, 0, 0, 1 = 0, 0, 0, 0, 0, 0 −β − γ, −α, α, β, γ, δ = 0, 0, 0, 0, 0, 0 −β − γ = 0 −α = 0 α=0 β=0 γ=0 δ=0 De lo anterior, se obtiene α = β = γ = δ = 0 Luego, B =. 0, −1, 1, 0, 0, 0 , −1, 0, 0, 1, 0, 0 , −1, 0, 0, 0, 1, 0 , 0, 0, 0, 0, 0, 1. es una base se W pues lo genera y es L.I.. Bases.
(10) Sergio Yansen Núñez 7.. Determine una base para. W=. x, y, z, u, v; w ∈ IR 6 / x + y + z + v = 0 , x + y + v − w = 0 , x − z + u = 0. Solución: x+y+z+v = 0 x+y+v−w = 0 x−z+u = 0 Formado la matriz aumentada: 1 1. 1. 0 1. 1 1. 0. 0 1 −1 0. 1 0 −1 1 0. 0 0. 0 0. La matriz escalonada reducida es: 1 0 0. 1. 0. 1. 0. 0 1 0 −1 1 −2 0 0 0 1. 0. 0. 1. 0. Las cuarta, quinta y sexta columnas no tienen pivote, por lo tanto las variables u , v y w serán los paramétros Sean u = t , v = λ , w = μ ; t , λ , μ ∈ IR Las ecuaciones obtenidas a partir de la matriz son: x+t+μ = 0 y − t + λ − 2μ = 0 z+μ = 0 Despejando las variables x , y y z se obtiene: x = −t − μ y = t − λ + 2μ = 0 z = −μ x, y, z, u, v, w ∈ W x, y, z, u, v, w = −t − μ , t − λ + 2μ , − μ , t , λ , μ x, y, z, u, v, w = −t , t , 0 , t , 0 , 0 + 0 , − λ , 0 , 0, λ , 0 + −μ , 2μ , − μ , 0 , 0 , μ. Bases.
(11) Sergio Yansen Núñez x, y, z, u, v, w = t−1 , 1 , 0 , 1, 0 , 0 + λ0 , − 1 , 0 , 0, 1 , 0 + μ−1 , 2 , − 1 , 0 , 0 , 1 Luego, x, y, z, u, v, w ∈ W x, y, z, u, v, w ∈ −1 , 1 , 0 , 1, 0 , 0 , 0 , − 1 , 0 , 0, 1 , 0 , −1 , 2 , − 1 , 0 , 0 , 1 Un conjunto generador de W es B=. −1 , 1 , 0 , 1, 0 , 0 , 0 , − 1 , 0 , 0, 1 , 0 , −1 , 2 , − 1 , 0 , 0 , 1. B es L.I , en efecto: α−1 , 1 , 0 , 1, 0 , 0 + β0 , − 1 , 0 , 0, 1 , 0 + γ−1 , 2 , − 1 , 0 , 0 , 1 = 0, 0, 0, 0, 0, 0 −α − γ, α − β + 2γ, −γ, α, β, γ = 0, 0, 0, 0, 0, 0 −α − γ = 0 α − β + 2γ = 0 −γ = 0 α=0 β=0 γ=0 De lo anterior, se obtiene: α = β = γ = 0 Luego, B =. −1 , 1 , 0 , 1, 0 , 0 , 0 , − 1 , 0 , 0, 1 , 0 , −1 , 2 , − 1 , 0 , 0 , 1. es una base se W pues lo genera y es L.I.. Bases.
(12) Sergio Yansen Núñez 8.. Determine una base para a b. W=. ∈ M 2 IR / a + c = b + d , a + b = c + d. c d. Solución: a−b+c−d = 0 a+b−c−d = 0 Formando la matriz aumentada: 1 −1. 1. 1. −1 −1 0. 1. −1 0. Aplicando operaciones elementales fila, se obtiene la matriz escalonada reducida: 1 0. −1 0. 0. 0 1 −1. 0. 0. Las tercera y cuarta columnas no tienen pivote, por lo tanto las variables c y d serán los paramétros Sean c = t , d = λ ; t , λ ∈ IR Las ecuaciones obtenidas a partir de la matriz son: a−λ = 0 b−t = 0 Despejando las vaiables a y b, se obtiene: a=λ b=t a b c d. a b c d. ∈W. =. . 0 t t 0. a b c d. +. =. λ 0 0 λ. Bases. λ t t λ.
(13) Sergio Yansen Núñez a b. =. c d a b. ∈W. c d. 0 1. t. +λ. 1 0. 1 0 0 1. a b. . ∈. c d. 0 1. tal que. 0 1 1 0. En efecto, si. 1 0 =k 0 1 1 0. 1 0 1 0. ,. ,. 1 0 0 1. Un conjunto generador de W es B =. Claramente B =. 0 1. ,. 1 0 0 1 1 0 0 1. es L.I pues no existe k ∈ IR. 0 1. 1 0 0 1 =k. 1 0 0 1. , entonces de la igualación matricial,. se obtiene 1 = 0 , lo cual es una contradicción. Luego, B =. 0 1 1 0. ,. 1 0 0 1. Bases. es una base se W pues lo genera y es L.I..
(14) Sergio Yansen Núñez 9.. Determine una base para 1 1. A ∈ M 2 IR / AB = BA , donde B =. W=. 1 1. Solución:. a b. A=. Sea. ∈W. c d. a b. 1 1. c d. 1 1. =. a+b a+b. ⇔. A=c a b c d. a b. 1 1. c d. a+c b+d a+c b+d. a+b = a+c. ⇔. b=c. a+b = b+d. ⇔. a=d. c+d = a+c. ⇔. d=a. c+d = b+d. ⇔. c=b. Luego, b = c. A=. 1 1. =. c+d c+d. A=. ⇔. a b c d 0 c c 0 0 1 1 0 ∈W. ∧. a=d. ∈W. ⇔. A=. d c c d. d 0. +. 0 d. +d. . 1 0 0 1 a b c d. ∈. Un conjunto generador de W es B =. Bases. 0 1. ,. 1 0 0 1 1 0. ,. 1 0 0 1 1 0 0 1.
(15) Sergio Yansen Núñez 0 1. Claramente B =. tal que. 0 1 1 0. En efecto, si. 1 0 =k 0 1 1 0. 1 0. ,. es L.I pues no existe k ∈ IR. 0 1. 1 0 0 1 =k. 1 0 0 1. , entonces de la igualación matricial,. se obtiene 1 = 0 , lo cual es una contradicción. Luego, B =. 0 1 1 0. ,. 1 0 0 1. Bases. es una base se W pues lo genera y es L.I..
(16) Sergio Yansen Núñez 10.. Determine un conjunto generador para W =. A ∈ M 3 IR / A t = A. Solución: a b c Sea. A=. ∈W. d e f. ⇔ At = A. g h i a d g ⇔. b e h. a b c =. d e f. c f i. g h i. a=a. d=b. g=c. b=d. e=e. h=f. c=g. f=h. i=i. Luego, b = d , c = g , f = h a b c A=. d e f. a d g ∈W. ⇔. A=. g h i. g h i. a 0 0 ⇔A=. 0 0 0. 0 d 0 +. 0 0 0. 0 0 0. d 0 0. 0 0 g +. 0 0 0. 0 0 0 0 e 0. d e h. g 0 0. 0 0 0 +. 0 0 h 0 h 0. Bases. 0 0 0. 0 0 0 +. 0 0 0 0 0 i. +.
(17) Sergio Yansen Núñez 1 0 0 A=a. 0 1 0 +d. 0 0 0. e. 0 0 0. 0 0 0. 0 0 0 +h. 0 0 0. +. 1 0 0 0 0 0 +i. 0 0 1. 0 0 0. A∈W. +g. 1 0 0. 0 0 0. 0 1 0. 0 0 1. 0 1 0. 0 0 0 0 0 1. 1 0 0. A∈. 0 0 0. ,. 0 1 0 ,. 0 0 1 ,. 1 0 0. 0 0 0. 0 0 0. 0 0 0. 1 0 0. 0 0 0. 0 0 0. 0 0 0. 0 1 0. ,. ,. 0 0 1. 0 0 0. 0 0 0. 0 1 0. 0 0 1. Un conjunto generador de W es 1 0 0 B=. 0 0 0. 0 1 0 ,. 0 0 0. 0 0 0. 0 0 0. 0 0 0 0 1 0. ,. 1 0 0. 0 0 0. ,. 0 0 1 1 0 0. 0 0 0 ,. 0 0 0 ,. 0 0 1 0 1 0. 0 0 0 0 0 1. B es L.I, en efecto: 1 0 0 α. δ. 0 0 0. 0 1 0 +β. 1 0 0. 0 0 0. 0 0 0. 0 0 0. 0 0 0. 0 1 0 0 0 0. +ε. 0 0 1. 0 0 1 +γ. +. 0 0 0 1 0 0 0 0 0. +. 0 1 0. 0 0 0 0 0 1. Bases. 0 0 0 =. 0 0 0 0 0 0.
(18) Sergio Yansen Núñez. α β γ β δ ε γ ε . 0 0 0 =. 0 0 0 0 0 0. De la igualación matricial, se obtiene:. α=β=γ=δ=ε==0. Luego, B es una base se W pues lo genera y es L.I.. Bases.
(19) Sergio Yansen Núñez 11.. Determine un conjunto generador de W =. px ∈ IR 2 x / p ′ 1 = 0 .. Solución: Sea. px = ax 2 + bx + c. px = ax 2 + bx + c ∈ W. p ′ x = 2ax + b. ⇒ ⇔. p ′ 1 = 0. ⇔. px = ax 2 − 2ax + c. 2a + b = 0 b = −2a px = ax 2 + bx + c ∈ W px = ax 2 − 2x + c px = ax 2 − 2x + c ⋅ 1 px = ax 2 + bx + c ∈ W. ⇔ px ∈. Luego, un conjunto generador de W es B = Claramente B =. x 2 − 2x , 1. x 2 − 2x , 1 x 2 − 2x , 1. es L.I pues no existe k ∈ IR. tal que x 2 − 2x = k ⋅ 1 En efecto, si x 2 − 2x = k , entonces de la igualación de polinomios, se obtiene 1 = 0 , lo cual es una contradicción.. Bases.
(20) Sergio Yansen Núñez 1. px ∈ IR 3 x / ∫ pxdx = 0 .. Determine un conjunto generador de W =. 12.. 0. Solución: px = ax 3 + bx 2 + cx + d. Sea. ∫ax 3 + bx 2 + cx + ddx =. 1 4. 1. ∫ 0 ax 3 + bx 2 + cx + ddx = 1. ∫ 0 pxdx = 0 d = − 14 a −. 1 3. 1 2. b−. 1 4 1 4. ⇒. 1 3. ax 4 + a+ 1 3. a+. 1 3. b+ 1 2. b+. 1 2. 1 2. cx 2 + dx + cte. c+d. c+d = 0. c. px = ax 3 + bx 2 + cx + d ∈ W 1 4. px = ax 3 + bx 2 + cx − 1 4. px = a x 3 −. ⇔. bx 3 +. ⇔ 1 3. b−. 1 2. + b x2 −. 1 3. a−. px = ax 3 + bx 2 + cx + d ∈ W. c 1 2. +c x−. ⇔ px ∈. Luego, un conjunto generador de W es B =. x3 −. x3 −. 1 4. 1 4. , x2 −. , x2 −. 1 3. 1 3. , x−. , x−. 1 2. 1 2. B es L.I, en efecto: α x3 − αx 3 −. 1 4. 1 4. + β x2 − 1 3. α + βx 2 −. αx 3 + βx 2 + γx −. 1 4. 1 3. +γ x−. 1 2. β + γx −. 1 2. γ=0. 1 3. 1 2. γ=0. α−. β−. =0. De la igualación, se obtiene, α = β = γ = 0 Luego, B =. x3 −. 1 4. , x2 −. 1 3. , x−. 1 2. Bases. es una base se W pues lo genera y es L.I..
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