Esto consiste en una serie de resultados importantes, como el colapso de la función de onda y el principio de incertidumbre, que analizaré brevemente a continuación. La ecuación de Schrödinger es uno de los principios fundamentales de esta "nueva física", pero para llegar allí necesitamos partir de algunos conceptos más básicos. Ahora la ecuación de la partícula que, como ya sabemos, es una superposición de ondas es Ψ(x, t) = P∞.
2 sen(πnx)e−iEnt/~ de asociado con cualquier energía que satisfaga la ecuación de Schrödinger es V = 0. Otra forma de llegar a la ecuación algo similar a la de Schrödinger. Se basa en la ecuación de ondasutt =vp2uxx con vp =ν/k. Esta fórmula, junto con la ecuación de onda, jugó un papel importante en la construcción de la ecuación de Schrödinger, que no se basa en principios fundamentales anteriores.
Este descubrimiento fue muy importante en el avance de la mecánica cuántica y fue parte de la interpretación de Copenhague. Por ejemplo, la probabilidad de encontrar un electrón de un átomo de hidrógeno en su estado fundamental que tenga la función de onda Ψ(x, t) = a√3/2π e−a. Cuando tenemos una solución a la ecuación, es más lógico llamar a K como.
Usualmente la ecuación de Schrödinger es tridimensional, pero a veces por simplicidad ya veces porque las simetrías lo permiten, trabajamos con la ecuación en el caso unidimensional.
La part´ıcula libre
Las energías que hacen posible esta igualdad a veces tienen un número discreto de valores, por ejemplo si tenemos ψ 1-periódica se puede escribir como P. Como las soluciones del teorema satisfacen estas hipótesis entonces siempre serán múltiplos entre sí . . Entonces buscaremos g considerando que esta función se asemeja a la transformada de una Gaussiana.
Otro dato a destacar de la ecuación (4) es que es consistente con la mecánica clásica, y lo veremos a continuación. La función de onda de una partícula en el origen debe satisfacer que su medida de probabilidad ent= 0, |f|2dx, tenga casi toda su masa cerca del origen, esto quiere decir que la probabilidad de encontrar la partícula en un punto será mayor jo más cerca de ese punto está el origen. Si tenemos una velocidad inicial v0 en la relación λ = h/p, el número de ondas será mv0/2π~.
La aproximación es buena como λ → +∞, ya que el error está acotado por Cλ−3/2, con la constante C para A y P fija. Esto nos ayudará a aproximar funciones de onda de partículas libres que tienen datos iniciales de la forma Ψ(x,0) = B(x)eimv0x/~ con B(x) concentrado alrededor del origen.
Pozo de potencial finito
Entonces vemos |A/B|2 = 1 porque tenemos el módulo de una función entre su conjugado y eso siempre da 1. Este coeficiente no siempre tiene que ser 1, podría haber un potencial para el cual es menor, es decir, por lo que no todas las partículas rebotan. Y este es el caso de nuestro siguiente ejemplo, en el que esto sucederá gracias a que tendrá una pared muy estrecha.
En este caso a 6= 0, ya que no necesita estar acotado para la solución y tendremos los mismos valores para κ y q. Es necesario considerar D= 0 para que ninguna partícula llegue a x < 0 desde el otro lado de la pared. También podemos ver que si D= 0 entonces C 6= 0 por lo que las soluciones difieren de 0 continuamente y con derivada continua.
Esta propiedad de "atravesar paredes" sin tener lo que en la física clásica se consideraría energía suficiente se denomina efecto túnel. Una punta conductora se acerca a la superficie a estudiar, y si la acercas lo suficiente a un electrón, saltará, es decir, se creará una imagen de su disposición en función de la corriente que atraviesa la barrera, y esto depende de la distancia entre la punta y el electrón. Aunque he hecho los cálculos asumiendo E > 0, esto no cambiaría nuestra conclusión, ya que la única parte que cambiaría sería x, y aún así integraría una función continua en una compacta, por lo que seguiría siendo finalmente.
Como estudiar la solución completa a veces puede ser más complicado que estudiar las soluciones pares e impares por separado, veremos que esto es posible. Dada una solución ψ para E, entonces ψp = 0 o ψp también es una solución, y lo mismo es cierto para ψi. Para que esto sea 0, tanto la parte par como la impar deben ser 0, por lo tanto, ψp = 0 es una solución y ψi = 0 es una solución.
Con esto podemos concluir que no hay soluciones con E = 0 que satisfagan el resto de hipótesis. Que corta una sola vez, por lo que en ese intervalo habrá una sola solución. Para terminar con el estudio del pozo de potencial finito, podemos relacionar los niveles de energía con los ya vistos en la Sección 1, ya que si V0 −→ ∞ estas paredes se vuelven infranqueables y el conjunto de soluciones de E queda:{(nπ ~) 2 /2m:n ∈Z+} como vemos con estos cálculos:.
El oscilador arm´ onico
Estudiar las soluciones de (10) equivale a estudiar la de (11) y para ello definimos el operador A y su adyacencia A†, que está relacionado con la destrucción y creación de partículas, y vemos algunas de sus características . Mirando la paridad de los polinomios, tenemos que P1 es impar y P2 es par, de esto y de la forma recursiva A†φk. Es necesario probar otras tres propiedades para terminar el estudio de las soluciones que buscamos para lo que vamos a utilizar (14) y Aφ0 = 0, que probaré más adelante.
Ahora podemos volver a las soluciones de (10), todo lo visto anteriormente nos ayudará a concluir que las únicas soluciones son de la forma ψ(x) = φk((mκ)/~2)1/4x) o una constante para φk. Ahora que tenemos una familia de soluciones para (10) podemos preguntar si hay diferentes soluciones para φk. Para ver que esto no es posible, es necesario demostrar que la familia {φk}∞k=0 es una base ortonormal de L2(R).
Volviendo a las soluciones, supongamos que existe una solución diferente al φe dado, que se puede escribir como φe=P∞. Dado que φeno es un múltiplo de no φk, debe haber al menos dos ak 6= 0, pero si es así, tenemos.
Arm´ onicos esf´ ericos
Partiendo de la base de los polinomios armónicos homogéneos de grado l, podemos llegar a una base para las funciones propias. El es el subespacio de funciones propias de valor propio −l(l+ 1) y como son una restricción de los polinomios antes mencionados con base Bl, la base Bl0 de las funciones propias será la restricción de Bl. Por lo tanto, cada elemento de la base será una combinación de elementos de la forma eimϕP(sinθ,sinθ,cosθ), donde m difiere de la potencia de sinθ siempre por un número par, como ahora demostraré.
Entonces m debe distinguirse de las potencias pares de senθ. Finalmente, debemos ver que se pueden escribir como combinaciones de Ylm definidas en el teorema. S2|Ylm|2 = 1 se denominan armónicos esféricos y no solo son la base de las funciones propias, sino que también son funciones propias, como puede verse sustituyendo f = Pl.
El ´ atomo de hidr´ ogeno
Tenemos que ∆∗B =λB, por lo que ya se demostró que la función propia debe ser, ahora, de lo estudiado en la sección anterior, tenemos que el valor propio es λ=−l(l+ 1) y que B será una combinación lineal de armónicos esféricos {Ylm}lm=−l, por lo que podemos suponer que B = Ylm. Así que basta con encontrar una forma general para las soluciones de (25) y lo haremos en [FY09]. Considerando el comportamiento cuando r→0 y r→ ∞, es conveniente buscar soluciones de la forma fl(r) =rl+1e−χrPl(r), donde Pl(r) es una serie de potencias convergente con P0 6 = 0.
La solución para evitar que esto suceda es cancelar algunos pis ya que esto cancelará todos los siguientes. Mirando los coeficientes, podemos ver que hay valores para los cuales la serie se rompe. Para tener un primer coeficiente cero necesitamos que χ= χkl = k+l+1Z que es equivalente a la energía que toma el valor Ekl =−2(k+l+1)Z2 2.
Como ya sabemos, la materia emite y absorbe solo ciertas frecuencias específicas que caracterizan a los elementos que la componen. Esto se puede estudiar mediante un método llamado espectroscopia, en el que la intensidad de las líneas espectrales depende de la probabilidad de paso de los electrones. Por otro lado, todo esto, en el caso estudiado, se trata de los contenedores específicos que hemos visto que puede tener la ecuación de onda.
Esto se debe a que son las energías que se le deben dar a un electrón o que emitirá para cambiar los orbitales, niveles alrededor del núcleo del átomo en los que se pueden encontrar los electrones. North-Holland Publishing Co., Ámsterdam; Interscience Publishers, una división de John Wiley & Sons, Inc., Nueva York, 1962.
