Generalizamos este resultado e provamos um teorema de fatoração de Kronecker para superálgebras alternativas cuja parte par contém O com o mesmo elemento identidade. Além disso, provamos um Teorema de Fatoração de Kronecker para superálgebras alternativas contendo a superálgebra associada M(1|1)(F) com o mesmo elemento identidade. Classificamos bimódulos sobre essas superálgebras e provamos alguns análogos do teorema da fatoração de Kronecker para superálgebras alternativas contendo O(4|4) ou O[u] com o mesmo elemento identidade.
No Teorema 2 de [4] Kaplansky estendeu o resultado de Wedderburn para as álgebras alternativas A e álgebra de Ba Cayley. Finalmente, obtenha um teorema de fatoração de Kronecker para as superálgebras alternativas contendo as superálgebras alternativas simples com o mesmo elemento identidade. O Capítulo 4 é dedicado a superálgebras alternativas simples e demonstramos um teorema de fatoração de Kronecker para essas superálgebras.
Generalizamos este resultado para obter um teorema de fatoração de Kronecker para superálgebras alternativas cuja parte par contém a álgebra de Cayley-Dickson com o mesmo elemento identidade. Também demonstramos um teorema de decomposição de Kronecker para superálgebras alternativas contendo M(1|1)(F) com o mesmo elemento identidade, que usamos para responder à analogia do problema de Jacobson para superálgebras alternativas formulado na seção 4.2.
Álgebras e álgebras livres
Ao longo de cada capítulo, incluiremos as definições necessárias para oferecer conteúdo específico para cada um deles. O produto de Kronecker A ⊗F B (escrito A ⊗ B se não houver ambiguidade) é o produto tensorial A ⊗F B dos espaços vetoriais A, B (portanto, todos os elementos são somas P . a⊗b com a em A e b em B ), onde a multiplicação é definida pela distributividade e. Se A tem identidade 1, então o conjunto de todos os elementos 1⊗b em A ⊗ B é uma subálgebra de A ⊗ B que é isomórfica a B, e podemos identificá-la com B (correspondentemente, se B tem identidade 1, então A ⊗ B contém A como uma subálgebra).
Além disso, BK pode ser facilmente visto como uma álgebra sobre K, que é chamada de extensão escalar de B para uma álgebra sobre K. O conjunto de todas as multiplicações à direita de A é o subespaço da álgebra associativa EndF(A) de todos operadores lineares em A, já que a−→Ra é uma aplicação linear A em EndF(A). Da mesma forma, o conjunto esquerdo La definido por La :x−→ax para todo x em A é um operador linear em A, o mapeamento a−→La é linear, e o conjunto de todas as multiplicações à esquerda de A é um subespaço EndF( A ).
Em [19] foi construída a F−álgebra F[X], que é chamada de álgebra livre sobre F do conjunto de geradores X.
Álgebras livres em uma variedade
Bimódulos
Se a álgebra A ⊕V pertence à variedade M, então V é chamado de bimódulo sobre a álgebra A (ou um A−bimódulo) da variedade M. Na variedade de álgebras de Lie Lie, as condições correspondentes para as operações do bimódulo são da forma Um endomorfismo do espaço vetorial A é chamado de involução da álgebra A se, é de período 2 e é uma antihomomorfia.
Superálgebras
Além disso, toda álgebra associativa semisimples é escrita de forma única, uma vez que o produto da soma direta é zero). Um famoso teorema de Wedderburn afirma que qualquer álgebra associativa simples I é o produto de Kronecker D⊗F Mn(F) de uma álgebra de divisão D sobre F e a álgebra matricial Mn(F) de dimensão n2, onde n é único e D é determinado exclusivamente até o isomorfismo. Outro resultado clássico em álgebras associativas é o teorema de coordenação de Wedderburn (Teorema 3), que afirma que qualquer álgebra associativa unitária contendo um sistema de n2 elementos de matriz unitária também é uma álgebra matricial.
Estes são exemplos de uma família de teoremas de coordenação, que afirmam que uma álgebra terá uma determinada forma se contiver uma família de elementos de um determinado tipo. Em geral, se A é uma álgebra associativa, podemos considerar a álgebra associativa Mn(A) de todas as matrizes com coordenadas na álgebra A. Se considerarmos uma álgebra associativa unitária B, podemos obter uma importante aplicação do teorema de coordenação de Wedderburn na teoria. de representações de álgebras associativas unitárias.
Como E é uma álgebra associativa, podemos formar a álgebra matricial K = Mn(E) contendo Mn(B) como uma subálgebra. Assim, A é uma álgebra associativa (com elemento identidade 1, a identidade de Mn(B)) contendo a álgebra matricial Mn(B) como uma subálgebra unitária, então pelo teorema de coordenação de Wedderburn existe uma álgebra associativa Dtal tal que A= Mn (D).
O Teorema de coordenatização de Zorn
Como dissemos na introdução, o exemplo clássico de álgebra alternativa não associativa é a álgebra de Octonion O e a álgebra de Cayley-Dickson que vem do processo de duplicação de Cayley-Dickson (ver [19]). A álgebra matricial de Cayley-Dickson pode ser considerada não apenas sobre campos, mas também sobre anéis associativos e comutativos Φ. O nome "álgebra matricial" vem do fato de que os elementos de C(F) podem ser representados por matrizes da seguinte maneira: Seja a∈C(F)com.
Isto nos permite enunciar e demonstrar o teorema de coordenação de Zorn em álgebras alternativas, formulado como um exercício em [19]: Seja A uma álgebra alternativa com elemento identidade 1 contendo um sistema matricial. O teorema de coordenação de Wedderburn diz que uma álgebra associativa com um elemento identidade contendo matrizes unitárias é uma álgebra matricial. Da mesma forma, o teorema de coordenação de Zorn diz que uma álgebra alternativa com um elemento identidade contendo matrizes de Cayley-Dickson unitárias é uma álgebra de matriz de Cayley-Dickson.
Quando consideramos uma álgebra associativa e comutativa Ω com um elemento identidade, podemos obter a seguinte equivalência de categoria do Teorema 7. Assim, A é uma álgebra alternativa contendo a álgebra matricial de Cayley-Dickson C(Ω) como uma subálgebra com a mesma identidade elemento, então do Teorema de Coordenação de Zorn - Teorema 7 - existe uma álgebra associativa e comutativa tal que A = C(D ). Considere o conjunto W de elementos de D que aparecem nas entradas das matrizes de V .
Generalização de um teorema de Nathan Jacobson
Álgebras alternativas
Neste capítulo, salvo indicação em contrário, F denotará um corpo de características arbitrárias. Lembremos que em toda álgebra com composição A, além da forma quadrática n(x) (normas x ∈ A), existe também uma forma bilinear f(x, y) conectada a n(x) e uma forma linear traço t (x) = f (1, x). Se B é um subespaço da álgebra com composição A, então denotamos por B⊥ o complemento ortogonal do espaço B em relação à forma f(x, y).
Por [19] (ver Teorema 6 no Capítulo II), toda álgebra de composição dividida de dimensão 4 sobre F é isomórfica a M2(F). Exemplo 7 Se a característica do corpo for diferente de 2, temos a álgebra quatérnion clássica, que é uma álgebra F de dimensão 4 com base 1, i, j, k e com a seguinte tabuada de multiplicação.
Bimódulos alternativos
Portanto, um bimódulo V sobre A é um bimódulo alternativo se, e somente se, as seguintes relações forem satisfeitas. Lembre-se de que um bimódulo V sobre uma álgebra com composição A é chamado de bimódulo Cayley se satisfizer a relação. Exemplo 8 O bimódulo Cayley irredutível unitário não associativo de dimensão 2 para M2(F) é o espaço Cay=F.m1+F.m2, onde M2(F) atua em Cay por.
Formulação do problema
Solução do problema
Álgebras alternativas tensoriais
Estudemos a noção de álgebra tensorial LhVi de um bimódulo (no sentido de Eilemberg) V sobre aF−álgebraL. Façamos um estudo de álgebras tensoriais alternativas, semelhante ao que foi feito para as álgebras tensoriais de Jordan em [5]. Um objeto na categoria AltL é uma álgebra alternativa A equipada com um homomorfismo de álgebras alternativas ϕ : L −→ A.
Normalmente, na notação ϕ:L −→ A de uma álgebra alternativa sobre L, ignoraremos a estrutura de homomorfismo ϕ e simplesmente a escreveremos como A, e se necessário denotaremos o homomorfismo correspondente por ϕL. Então, um objeto da categoria AltH é uma álgebra alternativa assumida com um homomorfismo de álgebras alternativas unitárias ϕ:H−→ A. Jacobson mostra que todo bimódulo alternativo unitário sobre O é completamente redutível e todo componente irredutível é isomórfico ao bimódulo regular Reg (O).
É essencial descrever álgebras de tensores alternativos na categoria AltH pois elas responderão ao problema de Nathan Jacobson, pois toda álgebra alternativa contendo H com o mesmo elemento identidade, devido à propriedade universal, a álgebra alternativa será a imagem homomórfica do ser livre objeto. Sabemos que para cada A ∈ AltH, o morfismo de estrutura ϕA : H −→ A A fornece a estrutura de uma alternativa unitária H−bimódulo. Seja A um objeto da categoria AltM2(F), então A = M2(F)⊕V, onde V é um bimódulo alternativo unitário completamente redutível sobre M2(F) e V = Va ⊕Vc; Va é um bimódulo associativo de unidade M2(F) totalmente redutível e Vc é o bimódulo M2(F)−Cayley totalmente redutível, ou seja, Va=Pm.
Portanto, em (3.28) e no Teorema 22, juntamente com o Lema 13, daremos alguns exemplos de álgebras tensoriais alternativas. Além disso, utilizando o processo acima, pode-se obter de forma semelhante uma expressão geral para qualquer espaço homogêneo não associativo de qualquer comprimento. A seguir, veremos alguns exemplos específicos para ver o comportamento da álgebra tensorial alternativa.
E como no Exemplo 17, pode ser mostrado que o conjunto de elementos e11, e12, e21, e22, m1, m2 é uma base para a álgebra tensorial alternativa L[V] sobre a álgebra associativa livre FhZmi. Além disso, a álgebra livre Fhu1i torna-se a álgebra de polinômiosF[u1], porque as potências de u1 comutam quando atuam nos bimódulos Cayley irredutíveis, bem como o seguinte resultado conhecido [Za,Ac] = 0. É claro que Álgebra L [V] de (3.31) não está imerso na O-álgebra dividida de Cayley-Dickson, pois contém M2(P), onde P é associativo, mas não comutativo.
Respostas do problema de Nathan Jacobson
Álgebras e bimódulos alternativos com involução
Superálgebras alternativas
Exemplo 24 A álgebra de Cayley-Dickson O = H+vH (v2 = α 6= 0) tem a estrutura natural de uma álgebra graduada em Z2, onde a álgebra quatérnion generalizadaH é a parte par e o bimódulo Cayley H vH a parte ímpar da gradação Z2 de O. Se H∼=M2(F), temos a álgebra de Cayley-Dickson dividida e se H é a divisão, temos a álgebra de Cayley-Dickson dividida. Observe que uma superálgebra alternativa não é o mesmo que uma álgebra alternativa com classificação Z2: a superálgebra alternativa simples de característica 3, obtida por I .
Lembremos que no caso em que o campo é de característica2, qualquer álgebra alternativa graduada em Z2 também é uma superálgebra alternativa. 0 (γ ∈ F) com a gradação Z2 induzida pelo processo de duplicação de Cayley-Dickson aplicado à álgebra quatérnion generalizada H, onde.
Superimódulos alternativos
Um análogo do problema de Nathan Jacobson para as superálgebras alternativas 68
A seguir provamos um teorema de decomposição de Kronecker para superálgebras alternativas, onde a parte par da superálgebra contém O com o mesmo elemento identidade. Além disso, como A é uma superálgebra alternativa, M é uma alternativa unitária B-bimódulo; em particular, M é um O-bimódulo. Para a superálgebra associativa unitária M(1|1)(F), vamos provar um análogo do Teorema de Fatoração de Kronecker de N.
Pela Proposição 16, V =Va⊕Vc, onde Va é um H−bimódulo associativo unitário e Vc é um H−bimódulo Cayley. Então, pela Proposição 16, V =Va⊕Vc, onde Va é um H−bimódulo associativo e Vc é um H−bimódulo Cayley. Como a álgebra de Cayley-Dickson O é uma subálgebra da superálgebra alternativa O[u], podemos considerar V como uma alternativa unitária O−bimódulo.
A seguir, provamos para as superálgebras alternativas simples O(4|4) e O[u] alguns análogos do teorema da fatoração de Kronecker.
