Hoja de problemas VII. Algebra II. 2005-2006 Ejercicio 1. Probar que Σ4 es resoluble.
Ejercicio 2. Probar que siG es un grupo resoluble yH es un subgrupo deG, entoncesH es resoluble.
Ejercicio 3. Probar que siGes un grupo resoluble yN es un subgrupo normal deG, entonces G/N es resoluble.
Ejercicio 4. Probar que si N es un subgrupo normal de G, entonces G es resoluble si y s´olo si N yG/N lo son.
Ejercicio 5. SeaKun cuerpo. Probar que sines entero positivo entonces existe una extensi´onE/K que contiene una ra´ızn-´esima primitiva de la unidad.
Ejercicio 6. SeaE/K una extensi´on y seaω una ra´ız n-´esima primitiva de la unidad. EntoncesK(ω)/K es de Galois con grupo de Galois abeliano.
Ejercicio 7. Demostrar que el polinomiox5−6x+3no es resoluble por radicales.
Ejercicio 8. Sea x4+ax2+birreducible sobre K. Sea Gsu grupo de Galois, entonces probar que:
a) Sib es el cuadrado de un elemento de K, entonces G≡C2×C2. b) Sib no es el cuadrado de ning´un elemento de K pero b(a2−4b) s´ılo es, entoncesGes c´ıclico de orden 4.
c) Si no estamos en ninguno de los casos anteriores, entoncesGtiene orden 8.
Ejercicio 9. Supongamos que tenemos un conjunto S de puntos del plano R2 y consideremos un puntopconstru´ıdo seg´un una de las siguientes reglas:
(i) pes la intersecci´on de dos l´ıneas, cada una de ellas contiene dos puntos deS;
(ii) p es la intersecci´on de una l´ınea que contiene dos puntos de S y una circunferencia con el centro deS y que contiene un punto deS;
(iii) p es la intersecci´on de dos circunferencias, cada una de ellas tiene su centro en S y contiene un punto deS.
Un punto p constru´ıdo usando las reglas anteriores se llama constru´ıble en un paso deS. Un punto pesconstru´ıble deS si existe una secuencia finita de puntos deR2
p1,· · ·, pn =p,
tales que para cadai= 1,· · · , nel puntopies constru´ıble en un paso del conjunto S∪ {p1,· · ·, pi−1}.
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1. Sea P un subconjunto de R2 que contiene a (0,0) y (1,0). Si K es un subcuerpo deRgenerado por las coordenadas de los puntos deP yαy β est´an en una extensi´on normalLdeKtal queL⊆Ry|L:K|= 2rpara alg´un entero r, entonces(α, β)es constru´ıble deP.
2. Demostrar que si el problema de la duplicaci´on del cubo tiene una soluci´on positiva, entonces el punto(0,√3
2) es constru´ıble de(0,0),(1,0).
3. Deducir del apartado anterior que el problema de la duplicaci´on del cubo no tiene soluci´on.
Ejercicio 10. Digamos que n es constru´ıble si podemos construir un pol´ıgono regular denlados.
1. Demostrar que sines constru´ıble ymdividenentoncesmes constru´ıble.
2. Demostrar que si m y n son coprimos y constru´ıbles, entonces mn es constru´ıble.
3. Demostrar que para cualquier enteror,2r es constru´ıble.
4. Sea pun primo. Demostrar que sip2 es constru´ıble, entoncesp= 2.
5. Seapun primo distinto de 2. Demostrar quepes constru´ıble si y s´olo si p= 22r+ 1para alg´un rentero.
6. Describir todos los enteros naturales constru´ıbles.
Ejercicio 11.Diremos que una funci´on racionalf ∈K(x1,· · ·, xn)es sim´etrica si para cualquier σ ∈ Σn, f(x1,· · · , xn) = f(xσ(1),· · ·, xσ(n)). Definimos los polinomios sim´etricos elementales de la siguiente manera :
s1(x1,· · · , xn) =x1+· · ·+xn, s2(x1,· · ·, xn) = Y
1≤i<j≤n
xixj,
s3(x1,· · · , xn) = Y
1≤i<j<k≤n
xixjxk,
· · · · sn(x1,· · · , xn) =x1· · ·xn.
SeaE el cuerpo de las funciones sim´etricas racionales sobreK enx1,· · ·, xn y s1,· · ·, sn los polinomios sim´etricos elementales en x1,· · ·, xn. Demostrar que E=K(s1,· · · , sn).
Ejercicio 12. Sea F = K(x1,· · · , xn) y E = K(s1,· · ·, sn), donde si son los polinomios sim´etricos elementales. Identificamos el grupo de Galois de la extensi´on F/E conΣn. Demostrar que el subcuerpo fijo deAn es E(g), donde g=Q
i<j(xi−xj). ¿Cu´al es el polinomio m´ınimo de g sobreE?
Ejercicio 13. (Kummer)z
Sea K un cuerpo de caracter´ıstica cero y sea E/K una extensi´on de cuer- pos. Supongamos que K contiene una ra´ız n-´esima primitiva de la unidad.
Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes.
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(a)E/K es Galois yGal(E/K)es c´ıclico de orden un divisor den.
(b) E=K(a)para cierto elemento a∈E conan ∈K.
Ejercicio 14. z
Sea K un cuerpo de caracter´ıstica cero yf ∈K[x].
1. SeaL/Kuna extensi´on. Supongamos queK=K0⊆K1⊆ · · · ⊆Km=L son subcuerpos, donde Ki+1/Ki es Galois con grupo de Galois Gal(Ki+1/Ki) abeliano para i= 0, . . . , m−1. Supongamos que K ⊆E ⊆L es un subcuerpo conE/K Galois. Demostrar queGal(E/K)es resoluble.
2. Sea E un cuerpo de descomposici´on de f ∈K[x] sobre K. Supongamos que Gal(f) = Gal(E/K) es resoluble y sea n = |Gal(E/K)|. Sea ξ una ra´ız n-´esima primitiva de la unidad en una extensi´on deE. SeanEˆ =E(ξ). Probar que E/Kˆ es radical y por tanto, f es resoluble por radicales. (Una extensi´on E/K es radical si existe una torre de cuerposK =K0 ⊆K1 ⊆ · · · ⊆Kr =E tal queKj =Kj−1(uj),j= 1,· · · , r yunjj ∈Kj−1 para alg´un nj∈N.)
3. Supongamos ahora que f es resoluble por radicales. Sea R/K una ex- tensi´on radical tal queE⊆R. Probar que Gal(E/K)es resoluble.
NOTA. Los problemas marcados con z tienen una dificultad superior al resto. Estos problemas pueden entregarse, voluntariamente, una vez resueltos.
Ms informacin est en la pgina Web de la asignatura:
http://www.uam.es/personal pdi/ciencias/ajaikin/alg2.html
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