Resuelva la ecuaci´on x4 − 2x3 + 3x2 − 8x − 4 = 0, si se sabe que 2i es una soluci´on

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INSTITUTO TECNOL ´OGICO DE COSTA RICA 12 de diciembre del 2 000 ESCUELA DE MATEM ´ATICA Total: 32 puntos C ´ALCULO Y ´ALGEBRA LINEAL Tiempo: 2 h. 15 m.

TERCER EXAMEN PARCIAL

1. Encuentre el n´umero complejo z que resuelva el siguiente sistema

de ecuaciones: (4 puntos)

|z − 3| = 5 Arg(z − 2) =

4

2. Resuelva la ecuaci´on x4 − 2x3 + 3x2 − 8x − 4 = 0, si se sabe que

2i es una soluci´on. (4 puntos)

3. Sea z = −2 − 2i. (5 puntos)

(a) Calcule las ra´ıces c´ubicas de z.

(b) Calcule y escriba z4 + i15

2 − i en la forma a + bi.

4. Determine los valores de α de manera que el conjunto de vectores {(1, α + 1, 2), (−2, −1, α), (0, −1, 2)} sea linealmente independi- ente.

(3 puntos) 5. Dados los vectores u = (1, 0, −1), v = (0, 1, 1), encuentre un

vector w de IR3, con las componentes enteras, que cumpla:

(a) w ⊥ u

(b) w · v = ||v||2 (c) ||w|| =

8 (4 puntos)

6. Determine la ecuaci´on del plano que contiene los puntos (−2, 2, 1),

(3, 0, 2) y (−1, 2, −4). (4 puntos)

(2)

7. Determine las ecuaciones sim´etricas y param´etricas de la recta que pasa por el punto (1, −1, 2) y por el punto de intersecci´on de la recta :

L1 : x

−2 = y − 4

3 = z − 2

con el plano x − 2y + z = 1. (4 puntos)

8. Determine el ´area del tri´angulo con v´ertices (−1, 2, 0), (−3, 1, 2)

y (4, −2, 0). (4 puntos)

Figure

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