Soluciones a los problemas de Qu´ımica F´ısica 2 3ercurso de Grado en Qu´ımica 1
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Problemas de Qu´ımica F´ısica III (2019/20) resueltos n ´umeros 24, 29, 30, 32 y 35 Soluciones:
• Para el estado fundamental de una part´ıcula en una caja monodimensional de longituda, encontrar la probabilidad de que la part´ıcula est´e entre±0.001adel puntoa/2.
Soluci´on:
P(a/2) =
Z a/2+0.001a
a/2−0.001a
ψn∗(x)ψn(x)dx
Como la funci´on de onda casi no var´ıa en dicho intervalo, se puede tomar como constante e igual al valor ena/2
P(a/2) =ψn∗(a/2)ψn(a/2)
Z a/2+0.001a
a/2−0.001a
dx= 2
asen2nπ
2 ×0.002a
Para el estado fundamentaln= 1
P(a/2) = 2 asen2π
2 ×0.002a= 0.004
• Para una part´ıcula en una caja c´ubica de ladoa: (a) ¿Cu´antos estados tienen energ´ıas en el rango de 0 a16h2/8ma2? (b) ¿Cu´antos niveles de energ´ıa caen en ese rango?.
Soluci´on:En este caso los niveles de energ´ıa son Enx,ny,nz = h2
8ma2 n2x+n2y+n2z
de donde se deduce (a) que el n´umero de estados con energ´ıas en el rango de 0 a16h2/8ma2 es 17, y (b) que corresponden a 6 niveles de energ´ıa.
nx, ny, nz Enx,ny,nz/(h2/8ma2) degeneraci´on
1 1 1 3 1
1 1 2 6 3
1 2 1 6
2 1 1 6
1 2 2 9 3
2 1 2 9
2 2 1 9
1 1 3 11 3
1 3 1 11
3 1 1 11
2 2 2 12 1
1 2 3 14 6
1 3 2 14
2 1 3 14
2 3 1 14
3 1 2 14
3 2 1 14
September 25, 2019 Departamento de Qu´ımica F´ısica Aplicada. UAM.
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• Para una part´ıcula en una caja tridimensional de ladosa, byccona 6=b =c, hacer una tabla denx, ny, nz, las energ´ıas y las degeneraciones de los niveles con n´umeros cu´anticos en el rango de 1 a 5 (Tomara2/b2= 2).
Soluci´on:
En este caso los niveles de energ´ıa sonEnx,ny,nz = h2 8ma2
n2x+ 2 n2y+n2z
En el rango de n´umeros cu´anticos de 1 a 5 existen 125 estados, pondremos aqu´ı solamente los 25 primeros nx, ny, nz Enx,ny,nz/(h2/8ma2) degeneraci´on
1 1 1 5 1
2 1 1 8 1
1 1 2 11 2
1 2 1 11
3 1 1 13 1
2 1 2 14 2
2 2 1 14
1 2 2 17 1
3 1 2 19 2
3 2 1 19
2 2 2 20 2
4 1 1 20
1 1 3 21 2
1 3 1 21
2 1 3 24 2
2 3 1 24
3 2 2 25 1
4 1 2 26 2
4 2 1 26
1 2 3 27 2
1 3 2 27
3 1 3 29 3
3 3 1 29
5 1 1 29
2 2 3 30 2
2 3 2 30
N´otese que en este caso adem´as de degeneraci´on debida a la simetr´ıa se producen casos de degeneraci´on accidental (V´ease cuando la energ´ıa valeEnx,ny,nz = 29h2/8ma2).
• La mol´eculaHI tiene una constante de fuerza de enlace de 314 Nm−1. Calcular para1H127Iy2D127I: (a) La frecuencia vibracional cl´asica en s−1, (b) el n´umero de onda correspondiente a la transici´on den= 0an= 1en el espectro vibracional.
Soluci´on:
En este casoνe=2π1q
k
µ, dondeµes la masa reducida definida porµ=mm1m2
1+m2.
Nota: Masas at´omicas, m(1H) = 1.007825035 uma, m(2D) = 2.014101779 uma, m(127I) = 126.904473 uma (a) Para el1H127I µ= m1m2
m1+m2
= 1.007825×126.904473
1.007825 + 126.904473 uma= 0.999884uma
= 0.999884 g
mol× 1kg
1000g× 1
6.022×1023mol−1 = 1.66039×10−27kg de donde se deduce que
νe= 1 2π
s k µ = 1
2π s
314N m−1
1.66039×10−27kg= 6.92118×1013Hz
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hν=hc˜ν =E1−E0=hνe(1 + 1
2)−hνe(0 + 1
2) =hνe→ν =νe
y (b)
˜ ν =νe
c = 6.92118×1013Hz
2.998×108m/s × 1m
100cm = 2308.6cm−1 An´alogamente para el 2D127I: µ = 2.014102×126.904473
2.014102+126.904473 uma = 1.982636 uma = 3.29232×10−27 kg, y (a) νe= 4.91512×1013Hz y (b)ν˜= 1639.5cm−1.
• Un oscilador arm´onico tridimensional tiene un potencialV = 12kxx2+12kyy2+12kzz2, donde las tres constantes de fuerza no son necesariamente iguales. Escribir una expresi´on para los niveles de energ´ıa de este sistema ¿Cu´al es el punto cero de energ´ıa?
Soluci´on:
Aplicando el m´etodo de separaci´on de variables, obtenemos que los niveles de energ´ıa se pueden expresar como Evx,vy,vz =hνx(vx+1
2) +hνy(vy+1
2) +hνz(vz+1 2)
dondeνx= 2π1q
kx
µ, ..., yvx, vy, vz= 0,1,2, .... La energ´ıa del punto cero es (vx, vy, vz= 0) E0,0,0=hνx
1 2+hνy
1 2 +hνz
1 2.
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