Un sistema es un cúmulo formado por tres cosas, a saber: 1) un cúmulo de sentencias o fbfs, engendradas de acuerdo con ciertas reglas de formación; 2) un cúmulo de teoremas que son, de entre las fbfs del sistema, aquellas que vienen afirmadas en el sistema (normalmente, el cúmulo de los teoremas es engendrado a partir de un cúmulo de axiomas mediante las reglas de inferencia de que ahora voy a hablar); 3) un cúmulo de reglas de inferencia.
Un sistema S es una extensión de un sistema S’ ssi: 1º) todo signo de S’ es un signo de S (o bien: cabe establecer una función que haga corresponder a cada signo de S’ un signo de S, y sólo uno; para simplificar, supondré que, si t es una traducción de S’ hacia S, yφes un signo de S’, entonces t(φ)=φ, e.d. que la traducción es homográfica; nada se perdería —salvo un poco de simplicidad en la exposición— de abandonarse tal suposición); 2º) cada teorema de S’ es un teorema de S (para esos signos de S que son, o iguales a los de S’, o traducciones de los mismos). Y S es extensión recia de S’ si además contiene cada regla de inferencia de S’.
Un sistema S es una extensión conservativa de un sistema S’ ssi: S es una extensión de S’ y, además, todo teorema de S que contenga sólo signos de S’ (o traducciones de los mismos) es también un teorema de S’. Así pues, si S es una extensión conservativa de S’, cualesquiera teoremas de S que no sean teoremas de S’ involucran signos adicionales que tenga S y de los cuales carezca S’.
Un sistema S es una extensión cuasiconservativa de un sistema S’ ssi: o bien: 1º) S es una extensión conservativa de S’; o bien 2º) S es una extensión de S’, y S contiene un functor monádico de afirmación ‘ ’ tal que, prefijándolo a cada teorema de S que sea una [traducción de una] fórmula de S’, el resultado es un teorema de S’. (Recordemos que, para que sea ‘ ’ un functor de afirmación, tienen que cumplirse estas dos condiciones: 1ª) para algún p , es verdad —o es un teorema— p ; 2ª) p⊃p es un teorema —siendo ‘⊃’ un functor condicional con la condición del modus ponens, o sea tal que, para r y s cualesquiera, el sistema contiene la regla de inferencia: r⊃s , r s.)
Un sistema S es una lógica finivalente ssi: 1º) S no contiene más que constantes sentenciales, variables sentenciales y functores, e.d. signos monádicos o diádicos que, prefijados a una oración —en cualquier caso—, o colocados entre dos oraciones —en el segundo caso— dan por resultado una oración, y que son tales que el valor de verdad de la oración resultante de tal colocación está
unívocamente determinado por cuál[es] sea[n] el o los valores de verdad de la[s] oracion[es] afectada[s]; 2º) S tiene algún modelo característico con número finito de elementos. ¡Expliquemos esto!
Dado un sistema, S, y dado un cúmulo (o dominio) cualquiera de elementos, D, cabe establecer una función que tome como argumentos a sentencias o fbfs de S y como valores funcionales a elementos de D. (Recordemos lo siguiente: una función es una relación, r, entre miembros de un cúmulo, C, y miembros de otro cúmulo, C’, tal que a cada miembro de C le hace corresponder un miembro, y uno solo, de C’; los miembros de C son los argumentos de r y, para un miembro dado, x, de C, r(x) será un miembro de C’ que será llamado un valor funcional de r, a saber el valor funcional de r para el argumento x; C será el campo de argumentos de r, y C’ será el campo de
valores de r.) Una función, r, cuyo campo de argumentos sea el cúmulo de fbfs de un sistema, S, y
cuyo campo de valores sea un dominio o cúmulo de elementos cualquiera D será una valuación de S en D. Supongamos ahora que algunos elementos de D son designados, pero que no todos ellos lo son; ésta será la condición de no saturación del dominio (y un dominio que la cumple será llamado ‘no saturado’). De entre las valuaciones de S en D se escogerá a las valuaciones admisibles, que serán aquellas que cumplan determinadas condiciones prescritas.
Una fórmula, p , de S es válida con respecto a un dominio, D, ssi: 1º) hay valuaciones admisibles de S en D; 2º) cada valuación admisible, v, de S en D es tal que v(p) es un elemento designado de D.
Un dominio, D, es un modelo de un sistema, S, ssi: 1º) hay valuaciones admisibles de S en D; 2º) cada teorema de S es una fórmula válida con respecto a D.
Un dominio, D, es un modelo característico de un sistema S ssi: 1º) D es un modelo de S; 2º) cada fórmula válida de S con respecto a D es un teorema de S. Un sistema que tiene al menos un modelo característico es un sistema completo.)
He aquí un ejemplo. La lógica clásica —lógica bivalente verifuncional— tiene las siguientes matrices características (siendo 1 el elemento designado).
∧ 1 0 ∨ 1 0 ⊃ 1 0 p ∼p
1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0
0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1
La significación de esas matrices es simple de lo más: para cualquier valuación admisible, v, y para cualesquiera p y q , si v(p)=0, entonces v(∼p)=1 y, si v(p)=1, entonces v(∼p)=0; si v(p)=v(q)=1, entonces v(p∧q)=v(p∨q)=v(p⊃q)=1; si v(p)=0=v(q)=0, entonces: v(p∧q)=0=v(p∨q), pero v(p⊃q)=1; si
v(p)=0 y v(q)=1, entonces: v(p∧q)=0, v(p∨q)=1=v(p⊃q); si v(p)=1 y v(q)=0, entonces v(p∧q)=v(p⊃q)=0, mientras que v(p∨q)=1.
Llamaré ‘matriz’ a una combinación de hileras y columnas, como las arriba expuestas; es n- valente una matriz si cada casilla está ocupada por uno de entre n elementos del dominio de n elementos que se considere. El caso más simple es el de los functores monádicos, cuyas matrices tienen una sola columna. En general, el significado obvio de una matriz para un functor diádico (el caso de los monádicos es más simple y se saca por eliminación) es que: si el functor es , entonces cada valuación admisible v tal que v(p)=u y v(q)=u¹ (siendo u y u¹ dos elementos del dominio considerado) será tal que v(p q)=u², y estando u² indicado en la matriz según sean u y u¹.
Decir que un sistema S tiene matrices características finitas n-valentes es decir que existe un dominio D, con un número finito de elementos, n, que es un modelo característico de S (lo cual puede expresarse por el procedimiento de las matrices, de modo compendiado o visualmente más claro).