El functor ‘B’ tiene en nuestro sistema propiedades similares a las que tiene el operador de necesidad en el sistema de lógica modal S5 basado en la lógica clásica. La diferencia principal estriba en que ‘B’ es un operador del cálculo sentencial, un functor de verdad; pues, en nuestro sistema, se conceptúa como contenido veritativo de un enunciado, no al valor o grado de verdad que tenga en un determinado aspecto, sino al cúmulo de sus valores o grados de verdad. Por ello, el contenido veritativo de Bp (de «Es afirmable con verdad que p») es una función del contenido veritativo de p , como sigue. Para un enunciado dado, p , designo al contenido veritativo del mismo como v(p) —donde v es aquella valuación (en el sentido de ‘valuación’ que vendrá explicado en el Apéndice de la presente sección) que envía a cada enunciado sobre el contenido veritativo que efectivamente posee; y, dado un contenido veritativo, v(p), ‘v(p)i’ designará al i-ésimo componente de v(p), e.d. al valor o grado de
verdad que al hecho de que p asigna la i-ésima función alética):
v(Bp)i=
v(p)i, si v(p) no contiene ningún 0;
0, en caso contrario.
Así pues, si el contenido veritativo del enunciado p —el contenido veritativo correspondiente al hecho de que p— no tiene ningún 0 (o sea: si cada función alética le asigna algún grado de verdad no nulo), entonces el contenido veritativo de Bp (de «Es afirmable con verdad que p») es exactamente el mismo que el de p ; pero, en cambio, si el contenido veritativo de p contiene algún 0, entonces el contenido veritativo de Bp es (0,0,0,0,0,0, …), e.d. una secuencia monótona de ceros.
(Podemos suponer, además, que, si un contenido veritativo contiene al menos un cero, entonces contiene una infinidad de ceros).
Así pues, el contenido veritativo de Bp está en función del contenido veritativo de p . En cambio, a juicio de los contingentistas, el contenido veritativo de «Es necesariamente verdad que p» no depende del de p , pues éste último es un grado de verdad definido, a saber: el que —según su
enfoque uniaspectual— tenga el hecho de que p en este mundo no más (recuérdese que —como dije al final del capítulo anterior— para los contingentistas un hecho cualquiera tiene un solo y único valor de verdad en cada mundo posible, e.d. cada mundo posible es, según ellos, una función alética, y no algo caracterizado por una secuencia de diversas funciones aléticas).
Voy a examinar dos consecuencias importantes de esa divergencia: la primera se relaciona con la regla de afirmabilidad, y la segunda con la significación del principio de tercio excluso.
Con relación al primer punto, es menester precisar la diferencia que existe entre una regla de inferencia sistémica y una regla no sistémica. Una regla de inferencia de un sistema es sistémica si sólo permite extraer teoremas a partir de otros teoremas del sistema —y, en última instancia, a partir de axiomas del sistema. En cambio, una regla de inferencia no sistémica permite extraer conclusiones de premisas, sean o no éstas últimas teoremas del sistema en cuestión. Así, tomemos un sistema S, y supongamos que vamos a ampliar o extender S añadiéndole nuevos símbolos primitivos y acaso también nuevos axiomas. Sea S’ el resultado de tal extensión. Supongamos ahora que S contiene una regla de inferencia sistémica, r; esa regla es sistemática dentro de S únicamente; y, por consiguiente, ya no es una regla de inferencia de S’, aunque sí sea una regla de inferencia de un fragmento de S’, a saber: S.
Pues bien, el sistema Aj contiene la regla de afirmabilidad, rinf02, a saber: p Bp (para cualquier p que sea una fbf). Como la regla es no sistémica, vale, no ya dentro de Aj, sino en cualquier extensión de Aj. Un sistema de lógica modal como S5 contiene una regla parecida, llamada de
necesitación, a saber: p Es necesariamente verdad que p; sólo que esa regla de necesitación (también
llamada ‘de Gödel’) es, en esos sistemas modales, sistémica no más; el significado de la regla, en esos sistemas es: si p es un teorema, entonces «Es necesariamente verdad que p» también es un teorema. En cambio, el significado de nuestra regla no sistémica rinf02 es: Si es afirmable con verdad lo dicho por p , entonces es afirmable con verdad lo dicho por «Es afirmable con verdad que p» (en notación simbólica, lo dicho por Bp ). Y eso equivale a decir: “Si cabe afirmar p , entonces es lícito también afirmar Bp ; o sea: de la premisa p vale (es correcto) deducir la conclusión Bp ”.
Con relación a ese punto, hay que señalar que, en el sistema Aj, el sentido de la inferencia o deducción no es que, si es verdadera la conyunción de las premisas, también es verdadera la conclusión. Sabemos, ciertamente, por el metateorema de la deducción, que de p¹, p², …, p q (o sea: de que haya una inferencia válida de las premisas p¹ , p² , …, p a la conclusión q ) cabe derivar la afirmación de que «Si p¹ y p² y… y p , entonces q» es un teorema de Aj; pero eso vale con una restricción, como recordará el lector, a saber: siempre que las reglas que permiten inferir q a partir de las premisas p¹, p², …, p sean reglas en cuya derivación no haya intervenido rinf02. Lo cual quiere decir que el que valga la inferencia de unas premisas a una conclusión no equivale a que sea cierto que la conyunción de las premisas entraña a la conclusión, aunque esto último puede ser —y es de hecho— un corolario de lo primero en una vastísima gama de casos. Mas no siempre es verdad que, si vale la inferencia p q, entonces es verdadero el enunciado condicional «Si p, entonces q».
Lo que sí es cierto, en cambio, es que, siΓes un cúmulo de enunciados y si p es un enunciado, entonces: deΓ, p q se desprendeΓ Bp⊃Bq; y, por ende, si r es la conyunción de todas las fórmulas que hay enΓ, tenemosΓ q ssi es verdad Br⊃Bq . O sea: la conclusión q se infiere del cúmulo de fórmulasΓssi es verdadero el enunciado condicional siguiente: «Si es afirmable con verdad que r, entonces es afirmable con verdad que q» (siendo r la conyunción de todas las fórmulas que hay enΓ).
La diferencia entre ‘es verdad que’ y ‘es afirmable con verdad que’ estriba en que, para un p cualquiera, «Es verdad que p» dice exactamente lo mismo que p solo; en tanto que «Es afirmable con verdad que p» (e.d. Bp , en notación simbólica) dice algo más fuerte, a saber: dice que el hecho de que p es afirmable con verdad (para lo cual hace falta que sea verdadero en todos y cada uno de los aspectos); si el hecho de que p es afirmable con verdad (si es verdadero en todos y cada uno de los aspectos de la realidad), entonces lo dicho por p es lo mismo que lo dicho por «Es afirmable con verdad que p»; y también son lo mismo si es absolutamente falso que haya tal hecho de que p, e.d.
si es, en cada aspecto de lo real, totalmente falso que exista o sea verdadero el hecho de que p; pero si el hecho de que p es verdadero en unos aspectos y totalmente falso en otros, entonces lo dicho por p es ese hecho de que p, mientras que lo dicho por «Es afirmable con verdad que p» no será nada en absoluto, sino que será absolutamente falso (completamente falso en cada aspecto de la realidad) que sea afirmable con verdad que p. (Para cualquier oración p , lo dicho por Bp será, o bien afirmable con verdad, o bien absolutamente falso; pero nunca podrá ser verdadero en algunos aspectos y totalmente falso en otros.)
Resumiendo: la regla de afirmabilidad comparte con la regla de necesitación o de Gödel de ciertos sistemas modales clásicos fuertes, como S5, la propiedad de que, cuando interviene esa regla en una inferencia, no se aplica a tal inferencia el metateorema de la deducción (en la forma que le habíamos dado, a saber: que si p¹, p², …, p q, entonces es teoremático el enunciado p¹∧p²∧…∧p⊃q ). Pero son muy diversos los motivos por los cuales falla la aplicación de dicho metateorema tanto para el caso en que intervenga nuestra regla de afirmabilidad como para el caso en que intervenga la regla de necesitación. En el caso de ésta última, el motivo es que la regla es no sistémica, y no es, por tanto, una regla de inferencia, en sentido estricto, sino una regla meramente de engendramiento de teoremas a partir de otros teoremas (incluyendo a los axiomas entre los teoremas). En cambio, en el caso de nuestra regla de afirmabilidad, la razón de la inaplicabilidad del metateorema de la deducción —en la versión simple que le habíamos dado— cuando, en la inferencia cuya validez se supone, interviene esa regla, rinf02, estriba en que el sentido de la inferencia o deducción que se reconoce en nuestro sistema es que, si todas las premisas son afirmables con verdad, también es entonces la conclusión afirmable con verdad. La diferencia entre esta nuestra concepción de ‘inferir’ o ‘deducir’ y la concepción usual (en que, en vez de decirse ‘afirmable con verdad’ se dice ‘verdadero’ a secas) es que, mientras que ‘verdadero’ es redundante («Es verdadero el hecho de que p» no dice ni más ni menos que p ), no es en cambio redundante la locución ‘Es afirmable con verdad que’ (no lo es para todo p , aunque sí lo es para una amplia gama de oraciones); pero esa diferencia no tiene cabida desde el enfoque contingentista, para el cual sí es redundante la locución ‘Es afirmable’, siendo así esa locución sinónima de ‘Es verdad’. Porque, en el enfoque contingentista, nada puede servir para diferenciar lo dicho por p de lo dicho por «Es afirmable que p», toda vez que el contenido veritativo de p es un valor de verdad definido único, no una secuencia infinitamente numerosa de valores de verdad (en unos casos idénticos, en otros no), que es lo que sucede según nuestro enfoque.
Una puntualización que no debe omitirse es que una regla no sistémica se aplica, naturalmente, también a los teoremas del sistema al que pertenezca. Lo único que sucede es que se aplica no sólo a ellos, sino a cualesquiera premisas, por lo cual se aplicará en cualesquiera extensiones del sistema. Por eso, y en virtud de rinf02, dado un teorema o esquema teoremático de Aj, p , tenemos automáticamente también el teorema o esquema teoremático Bp .