En esta sección se muestra como, después de finalizar el análisis de posición y de velocidad de un mecanismo plano, es posible resolver el análisis de aceleración del mecanismo. A continuación se presentan los pasos necesarios para realizar el análisis de aceleración del mecanismo.
1. El primer paso del análisis de aceleración consiste en seleccionar un punto que servirá como origen del poligono de velocidad, así como la escala con la que se dibujarán los vectores asociados al polígono de velocidad, por ejemplo 1u.l. = 1mm/seg2.. Como regla general, se recomienda dibujar
el polígono y los cálculos correspondientes al análisis de aceleración en una nueva capa —“layer”— y con otro color. Por ejemplo, en el problema a resolver se seleccionó una escala de 100mm = 1pulg./seg2., vea la figura 9.
En este caso se supondrá que la velocidad angular del eslabón 2 es con- stante, por lo tanto α2= 0rad./seg2.
2. El segundo paso del análisis de aceleración consiste en calcular todas las aceleraciones normales y la aceleración tangencial del punto A. Para tal fín, se tiene que, empleando el concepto de placa representativa, las acel- eraciones normales están dadas por
→ anA= → ω2×→ω2×→rA/O2 = −| → ω2|2→rA/O2 (7.16) → anC/A= → ω3×→ω3×→rC/A= −| → ω3|2→rC/A (7.17) → anD/B=→ω5×→ω5×→rD/B= −|→ω5|2→rD/B (7.18) → anD=→ω6×→ω6×→rD/O6 = −| → ω6|2→rD/O6 (7.19)
Las magnitudes de estas aceleraciones normales están indicadas en la figura 9. Por otro lado, la aceleración tangencial del punto A está dada por
→
atA=→α2×→rA/O2 = 0 pulg./seg.
2 (7.20)
3. El tercer paso del análisis de aceleración consiste en determinar la acel- eración del punto C, vea la figura 10.
De nueva cuenta debe notarse que existen dos puntos C coincidentes. C3
que forma parte del eslabón 3 y C4 que forma parte del eslabón 4. Como
ambos puntos yacen en el eje de rotación del par de revoluta tienen la misma aceleración. Por lo tanto
→
a C3=→a C4 (7.21)
Además, la aceleración del punto C3, está dada por → aC3 = → aA3+ → anC/A+→atC/A=→aA3+ → ω3×→ω3×→rC/A+→α3×→rC/A (7.22) = →aA2+ → ω3×→ω3×→rC/A+→α3×→rC/A (7.23)
Por lo tanto, se tiene la ecuación vectorial
→
aA2+ →
anC/A+→α3×→rC/A=→aC4 (7.24)
Esta ecuación vectorial genera dos ecuaciones escalares y por lo tanto debe existir, como máximo, dos incógnitas escalares. Estas incógnitas son, la magnitud de la angular angular→α3 y la magnitud de la aceleración a C4
. De manera gráfica, la ecuación (7) se resuelve dibujando, a partir del punto A, un vector que represente, a la escala seleccionada, la aceleración
normal anC/Ay, a continuación, una línea en la dirección de la aceleración
tangencial →atC/A =→α3×→rC/A y a partir del punto O, una línea en la
dirección de la aceleración aC4. La intersección de ambas líneas determina
el punto C, vea la figura 10.
4. El cuarto paso del análisis de aceleración consiste en determinar la acel- eración del punto B, vea la figura 11.
a partir de la ecuación (6) puede escribirse
→ aB3 = → aA3+ → ω3×(→ω3×→rB/A) +→α3×→rB/A=→vA2+ → ω3×→rB/A (7.25)
Sin embargo, los puntos A, B y C son colineales. De manera que tomando en cuenta las distancias entre los puntos, se tiene que
2 → rB/A= 1 2 → rC/A (7.26) De aquí que → aB3 = → aA2+ → ω3× (→ω3×→rB/A) +→α3×→rB/A (7.27) =→aA2+ 1 2 → ω3× (→ω3×→rC/A) + 1 2 → α3×→rC/A (7.28) =→aA2+ 1 2 → anC/A+ 1 2 → atC/A=→aA2+ 1 2 → aC/A (7.29)
Esta ecuación puede resolverse graficamente dibujando un vector que conecte el punto A con el punto C, este vector representa la aceleración total del punto C respecto del punto A
→
aC/A=→anC/A+→atC/A (7.30)
A continuación se dibuja un círculo con centro en el punto A, del polígono de aceleración, con radio igual a la mitad del vector→aC/A. La intersección
del círculo con el vector→aC/Adetermina el punto B. Si se dibujara el vec-
tor que va del punto O al punto B, este vector determinaría la aceleración de ambos puntos B3y B5, denominada→aB.
5. El quinto paso del análisis de aceleración consiste en determinar la acel- eración del punto D, nuevamente se tiene que
→
aD5= →
aD6 (7.31)
Esta ecuación puede escribirse como
→ aD5= → aB5+ → anD/B+→atD/B=→aB5+ → ω5× (→ω5×→rD/B) +→α5×→rD/B (7.32) =→ω6× (→ω6×→rD/O6) +→α6×→rD/O6=→anD+→atD=→aD6 (7.33)
De nueva cuenta, si la ecuación (10) puede resolverse debe tener como máx- imo dos incógnitas escalares. En este caso, esas incógnitas son las magni- tudes de las aceleraciones angulares α5 y α6. Graficamente esta ecuación
se resuelve dibujando a partir del punto B un vector que represente, a la es- cala seleccionada, la aceleración normal anD/By, a continuación, una línea
en la dirección de la aceleración tangencial→atD/B=→α5×→rD/B. Por otro
lado, es necesario dibujar, a partir del punto O un vector que represente, a la escala seleccionada, la aceleración normal→anD y, a continuación, una
línea en la dirección de la aceleración tangencial→atD =→α6×→rD/O6. La
Chapter 8
Centros Instantaneos de
Velocidad.
8.1
Introducción y Motivación.
Desde finales del siglo XIX hasta mediados del siglo XX, la ausencia de her- ramientas de cómputo obligó al desarrollo de métodos gráficos de análisis cin- emático de mecanismos. Dentro de esta categoria se encuentran los siguientes métodos
1. Polígonos de velocidad y aceleración. 2. Centros instantaneos de velocidad.
Aún cuando estos métodos son, ahora, mas tediosos y menos exactos que aquellos métodos basados en el empleo de computadores digitales, es importante conocer estos métodos, en particular el método de los centros instantaneos de velocidad, pues proporciona una visión, al mismo tiempo, práctica y altamente reveladora que tiene aplicación en la cinemática espacial y la cinemática de engranages.
Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la figura 1. Es bien claro que el eslabón 2 tiene un movimiento de rotación, respecto del eslabón fijo, 1, alrededor del punto O2. De manera semejante, el eslabón
4 tiene un movimiento de rotación, respecto del eslabón fijo, 1, alrededor del punto O4.1
Este conocimiento permite determinar de manera muy sencilla la dirección de la velocidad absoluta; es decir respecto del eslabón fijo, como se muestra en la figura 2. En verdad,
vM = ω2× rM/O2 y vN= ω4× rN/O4 (8.1)
1En sentido mas estricto, los eslabones 2 y 4 tienen un movimiento de rotación alrededor
Por lo tanto, la velocidad del punto M es perpendicular al vector rM/O2 y
por lo tanto perpendicular a la linea O2M . Similarmente, la velocidad del punto
N es perpendicular al vector rN/O4y por lo tanto perpendicular a la linea O4N .
Si se pudiera conocer, aún cuando unicamente sea de manera instantanea, el punto alrededor del cual el eslabón 3 gira respecto al eslabón 1, entonces se podría obtener, de manera muy sencilla la dirección de las velocidades de todos los puntos del eslabón 3.
Si este punto se conociera, se denomina el centro instantaneo de velocidad del eslabón 3 con respecto al eslabón 1. El resto de estas notas proporcionan una definición formal de este punto, la teoría y técnica necesarias para su determi- nación y su empleo en la determinación de la velocidades angulares o puntuales de un mecanismo plano.