Las ecuaciones de posición para este eslabonamiento de cuatro barras de manivela- corredera invertido se dedujeron en la sección anterior. Este eslabonamiento se muestra nuevamente en la figura 5.3, en la cual se indica también una velocidad angular de entrada ω2aplicada al eslabón 2. Esta ω2puede variar con el tiempo.
Las ecuaciones de lazo vectorial mostradas anteriormente son también validas para este eslabonamiento.
Todos los eslabonamientos de corredera tendrán al menos un eslabón cuya longitud efectiva entre juntas varía conforme se mueve el eslabonamiento. En esta inversión la longitud del eslabón 3 entre los puntos A y B, designada como
b, cambiará cuando pase por la corredera en el eslabón 4. Para obtener una expresión de la velocidad se diferencia la ecuación de lazo con respecto al tiempo, observándose que a, c, d y θ1 son constantes y b varía con el tiempo.
jaω2ejθ2− j ˙bω3ejθ3− ˙bejθ3− jcω4ejθ4= 0 (5.35)
El valor de dbdt será una de las variables por resolverse en este caso, y es el término b con punto en la ecuación. Otra variable será ω4, la velocidad angular
del eslabón 4. Observe, sin embargo, que también se tiene una incógnita en ω3, la velocidad angular de eslabón 3. Esto da un total de tres incógnitas. La
ecuación 5.35 sólo puede resolverse para dos incógnitas. Por lo tanto, se requiere de otra ecuación para resolver el sistema.
Hay una relación fija entre los ángulos θ3 y θ4, indicada como γ en la figura
5.3 y definida en la ecuación que se repite aquí:
θ3= θ4± γ (5.36)
Se diferencia con respecto al tiempo para obtener:
ω3= ω4 (5.37)
Se desea resolver la ecuación 5.35 para obtener expresiones en esta forma: ω3 = ω4= f (a, b, c, d, θ2, θ3, θ4, ω2)
(5.38) db
dt = ˙b = g (a, b, c, d, θ2, θ3, θ4, ω2) La sustitución de la identidad de Euler en la ecuación 5.35 da:
jaω2(cos θ2+ j sin θ2) − jbω3(cos θ3+ j sin θ3)
−˙b (cos θ3+ j sin θ3) − jcω4(cos θ4+ j sin θ4) (5.39)
= 0
Se multiplica por el operador j y se sustituye ω4por ω3a partir de la ecuación
5.37
aω2(− sin θ2+ j cos θ2) − bω4(− sin θ3+ j cos θ3) (5.40)
−˙b (cos θ3+ j sin θ3) − cω4(− sin θ4+ j cos θ4) (5.41)
= 0 (5.42)
Se puede ahora separar esta ecuación vectorial en sus dos componentes al agrupar por un lado los términos reales y por otro lado los imaginarios:
parte real:
parte imaginaria:
aω2cos θ2− bω4cos θ3− ˙b sin θ3− cω4cos θ4= 0 (5.44)
Se agrupan los términos y se reordenan las ecuaciones 5.43 y 5.44 para aislar una incógnita en el lado izquierdo.
˙b cos θ3= −aω2sin θ2+ ω4(b sin θ3+ c sin θ4) (5.45)
˙b sin θ3= aω2cos θ2− ω4(b cos θ3+ c cos θ4) (5.46)
Cualquier ecuación puede resolverse para el b con punto y el resultado susti- tuirse en la otra. Resolviendo la ecuación 5.45:
˙b = −aω2sin θ2+ ω4(b sin θ3+ c sin θ4)
cos θ3
(5.47) Se sustituye en la ecuación 5.46 y se simplifica:
ω4=
aω2cos (θ2− θ3)
b + c cos (θ4− θ3)
(5.48) La ecuación 5.47 proporciona la velocidad de deslizamiento en el punto B. La ecuación 5.48 da la velocidad angular del eslabón 4. Observe que se puede sustituir a −γ = θ4−θ3en la ecuación 5.48 para simplificarla aún más. Observe
que cos (−γ) = cos (γ).
ω4= −
aω2cos (θ2− θ3)
b + c cos γ (5.49)
La velocidad de deslizamiento de la ecuación 5.47 siempre se dirige a lo largo del eje de deslizamiento como se muestra en la figura 5.3. También hay una componente ortogonal al eje de deslizamiento llamada velocidad de transmisión. Esta se encuentra a lo largo del eje de transmisión, es decir la única línea a lo largo de la cual se transmite cualquier trabajo útil mediante la junta deslizante. Toda la energía asociada con el movimiento a lo largo del eje de deslizamiento se convierte en calor y se pierde.
La velocidad lineal absoluta del punto A se determina a partir de la ecuación 5.32.
Puede determinarse la velocidad absoluta del punto B en el eslabón 4, puesto que ahora se conoce ω4. De la ecuación 5.7
vB4 = jcω4e
jθ4= cω
4(− sin θ4+ j cos θ4) (5.50)
5.4
Velocidad de un punto cualquiera en un es-
labonamiento.
Una vez que se han determinado las velocidades angulares de todos los eslabones resulta fácil definir y calcular la velocidad de un punto en un eslabón cualquiera
para una posición de entrada del eslabonamiento. En la figura 5.4 se muestra el eslabonamiento de cuatro barras con su acoplador, el eslabón 3, aumentado para que contenga un punto de acoplador P . La manivela y el balancín han aumentado también para mostrar los puntos S y U, que podrían representar los centros de gravedad de esos eslabones. Se desea desarrollar expresiones algebraicas para las velocidades de estos puntos de los eslabones.
Para encontrar la velocidad del punto S, trace el vector de posición desde el pivote fijo O2 hasta el punto S. Este vector, RSO2, forma un ángulo δ2 con el
vector RAO2. El ángulo δ2se define completamente por la geometría del eslabón
2 y es constante. El vector de posición para el punto S es entonces: RSO2 = RS = se
j(θ2+δ2)= s [cos (θ
2+ δ2) + j sin (θ2+ δ2)] (5.51)
Se diferencia este vector de posición respecto al tiempo para encontrar la velocidad de ese punto.
vS = jsej(θ2+δ2)ω2= sω2[− sin (θ2+ δ2) + j cos (θ2+ δ2)] (5.52)
La posición del punto U en el eslabón 4 se determina del mismo modo, utilizando el ángulo δ4 que constituye un corrimiento angular constante dentro
del eslabón. La expresión es: RU O4 = ue
j(θ4+δ4)= u [cos (θ
4+ δ4) + j sin (θ4+ δ4)] (5.53)
La derivada de este vector de posición produce la velocidad de ese punto. vU = juej(θ4+δ4)ω4= uω4[− sin (θ4+ δ4) + j cos (θ4+ δ4)] (5.54)
La velocidad del punto P en el eslabón 3 puede determinarse a partir de la suma de dos vectores de velocidad, tales como vA y vP/A. vA ya está definido
a partir del análisis de las velocidades del eslabón. vP /A es la diferencia de
velocidad del punto P con respecto al punto A. El punto A se elige como el punto de referencia, debido a que el ángulo θ3se define en un sistema coordenado
local cuyo origen se encuentra en A. El vector de posición RP/A se define en
la misma forma que RS o RU por medio del ángulo de corrimiento de eslabón
interno δ3 y el ángulo del eslabón 3, θ3.
RP/A= pej(θ3+δ3)= p [cos (θ3+ δ3) + j sin (θ3+ δ3)] (5.55)
RP = RA+ RP /A (5.56)
Se diferencia ahora este vector de posición con respecto al tiempo para de- terminar la velocidad de dicho punto.
vP = vA+ vP/A (5.57)
Comparece está última ecuación con las anteriores. Esto es, de nuevo, la ecuación de diferencia de velocidad.
Chapter 6
Soluciones Analíticas para
el Análisis de Aceleración.
6.1
El eslabonamiento de 4 barras con juntas de
pasador.
Las ecuaciones de posición para el eslabonamiento de cuatro barras con juntas de pasador se obtuvieron en las secciones pasadas. El eslabonamiento se mues- tra de nuevo en la figura 6.1, en la que tambien se indica una aceleración angular de entrada α2aplicada al eslabón 2.
Figura 6.1
de lazo vectorial se mostró, en las secciones pasadas y se repite aquí por conve- nencia:
R2+ R3− R4− R1= 0 (6.1)
Como antes, se sustituye la notación de número complejo para los vectores, y se designan sus longitudes escalares como a, b, c, d, según se muestra en la figura 6.1:
aejθ2+ bejθ3− cejθ4− dejθ1 = 0 (6.2)
En la sección pasada se derivo la ecuación 6.2 con respecto del tiempo para obtener una expresión de la velocidad, la cúal se repite enseguida:
jaω2ejθ2+ jbω3ejθ3− jcω4ejθ4 = 0 (6.3)
Ahora se derivará la ecuación 6.3 con respecto al tiempo a fin de obtener una expresión para las aceleraciones en el eslabonamiento. Cada término en la ecuación 6.3 contiene dos funciones del tiempo, θ y ω. Al derivar con la regla de la cadena en este ejemplo, resultarán dos términos en la expresión de la aceleración para cada término en la ecuación de velocidad:
¡ j2aω22ejθ2+ jaα 2ejθ2 ¢ +¡j2bω23ejθ3+ jbα 3ejθ3 ¢ −¡j2cω24ejθ4+ jcα 4ejθ4 ¢ = 0 (6.4) Simpificando y agrupando términos queda:
¡ aα2jejθ2− aω22ejθ2 ¢ +¡α3jejθ3− bω23ejθ3 ¢ −¡cα4jejθ4− cω24ejθ4 ¢ = 0 (6.5) Compare los términos agrupados en la paréntesis con las ecuaciones 6.4 y 6.5 ambos contienen las componentes tangencial y normal de las aceleraciones de los puntos A y B, así como de la diferencia de aceleración de B a A. La ecuación 6.5 es de hecho, la ecuación de diferencia de aceleración, la cual, con la nomenclatura empleada aquí, es:
AA+ AB/A− AB= 0 (6.6) donde: AA = ¡ AtA+ AnA¢=¡aα2jejθ2− aω22ejθ2 ¢ AB/A = ³ AtB/A+ AnB/A´=¡bα3jejθ3− bω23ejθ3 ¢ (6.7) AB = ¡AtB+ AnB ¢ =¡cα4jejθ4− cω24ejθ4 ¢
En la figura 6.1 se muestra como actúan las componentes vectoriales en sus respectivos puntos.
Ahora se necesita resolver la ecuación 6.5 para α3y α4, conociendo la acel-
eración angular de entrada α2, las longitudes de los eslabones, todos los ángulos
de eslabón y las velocidades angulares. Por consiguiente, se debe comenzar por el análisis de posición deducido anteriormente en la sección 4, y el análisis de
velocidad de la sección 5 para determinar los ángulos de eslabón y las veloci- dades angulares antes de terminar este análisis de aceleración. Se desea resolver la ecuación 6.6 para obtener expresiones de la siguiente forma:
α3= f (a, b, c, d, θ2, θ3, θ4, ω2, ω3, ω4, α2) (6.8)
α4= g (a, b, c, d, θ2, θ3, θ4, ω2, ω3, ω4, α2) (6.9)
La estrategia de solución será la misma que se aplico en los análisis de posi- ción y de velocidad. Se introduce primero la identidad de Euler en cada término de la ecuación 6.5:
£
aα2j (cos θ2+ j sin θ2) − aω22(cos θ2+ j sin θ2)¤
+£bα3j (cos θ3+ j sin θ3) − bω23(cos θ3+ j sin θ3)¤
−£cα4j (cos θ4+ j sin θ4) − cω24(cos θ4+ j sin θ4)¤
= 0 (6.10)
Se multiplica por el operador j y se reordena: £
aα2(− sin θ2+ j cos θ2) − aω22(cos θ2+ j sin θ2)
¤ +£bα3(− sin θ3+ j cos θ3) − bω23(cos θ3+ j sin θ3)
¤ −£cα4(− sin θ4+ j cos θ4) − cω24(cos θ4+ j sin θ4)
¤
= 0 (6.11)
Ahora se puede separar esta ecuación vectorial en sus dos componentes, mediante la reunión por separado de todos los términos reales y todos los imag- inarios.
parte real:
−aα2sin θ2− aω22cos θ2− bα3sin θ3− bω23cos θ3+ cα4sin θ4+ cω24cos θ4= 0
(6.12) parte imaginaria:
aα2cos θ2−aω22sin θ2+bα3cos θ3−bω23sin θ3−cα4cos θ4+cω24sin θ4= 0 (6.13)
Observe que las j se han cancelado en la ecuación 6.13. Las ecuaciones 6.12 y 6.13 se resuleven simultáneamente y se obtiene
α3= CD − AF
AE − BD (6.14)
α4= CE − BF
donde:
A = c sin θ4
B = b sin θ3
C = aα2sin θ2+ aω22cos θ2+ bω23cos θ3− cω24cos θ4
D = c cos θ4
E = b cos θ3
F = aα2cos θ2− aω22sin θ2− bω23sin θ3+ cω24sin θ4 (6.16)
Una vez que se tienen soluciones para α3 y α4 se obtienen las aceleraciones lineales introduciendo la identidad deEuler en las ecuaciones 6.6 y 6.7,
AA= aα2(− sin θ2+ j cos θ2) − aω22(cos θ2+ j sin θ2) (6.17)
AB/A= bα3(− sin θ3+ j cos θ3) − bω23(cos θ3+ j sin θ3) (6.18)
AB = cα4(− sin θ4+ j cos θ4) − cω24(cos θ4+ j sin θ4) (6.19)
donde los términos reales e imaginarios son las componentes x y y, respecti- vamente. Las ecuaciones de la 6.14 a la 6.19 proporcionan una solución completa para las aceleraciones angulares de los eslabones, y las aceleraciones lineales de las juntas en el eslabonamiento de cuatro barras con juntas de pasador.