3.5 Análisis de rotabilidad de un mecanismo de cuatro barras
3.5.6 Rotabilidad y Posiciones Críticas en el Mecanismo de Biela
En esta sección, se mostrará como las condiciones de rotabilidad deducidas para el mecanismo plano de cuatro barras pueden emplearse para determinar la rotabilidad del mecanismo de biela manivela corredera y sus posiciones críticas. Considere el mecanismo de biela manivela corredera mostrado en la figura 15.
Figura 15: Mecanismo de biela manivela corredera, con los eslabones equivalentes a un mecanismo plano de cuatro barras.
Debe recordarse que un par prismático es equivalente a un par de revo- luta localizado en el infinito en una dirección perpendicular a la dirección de movimiento relativo del par prismático. Por lo tanto, la longitud de los eslabones 1 y 4 del mecanismo de biela manivela corredera estará dada por
a1= ∞ + e y a4= ∞ (3.24)
donde e > 0. Con estos datos, es posible analizar la rotabilidad de los eslabones 2 y 4 del mecanismo de biela manivela corredera.
Rotabilidad del eslabón 2 del mecanismo de biela manivela corredera. En esta sección se analizará la rotabilidad del eslabón 2 del mecanismo de biela manivela corredera mostrado en la Figura 15.
De la primera condición de rotabilidad se tiene que
a1+ a2≤ a3+ a4 (3.25)
sustituyendo los valores a1= ∞ + e y a4= ∞, se tiene que
∞ + e + a2≤ a3+ ∞ (3.26)
Por lo tanto, la condición se reduce a
a2≤ a3− e (3.27)
De la segunda condición de rotabilidad se tiene que
|a2− a1| ≥ |a4− a3| (3.28)
sustituyendo los valores a1= ∞ + e y a4= ∞, se tiene que
|a2− (∞ + e)| ≥ |∞ − a3| (3.29)
o, notando que ∞ + e > a2y que ∞ > a3,
(∞ + e) − a2≥ ∞ − a3 (3.30)
o
e − a2≥ −a3 ó e + a3≥ a2 ó a2≤ a3+ e (3.31)
Las ecuaciones 27 y 31 son las ecuaciones que determinan si el eslabón 2 puede rotar. En particular, si la excentricidad del mecanismo de biela manivela corredera es nula, un caso muy común, ambas condiciones de rotabilidad del eslabón 2, la biela, se reducen a
a2≤ a3 (3.32)
Si la ecuación 27 no se satisface, es decir si
a2≥ a3− e ó a2+ e ≥ a3, (3.33)
el eslabón 2, la biela, es incapaz de rotar y se presenta una posición de pun- tos muertos como la que se muestra en la figura 16.
Figure 16: Mecanismo de biela manivela corredera en la primera posición de puntos muertos.
Si la ecuación 31 no se satisface, es decir si
a2≥ a3+ e ó a2− e ≥ a3 (3.34)
el eslabón 2, la biela, es incapaz de rotar y se presenta una posición de pun- tos muertos como la que se muestra en la figura 17.
Figure 17: Mecanismo de biela manivela corredera en la segunda posición de puntos muertos.
Rotabilidad del eslabón 4 del mecanismo de biela manivela corredera. En esta sección se analizará la rotabilidad del eslabón 4 del mecanismo de biela manivela corredera mostrado en la Figura 15.
De la primera condición de rotabilidad se tiene que
sustituyendo los valores a1= ∞ + e y a4= ∞, se tiene que
∞ + e + ∞ ≤ a2+ a3 ó 2∞ + e ≤ a2+ a3 (3.36)
Es evidente, que esta condición no puede satisfacerse y se presenta la posición límite indicada en la Figura 18.
Figure 18: Mecanismo de biela manivela corredera en la segunda posición límite.
El valor máximo de la carrera de la corredera está dado por s1=
q
(a2+ a3)2− e2 (3.37)
De la segunda condición de rotabilidad se tiene que
|a4− a1| ≥ |a3− a2| , (3.38)
sustituyendo los valores a1= ∞ + e y a4= ∞, se tiene que
|∞ − (∞ + e)| ≤ |a3− a2| ó e ≥ |a3− a2| . (3.39)
Si esta condición no se satisface, es decir si
e < |a3− a2| (3.40)
se presenta la posición límite indicada en la Figura 19, en la que se supone que a3≥ a2. El valor mínimo de la carrera de la corredera está dado por
s2=
q
Figure 19: Mecanismo de biela manivela corredera en la segunda posición límite.
Chapter 4
Análisis de posición en
mecanismos de cuatro
barras articuladas (metodo
analítico).
4.1
Los números complejos como vectores.
Hay muchos modos para la representación de vectores. Estos se pueden definir en coordenadas polares, por su magnitud y su ángulo, o en coordenadas cartesianas, mediante las coordenadas x y y.
Forma polar Forma cartesiana
R@∠θ r cos θˆı + r sin θˆj (4.1) rejθ r cos θ + jr sin θ (4.2) La ecuación 4.1 emplea vectores unitarios para representar las direcciones de las componentes x y y de un vector en forma cartesiana. En la figura 4.1 se ilustra la notación con vectores unitarios en el caso de un vector de posición.
Figura 4.1. Notación de vectores unitarios para vectores de posición. En la ecuación 4.2 se usa la notación de números complejos; en este caso la componente en la dirección X se denomina parte real , y la componente en la di- rección Y , parte imaginaria. El poco afortunado término "imaginaria" proviene del uso del símbolo j para representar la raíz cuadrada del número −1 , que, por supuesto no puede evaluarse numéricamente. Sin embargo, este número imag- inario se usa en un número complejo como un operador, y no como un valor. En la figura 4.2 se muestra el plano complejo en el que el eje real representa la dirección de la componente X del vector en el plano, y el eje imaginario repre- senta la dirección de la componente Y del mismo vector.
Figura 4.2. Representación con números complejos de un vector de posición. De manera que cualquier término en un número complejo que no tenga el oper- ador j, es una componente en x, y j indica una componente y.
Advierta en la figura 4.3 que cada multiplicación del vector RApor el oper-
ador j resulta en una rotación en sentido contrario de las manecillas del reloj del vector, en un ángulo de 90o.
Figura 4.3. Rotaciones vectoriales en el plano complejo.
El vector RB = jRA está dirigido a lo largo de la parte positiva del eje imagi-
nario, o eje j. El vector RC = j2RA está dirigido a lo largo de la parte negativa
del eje real, porque j2 = −1, por lo tanto, R
C = −RA. De modo semejante
RD= j3RA= −jRA, y esta componente se dirige a lo largo de la parte negativa
del eje j.
Una ventaja de utilizar esta notación de números complejos para representar vectores en el plano proviene de la identidad de Euler:
e±jθ= cos θ ± j sin θ (4.3) Cualquier vector bidimensional se puede representar mediante la notación polar compacta que figura en el lado izquierdo de la ecuación 4.3. No hay alguna función mas facil de diferenciar o integrar, ya que tal función es igual a su propia derivada:
dejθ dθ = je
jθ (4.4)
Utilizaremos esta notación de números complejos para los vectores, con el fin de desarrollar y deducir las ecuaciones para la posición, la velocidad y la aceleración de eslabonamientos.