El análisis de Ehrenfest

El primer contacto de Paul Ehrenfest con el tema de la radiación del cuerpo negro ocurrió antes de graduarse, en una visita que hizo junto con su amigo Ritz a Leiden en 1903 para escuchar unas conferencias de Lorentz.266 El tema lo cautivó, pero tuvo que esperar a graduarse en 1904 para volver a prestarle suficiente atención. Su esfuerzo por dilucidar el trabajo de Planck dio lugar a las publicaciones de 1905 y 1906 que ya hemos mencionado.

El primero de esos trabajos lo dedicó a la búsqueda de los supuestos físicos que subyacían en la teoría de la radiación del cuerpo negro de Planck y es donde cita los artículos de Planck que hemos mencionado y a los que él identifica como A, B, C y D. La pregunta que guía el análisis del artículo y que Ehrenfest introduce al principio es “¿Cuáles son las hipótesis – independientes entre sí – que le permiten a esta teoría generar, sin ambigüedad, una distribución de energía de la radiación del cuerpo negro para cada temperatura?”267 Para eso, primero se propone mostrar que a partir de la teoría de Planck, realmente no se puede llegar a probar que “con una energía total dada, Σ permanece constante temporalmente sólo cuando el estado de radiación estacionario, posea, sin ambigüedad, una cierta distribución espectral (correspondiente a la energía total)”.268 A diferencia de la teoría de Boltzmann para

266 _{Lorentz había sido el primero en presentar por escrito su punto de vista sobre el trabajo de Planck,} en donde calificaba a las «unidades de energía» finitas como parte esencial de la teoría. Véase Klein (1985, p.232). Como ya sabemos, Ehrenfest sería sucesor de Lorentz muchos años después, en 1912.

267 _{Véase el apéndice 4.1 de esta tesis, p. 237.} 268 _{Ibid., p. 239.}

los gases, en donde se definía una función (-H) única que representa la entropía y que solamente puede crecer hasta llegar a un estado estacionario correspondiente a la distribución de velocidades de Maxwell-Boltzmann, en la teoría de Planck se habían usado dos funciones distintas para representar la entropía (Ehrenfest se refiere aquí a los artículos A y D, donde se usaban las funciones Σ1 y Σ2) y que producían estados

estacionarios diferentes. Con esto, dice Ehrenfest, se muestra “una diferencia esencial entre la función de Planck Σ en su comportamiento en el modelo Planckiano y la entropía termodinámica en su comportamiento en sistemas térmicos aislados”.269 A través de un análisis dimensional, partiendo de la linealidad de las ecuaciones electromagnéticas y de los resonadores, Ehrenfest demuestra que en la teoría de Planck, la condición estacionaria no conduce a una distribución espectral única sin contradecir la ley de desplazamiento de Wien. A partir de aquí Ehrenfest se plantea entonces que “para que la teoría Planckiana ofrezca un resultado sin ambigüedad, será necesario que agreguemos un requisito independiente (…)”.270

Ehrenfest encuentra en el ahora famoso artículo C las hipótesis adicionales que se plantean y que en la primera parte de su análisis había dejado fuera de consideración debido a que el papel que jugaban en las ideas de Planck no parecía claro. Las nuevas hipótesis eran:

1. La hipótesis sobre la igualdad probabilística en la distribución de energía sobre los resonadores.

2. La hipótesis de que la energía de la radiación de los diferentes colores está compuesta de pequeñas partículas de energía de valor Eν = ν x 6.55 x 10-27 erg-sec.271

269 _{Ibid., p. 240.}

270 _{Ibid., p. 246.}

271 _{Véase el apéndice 4.1 de esta tesis, p. 249. Klein (1985, p. 234) comenta que en esta frase} Ehrenfest está interpretando erróneamente el pensamiento de Planck, ya que la discretización de Planck en todo caso se refería a la energía de sus osciladores y de ninguna manera a la radiación libre. En el mismo sentido Kuhn (1987, p. 172) opina que Ehrenfest, al igual que Einstein contribuyó en diferentes momentos (quizás éste es uno de ellos) a “preparar el camino para una nueva actitud hacia el significado de la obra de Planck”. En otras palabras, Planck pudo haber sido responsable de que surgiera una creencia entre sus colegas que él mismo no compartía.

Ehrenfest comenta con respecto a la primera hipótesis, que claramente tiene su análogo en la teoría de Boltzmann, pero respecto a la segunda hipótesis menciona que “hasta donde yo puedo ver, no existe para ella una analogía en la teoría de Boltzmann”.272 Y en este punto promete abordar de nuevo el asunto en otro artículo.

En 1906, Ehrenfest recibió una copia de las Vorlesungen über die Theorie der Wärmestrahlung (Lecciones sobre la teoría de la radiación del calor) de Planck, a las cuales hace referencia en su segundo artículo sobre el tema, presentado ese mismo año. Ehrenfest empieza repitiendo el argumento desarrollado en su artículo anterior en el sentido de que la teoría de Planck en principio no ofrecía una definición única de la entropía en la cavidad, y que para hacerlo tenía que imponer una hipótesis adicional, con la cual se desviaba claramente de los principios aceptados de la mecánica estadística. Para explicar las limitaciones de la teoría de Planck, presenta una “analogía con la teoría cinética de los gases”,273 muy a su estilo, para mostrar y clarificar una situación de un gas que sí sería equivalente al modelo de Planck.274 El aumento de entropía se debe a los choques de las moléculas entre sí, y a los choques entre las moléculas y las paredes del espacio físico que encierra el gas. Supongamos un gas idealizado donde las moléculas no chocan entre sí, sino solamente con las paredes. Entonces las velocidades de las moléculas sólo cambiarán en dirección, conservándose entonces la distribución de energía entre ellas. La función -H de Boltzmann puede crecer en el proceso de reacomodo de las moléculas en cuanto a posición y dirección de sus velocidades, pero como no cambia la magnitud de las velocidades (mantienen su distribución inicial), entonces se alcanza un máximo dependiente de las condiciones iniciales, pero no el máximo absoluto que correspondería a la distribución Maxwell-Boltzmann. Eso mismo pasa con el modelo de radiación de Planck. Nos dice Ehrenfest:

Por lo tanto, la radiación no es capaz, en general, en un modelo aislado, de alcanzar un estado que se caracterice por una estabilidad absoluta. En el modelo

272 _{Véase el apéndice 4.1 de esta tesis, p. 250.} 273 _{Véase el apéndice 4.2 de esta tesis, p. 253.}

274 _{Kuhn (1987, pp. 185-186) explica que este modelo lo había venido trabajando con anterioridad,} por lo menos 5 meses antes, dando evidencia de ello por medio de apuntes que Ehrenfest llevaba en sus cuadernos de trabajo.

Planckiano hay infinitas formas de radiación no negra perfectamente estables. Esto se puede demostrar de manera especialmente simple con la ayuda de un método dimensional.275

Ese método dimensional era el que había usado en su artículo anterior. Ahora podía concluir con mayor certeza que los osciladores lineales de Planck, al interactuar con el campo electromagnético no llevan a una distribución espectral única. Así como en el modelo idealizado del gas las moléculas no interactúan produciendo una redistribución de las velocidades, así en el modelo de Planck, los osciladores de diferentes frecuencias no intercambian energía y por lo tanto no se altera la distribución de frecuencias en el campo de radiación. Ahora bien, habiendo descubierto este carácter incompleto en la teoría de Planck de los resonadores, Ehrenfest vuelve a lo que él llama “segunda” teoría, que la considera “independiente” de la teoría de los resonadores. La identifica como la teoría de las

complexiones. Ehrenfest argumenta en torno a estas ideas pero más conectado a los métodos de Rayleigh y Jeans276 que consistían en aplicar a la radiación el mismo principio de equipartición que había sido usado con gran éxito en el caso de los gases. Así como en un gas la energía total del sistema se dividiría por igual (en promedio) entre todas las moléculas, en el caso de la radiación, la energía total se dividiría por igual entre todas las posibles frecuencias de vibración.277 Ehrenfest llega a los mismos resultados imposibles de la ley de Rayleigh-Jeans que dan una función de distribución espectral no acotada, que crece indefinidamente con la frecuencia, y por lo tanto imposible, pero aplicando el método de complexiones. Al final, Ehrenfest se pregunta “¿Por qué medios la teoría de Planck logra hacer inocuos los muchos tonos superiores ultravioletas de la cavidad, de manera que no absorban toda la energía como con Rayleigh y Jeans, sino que más bien la curva espectral decrezca después del ultravioleta?”278 La manera de Planck, aunque no la única, según

275 _{Véase el apéndice 4.2 de esta tesis, pp. 253-254.}

276 _{Kuhn (1987, p. 198) lo caracteriza como una aplicación de la teoría de las complexiones} (combinatoria) directamente al campo.

277 _{El problema aquí es que el número de moléculas es finito, en tanto que el número de posibles} frecuencias de vibración no tiene límite. Si nos imaginamos un cubo (el cubo de Jeans) y la vibración a lo largo de uno de sus lados, se pueden acomodar vibraciones estacionarias que contengan múltiplos de media longitud de onda hasta el infinito. Véase Gamow (1985, p. 12-15). 278 _{Véase el apéndice 4.2 de esta tesis, p. 259.}

Ehrenfest, es la introducción de la condición adicional de que la energía de los osciladores esté cuantizada y dependa de la frecuencia, con la cual se puede contestar esa pregunta al menos de manera formal, pero quedando el carácter físico de la hipótesis sin resolver: Al depender el elemento discreto de la frecuencia (hν), dada una energía finita total del sistema, queda automáticamente restringida la capacidad de las vibraciones de alta frecuencia para apropiarse de energía adicional.

Para concluir esta sección vale la pena resaltar que la función de Planck fue plenamente aceptada por la comunidad científica por su concordancia con la observación en el laboratorio de las características de la radiación del cuerpo negro.279 Pero no se puede decir lo mismo de sus métodos de justificación, que para muchos resultaron incomprensibles y no fue sino hasta 1905 cuando otros científicos, entre ellos Ehrenfest y Einstein, trataron de profundizar sobre las implicaciones físicas del nuevo concepto del cuanto.

4.1.3 El cuanto de Einstein: Ehrenfest señalando una diferencia