El cuanto de Einstein: Ehrenfest señalando una diferencia crucial

Por el momento nos apartaremos de una presentación secuencial de los trabajos de Ehrenfest relacionados con el surgimiento de las primeras ideas cuánticas para referirnos a un artículo que escribió más tarde, en 1914, y que es otro claro ejemplo del estilo agudo y puntual tan característico de Ehrenfest para señalar de manera sencilla una idea, un concepto, desnudándolo de sus complejidades y haciéndolo aparecer de una manera diáfana. Pero como el tema que trata Ehrenfest en ese artículo tiene que ver, en parte, con la diferencia entre el cuanto de Planck y el cuanto de Einstein, nos referiremos brevemente al trabajo de este último en el tema de la discontinuidad cuántica para luego volver con Ehrenfest.

279 _{Nos dice Pais (1984, p. 378) que “desde 1900 hasta 1905, la fórmula de la radiación de Planck fue} considerada generalmente como ni más ni menos que una exitosa representación de los datos”. Podemos agregar que dicha concordancia se mantuvo a lo largo del siglo en diferentes escenarios y en diferentes rangos de temperaturas y frecuencias. Por ejemplo en tiempos relativamente recientes, en 1990, las mediciones de la radiación de fondo en el espacio, presumiblemente resultantes del Big Bang, y tomadas por el satélite llamado Cosmic Background Explorer (COBE) muestran que esta radiación sigue la ley de Planck de manera muy precisa para temperaturas muy bajas, cercanas al 0 absoluto.

Veamos en palabras propias de Einstein, cuál era su posición respecto al trabajo fundamental de Planck en el que deriva la ley de distribución y en el que aparece por primera vez el elemento de energía ε = hν, el cual tiene un valor finito pues, como ya lo hemos visto, Planck no aplica el límite ε 0:

Esta forma de razonamiento no hace obvio el hecho de que contradice las bases mecánicas y electrodinámicas, sobre las que, por lo demás, la derivación depende. Sin embargo, en realidad, la derivación presupone implícitamente que la energía puede ser absorbida y emitida por el resonador individual sólo en cuantos de magnitud hν, es decir, que la energía de una estructura mecánica capaz de oscilar, así como la energía de la radiación, se puede transferir sólo en esos cuantos, en contradicción con las leyes de la mecánica y la electrodinámica.280

La contradicción, según Einstein, era fundamental con la mecánica, pero no tan fuerte con la electrodinámica pues consideraba que la expresión para la distribución de la energía derivada por Planck era compatible con las leyes de Maxwell aunque no era una consecuencia necesaria de ellas. Sin embargo, Planck nunca consideró estar contradiciendo los principios fundamentales de su disciplina, a pesar de los «actos de desesperación»281 en los que tuvo que incurrir para derivar su fórmula de distribución. En cambio, para Einstein, la teoría electromagnética se encontraba en situación de tener que ser replanteada. Escribió un artículo en 1905,282 al que tiempo después describió como revolucionario, en el que empezaba destacando que

280 _{Véase Einstein (1970a, p. 45).}

281 _{Particularmente Planck se refiere al paso estadístico que tuvo que dar en su demostración como} “un acto de desesperación (…) Tenía yo que obtener un resultado positivo, en cualquier caso y a cualquier costo”. Citado en Pais (1984, p. 374).

282 _{El artículo se titula Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden}

heuristischen Gesichtspunkt (Sobre un punto de vista heurístico concerniente a la producción y transformación de la luz). Se puede consultar en Stachel (2001, pp. 161-178). Einstein fue acreedor al premio Nobel en 1921 por este trabajo "por su contribución en la física teórica, en especial por su interpretación del efecto fotoeléctrico”.

existe una profunda diferencia formal entre los conceptos que se han formado los físicos acerca de los gases y otros cuerpos ponderables, y la teoría de Maxwell de los procesos electromagnéticos en el denominado espacio vacío283

y se propone demostrar que

en la propagación de un rayo de luz emitido desde una fuente puntual la energía no está distribuida de forma continua sobre volúmenes de espacio cada vez mayores, sino que consiste en un número finito de cuantos de energía localizados en puntos del espacio que se mueven sin dividirse, y sólo pueden ser absorbidos o generados como unidades completas.284

Es decir, el planteamiento de Einstein sí es verdaderamente radical y revolucionario, otorgándoles a los cuantos un carácter físico explícito, a diferencia de Planck para quien los cuantos tenían solamente un carácter formal, es decir, constituían sólo parte del proceso de demostración.

Regresemos ahora al trabajo de Planck. Existen en él dos elementos incomprensibles desde el punto de vista de los métodos tradicionales y ambos tienen que ver con los artificios metodológicos introducidos con el propósito de poder “contar” las posibles disposiciones del sistema. El primero, como ya se ha mencionado, tiene que ver con no tomar el límite para restaurar el continuo después de hacer la cuantización. Planck no lo hace, no porque eso le parezca más razonable, sino porque el dejar los elementos de energía de tamaño finito lo conduce a la fórmula que él buscaba. El segundo, es el método de “conteo” propiamente dicho. En la sección anterior mencionamos que Planck hizo algo similar con sus resonadores a

283 _{La “profunda diferencia” consiste en que los gases se consideran formados por partículas} discretas, las moléculas, en tanto que el campo es continuo, lo que para la mentalidad de Einstein constituye una afrenta a la unidad de la naturaleza. El programa unificador de Einstein se destaca de manera especial en sus principales trabajos de 1905. Por ejemplo en su famoso artículo Zur Elektrodynamik bewegter Körper (Sobre la electrodinámica de cuerpos en movimientos), que da origen a la teoría de la relatividad especial, plantea que “cuando se aplica a cuerpos en movimiento, la electrodinámica de Maxwell tal como hoy se entiende normalmente conduce a asimetrías que no parecen ser inherentes a los fenómenos” y se propone eliminar dichas asimetrías partiendo de nuevos supuestos que harían del éter lumínico un concepto superfluo. En general la estructura de sus artículos es ésta: mostrar el carácter incompleto de las teorías aceptadas en el momento, proponer una nueva teoría, y finalmente sugerir las situaciones experimentales que podrían darle validez a las ideas presentadas.

lo que había hecho Boltzmann con las moléculas de un gas, pero no enfatizamos las diferencias y ahora es momento de hacerlo. Boltzmann consideraba una distribución del gas como el conjunto de números w0, w1, w2, etc., donde wk representa el número

de moléculas que tienen kε energía. El número de complexiones que dan lugar a esa distribución era N! / (wo!w1!w2! … wp!). Posteriormente calculaba la distribución

que maximizaba esa expresión para llegar así a la condición de estabilidad térmica. Planck lo que hizo fue, dada una energía total P, contar el número total de formas en que se puede distribuir esa energía en N resonadores, para lo cual usa la expresión combinatoria R = (N+P-1)! / (N-1)! P! y posteriormente utiliza esta expresión para calcular la entropía sin aplicar ningún proceso de maximización.285

En octubre de 1914 Ehrenfest, después de casi dos años de haber sustituido a Lorentz en Leiden, le envió al mismo Lorentz el manuscrito de un pequeño artículo que escribió junto con el profesor Kamerlingh Onnes, donde le expresaba cómo se había divertido pensando en el problema ahí tratado.286 El articulo se titulaba

Simplified Deduction of the Formula from the Theory of Combinations Which Planck Uses as the Basis of his Radiation Theory (Deducción Simplificada de la Fórmula de la Teoría Combinatoria Usada por Planck como Base de su Teoría de la Radiación)287 El propósito del artículo, como lo indica el título, era dar una demostración simplificada de la fórmula para R que escribimos en el párrafo anterior y que Planck simplemente había usado sacándola de la teoría combinatoria. En lugar de utilizar un proceso de inducción matemática como normalmente se hace para demostrar este tipo de fórmulas, Ehrenfest utilizó un procedimiento más intuitivo que ponía de manifiesto la razón del término N-1 en la ecuación, pero al mismo tiempo, hacía algunas anotaciones en un apéndice y en un pie de página que resultan más interesantes para nuestros propósitos. En su acostumbrado afán por usar ejemplos,

285 _{Kuhn (1987, p. 134) nos aclara esto diciendo que “en el problema de Planck, que no en el de} Boltzmann, (…) cualquier conjunto de las wk que satisfaga estas restricciones [que la suma de las wk es igual a N y que la energía total de elementos de energía es P] corresponde a la misma

distribución de la energía total”. Esto es así, nos explica Kuhn, porque Planck “desde el principio supone que está manejando resonadores ya en equilibrio con el campo de radiación” y por lo tanto “no hay lugar para nuevas maximizaciones” y por eso hace el cálculo considerando resonadores de una sola frecuencia.

286 _{Véase Klein (1985, p. 255).}

287 _{Se publicó originalmente en Proc. Academ. Amsterdam 17 (1914). p. 870. Se puede consultar en} Ehrenfest (1959, pp. 353-356).

analogías y modelos conceptuales simples que mostraran lo esencial de un problema,288 Ehrenfest plantea el problema de la distribución de los P elementos de energía entre los N resonadores con el siguiente modelo:

En una barra cuya longitud es un múltiplo P de una longitud dada, se han hecho marcas a las distancias ε, 2ε, etc., con respecto a uno de los extremos. La barra se corta solamente en las marcas y las piezas resultantes pueden volverse a unir en número y orden arbitrarios, siendo las barras resultantes indistinguibles entre sí excepto probablemente por la longitud. La pregunta es, de cuántas maneras diferentes se puede dividir la barra y colocar las barras resultantes en un cierto número de cajas distinguibles entre sí como la primera, la segunda, … la N- ésima, con la condición de que ninguna caja puede contener más de una barra. Si las cajas, que pueden pensarse como rectangulares, se colocan una al lado de otra en línea, forman un todo con (N-1) particiones formadas por dos paredes, y ahora nos podemos imaginar que estas dobles particiones se pueden cambiar de posición, pero dejando las cajas donde están.

Lo relevante de todo este juego, es que nos lleva a pensar en el carácter distinguible de los N resonadores y el carácter indistinguible de los P elementos de energía, por lo que para Ehrenfest los elementos de energía de Planck eran sólo una herramienta formal para el cálculo. No ocurría lo mismo con los cuantos de Einstein para quien tendría que haber NP _{posibles combinaciones al distribuir cada uno de los}

P elementos de energía en los N resonadores. Si los cuantos de energía han de tener una realidad física, con la cuenta de Planck dichas partículas tendrían que tener propiedades muy extrañas y diferentes a las de cualquier partícula considerada previamente en la física.289 Ehrenfest sumariza sus especulaciones diciendo:

La hipótesis de Einstein conduce necesariamente a la fórmula (...) para la entropía y por lo tanto necesariamente a la fórmula de radiación de Wien, no a la

288 _{Recordemos por ejemplo el modelo de las urnas o “modelo de los perros y las pulgas” discutido} en el capítulo 3.

289 _{Pais (1984, p. 375) nos dice que de hecho esta forma de conteo hecha por Planck de particiones} de objetos indistinguibles entre sí, “anticipa la cuenta de Bose-Einstein un cuarto de siglo más tarde [y] no puede ser justificada por ningún esfuerzo de imaginación clásica”. Con la cuenta de Boltzmann no ocurría lo mismo pues para él “la cuestión era determinar la manera más probable en la que un número fijo de moléculas de gas distinguibles, con energía total fijada, podían ser distribuidas en las celdas del espacio de fase”.

de Planck. La herramienta formal de Planck (la distribución de P elementos de energía entre N resonadores) nose puede interpretar en el sentido de los cuantos de luz de Einstein.

Para cerrar esa sección, diremos que, ayudados por el análisis de Ehrenfest, nos podemos dar cuenta de que, sujeto a una necesidad para justificar teóricamente sus resultados, Planck recurre a estrategias no del todo convincentes para todos, pero que le permiten sentar las bases, sin que él estuviera consciente de eso, de una nueva interpretación del mundo físico. Entre esas estrategias, se encuentra su forma de conteo, que pudiendo haberlo hecho de manera diferente, distinguiendo, por ejemplo, entre osciladores o entre cuantos, lo hace evidentemente en la forma en que él mismo sabía que lo conducía a la forma espectral correcta, motivo suficiente para no cuestionarse mucho más sobre sus procedimientos.