Asociación de fuentes de corriente
1.6 Análisis de Transitorios
En los circuitos, antes de que se establezca el régimen permanente, transcurre una fase llamada transitorio. En esta sección se presentan los ejemplos prácticos más co- munes: carga de un condensador y magnetización de una bobina. Estos dos ejemplos se encuentran con frecuencia en las máquinas eléctricas y permite estimar la dinámica de ciertos sistemas.
Figura 1.42 Evolución de la tensión y de la corriente en un condensador cuando se conecta una fuente de tensión variable en el tiempo o una fuente de corriente. El comportamiento del condensador y su efecto sobre la diferencia de potencial o corriente viene dado por la expresión:
I = CdV/dt
1.6.1 Transitorios de primer orden
Para estudiar los regimenes transitorios se necesita estudiar como cambian las can- tidades en los circuitos cuando se producen cambios de tensiones o de corrientes. Para obtener la relación existente entre la corriente que atraviesa un condensador y la tensión en sus bornes, se toma primero la expresión de la carga en función de la diferencia de potencial: Q = CV. Suponiendo la capacidad constante, se deriva esta expresión frente al tiempo como sigue:
dQ dt = C
dVc
dt = I (1.94)
es decir que la corriente de un condensador es la derivada de la diferencia de potencial en sus bornes. Con esta fórmula ya se puede estudiar el comportamiento dinámico de un condensador. En la figura 1.42 se muestra la evolución de la tensión y de la corriente en un condensador según se conecta a una fuente de tensión o de corriente. En la figura 1.42.(a) se conecta una fuente de voltaje. Siendo la corriente la derivada del voltaje en el condensador, según aumenta la tensión linealmente la corriente es constante. Por otro lado, en la figura 1.42.(b) se conecta una fuente de corriente variable que evoluciona de forma lineal a trozos. Para cada sección marcada, la tensión sería la integral de la corriente en el tiempo. Cuando la corriente aumenta linealmente, la tensión describe un arco de parábola (es cuadrático). Con una corriente constante se obtiene una evolución
lineal de la tensión.
Se pasa ahora a estudiar un circuito muy común en ingeniería cuyo transitorio aparece en muchos fenómenos eléctricos y eléctronicos. Se trata de un circuito con una resisten- cia y un condensador en serie representados en la figura 1.43. Entender la dinámica de este circuito es importante para el diseño de circuitos eléctronicos dado que a menudo se deben tener en cuenta estos transitorios. Por ejemplo el arranque de ciertas máquinas eléctricas o la frecuencia de ciertos osciladores dependen de esta dinámica.
Se puede deducir fácilmente la ecuación diferencial del circuito de la figura 1.43 aplicando las leyes de Kirchhoff:
E(t)− RI − Vc= 0
Sustituyendo en la ecuación anterior la corriente por su expresión en función de la derivada de la tensión:
E(t)− RCdVc
dt − Vc= 0
Se reorganizan los términos y se obtiene:
RCdVc
dt = E(t)− Vc (1.95)
Existen varios casos interesantes de tensión E(t) para estudiar la reacción del circuito, siendo la función escalón la más importante para entender el funcionamiento de la dinámica:
E(t) =
(
E0si t≥ 0
0 si t < 0 (1.96)
La respuesta al escalón de un sistema lo caracteriza completemante. Muchos ensayos y pruebas de equipos se realizan con está función de excitación dado que permite extraer todos los parámetros del sistema.
Inicialmente se considera el condensador descargado, es decir Vc(0) = 0 se puede deducir directamente la expresión matemática de la carga del condensador resolviendo la ecuación diferencial (1.95):
Vc(t) = E0(1− e−t/RC) para t≥ 0 (1.97)
Se llama constante de tiempo del circuito al valor τ = RC. Tiene unidad de tiempo y corresponde al tiempo en el que el condendador alcanza el 63 % de la carga final. Se puede ver la evolución temporal para una resistencia de 1KΩ y un condensador de 1µF conectados a una fuente de 10V en la figura 1.43 (b).
Este ejemplo destaca una propiedad importante para el análisis de los circuitos con condensadores: no hay discontinuidades de tensión en un condensador dado que la derivada de la tensión no puede ser infinita18.
18 la tensión es la derivada de la corriente. Un discontinuidad en la tensión significaría una corriente infinita. Por lo que la tensión tiene que ser una función continua y derivable.
(a) 0 0,004 0,008 0,012 t (s) 0 2 4 6 8 10 VC (V) t (b)
Figura 1.43 Carga de un circuito RC. (a) Circuito RC con los parámetros siguientes: R = 1kΩ,
C = 1µF y E0= 10V. (b) Voltaje del condensador cuando se conecta a la fuente.
En la segunda parte de nuestro estudio de los transitorios, se consideran las induc-
tancias. Se estudia la dinámica de una bobina conectada a una fuente de tensión o de
corriente. La dinámica de la tensión de una bobina viene dada por el flujo magnético Φ = LI. Se estudian las variaciones de ambos términos:
dΦ dt = L
dI
dt (1.98)
siendo la inductancia L una constante independiente del tiempo. La derivada del flujo magnético corresponde a la tensión de la bobina VLpor la ley de Faraday:
VL= L
dI
dt (1.99)
Se relaciona ahora la dinámica de la tensión de la bobina con la corriente que le atraviesa. En la figura 1.44 tenemos la corriente y la tensión de una bobina cuando se fija la tensión o la corriente con una fuente.
Un circuito muy común en ingeniería es el circuito LR, es decir un circuito con una inductancia y una resistencia en serie con una señal de excitación a la entrada. La señal elegida para el estudio de la dinámica es el escalón E(t) (1.96). La magnetización de una inductancia es también muy similar a la carga de un condensador para un circuito similar a la figura 1.45 con una inductancia en vez del condensador. Aplicando la ley de Kirchhoff a nuestro circuito se obtiene la ecuación:
LdI
dt = E(t)− RI (1.100)
considerando que la tensión y la corriente de la bobina son nulas al inicio, se obtiene la solución de la corriente en función del tiempo:
I(t) = E/R(1− e−tR/L). (1.101) Es la misma dinámica que en el caso del condensador pero con los papeles de la in- tensidad y de la tensión intercambiados. Aquí es el parámetro τ = L/R la constante de tiempo que determina la dinámica del circuito. Midiendo la respuesta del sistema a un estimulo de tipo escalón se determina la constante de tiempo τ experimentalmente. Una forma práctica de obtener este tiempo consiste en medir el tiempo que tarda la corriente
Figura 1.44 Evolución de la tensión y de la corriente en una inductancia cuando se conecta una fuente de tensión variable en el tiempo o una fuente de corriente. La dinámica de la tensión y corriente viene determinada por la dinámica de la bobina: V = LdI/dt
(a) 0 0,004 0,008 0,012 t (s) 0 2 4 6 8 10 VL (V) t (b)
Figura 1.45 Carga de un circuito RL. (a) Circuito RL con los parámetros siguientes: R = 1kΩ,
L = 1H y E=10V. (b) Voltaje de la bobina cuando se conecta a la fuente.
en alcazanzar el 63 % de su valor final. Este tiempo coincide con τ tal como se muestra en la figura 1.45 (b). En general muchos sistemas resultan de la combinación de varios de estos elementos. La respuestas del sistema o los transitorios pueden ser regidos por ecuaciones diferenciales de segundo orden o más. Estos transitorios son importantes en muchos casos prácticos. Por ejemplo, en un sistema de primer orden si se busca una respuesta rápida se tiende a reducir este tiempo de transito.
Ejercicio 1.20
Un condensador de 1.6 µF, inicialmente descargado, se conecta en serie con una resistencia de 10 kΩ y una batería de 5V. Calculad:
1. La carga en el condensador después de un tiempo muy largo. 2. Cuanto tarda el condensador en alcanzar el 99 % de su carga final.
Solución del ejercicio 1.20
1) Para hallar la carga del condensador una vez estabilizado el proceso de carga se obtiene la tensión del condensador, esta coincide con la tensión de la fuente de 5V. Usando la fórmula de la carga de un condensador tenemos:
Q = CV = 1,6· 10−6· 5 = 8 · 10−6C
2) Para hallar el tiempo necesario para alcanzar el 99 % de la carga final, se usa la fórmula de la carga de un condensador:
Vc(t) = E0(1− e−t/RC) para t≥ 0
con E0= 5V, R = 10kΩ y C = 1,6µF. La carga final siendo 0,99E0sustituimos para
hallar el tiempo t99:
E0(1− e−t99/RC) = 0,99E0
Despejando:
e−t99/RC= 0,01 Cogiendo el logaritmo de ambos lados se obtiene:
t99=−RCln(0,01) = −1,6 · 10−6· 10 · 103· ln(0,01) = 0,074 s
1.6.2 Transitorios de segundo orden
En los sistemas de segundo orden aparecen al menos dos elementos que implican una ecuación diferencial tal como el condensador y la inductancia. En cuanto se combina por ejemplo una bobina, un condensador y una resistencia en serie, la respuesta a un escalón es mucho más complicada que el crecimiento exponencial que se ha visto en el transitorio de primer orden. El circuito se muestra en la figura 1.46. Aplicando la ley de
Kirchhoff en tensión a este circuito se obtiene esta ecuación:
E(t)− VL− VR− VC= 0 (1.102)
escribiendo la ecuación anterior sustituyendo la tensión de los elementos lineales por su expresión en función de la corriente se deduce:
E(t)− LdI dt − RI − 1 C Z Idt = 0 (1.103)
¡Es una ecuación diferencial que depende únicamente de la variable I! Se puede obtener además una ecuación diferencial que depende únicamente de VCsi nos fijamos en que:
I = CdVC
dt (1.104)
sustituyendo de nuevo se transforma la ecuación:
LCd 2V C dt2 + RC dVC dt + VC= E(t) (1.105)
De este modo obtenemos una ecuación diferencial de segundo orden que se resuelve ca- so por caso dependiendo de la entrada E(t). Se resumen a continuación los principales resultados obtenidos con la función de entrada escalón (1.96). La principal diferencia consiste en que el sistema se va a establecer en torno a una tensión estable después de unas oscilaciones en torno al estado final. Este comportamiento oscilatorio se debe a las transferencias de energía entre la bobina y el condensador. El número de oscilaciones va a depender de la resistencia R que representa un amortiguamiento o una perdida de energía del sistema. Cuanto más alta sea la resistencia, menos oscilaciones se van a observar. Estas variaciones se pueden observar en la figura 1.47, a medida que dismin- uye el coeficiente de amortiguamiento aumenta el número de oscilaciones. Gracias a la teoría de las ecuaciones diferenciales y de los sistemas lineales se pueden identificar algunos parámetros del sistema mediante a esta respuesta:
1. El coeficiente de amortiguamiento es: ξ = R
2 r
C
L (1.106)
Este número comprendido entre 0 y 1 controla de alguna forma el número de oscila- ciones del sistema antes de llegar al estado estable.
2. La frecuencia de las oscilaciones: ωp=ωn q 1− ξ2 (1.107) con: ωn= √ 1/(LC).
En la figura se muestran los comportamientos típicos del transitorio antes de alcanzar la tensión final E0 = 1V. Cuanto más pequeño es el coeficiente de amortiguamiento,
más oscilaciones aparecen antes de estabilizarse alrededor del punto fijo. Depediendo del valor del amortiguamiento se puede clasificar los comportamentos en tres grandes clases:
Figura 1.47 Respuesta del sistema RLC (tensión VC) para una entrada escalón. Se varia el valor de la resistencia que determina el amortiguamiento del sistema
Los sistemas sobreamortiguados: la respuesta se parece a la respuesta de un sistema de primer orden (ξ > 1).
Los sistemas con amortiguamiento crítico: la respuesta es la más rápida y la óptima para llegar al régimen permanente (ξ = 1).
Los sistemas subamortiguados: el sistema oscila antes de estabilizarse (0 < ξ < 1) . Este tipo de respuesta tiene mucha importancia a la hora de entender los sistemas de ordenes superiores. Una técnica muy sencilla y muy usada consiste en simplificar un sistema y aproximarlo por la respuesta al escalón que pueda tener. En ingeniería de control, gran parte de los análisis consisten en identificar los parámetros de los sistemas aproximándolos a sistemas de primer y segundo orden.
En esta sección se han tratado los transitorios antes de llegar al régimen permanente de corriente continua. Veremos en el siguiente capítulo otro tipo de régimen perma- nente: el régimen armónico.
Ejercicio 1.21
Sabiendo que la respuesta al escalón unitario de un sistema subamortiguado tiene oscilaciones que decrecen de la forma exp(−ξωnt), calcular el tiempo necesario a un sistema para alcanzar el 5 % del valor final.
Este decrecimiento exponencial de las amplitudes se puede observar muy claramente en la figura siguiente:
0 0.5 1 1.5 2 0 10 20 30 40 50 60
Para calcular el tiempo pedido simplemente se necesita despejar la expresión de la exponencial: e−ξωnt5 % = 0,05, (1.108) y despejando: t5 %= − ln 0,05 ξωn . (1.109)
Este tiempo se llama tiempo de establecimiento y permite dar una medida de la velocidad del sistema. Los sistemas con amortiguamiento crítico tienen el tiempo de establecimiento más corto.