Solución del ejercicio 2
2.2 Representación de cantidades sinusoidales como fasores
Hasta ahora Se ha visto en el apígrafe anterior que una señal periódica podía repre- sentarse como la parte real de una señal compleja. Esta notación tiene ventajas cuando todas las señales de un circuito oscilan con la misma frecuencia en régimen permanente, es decir cuando los transitorios han transurridos. Se puede demostrar que en los circuitos lineales, la frecuencia de la corriente y la tensión es la misma para cada elemento del circuito1.
En estas condiciones se puede ignorar la información de la frecuencia. Lo que nos interesa entonces de las cantidades sinusoidales de cada elemento son la amplitud y la fase inicial. Una señal sinusoidal queda definida con tres parámetros: su amplitud, su fase y su frecuencia angular. Estas tres cantidades aparecen claramente en la siguiente ecuación:
V(t) = Acos(ω0t + φ0) (2.10)
Esta última expresión se puede escribir como la parte real del número complejo:
V(t) =ℜ{Aej(ω0t+φ0)} = ℜ{Aejφ0ejω0t} (2.11) El fasor se define con el factor complejo correspondiente a la amplitud A y a la fase
φ0, se descarta la información de la frecuencia. La definición del fasor viene dada por
el número complejo ˜V:
˜
V = √A
2
ejφ0, (2.12)
se guardan únicamente las informaciones de amplitud eficaz y de fase de la señal. El número complejo ˜V tiene un módulo y una dirección (un ángulo). El manejo de fa-
sores simplifica en muchos casos el cálculo de funciones trigonométricas complicadas. Además existen herramientas de análisis en el dominio de los números complejos muy
1 Se demostrará que los elementos de circuitos lineales no afectan la frecuencia de las señales, solo cambian la amplitud y la fase. La cosa se complica cuando se tratan elementos no lineales.
eficientes para la resolución de ecuaciones diferenciales. Estas técnicas permiten trans- formar ecuaciones diferenciales lineales en ecuaciones algebraícas mas sencillas de re- solver. Por desgracia esta notación es únicamente valida cuando se tratan de señales alternas, es decir que solo se puede definir un fasor en el dominio armónico. Otra no- tación para los fasores muy usada en electrotecnia es la siguiente:
˜
V = √A
2∠φ0
(2.13) se anota así el modulo √A
2 y el ángulo φ0del fasor de forma compacta.
En la mayoría de los libros de electrotecnia, la amplitud del fasor se define con el val- or eficaz. Este convenio permite simplificar algunos cálculos de potencia. Sin embargo el convenio no se acuerda con la definición de modulo y fase de un número complejo. La definición natural de modulo del fasor corresponde a la amplitud máxima de la onda
A. Con esta definición los cálculos de potencias se complican, por lo que se opta en la
mayoría de los casos en usar el fasor “eficaz” con la amplitud eficaz de la onda. Usare- mos este convenio de aquí en adelante.
Podemos destacar algunas propiedades importantes de los fasores, por ejemplo permiten sumar más fácilmente señales alternas como ilustrado en el ejemplo siguiente.
Ejercicio 2.2
Se quiere sumar dos funciones sinusoidales como las siguientes:
V1(t) = √ 2Acos(ω0t) V2(t) = √ 2Bcos(ω0t + π2).
Solución del ejercicio 2.2
Ahora se pueden definir los fasores correspondientes: ˜ V1= A ˜ V2= Bej π 2.
La suma de los dos se escribe como: ˜
V3= ˜V1+ ˜V2= A + Bej
π
2 = A∠0 + B∠π
2 = A + jB.
Se puede visualizar fácilmente la suma en la figura siguiente en la cual el fasor resultante es la suma de los fasores A y B.
Se puede escribir el número complejo en forma de modulo y fase, para ayuda sobre estas transformaciones se puede referir al Apendice B:
˜
V3= A + jB =
√
A2+ B2
Se recuerda otra vez que no se pueden sumar fasores de señales con frecuencias distintas.
Con los fasores el cálculo diferencial resulta simple. Se pueden definir fácilmente las operaciones de derivación y integración de un fasor considerando la forma compleja
V(t) =ℜ{√2Aejφ0ejω0t}: d dt → V = A jω˜ 0e jφ0 = Aω 0∠φ0+π/2 R ·dt → V = A˜ 1 jω0e jφ0 = A ω0∠φ0− π/2
Con estas transformaciones se resuelven ecuaciones diferenciales de forma sencilla con una ecuación algebraica, siempre que las señales sean sinusoidales.
Cuando se usa el formalismo de fasores, una cantidad importante es el fasor de ref- erencia también llamado la referencia de fase. Una de las cantidades del circuito tiene que servir de referencia para todos los otros fasores del sistema. Se elige el más cómodo para tratar los otros o bien el que nos interese que sea la referencia. Es esencial definir este fasor al principio para poder dar una referencia a las fases sin ambigüedad. En los circuitos de corriente alterna, las señales tendrán la misma frecuencia pero aparecerán desfases entre ellas, de allí la necesidad de una referencia única para poder cuantificar estos desfases relativos. En la figura 2.2 aparece el ejemplo de dos fasores separados de 25oentre si. Tomando como referencia a ˜V
1se pueden describir por:
˜
V1= V1∠0
˜
V2= V2∠25o
Si al contrario se elige ˜V2como referencia se transforman las expresiones:
˜
V1= V1∠−25o
˜
V2= V2∠0
La elección de la referencia en un circuito es arbitraria pero debe de ser única. Una vez elegido la referencia de fase, se debe mantener para el resto del estudio del circuito.
Figura 2.2 Ejemplo de dos fasores. Cada uno puede servir de rereferencia para obtener la expresión del otro.
2.2.1 Orden de fasores y representación temporal
Se describe aquí brevemente como determinar si una tensión esta en “atraso” o en “adelanto” frente a otra tensión o corriente. Para empezar se dibujar el diagrama fasorial del sistema. Primero se colocan los dos fasores que nos interesan en el plano complejo. Se toma por ejemplo estos dos fasores:
˜
V = A
˜Ic= jB ˜V
(2.15) Se representan estos dos fasores en la figura 2.3 (a) y debemos visualizar que estos fasores vayan girando a una velocidad de ω0radianes por segundos en el sentido directo.
En el dominio temporal las tensiones correspondientes pueden verse en la gráfica 2.3 (b). Para determinar el orden de succesión temporal, uno se debe fijar en el eje real del plano complejo donde colocamos nuestro ojo. Los vectores al girar pasan delante de nuestro ojo. Si la corriente (en azul) pasa primero, entonces está en adelanto sobre la tensión (en rojo). Se puede ver lo mismo con la representación temporal de las formas de onda. La corriente cruza el eje temporal de la figura 2.3 (b) “subiendo” en el tiempo t1
y la tensión en el tiempo t2. Si t1es inferior a t2entonces la corriente adelanta la tensión.
También se puede decir que la tensión está en atraso comparado con la corriente.