Solución del ejercicio 2
2.3 Resistencias, condensadores e inductancias en corriente alterna
Se han visto las características físicas de los componentes pero solo se han estudiado su comportamiento en régimen continuo, es decir cuando las tensiones y las corrientes eran constantes. Es esencial entender como se comportan estos elementos lineales cuan- do una corriente alterna les atraviesa. Este comportamiento va a ser distinto según el componente, sin embargo existe para todos un modelo sencilla en forma de impedancia compleja. La impedancia mide la oposición de un elemento a la corriente alterna. Esta oposición (esta “resistencia”) admite una representación en forma de números comple- jos, con su fase y su modulo asociado.
Se verá ahora circuitos en los que las cantidades ya no son tensiones en el dominio temporal sino fasorial. El interés del formalismo con fasores es justamente razonar so- bre un esquema donde todas las cantidades están representadas por fasores para poder determinar más facilmente las relaciones entre ellas. En esta sección se trata de co- mo representar los elementos lineales en los circuitos cuando las tensiones y corrientes están representadas por fasores.
2.3.1 Resistencias
La relación entre tensión y corriente alterna en una resistencia es idéntica a la relación en continua, es decir que la ley de Ohm se sigue cumpliendo. La relación tensión corri-
(a)
(b)
Figura 2.3 Determinación del sentido de dos cantidades de sinusoidales. Para determinar el sentido de las tensiones en el tiempo, se fija uno por ejemplo en el eje real del plano complejo y se coloca simbolicamente el ojo. Los vectores al girar pasan delante de nuestro ojo. Si la corriente en azul pasa primero, entonces está en adelanto sobre la tensión. Se puede verlo de otra forma en la representación temporal de las formas de onda. La corriente cruza el eje temporal “subiendo” en el tiempo t1y la tensión en el tiempo t2. Si t1es inferior a t2entonces la
corriente adelanta la tensión.
ente es lineal, incluso con la dependencia temporal:
V(t) = RI(t) (2.16)
Si la tensión entre los bornes de la resistencia es sinusoidal se deduce inmediatamente la corriente. La forma general de la tensión alterna es:
a la cual se asocia el siguiente fasor: ˜
V = A∠φ0 (2.18)
Despejando la ecuación (2.16) se puede hallar la corriente:
I(t) = A R√2
sin(ω0t + φ0), (2.19)
por lo tanto le corresponde el fasor:
˜I = A
R∠φ0 (2.20)
Se obtiene entonces la relación entre tensión y corriente en forma fasorial: ˜
V = R ˜I (2.21)
Este elemento no produce ningún desfase entre la tensión y la corriente.
2.3.2 Condensadores
En el primer capítulo se ha descrito el comportamiento el condensador en régimen continuo, se han deducido las relaciones fundamentales como por ejemplo la relación entre la carga y la diferencia de potencial en sus bornes. Falta hallar la relación entre tensión y corriente cuando estas varian en el tiempo. La relación entre tensión y cor- riente en un condensador se puede calcular fácilmente a partir de la relación entre la carga y la tensión aplicada en el bornes del condensador:
Q = CV (2.22)
Para obtener el comportamiento dinámico de la carga, se pueden estudiar las variaciones temporales de esta. Cuando el condensador se alimenta en corriente alterna, la carga también va a fluctuar en el tiempo, es decir Q(t) = CV(t). Considerando la variación temporal de la carga se ha de derivar ambos términos. Se deriva la expresión:
dQ
dt = I = C dV
dt. (2.23)
Así, una variación de carga en el condensador provoca una corriente que le atraviesa. Esta fórmula traduce el hecho de que la corriente que atraviesa un condensador es la derivada de la tensión entre sus polos. Una consecuencia interesante es que si la tensión es sinusoidal, la corriente también lo será dado que la derivada de una función sinusoidal también es sinusoidal.
También se puede interpretar el condensador como un integrador de corriente. Inte- grando la expresión anterior para despejar la tensión se obtiene:
V(t) = 1 C
Z t
−∞
I(x)dx. (2.24)
Cuando la corriente que atraviesa el condensador es alterna y de pulsación ω0, se pueden
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −1 −0.5 0 0.5 1
t (s)
Amplitud (arb)
Corriente Tension (a) (b)Figura 2.4 Representación de la corriente y de la tensión en un condensador alimentado en corriente alterna. (a) En esta primera figura se observa el desfase entre la corriente (línea discontinua) y la tensión en el condensador (línea continua). La tensión viene después de la corriente en el tiempo. El desfase entre ambos es deπ2. (b) En esta figura se enseña el diagrama de fasores equivalente. Siendo la referencia de fase la corriente I, la tensión estará orientada hacia abajo debido a la relación: ˜V =−( j/ω0C) ˜I.
tensión sinusoidal de amplitud √2V0, de fase inicial φ0y frecuencia ω0la expresión de
esta tensión es:
V(t) = √2V0sin(ω0t + φ0), (2.25)
le corresponde el fasor complejo siguiente: ˜
V = V0ejφ0= V0∠φ0. (2.26)
corriente: I(t) = CdV dt = C d dt( √ 2V0sin(ω0t + φ0)) = C √ 2V0ω0sin(ω0t + φ0+ π 2). (2.27) Se simplifica usando fasores:
˜I = Cω0V0∠(φ0+ π 2) = Cω0e jπ 2V0ejφ0 = Cω 0jV0∠φ0 = jCω0V.˜ (2.28)
Recordamos que derivar una cantidad en el dominio fasorial corresponde a multiplicar por jω. Se destaca la relación directa entre tensión y corriente:
˜
V = 1 jω0C
˜I. (2.29)
Se obtiene así una relación entre tensión y corriente para un condensador similar a la ley de Ohm para las resistencias. El condensador provoca un desfase de π/2 radianes entre la tensión y la corriente, este desfase se puede observar en la representación temporal de las ondas en la figura 2.4(a). La representación en forma de fasores de la tensión y la corriente ayuda a vizualizar la relación entre las cantidades. El orden de los fasores es el siguiente: primero viene la corriente y seguido viene la tensión. Se dice que la tensión va detrás de la corriente.
La potencia media de un condensador es nula. Significa que el condensador no con- sume energía en régimen de alterna sino que almacena y restituye la energía en cada periodo. Esta energía se almacena en forma de campo eléctrico entre las placas.
Al observar la relación entre tensión y corriente anterior, aparece un número complejo que relaciona el fasor de la tensión y de la corriente de un condensador. Este número complejo traduce la oposición del condensador al paso de la corriente, es la impedancia
compleja. La impedancia de un condensador en régimen armónico se expresa como:
ZC= 1
jω0C
. (2.30)
La reactancia del condensador se define como la parte imaginaria de la impedancia:
XC= 1 ω0C (2.31) La impedancia es entonces: ZC =− jXC (2.32)
Insistimos en que esta impedancia es únicamente valida en régimen armónico. En otros casos, siempre hay que resolver las ecuaciones diferenciales o bien usar otros formalis- mos como por ejemplo el formalismo de Laplace.
La impendancia de un condensador depende inversamente de la frecuencia de ali- mentación del generador. Los dos casos límites siguientes que pueden llegar a obser- varse al analizar un circuito:
Para ω→ 0 la impedancia es: ZC∼ ∞, es un circuito abierto en corriente continua. Para ω→ ∞ la impedancia es: ZC→ 0, es un circuito cerrado.
El primer caso corresponde a la corriente continua y viene a decir que el condensador es un circuito abierto. En altas frecuencias el condensador es equivalente a un circuito cerrado. Estos dos casos permitirán hacer un análisis rápido de un circuito en bajas o altas frecuencias.
Ejercicio 2.3
El circuito de la figura anterior se alimenta por una fuente de corriente alterna de frecuencia f = 150Hz. Expresar la corriente y la tensión Vcdel condensador en forma de fasores. Datos del problema: R = 1kΩ, C = 1µF, ˜V0= 7,07∠0 V y f = 150Hz.
Solución del ejercicio 2.3
Antes de empezar, notese el generador de alterna a la izquierda que genera una ten- sión con un fasor equivalente ˜V0. Este circuito ya está transformado al régimen fasorial
por lo que todas las cantidades deberán de deducirse en este régimen.
Para resolver este problema primero se debe analzar la malla del circuito aplicando las leyes de Kirchhoff:
˜
V0− R ˜I − ˜Vc= 0 usando la ley de Ohm para el condensador:
˜
Vc= 1
jωC˜I
con ω = 2π f . Se despeja la corriente a partir de las dos ecuaciones anteriores: ˜ I = V˜0 R− j/(ωC) = 7,07 1· 103− j/(2π150 · 1 · 10−6) = 4,8· 10 −3∠46,6oA
Se puede entonces calcular la tensión ˜Vc: ˜ Vc= ˜I jωC = 4,8· 10−3 9,42· 10−4∠46,6− 90 o = 5,1∠−43,4oV
De disponene de todos los elementos para dibujar el diagrama de fasores así como las series temporales de cada señal. Se elige como referencia de fase la tensión ˜V0. Las
2.3.3 Inductancias
Al igual que el condensador, se han estudiado las propiedades estáticas de las bobinas, es decir el comportamiento en corriente continua. Las bobinas se comportan de forma peculiar cuando se les alimentan con una tensión eléctrica alterna.
Las leyes del electromagnetismo relacionan la corriente y el flujo magnético de una bobina mediante el coeficiente de autoinductancia:
Φ = LI (2.33)
Al tener un régimen de alterna, se establece un flujo magnético Φ variable. El flujo creado auto-induce una fuerza contra-electromotriz en la bobina que se opone a la causa que le ha dado lugar (ley de Lenz). Esta fuerza contra electromotriz se expresa mediante la ley de inducción de Faraday (ver el anexo C para más información sobre la ley de Faraday):
E = −dΦ
dt . (2.34)
Cuando la inductancia está conectada a una fuente de tensión alterna, la fuerza contra- electromotriz iguala la tensión de la fuente. En la figura 2.5 se puede ver que la tensión
VLiguala la tensión de la fuente V0por lo que la tensión VLes igual a la fuerza contra- electromotriz: VL= dΦ dt = d(LI) dt = L dI dt (2.35)
Figura 2.5 Inductancia conectada a una fuente de corriente alterna.
corriente como en el caso de la corriente continua, se volverá a tratar este punto en el capítulo 4. Si la tensión es alterna de pulsación ω0, V0se escribe como:
V0(t) = VL(t) = V0sin(ω0t + φ0) (2.36)
Para obtener la expresión de la corriente se necesita integrar esta última función de la tensión: I(t) = 1 L Z t −∞ VL(x)dx = −1 ω0L V0cos(ω0t + φ) = −1 ω0L V0sin(ω0t + φ + π 2) (2.37) La corriente también es sinusoidal y tiene un fasor asociado:
˜I = −1 ω0L V0 √ 2∠ φ0+ π 2 = −1 ω0L jV√0 2∠φ0= 1 jω0L V0 √ 2∠φ0 = 1 jω0L ˜ VL (2.38)
Aparece una relación entre tensión y corriente en la inductancia: ˜
VL= L jω0˜I = Lω0˜I∠φ0+
π
2 (2.39)
Este resultado se hubiera podido otener también sabiendo que una integración en el régimen complejo equivale a dividir por jω. En base a esta última relación entre fasores se define la impedancia compleja de la inductancia como:
ZL= jLω0 (2.40)
La inductancia se comporta como una resistencia de valor complejo en corriente al- terna. Aparece una ley de Ohm para las inductancias al igual que para las resistencias y condensadores:
˜
VL= ZL˜I (2.41)
Se puede ver la relación entre la tensión y la corriente en la figura 2.6 donde la tensión adelanta la corriente en π/2 debido al efecto de la bobina sobre la corriente.
En la expresión de la impedancia de la bobina tiene una dependencia directa con la frecuencia con los dos casos límites siguientes:
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −1 −0.5 0 0.5 1
t (s)
Amplitud (arb)
Tension Corriente (a) (b)Figura 2.6 Representación de la corriente y de la tensión en una inductancia alimentada en corriente alterna. (a) En esta figura, la corriente está detrás de la tensión con un desfase de π/2. (b) En esta figura, los fasores corresponden a la corriente y la tensión en una inductancia pura. Se elige como referencia de fase la corriente, pues la tensión está orientada hacia arriba debido a la relación: ˜V = jLω0˜I.
Para ω→ 0 la impedancia es: ZL∼ 0, es un corto circuito.
Para ω→ ∞ la impedancia tiende a: ZL→ ∞, es un circuito abierto.
En los circuitos de corriente alterna existe un efecto importante de la frecuencia de alimentación de la bobina. Hay que considerar estos efectos en cuenta a la hora de diseñar circuitos.
Otro aspecto a tener en cuenta es el consumo de potencia. Una bobina alimentada en CA no consume potencia sino que almacena y restituye la energía a cada ciclo en forma de campo magnético.
Ejercicio 2.4
En el circuito de la figura anterior aparece una resistencia en serie con una inductancia alimentada por una fuente de tensión alterna de frecuencia f = 1000Hz. Expresar la corriente y la tensión ˜VL de la inductancia en forma de fasores. Datos del problema:
R = 100Ω, L = 10mH, ˜V0= 7,07∠0 V.
Solución del ejercicio 2.4
Para obtener ˜VLconviene primero calcular la corriente ˜I que circula en el circuito. Aplicando la ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff en el circuito obtenemos una relación entre las tensiones y la corriente:
˜
V0− R ˜I − ˜VL= 0 Se usa por otro lado la ley de Ohm para la inductancia:
˜
VL= jωL ˜I
con ω = 2π f . Se despeja la corriente a partir de las dos ecuaciones anteriores: ˜I = V˜0
R + jωL =
7,07
100 + j2π1000· 10 · 10−3 = 6,0· 10
−2∠−32,1oA La tensión VLtiene entonces la siguiente expresión:
˜
VL= jωL ˜I = 62,8· 6,0 · 10−2∠−32,1o+ 90o= 3,77∠57,9oV
Se puede ahora dibujar el diagrama de fasores tal como representado en la figuras siguientes. Razonando a partir del diagrama de fasores, la corriente viene detrás de la tensión en el tiempo, está en atraso. Este fenómeno es característico de los circuitos inductivos.
2.3.4 Fuentes y generadores de corriente alterna
Se han descrito hasta ahora los elementos pasivos más frecuentes de la teoría de cir- cuitos. Las fuentes de tensión y corriente son otra clase de elementos lineales esenciales. Una fuente de tensión sinusoidal ideal proporciona una amplitud constante sea lo que sea la corriente que circula en el circuito. La tensión de este dispositivo es entonces:
V1(t) = V0sin(ωt + ϕ), (2.42) y en forma de fasores: ˜ V1= V0 √ 2∠ϕ. (2.43)
Este elemento se introduce en los circuitos para modelizar los generadores y las fuentes de tensión alterna.
Para las fuentes de corriente se procede de la misma forma, se define un dispositivo que mantiene la corriente constante sea lo que sea la diferencia de potencial en sus bornes. La expresión general de la corriente es entonces:
I1(t) = I0sin(ωt + ϕ), (2.44)
(a) (b) (c) (d)
Figura 2.7 (a) Esquema de una fuente de tensión sinusoidal. (b) Esquema de una fuente de corriente sinusoidal. (c) Fuente de tensión dependiente y (d) fuente de corriente dependiente.
Figura 2.8 Circuito de corriente alterna con una impedancia Z compleja, representada por su modulo y su fase θ. y en forma de fasores: ˜I1= I0 √ 2∠ϕ. (2.45)
En la figura 2.7 (a) y (b) aparece el esquema de una fuente de tensión y de una fuente de corriente en régimen sinusoidal. Son fuentes ideales pero una posible mejora consiste en asociar una impedancia en serie con la fuente de tensión o en paralelo con la de intensidad para representar los defectos internos de los generadores. Sería el equivalente de la resistencia interna.
Existen también fuentes dependientes que dependen de un parámetro tal como una tensión o una corriente del circuito al igual que en corriente continua. Se las representa con rumbo distintivo de las fuentes de tensión o corriente normales para hacer enfasís en su particularidad. El tratamiento de estás fuentes en circuitos es idéntico al de las fuentes en corriente continua. El analísis debe de establecer las ecuaciones tomando en cuenta la tensión o la corriente que controla la fuente.
2.3.5 Ley general de Ohm
La ley de Ohm se generaliza dado que cualquier circuito formado de elementos lin- eales pasivos se pueden considerar como una sola impedancia compleja Z formada por los elementos. De forma muy cómoda en circuitos de corrientes alterna, estas asocia- ciones responden a:
˜
V = Z ˜I, (2.46)
con Z la impedancia compleja del componente o del circuito en cuestión. Si se trata de una resistencia, la impedancia será real. Para los condensadores y las inductancias la impedancia será una impedancia compleja. En el caso general es un número complejo cualquiera. En la figura 2.8 aparece la representación de tal circuito donde Z puede representar cualquier circuito lineal.
En la tabla 2.2 se resumen las transformaciones de los elementos de circuitos más comunes como son las resistencias, condensadores e inductancias en régimen armónico.
Esquema Tiempo Imp. compleja y Fasores
VL= LdIdt V = jLω ˜I = Lω ˜I∠˜ π2
VC=C1 R
idt V˜C= jCω1 ˜I =Cω1 ˜I∠−π2
VR= Ri V˜R= R ˜I
Cuadro 2.2 Resumen del comportamiento de los componentes en el dominio temporal y
en el dominio armónico.
Estas impedancias se usarán en varios modelos de máquinas eléctricas en el resto de los capítulos.
Los elementos lineales de un circuito se asocian de forma idéntica al caso de la cor- riente continua. Es decir que los elementos en serie o en parelo se pueden asociar y simplificar tal como sigue:
Para impedancias en serie:
Zeq= Z1+ Z2+. . . + Zn Para impedancias en paralelo:
1 Zeq = 1 Z1 + 1 Z2 +. . . + 1 Zn Fuentes de tensión en serie:
˜
Veq= ˜V1+ ˜V2+. . . + ˜Vn Fuentes de corriente en paralelo:
˜Ieq= ˜I1+ ˜I2+. . . + ˜In
Son basicamente las mismas reglas de asociación visto antes. Del mismo modo, no se pueden asociar fuentes de tensión en paralelo con distintas características y está pro- hibido poner fuentes de corrientes en serie cuando no son idénticas.
2.3.6 Teoría de circuitos en régimen armónico
Las leyes de Kirchhoff siguen validas en régimen armónico. En el análisis de circuito se puede usar la forma fasorial de la ley de Kirchhoff. La ley de corrientes se resume en la expresión siguiente:
X
k∈nudo
para las corrientes ˜Ikllegando a un nudo en forma fasorial. La segunda ley de Kirchhoff para las tensiones se escribe como:
X
k∈malla ˜
Vk= 0, (2.48)
para los fasores de tensiones ˜Vk de una malla. El método de aplicación es idéntico al caso de la corriente continua al ser los circuitos lineales. Además todos los teoremas de redes lineales siguen siendo válido dado que únicamente se basan en la hipótesis de cir- cuitos lineales. Los teoremas siguientes se aplican de forma indiscriminada a circuitos de corriente continua y alterna:
El teorema de Millman.
El teorema de Thévenin y Norton. El método de las mallas y de los nudos.
El teorema de máxima de transferencia de potencia. El teorema de Tellegen.
El teorema de Kennelly.
Se aplicarán estos teoremas cuando sea necesario para la resolución y el análisis de los circuitos.
2.3.7 Diagrama de fasores de un circuito
El diagrama de fasores de un circuito es una herramienta útil para visualizar las rela- ciones entre la distintas tensiones y corrientes. Es una representación gráfica de las tensiones en forma de vectores. Permite comparar los desfases y las amplitudes de dis- tintos fasores en un único esquema. Es preferible dibujar un diagrama sólo con tensiones o sólo con corrientes. Se procede como sigue:
1. Primero se elige un fasor de referencia.
2. Se calcula la expresión de los otros fasores referidos al fasor de referencia.
3. Se dibuja en plano complejo los distintos fasores obtenidos respetando los modulos y los ángulos obtenidos.
Este método permite verificar también si los cálculos son coherentes, se puede com- probar grafícamente que las leyes de Kirchhoff se cumplen, es decir que sumando los fasores como vectores de una malla el resultado es un fasor cero. También se pueden obtener tensiones o corrientes gráficamente construyendo a partir de la relación entre fasores de un circuito.
Ejercicio 2.5
Construir el diagrama de fasores de la figura siguiente. Datos: ˜V0 = 110V, C =
Solución del ejercicio 2.5
La expresión de la corriente de este circuito es:
˜I = V˜
R + jLω + 1/( jCω) (2.49)
Se elige como referencia de fase la tensión ˜V que tiene la siguiente expresión: ˜V = V0∠0 V. Se obtiene la expresión de ˜I:
˜I = 0,99 + j0,32 = 1,04∠18oA (2.50)
En el diagrama se dibuja primero ˜V y luego el fasor de ˜I, aquí no importa la escala
sino el ángulo. Se puede construir por ejemplo el vector ˜V sumando ˜VR, ˜VL y ˜VC. El fasor de ˜VR será paralelo al fasor ˜I con un modulo de 104V. Se repite el mis- mo proceso con ˜VLy ˜VC. El resultado de esta suma se puede observar en la figura siguiente.
El diagrama de fasores puede ser también una herramienta de cálculo muy útil. Se pueden determinar las cantidades de forma geométrica.