Muchos de los problemas que se presentan en la práctica diariamente, están relacionados de una forma u otra, con encontrar los valoresmáximos y mínimos de una función, y más aún, determinar para qué val- ores de la variable independiente se alcanzan estos. Estos problemas se llaman, en general, problemas de optimización. Se aplican en diferentes contextos, permitiendo resolver problemas geométricos, económicos entre otros.
En términos generales, un problema de optimización consiste en encontrar el valor mínimo o minimizar, o encontrar el valor máximo o maximizar, una cierta función, de tal forma que satisfagan ciertas condiciones dadas.
La solución o soluciones óptimas son aquellas para las cuales se satisfacen las restricciones del problema y el valor de la función sea mínimo o máximo. La función que representa el problema de optimización se le llama función objetivo.
Fases en la solución de un problema de Optimización
1. Planteamiento del problema
2. Formulación Matemática (construir la función objetivo si no se da explícitamente)
3. Análisis del comportamiento de la función objetivo (puede incluir su representación gráfica)
4. Obtención de las soluciones
Para el producto de un monopolista la función de demanda esx=10,000e−0.02p. Calcular el valor deppara el cual se obtiene el ingreso máximo.
Solución: I=px=10,000pe−0.02p; p>0 → I0(x) =10,000pe−0.02p(0.02) +e−0.02p=10,000e−0.02p(−0.02p+1) I0(x) =10,000(1−0.02p) e0.02p =0 → 1−0.02p=0 → p= 1 0.02 = 100 2 =50.
Único valor crítico en(0,∞)
Como es el único extremo local en(0,∞)es también máximo absoluto en ese intervalo. Por tanto,
se obtiene el máximo ingreso conp= $ 50/unidad. Ejemplo 4.63
Una empresa produce mensualmentextoneladas de un metal precioso con un costo totalCdado porC(x) =10+75x−5x2+13x3Evaluar el nivel de producciónxdonde el costo marginal alcanza su mínimo.
Solución:
Costo marginal C0(x) =75−10x+x2. Esta es la función para la cual queremos obtener un máximo:C00(x) =−10+2x=0 → 2x=10 → x=5. Único valor crítico en(0,∞).
C000,(x) =2 >0, luego entonces existe un mínimo local y también absoluto en x=5. Por lo tanto para que el ingreso marginal sea mínimo el nivel de producción debe ser de 5 unidades.
Ejemplo 4.64
uts
Cálculo DiferencialPara el producto de un monopolista, la función demanda es p= √50
x , y la función de costo
promedio esC¯=0.50+100
x .
a)Evaluar el precio y la producción que maximizan la utilidad.
b)A este nivel, demostrar que el ingreso marginal es igual al costo marginal. Solución: a)U=I−C; I=px=√50 x x=50√x; C=Cx¯ = 0.5+100x x=0.5x+100. U(x) =50√x−(0.5x+100) =50√x−0.5x−100 → U0(x) =25x−1/2−0.5=√25 x−0.5=0 → 25 √ x=0.5. √ x=025.5 =50 → x=2,500. Único valor crítico en(0,∞).
U00(x) =−25 2x −3/2 = −25 2 √ x3 → U
00(2,500)<0, luego existe un máximo local y también abso-
luto en 2,500.
Entonces, para obtener la máxima utilidad posible se deben fabricar y vender 2,500 unidades a un precio dep=√50 2,500= 50 50=$1/unidad. b)I0(x) =25x−1/2=√25 x → I 0(2,500) =√25 2,500= 25 50= 1 2=0.5; C 0(x) =0.5 → C0(2,500) =0.5.
Por lo tanto el ingreso marginal y el costo marginal son iguales cuando el nivel de producción es de 2,500 unidades, es decir cuando la utilidad es máxima.
Ejemplo 4.65
Un fabricante ha determinado que, para cierto producto, el costo promedio por unidad está dado porC¯=2x2−36x+210−200
x , para2≤x≤10, en dondexestá en miles de unidades yCen dólares.
a Calcular a qué nivel dentro del intervalo[2,10] debe fijarse la producción para minimizar el costo total y cuál es el costo total mínimo.
b) Si la producción se encontrara dentro del intervalo [5,10], calcular qué valor de x mini- mizaría el costo total.
Solución:
C(x) =Cx¯ =2x3−36x2+210x−200 → C0(x) =6x2−72x+210=6(x2−12x+35) =6(x−7)(x−5). Valores críticosx=5, x=7.
C00(x) =12x−72 =12(x−6) → C00(5) <0;C00(7) >0. Por lo tanto existe un máximo local enx=5y un mínimo local enx=7.
a) En el intervalo [2,10], como los dos valores críticos pertenecen al intervalo, no se puede asegurar que el mínimo absoluto ocurra enx=7, luego se requiere evaluar la función en esos valores críticos y en los extremos del intervalo:
C(2) =2(2)3−36(2)2+210(2)−200=92; C(5) =200; C(7) =192; C(10) =300.
Por lo tanto el costo es mínimo cuando se fabrican 2,000 unidades. Costo mínimo: 92 dólares. b)En el intervalo[5,10] C(5) =200; C(7) =192; C(10) =300. El 2 no pertenece al intervalo. Por lo tanto el costo es mínimo cuando se fabrican 7,000 unidades. Costo mínimo: 192 dólares.
Ejemplo 4.66
uts
Cálculo DiferencialSe quiere inscribir un rectángulo dentro de un semicírculo de radio 2. ¿Cuál es el área más grande que puede tener el rectángulo y cuáles son sus dimensiones?
Según se muestra en la figura tenemos: Largo del rectángulo:2x Altura:√4−x2
La función a maximizar es el área del rectángulo, es decir,A(x) =2x√4−x2
Hallemos los puntos críticos, derivando e igualando a cero:A(x) =2x(4−x2)1/2
A0(x) = −2x 2 √ 4−x2+2 p 4−x2=0 ⇒ −2x 2+2(4−x2) √ 4−x2 =0 −2x2+8−2x2=0 ⇒ −4x2=−8⇒x2=2 ⇒ x=±√2 A(√2) =2√2√4−2=2(√2)2=4 A(−√2) =2(−√2)√4−2=−2(√2)2=−4 (Area negativa)
Los valores extremos se presentan en:x=2yx=−2
A(2) =2(2)p4−22=0=A(−2) (Area cero)
La mayor área del rectángulo se produce cuandox=√2y el área es de 4 unidades cuadradas. Respuesta: De lo anterior concluimos que las dimensiones del rectángulo de mayor área son:
Largo:2√2 Alto:√2 Ejemplo 4.67
Se desea construir una caja abierta (sin cara superior) y de base cuadrada con 108 pulgadas cuadradas de material. ¿Cuáles serán las dimensiones de la caja para que el volumen sea máx- imo?
Solución:
Volumen de la caja:V=x2h(Función a maximizar). Como esta función tiene dos variablesx y h debemos usar los datos del problema para eliminar una de ellas.
El material usado se obtiene sumando el área de la base y el área de las cuatro caras lat- erales, así: Área de la base:x2
Área de cada cara lateral:xh
Área total de la superficie:S=x2+4xh=108
Hallandohen esta ecuación tenemos:
4xh=108−x2 ⇒ h=108−x
2
4x , 0<x<
√
108
Sustituyendohen la ecuación de volumen tenemos: V(x) =x2(108−x
2
4x ) =27x− x3
4
Derivando e igualando a cero: V0(x) =27−3x
2
4 =0 , 3x
2=108 , x2=36 , x=±6
Solo tomamos el valor positivo de x porque se trata de una longitud Valor crítico:x=6, para este valor crítico, hallemos h:
h=108−x 2 4x = 108−36 24 = 72 24=3
Respuesta:las dimensiones de la caja son: Longitud de la base:x=6pulgadas; Altura de la caja: h=3pulgadas.
Volumen de la caja:V=x2h= 36(3) = 108 pulgadas cúbicas (Obsérvese la gráfica) Ejemplo 4.68
A continuación se muestra la gráfica del volumen respecto a la altura de la caja.
uts
Cálculo DiferencialNota:Usando el criterio de la segunda derivada se puede probar en el ejemplo anterior que, en efecto, los valores dexyhcorresponden al máximo volumen.
[1] Larson/Hostetler , 1999.Algebra, Mc Graw Hill.
[2] Dennis G Zill, 1996.Algebra y Trigonometría, Mc Graw Hill, 2da Edición. [3] James Stewart, 2008.Algebra y Trigonometría, Thomson, 6ta Edición.
[4] Edwin J Purcell, 2007.Cálculo con Geometría Analítica, Pearson-Prentice Hall, 9na Edición. [5] James Stewart, 2001.Precálculo, Thomson, 3ra Edición.