Prof. Jaime A Pinto.
Departamento De Ciencias Básicas, Unidades Tecnológicas de Santander.Introducción...1
1
Capítulo 1
"Desigualdades"
. . . . 21.1 Desigualdades . . . . 2
1.1.1 Propiedades de las Desigualdades . . . 2
1.2 Intervalos . . . . 4
1.2.1 Clases de Intervalos . . . 4
1.3 Inecuaciones de una variable . . . . 5
1.4 Clasificación de las Inecuaciones de una Variable . . . . 5
1.4.1 Solución de Inecuaciones de 1er Grado con una Incógnita: . . . 5
1.4.2 inecuaciones simultáneas de primer grado . . . 8
1.4.3 cuadráticas o de segundo grado . . . 9
1.4.4 Inecuaciones de Grado Superior . . . 13
1.4.5 Inecuaciones Racionales . . . 13
1.4.6 Inecuaciones de Valor Absoluto . . . 15
1.4.7 Problemas que se resuelven por medio de inecuaciones . . . 20
2
Capítulo 2
"Funciones"
. . . 212.1 Definición de Función . . . 21
2.2 Representación Gráfica de una Función . . . 22
2.2.1 Coordenadas cartesianas . . . 22
2.2.2 Criterio de la Recta Vertical . . . 23
2.3 Elementos de una Función . . . 24
2.3.1 Dominio de Funciones . . . 24
2.3.2 Recorrido o rango de algunas funciones . . . 28
2.4 Intersección con los ejes . . . 28
2.5 Simetrías de una Función . . . 29
2.6 Funciones par e impar . . . 30
2.7 Álgebra de Funciones . . . 30
2.9 Movimientos en el Plano . . . 33
2.9.1 Translación Vertical . . . 33
2.9.2 Translación Horizontal . . . 34
2.10 Gráfica de Funciones Básicas . . . 35
2.11 Composición de Funciones o Función compuesta . . . 40
2.12 Función Inversa . . . 42
2.12.1 Propiedades de la función inversa . . . 43
2.13 Aplicaciones de las funciones . . . 44
2.13.1 Modelos Lineales de Costo, Ingreso y Utilidad . . . 44
2.13.2 Modelos Demanda y Oferta . . . 45
3
Límites y Continuidad de Funciones
. . . 503.1 Definición Informal de Límite . . . 51
3.2 Límites Unilaterales . . . 51
3.3 Definición Formal de Límite . . . 55
3.4 Propiedades de los Límites . . . 56
3.4.1 Cálculo de Límites . . . 57
3.5 Resumen del cálculo de límites indeterminados . . . 57
3.5.1 Indeterminación 0 0 . . . 57
3.5.2 Indeterminación ±∞ ±∞ . . . 59
3.5.3 indeterminación∞−∞ . . . 60
3.5.4 indeterminación0.∞. . . 62
3.5.5 indeterminación ∞0, 00 , 1∞ . . . 63
3.6 Límites Trigonométricos . . . 64
3.7 Límites Infinitos . . . 65
3.8 Límites al Infinito . . . 66
3.8.1 Asintotas Oblicuas . . . 68
3.9 Teorema del Emparedado . . . 70
3.10 Continuidad de una Función . . . 71
3.11 Clases de Discontinuidad . . . 72
3.11.1 Discontinuidad Evitable . . . 72
3.11.2 Discontinuidad no evitable o esencial . . . 73
3.11.3 Resumen de las Definiciones de Continuidad . . . 75
4
Derivadas y sus aplicaciones
. . . 764.0.4 Diferentes formas de representar la derivada de una función . . . 80
4.0.5 La Derivada como Razón de Cambio . . . 81
4.1 Propiedades o reglas de derivación . . . 82
4.2 Análisis marginal . . . 85
4.2.1 Costo marginal . . . 85
4.2.2 Ingreso Marginal . . . 86
4.2.3 Utilidad marginal . . . 86
4.2.4 Consumo y Ahorro . . . 87
4.2.5 Elasticidad de la Demanda . . . 88
4.3 Regla de la cadena . . . 93
4.3.1 Regla de la cadena para potencias . . . 94
4.4 Derivada de funciones trigonométricas . . . 94
4.4.1 Derivada de la función seno . . . 94
4.4.2 Derivada de la función coseno . . . 95
4.4.3 Derivada de tangente . . . 95
4.4.4 Derivadas de otras funciones trigonométricas . . . 95
4.4.5 Derivadas de funciones trigonométricas compuestas . . . 95
4.5 Derivación Implícita . . . 96
4.6 Derivada de una Función elevada a otra Función . . . 97
4.7 Derivadas de orden superior . . . 97
4.8 Teorema del Valor medio . . . 98
4.9 Razones de cambio relacionadas . . . 100
4.10 Aplicaciones de la Derivada . . . 103
4.10.1 El problema de recta tangente . . . 103
4.11 Representación gráfica de funciones . . . 104
4.11.1 La primera derivada y la gráfica de una función . . . 104
4.11.2 Extremos locales de una función . . . 106
4.11.3 Pasos a seguir para determinar los extremos absolutos de una función en un intervalo cerrado . . . 117
4.11.4 Relación de los extremos absolutos con los extremos relativos de una función . . . 118
4.11.5 Concavidad de una función . . . 119
4.11.6 Punto de inflexión . . . 121
4.11.7 Representación Gráfica de Funciones . . . 122
4.11.8 Tabla de resumen "Definiciones" . . . 123
4.12 Aplicación de la derivada al cálculo de límites . . . 123
4.12.1 Existen otras formas indeterminadas,0.∞ e ∞−∞ . . . 126
4.13 Aplicación de la Derivada a Problemas de Optimización . . . 127
Bibliografía...134
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Capítulo 1
"Desigualdades"
1.1
Desigualdades
En estudios anteriores habremos visto las igualdades; tema relacionado con la solución de ecuaciones lin-eales, cuadráticas entre otras. La palabra desigualdad sirve para decir que una cantidad es mayor o menor que otra, para ello utilizamos los símbolos:
Mayor que> menor que<
Mayor o igual que≥ menor o igual que≤.
Una desigualdad numérica es una comparación entre dos números a y b, utilizando los símbolos de de-sigualdad:
aes mayor queb→a>b aes menor queb→a<b aes mayor o igual queb→a≥b aes menor o igual queb→a≤b.
1.1.1
Propiedades de las Desigualdades
Sia,bycson tres números reales, se cumple que:
1. (Propiedad transitiva). Sia>byb>c, entoncesa>c. Sia<byb<c, entoncesa<c. 2. Sia>b, entoncesa±c>b±c.
Sia<b, entoncesa±c<b±c. 3. Sia>byc>0, entoncesac>bc.
Sia>byc<0, entoncesac<bc.
4. Sia>byc>0, entoncesa c>
b c. Sia>byc<0, entoncesa
c< b c. 5. (Propiedad aditiva)
Sia>byc>d, entoncesa+c>b+d 6. Sia>byc>d, entoncesac>bd 7. Sia>bya>0yb>0, entoncesan>bn 8. Sia>b, entonces 1a<1
b
9. a.b>0=
a>0 ∧ b>0
∨
a<0 ∧ b<0
a.b<0=
a>0 ∧ b<0
∨
a<0 ∧ b>0
10. Al intercambiar los miembros de una desigualdad, se modifica el sentido de la misma. Por ejemplo3<6⇐⇒6>3
1. Desigualdades absolutas o incondicionales: Son semejantes a las identidades, además son satisfechas por todos los números Reales,su validez se establece por medio de una demostración analítica (utilizando propiedades de las desigualdades).
Por ejemplo:la siguiente desigualdad se cumple para cualquier valor de a y b
2ab a+b<
√
ab
2. Desigualdades condicionales:Son llamadas Inecuaciones, sólo son satisfechas por algunos números Reales, en algunos casos no los satisface ningún número real; son desigualdades que poseen variables.
Por ejemplo:
2x+6<0 Definición 1.1
1.2
Intervalos
Los intervalos son subconjuntos de los números reales, determinados por las desigualdades, que se rep-resentan geométricamente mediante segmentos de recta o semirrectas. Por lo tanto, las operaciones entre conjuntos también se aplican a los intervalos. Veremos a continuación las diferentes clases de intervalos que existen y luego algunos ejemplos.
1.2.1
Clases de Intervalos
A continuación está tabla nos permitirá observar las propiedades de los intervalos
Sean los intervalosA= [−5,5],B(−∞,8]yC= (2,∞); hallar en las diferentes notaciones:
1.A∪C 2.B∩C 3.(A∩C)∪B
Solución:
1.A∪C= [−5,∞)Notación de intervalo→A∪C={x/x≥ −5}Notación de conjunto 2.B∩C= (2,8]Notación de intervalo→B∩C={x/2<x≤8}Notación de conjunto 3.(A∩C)∪B= (2,5]∪(−∞,8] = (−∞,8]Notación de intervalo
→(A∩C)∪B={x/x≤8}Notación de conjunto Ejemplo 1.1
1.3
Inecuaciones de una variable
Unainecuaciónes una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica (o demuestra) para determinados valores de las incógnitas. Las inecuaciones también se conocen comodesigualdades condiciónales, como se mencionó anteriormente.
La desigualdad2x−3>x+5es una inecuación porque tiene la incógnitaxy sólo se verifica para cualquier valor dexmayor que8. Parax=8se convertiría en una igualdad y parax<8en una desigualdad de signo contrario.
Ejemplo 1.2
Para resolver unainecuacióndeben encontrarse los valores de las incógnitas que satisfagan la inecuación. La resolución de inecuaciones se fundamenta en las propiedades de las desigualdades anteriormente enun-ciadas y en lasconsecuenciasque de las mismas se derivan. (La solución a una inecuación se da mediante un intervalo).
Solución de inecuaciones
Resolver una inecuación consiste en aplicar las propiedades de las desigualdades antes expuestas para hallar un conjunto de valores que hace posible la desigualdad. La solución de una inecuación recibe el nombre de conjunto solución. Y puede expresarse de tres formas diferentes: en notación de intervalo, en notación de conjunto y en forma gráfica. (Ver tabla de "clases de intervalos")
1.4
Clasificación de las Inecuaciones de una Variable
Las inecuaciones se clasifican atendiendo al número de incógnitas y al grado de la expresión algebraica que aparece en ellas.
Inecuación tipo
2x−3>x−5 1° grado; 1 incógnita x−3≤y 1° grado; 2 incógnitas x2−5x≥4 2° grado; 1 incógnitas xy−3>0 2° grado; 2 incógnitas
1.4.1
Solución de Inecuaciones de 1er Grado con una Incógnita:
son las que responden a las siguientes formas básicas:
ax+b<0 ax+b>0 ax+b≤0 ax+b≥0
En la mayoría de los casos conviene seguir el siguiente procedimiento:
Paso 1:Quitar los paréntesis, si los hay.
Paso 2: Quitar denominadores, si los hay. Para ello, se multiplica los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores.
Paso 3:Pasar los términos en x a un miembro (normalmente al primero) y los números al otro. Paso 4:Reducir términos semejantes, con lo que se llega a una ecuación de forma básica.
Paso 5: Si el coeficiente de laxes negativo multiplicamos por−1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.
Paso 6:Despejar lax(la incógnita).
Paso 7:Obtener la solución en forma de desigualdad, en forma de intervalo o grafica.
Resolver x−2
3 −
5(x−7) 4 >
7−x 2
4(x−2)−3(5x−35)
12 >
6(7−x) 12
4x−8−15x+105>42−6x⇒ −5x>−55 5x<55⇒x<11
Solución:x∈(−∞,11)
Ejemplo 1.3
Resolver2x−3>x+5
Pasandoxal primer miembroy 3 al segundo miembro se tiene:2x−x>3+5
Reduciendo término:x>8
Solución: S= (8,∞) ={x∈R|x>8}
Ejemplo 1.4
Dada la siguiente inecuación7−x
2> 5x
3 −6. Halle el conjunto solución y grafíquelo
Suprimiendo denominadores (m.c.m=6)se tiene:42−3x>10x−36
Trasponiendo términos:−3x−10x>−36−36
−13x>−78
Cambiando el signo a los dos miembros, lo cual hace cambiar el signo de la desigualdad original:
13x<78
Dividiendo por 13:x<78
13o sea laSolución:esx<6 Ejemplo 1.5
Resolver(x+3)(x−1)<(x−1)2+3x
Efectuando las operaciones algebraicas:x2+2x−3<x2−2x+1+3x
Suprimiendox2en ambos miembros y transponiendo:2x+2x−3x<1+3x<4
Solución: S=(−∞,4) ={x∈R|x<4}
Ejemplo 1.6
Dada la siguiente inecuaciónx−2
3 − 2x2−1
2 ≤
1 4−x
2Halle el conjunto solución y grafíquelo.
Se encuentra el m.c.m=12 y se multiplica por 12 ambos miembros de la inecuación para obtener:
4(x−2)−6(2x2−1)≤3−12x2
4x−8−12x2+6≤3−12x2
Pasando todas las variables al lado izquierdo de la inecuación, se obtiene:
4x+6≤3+8
Despejando la variablexde la inecuación, se obtiene:Solución S=(−∞,5
4]={x∈R|x≤ 5 4} Ejemplo 1.7
1.4.2
inecuaciones simultáneas de primer grado
Una inecuación simultánea es una inecuación con desigualdad doble; Sia<x<bentoncesx>a x<b, es decir, el conjunto solución es la intersección de los dos conjuntos solución:
S={x/x>a} ∩ {x/x<b}
Hallar el conjunto solución de6≤4x−2<7
Separando en dos desigualdades:
4x−2≥6 ∧ 4x−2<7 4x≥6+2 ∧ 4x<7+2 x≥8
4 ∧ x<
9 4
x≥2 ∩ x<9
4
Solución:x∈[2,9
4) Ejemplo 1.8
1.4.3
cuadráticas o de segundo grado
Las inecuaciones de 2º grado con una incógnita son las que se presentan según alguna de las siguientes formas básicas:
ax2+bx+c<0 ax2+bx+c>0 ax2+bx+c≥0 ax2+bx+c≤0
Procedimiento
Paso 1:Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de se-gundo grado factorizando el polinomio o usando la formula cuadrática.
Paso 2:Considerar los casos necesarios para que se cumpla la inecuación.
Paso 3:Realice la intersección o unión de los conjuntos solución de acuerdo al caso seleccionado. Paso 4:dar la solución en forma de intervalos y graficarla.
Dada la siguiente inecuaciónx2+5x+6>0. Halle el conjunto solución y grafíquelo.
Primer Paso: Factorizar el polinomio dado x2+5x+6 = (x+3)(x+2), quedando una in-ecuación de la forma:(x+3)(x+2)>0
Segundo paso: Los casos que se deben considerar son los siguientes:
Caso I:Cuando ambos binomios son positivos es decir:(x+3)>0y(x+2)>0
Caso II:Cuando ambos binomios son negativos es decir:(x+3)<0y(x+2)<0
Solución Caso I: Sea SA el conjunto solución de la inecuación (x+3)<0 y SB al conjunto
solución de la inecuación(x+2)>0, la solución del Caso I viene dada por:SI=SA∩SB
Solución paraSAx+3>0x>−3SA= (−3,∞) ={x∈R|x>−3}
Solución paraSBx+2>0x>−2SA= (−2,∞) ={x∈R|x>−2}
Solución paraSIes:SI=SA∩SB= (−3,∞)∩(−2,∞) = (−2,∞)
SI= (−2,∞) ={x∈R|x>−2}
Solución Caso II:Si llamamosSCal conjunto solución de la inecuación(x+3)<0ySDal conjunto
solución de la inecuación(x+2)<0, la solución delCaso IIviene dada por:SII=SC∩SD
Solución paraSC(x+3)<0SC= (−∞,−3) ={x∈R|x<−3}
Solución paraSD(x+2)<0SD= (−in f ty,−2) ={x∈R|x<−2}
Entonces la solución para es:SII=SC∩SD= (−∞,−3)∩(−∞,−2) = (−∞,−3)
SII= (−∞,−3) ={x∈R|x<−3}
Solución general: La solución general será la unión de SI y SII, es decir: SG =SI∪SII =
(−∞,−3)∪(−2,∞) Ejemplo 1.9
El método que acaba de estudiarse, para resolver inecuaciones cuadráticas se llama método analítico. Existe un método alternativo, elmétodo gráfico, que también se conoce como elmétodo del Cementerio o método de las cruces. El procedimiento para resolver inecuaciones cuadráticas utilizando este método consiste igualmente en Factorizar el polinomio cuadrático, encontrar las raíces reales y ubicarlas sobre la recta real, dando origen de esta manera a intervalos en la recta. Luego, para cada intervalo, se va evaluando cada binomio para determinar el signo de éste, es decir, se le asignará a la variable, un valor arbitrario que pertenezca a cada intervalo para conseguir el signo de cada binomio. Por último, se seleccionan los intervalos para los cuales se cumple la desigualdad.
Dada la siguiente inecuaciónx2+5x+6>0, halle el conjunto solución y grafique. Se factoriza el polinomiox2+5x+6= (x+3)(x+2)
quedando la inecuación de la forma:(x+3)(x+2)>0
Las raíces que anulan(x+3)(x+2)sonx=−3yx=−2. (valores de separación) Se ubican sobre la recta real (ver cuadro 1).
Se le asignan valores arbitrarios axen cada intervalo, y se determinan los signos.
(−∞,−3) (−3,−2) (−2,∞)
x+3 − + +
x+2 − − +
(x+3)(x+2) + − +
Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el producto de los dos binomios es positivo por ser la inecuación > 0, por lo tanto la solución viene dada por:
Solución: SG=SI∪SII= (−∞,−3)∪(−2,∞)
Ejemplo 1.10
Dada la siguiente inecuación(x−1)
2
2 −
(x−1)2
3 < 8
3, halle el conjunto solución y grafique.
Se desarrollan los productos notables, se multiplican por 6 ambos miembros de la inecuación y se reducen términos semejantes, obteniendo:x2−2x−15<0
Factorizando el polinomio resultante, se tiene x2−2x−15= (x−5)(x+3), resultando una inecuación de la forma:(x−5)(x+3)<0
Las raíces de (x−5)(x+3) son x=5 y x=−3 (valores de separación) las cuales se ubican sobre la recta real.
Se le asignan valores arbitrarios axen cada intervalo y se determinan los signos de la desigualdad.
(−∞,−3) (−3,5) (5,∞)
x+3 − − +
x−5 − + +
(x+3)(x−5) + − +
Solución: SG= (−3,5) ={x∈R| −3<x<5}
Graficamente: Ejemplo 1.11
Casos especial 1
Si al resolver la inecuación se obtiene una expresión de la forma:
(ax+b)2≤0→la solución esx=−b/a (ax+b)2<0→No tiene solución
(ax+b)2≥0→La solución son losR
(ax+b)2>0→La solución son losR− {−b/a}
Resolver:x2+2x+1≥0
Primero deseo hallar los puntos de separación por lo tantox2+2x+1=0
Por lo tanto usando lafórmula cuadráticax=−b±
√
b2−4ac
2a =
−2±√22−4
2 =
−2±0 2 =−1 (x−1)2≤0
Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución esR Ejemplo 1.12
Casos especial 2
Cuando no tiene raíces reales (discriminante menor que cero), le damos al polinomio cualquier valor si: El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución esREl signo obtenido no coincide con el de la desigualdad,no tiene solución(vacío).
1.4.4
Inecuaciones de Grado Superior
Tenga en cuenta el siguiente procedimiento para encontrar la solución de este tipo de inecuaciones Paso 1Se descomponen en factores de primer o segundo grado.
Paso 2Se obtienen los ceros de cada factor representándolos en rectas distintas. Paso 3Se estudia el signo de cada uno de los intervalos formados.
Paso 4En una nueva recta se llevan todos los ceros, aplicando la regla de los signos. Paso 5Se ve cuales de los intervalos son solución de la inecuación.
Resolver la inecuación:x3−4x<0
Resolverla es buscar los valores de la x que hacen que el miembro de la izquierda sea neg-ativopor el sentido de la desigualdad.
El procedimiento más sencillo consiste en factorizar el polinomio (en este caso podemos sacar factor comúnx)
x(x2−4)<0, o lo que es lo mismox(x−2)(x+2)<0
Tenemos tres valores de x (el 0, 2, -2) que hacen que ese producto valga cero, los restantes valores de la x harán que ese producto sea distinto de 0, bien positivo o negativo. El estudio es el mismo que antes, dibujamos y señalamos sobre la recta real los valores que hacen cero el producto y vamos tomando valores de x y se sustituye en la ecuación inicial para ver el signo de la operación. Observa la gráfica:
(−∞,−2) (−2,0) (0,2) (2,∞)
x+2 − + + +
x − − + +
x−2 − − − +
x(x−2)(x+2) − + − +
Solución=(−∞,−2)∪(0,2)
Ejemplo 1.13
1.4.5
Inecuaciones Racionales
Son inecuaciones racionales, aquellas en las que tanto el numerador como el denominador son inecuaciones polinómicas. Expresión general: son del tipoax+b
cx+d≤0, o todas sus equivalentes ax+b cx+d≥0, o
ax+b
cx+d<0, etc y de
grados mayores que uno.
Se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero. Estos tipos de problemas pueden ser resueltos usando el método analítico o el método gráfico.
Procedimiento a tener en cuenta:
Paso 1Hallamos las raíces del numerador y del denominador.
Paso 2Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.
Paso 3Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo.
Paso 4 La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica.
Dada la siguiente inecuación:x
2+3x−10
x2+x−2 <0halle el conjunto solución y grafique.
Factorizando los polinomios dadosx2+3x−10= (x+5)(x−2)yx2+x−2= (x+2)(x−1)
Resultando una inecuación de la forma(x+5)(x−2)
(x+2)(x−1)<0
Las raíces que anulan el numerador son y , y las que anulan el denominador son y , las cuales se ubican sobre la recta real. Se le asignan valores arbitrarios axen cada intervalo, y se determinan los signos de la desigualdad.
(−∞,−5) (−5,−2) (−2,1) (1,2) (2,∞)
x+5 − + + + +
x+2 − − + + +
x−1 − − − − +
x−2 + − + − +
x2+3x−10
x2+x−2 <0 − + − + +
Se observa en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el cociente es negativo, debido a que la inecuación original es<0(es negativa) por lo tanto la solución viene dada por:
Solución:SG= (−5,−2)∪(1,2)
Ejemplo 1.14
Resolver: x+1 x−1 <1 x+1
x−1−1<0→
x+1+x−1 x−1 <0 2
x−1 <0, y todo se reduce a averiguar cuál es el signo del denominador, cuándo éste es
negativo y lo es en(−∞,1).
Solución:(−∞,1)
Ejemplo 1.15
1.4.6
Inecuaciones de Valor Absoluto
El valor absoluto nos permite considerar una magnitud numérica sin tener en cuenta el signo.
|a|=
a para a≤0
−a para a<0 ∀a ∈R
significa que el valor absoluto de un número nunca es negativo. Definición 1.2
Ejemplo:
|−5|=|5|=5
1. Propiedades con Valor Absoluto La solución de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto re-quieren del conocimiento y dominio de algunas propiedades fundamentales que guíen los procesos. A continuación se dan las propiedades que serán usadas en el tema en cuestión.
Seana,b∈R. 1|a| ≥0
2√a2=|a|
3|a|=| −a|
4|a|2 = a2
5|a·b| = |a| · |b|
6ab
=
|a|
|b|, si b6=0
7|a+b| ≤ |a|+|b|Desigualdad triangular 8|a|= b ⇒ b≥0 ∧ {a=b ∨ a=−b}
Desigualdades con valor absoluto Seax,y,a∈R. Se tiene entonces:
1|x| ≤asii a≥0 ∧ x≤a ∧ x≥ −a ´o−a≤x≤a
2|x| ≥asiix≥a ∨ x≤ −a
3|x| ≥ |y|siix2≥y2 Definición 1.3
Inecuaciones de primer grado con valor absoluto
Son aquellas en las que parte de la inecuación, o toda ella, viene afectada por el valor ab-soluto de la misma. Para resolver estas inecuaciones es suficiente con desarrollar el valor abab-soluto de acuerdo a los teoremas antes mencionados, para luego aplicar los conocidos métodos de resolución de inecuaciones.
Las inecuaciones de primer grado con valor absoluto pueden presentar las siguientes formas: Seanx,a,b,c∈R.
1|ax+b| ≤c⇒
ax+b≤c
∧
ax+b≥c
∨ −c≤ax+b≤c
2|ax+b| ≥c⇒
ax+b≥c
∨
ax+b≤ −c
∨ ax+b≤c ∨ ax+b≥ −c Definición 1.4
Encuentre el conjunto de soluciones que satisface|5x+10| ≤15y grafique.
Aplicando la propiedad de las desigualdades con valor absoluto, obtenemos:−15≤5x+10≤15
−15−10≤5x≤15−10
−25 5 ≤
5x 5 ≤
5 5
−5≤x≤1
Solución: S= [−5,1] ={x∈R| −5≤x≤1}
Graficamente: Ejemplo 1.16
Encuentre el conjunto de soluciones que satisface:|x
3+2|<1y grafique.
Aplicando la propiedad de las desigualdades con valor absoluto, obtenemos:−1<x
3+2<1
−3<x
3 <−1
−3∗3<x
3 <−1∗3
−9<x<−3
Solución: S= (−9,−3) ={x∈R| −9<x<−3
Graficamente: Ejemplo 1.17
Encuentre el conjunto de soluciones que satisface:|3x+8| ≥2y grafique.
3x+8≥2 ∨ 3x+8≤ −2 3x≥2−8 ∨ 3x≤ −2−8 3x≥ −6 ∨ 3x≤ −10
x≥−6
3 ∨ x≤
−10 3
x≥ −2 ∨ x≤−10
3
Solución: S= (−∞,−10
3 ]∪[−2,∞)
Graficamente: Ejemplo 1.18
Encuentre el conjunto de soluciones que satisface:|5x−3| ≤7y grafique.
5x−3≥7 ∨ 5x−3≤ −7 5x≥7+3 ∨ 5x≤ −7+3 5x≥10 ∨ 5x≤ −4
x≥10
5 ∨ x≤
−4 5
x≥2 ∨ x≤−4
5
Solución: S= (−∞,−4
5]∪[(2,∞)
Graficamente: Ejemplo 1.19
Encuentre el conjunto de soluciones que satisface:|2x−1
x+3 | ≥3y grafique.
|2x−1| |x+3| ≥3 |2x−1| ≥3|x+3|
(2x−1)2≥(3x+9)2
(2x−1)2−(3x+9)2≥0
(2x−1)2−(3x+9)2≥0
[(2x−1)−(3x+9)][(2x−1) + (3x+9)]≥0
(−x−10)(5x+8)≥0
Solución: S= [−10,−8
5] Ejemplo 1.20
1.4.7
Problemas que se resuelven por medio de inecuaciones
Las inecuaciones permiten resolver problemas.
Una camioneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la camioneta vacía y el peso de la carga que lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, ¿cuánto puede pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en ella?
En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simbólico, llamamos x al peso de cada cajón y planteamos la siguiente inecuación:
Peso de la furgoneta menos el peso de 4 cajones no es menor que 415 kg
875−4x≤415
Una forma de resolver la inecuación es seguir los siguientes pasos: Restamos 875 en ambos miembros de la desigualdad−4x≤415−875
Hacemos el cálculo en el segundo miembro−4x≤ −460
Para despejar x , multiplicamos a ambos miembros por −1
4(Cuidado: como multiplicamos
por un número negativo, debemos cambiar el sentido de la desigualdad),x≥(−1
4)(−460)
hacemos el cálculox≥115
Esto significa que el peso de cada cajón no podrá superar los 115 kg. Además, como se trata de un peso,x>0.
Entonces, la solución está formada por todos los números reales pertenecientes al intervalo
(0,115]. Graficamos la solución en la recta real: Ejemplo 1.21
2
Capítulo 2
"Funciones"
En prácticamente todos los fenómenos cotidianos, físicos, en las ciencias económicos y en la ingeniería; ob-servamos que una cantidad depende de otra. Por ejemplo, su estatura depende de su edad, la temperatura de la fecha, el costo de enviar un paquete por correo de su paseo. Todos estos son ejemplos de funciones; aunque no existe una regla simple que relacione la estatura con la edad o la temperatura con la fecha, sí existe una que relaciona el costo de enviar un paquete por correo con su peso; estás relaciones pueden ser representadas mediante un modelo matemático que permite describir esta relación, estas relaciones se conocen comofunciones.
El concepto de función no apareció hasta los inicios del cálculo en el siglo XVII. René Descartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz establecieron la idea de función como dependencia entre dos cantidades vari-ables. Leibniz en particular acuñó los términos «función», «variable», «constante» y «parámetro».
2.1
Definición de Función
Unafunción f es una regla de correspondencia que asigna a cada elementoxde un conjuntoAllamado dominioun valor únicof(x)de otro conjuntoB. El subconjunto deBformado por todos los elementos a los que se les asigna elementos deAse llamarango o recorridode la función, y cada uno de sus elementos se llamaimagen.
Representemos en un diagrama de flechas una relación que es función y una queNOes función.
Las funciones se representan mediante ecuaciones de la formay=f(x), por ejemplo: y=f(x) =x2; y=g(x) =3x2+x; y=h(x) =xx+−13
y=j(x) =√x+6; y=t(x) =
√
x−2
x+4 y=k(x) =sen(x)
Por otra parte en las funciones del tipoy= f(x), la relación entre ambas variables x e y está claramente determinada. Por ese motivo la expresióny= f(x)recibe el nombre deforma explícitade la función. Sin embargo, en algunas ocasiones la relación entre las variables de la función no viene expresada de una forma tan clara sino a través de una ecuación que las liga, como por ejemplo:
3x−2y+5=0 x−3y3+4yx=5 x+sen(xy) +y=3√2x, π=xy+x2+y2
Podemos decir que esta manera de representar una función recibe el nombre deforma implícitade la fun-ción. La relación entre ambas variables viene dada por una ecuación en la que hay que despejar la variable dependiente para poder encontrar la relación entre ambas. Cuando nos encontramos con una expresión implícita hay que tener un poco de cuidado, pues no vale cualquiera. De hecho, una de las anteriores ex-presiones no corresponde a una función.¿Sabrías decir cuál es? ¿Y por qué?Dibujar las cuatro expresiones anteriores puede servirnos de ayuda.
2.2
Representación Gráfica de una Función
La gráfica de una función f(x)es el conjunto de todos puntos(x,f(x))en el planoxy(ejes de coordenadas), tal que restringimos los valores dexal estar en el dominio de f(x).
2.2.1
Coordenadas cartesianas
Las coordenadas de un puntoPen el plano vienen determinadas por un par ordenado de númerosxey, llamados coordenadas cartesianas del puntoP, y se escribeP(x,y).
1. La primera coordenada,x, se mide sobre el eje de abscisas u horizontal,OX. Se denomina abscisa del puntoP.
2. La segunda coordenada,y, se mide sobre el eje de ordenadas o vertical,OY. Se denomina ordenada del puntoP.
3. El punto de corte de los ejes se denomina origen de coordenadas,O. El siguiente diagrama muestra la gráfica de una función:
2.2.2
Criterio de la Recta Vertical
¿Todas las gráficas son funciones?Para que una gráfica corresponda a una función, cada recta vertical que se ubique en un valor de x debe cortar a la gráfica en un solo punto, tal como se muestra en la siguiente gráfica.
Si por el contrario si una gráfica contiene en alguna parte los puntos(a,b)y(a,c)entonces dicha gráfica no representa una función, ya que a un valor del dominio le corresponden dos valores del rango, en la siguiente gráfica mostramos tal situación.
Observe el dibujo:
2.3
Elementos de una Función
Los dos principales elementos de una función son los posibles valores que pueden tomar ambas variables (dependiente e independiente).
1. Se llamaDominiode una función al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente xde manera que la expresión dada tenga sentido en los números Reales. Eldominiode una función del tipoy=f(x)suele representarse con alguna de estas expresiones:D(f),Dom(f).
2. Se llamaRecorrido, Rango, Imagen o codominiode una función al conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente, es decir, es el conjunto de valores que puede alcanzar la función. El recorrido de una función del tipo y= f(x)suele representarse con alguna de estas expresiones: R(f),Rango(f),Im(f).
2.3.1
Dominio de Funciones
Una función polinómica es de la forma:
f(x) =anxn+an−1xn−1+an−2xn−2+....+a1x+a0, donde n∈Z+
El dominio de una función polinómica es el conjunto de los números reales (R):Dom f(x) =R Definición 2.1 Dominio de Funciones Polinómicas
Hallar el dominio de las siguientes funciones:
f(x) =2x2−3x+2; g(x) =x3+2x2−x+2; h(x) =2x−5
Solución:Cómo son funciones polinómicas para cada función tenemosDom f(x) =R Ejemplo 2.1
Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas (polinomios) .
f(x) = p(x) Q(x)
Recuerde que una expresión de números reales de la forma AB no existe siB=0; de manera que para hallar el dominio de una función racional basta con igualar el denominador a ceroQ(x) =0
y El dominio de una función Racional es el conjunto de los números reales (R) diferentes de los valores que anulan el denominador (valores críticos del denominador):Dom f(x) =R-(valores críticos)
Definición 2.2 Dominio de las funciones racionales
Algunos ejemplos de funciones racionales son:
f(x) =2x+3
x2−1; g(x) =
x−4
2x2−x+4; h(x) =
x
x4−x; y=
1 x+1
Hallar el dominio de la función
f(x) = 2x+3 x2+3x+2
Igualamos el denominador a cero:x2+3x+2=0
Factorizamos:(x+2)(x+1) =0este producto es cero si uno de sus factores es cero, así: x+2=0, entonces:x=−2
x+1=0, entonces:x=−1
De lo anterior, deducimos que los números −2 y −1 no pertenecen al dominio y por lo tanto:
Dom f(x) =R−(−2,−1) Ejemplo 2.2
Las funciones racionales son de la forma: f(x) = pn
p(x), el dominio depende del índice de la raíz. 1. Si la raíz es de índice n impar, el dominio esDom f(x) =R
2. Si la raíz es de índice n par, el dominio son los valores de x que hacen quep(x)≥0 Definición 2.3 Dominio de funciones con radicales
Hallar el dominio de la función:
f(x) =px2−1
La expresión que define a esta función tiene validez en los Reales solamente si el radicando es mayor o igual que cero, es decir si:
x2−1≥0
al resolver la inecuación se obtienen los valores que pertenecen al dominio. x2−1≥0 → (x+1)(x−1)≥0
Al resolver la inecuación usando el método del cementerio se obtiene que los valores que satis-facen la ecuación son:
(−∞,−1]∪[1,∞)
entonces:
Dom f(x) = (−∞,−1]∪[1,∞)
Ejemplo 2.3
Encuentre el dominio de la función:
g(x) =√x
x+4
En este caso es necesario asegurar que el denominador no sea cero. de manera que x+46=0, → x6=−4,
y además que el radicando sea mayor que cero x+4>0,
de tal manera que debemos resolver la ecuación: x+4>0
x>−4
Por lo tanto el dominios esDomg(x) = (−4,∞)
Ejemplo 2.4
Determine el dominio deh(x),
h(x) =
√
x−2 x−4
En este caso debemos controlar tanto lo que sucede en el numerador como lo que sucede en el denominador, es decir:
1. El radicando debe ser positivo o cero.
x−2≥0,
x≥2
2. El denominador debe ser distinto de cero.
x−46=0 x6=4
Observemos sobre una recta numérica la situación que satisface los items 1 y 2:
De manera que lasoluciónes:Dom f(x) = [2,4)∪(4,∞)
Ejemplo 2.5
Una función exponencial es de la forma
f(x) = ax
La función exponencial está definida para todos los números reales, por lo tanto su dominio se representa como:
Dom(f) = ℜ
Definición 2.4 Dominio de la función exponencial
Encuentre el dominio de la siguiente función f(x) = 2ex+2 Solución:Dom f(x) = ℜ
Ejemplo 2.6
Una función logaritmo es de la forma
f(x) = Loga[g(x)]
Recordemos que la función logaritmo está definida en los reales positivos, por lo que los logaritmos de números negativos y el cero no existen.
EntoncesDom(f) ⇒son los valores que satisfacen la siguiente inecuacióng(x)>0 Definición 2.5 Dominio de la función logarítmica
Hallar el dominio de f definida como
f(x) = Ln(1−x2)
La función logaritmo naturaf(x)está definida si1−x2 >0
Resolviendo la inecuación tenemos:
Dom f(x) = (−1,1) Ejemplo 2.7
2.3.2
Recorrido o rango de algunas funciones
Algunas funciones permiten hallar de manera sencilla sus recorridos.
Hallar el recorrido de la función f(x) =2x+1 x−5
Para lograrlo despejamos ax: y(x−5) =2x+1 yx−5y=2x+1
xy−2x=5y+1
x(y−2) =5y+1
x=5y+1 y−2
Entonces, en la última ecuación y debe ser distinto de 2, es el único valor que no pueden tomar las imágenes, por lo tanto la solución es:Rango=ℜ− {2}
Ejemplo 2.8
2.4
Intersección con los ejes
Un punto(a,0)es una intersección de la gráfica de f con el ejexsi f(a) =0, es decir, si este punto es una solución de la ecuación que define a f. Por lo tanto, para hallar la intersección de la gráfica con el ejex debemos hacerx=0y resolver la ecuación que se obtiene.
Un punto (0,b) es una intersección de la gráfica de f con el eje y si f(0) =b es decir, si este punto es una solución de la ecuación que define a f.
Por lo tanto, para hallar la intersección de la gráfica con el eje "x" debemos hacery=0y resolver la ecuación que se obtiene.
Nota:Las intersecciones con los ejes se llaman interceptos. A continuación se muestran algunos dibujos para ilustrar lo que hemos afirmado anteriormente:
Halle los interceptos de la función f(x) =2x+2 x−7
Solución:
Intersección con el eje y
Hacemosx=0, entonces:y=−2
7
Intersección con el eje x
Hacemos y = 0, entonces:0=2x+2
x−7 por lo tanto2x+2=0y obtenemos que: x = - 1 Ejemplo 2.9
2.5
Simetrías de una Función
Al igual que el conocimiento de las propiedades anteriores, el hecho de saber si la gráfica de una función presenta algún tipo de simetría nos permitirá conocer los valores que toma la función en determinada zona sin más que conocer los valores de la misma función en la zona simétrica. Una función puede presentar diferentes tipos de simetría, o ningún tipo en absoluto. De todos los posibles tipos de simetría que pueden presentarse hay dos que son fácilmente detectables y es en esos dos tipos en los que vamos a centrar nuestro estudio.
Una función f(x)es:
1. Simétrica respecto al ejeysi f(x) = f(−x); se dice que f(x)presentasimetría par.
2. Simétrica respecto al origen de coordenadas si f(x) =−f(−x); se dice que f(x) presenta simetría impar.
Veamos los siguientes ejemplos
2.6
Funciones par e impar
Sea f una función, entonces:
1. f es par si satisface f(−x) = f(x)
2. f es impar si satisface f(−x) =−f(x)
La función f(x) =x2es par, veamos: f(−x) = (−x)2=x2=f(x)por lo tanto es par.
La función f(x) =x3es impar, veamos: f(−x) = (−x)3=−x3=−f(x)por lo tanto es impar. Ejemplo 2.10
2.7
Álgebra de Funciones
Definimos las operaciones básicas entre funciones así: SUMA:
(f+g)(x) =f(x) +g(x)
DIFERENCIA:
(f−g)(x) =f(x)−g(x)
PRODUCTO:
(f.g)(x) = f(x).g(x)
COCIENTE:
f(x)
g(x) Donde g(x)6=0
En cada uno de los casos anteriores, el dominio de la función resultante, es la intersección de los dominios de f yg. En el caso particular del cociente se deben excluir de la intersección los valores dexque anulen el denominadorg.
Dadas f(x) =x3+2x, g(x) =1x.
Determinar: 1) f+g, 2) f−g, 3) f×g y sus dominios. En primer lugar es necesario determinar el dominio de cada función: El dominio de f(x)es:Dom f =ℜ(Porque es un polinomio);
El dominio deg(x)esDom g=ℜ− {0}(Porque no se puede dividir entre cero).
Realicemos las operaciones: 1. f(x) +g(x) = x3+2x+ 1x
=x4+2xx2+1 = (x
2+1)2
x
Dom(f+g) =Dom f∩Dom g=ℜ− {0}
2. f(x)−g(x) = x3+2x− 1
x
=x4+2xx2−1
Dom(f−g) =Dom f∩Dom g=ℜ− {0}
3. f(x)×g(x) = x3+2x
× 1
x
=x3+x2x =x2+2
Dom(f×g) =Dom f∩Dom g=ℜ− {0}
Ejemplo 2.11
2.8
Funciones a trozos
Hasta ahora hemos visto cómo las funciones, sean del tipo que sean, suelen admitir una expresión del tipo y=f(x). Hemos visto también que es especialmente interesante (pues facilita la obtención de información) que la expresión f(x)sea de tipo matemático. Hasta ahora hemos trabajado con expresiones simples como por ejemplo:
y= −x2
3 +2x+3 y=
3+2x x−4
y=3√25−x2 y=
x2−3x+2
Sin embargo, con mucha frecuencia, las expresiones analíticas que aparecen en las Ciencias Sociales no admiten una única formulación para todos los valores de la variable independiente, de manera que es nece-sario utilizar diferentes fórmulas para la función según los distintos valores dex. De este tipo de funciones se dice que estándefinidas a trozos.
Una función a trozos es aquella en la que se usan "trozos" de funciones para conformar una nueva función, por ejemplo la función valor absoluto se puede considerar como una función a trozos, veamos:
1. |x|=
−x si x<0 0 si x=0 x si x>0
2. |x|=
−x si x<0 x2 si 0≤x<1 1 si x>0
3. |x|=
x si x≤0
1 si 0<x<3 2x−5 si x≥3
2.9
Movimientos en el Plano
2.9.1
Translación Vertical
La ecuacióny=f(x) +k,kuna constante real describe una traslación vertical dey= f(x)de|k|unidades.
1. Si k > 0, la traslación es hacia arriba.
2. Si k < 0, la traslación es hacia abajo.
y=√x+1 Ejemplo 2.12
2.9.2
Translación Horizontal
y=f(x+h)de|h|unidades.
1. Si h > 0, la traslación es hacia la derecha. 2. Si h < 0, la traslación es hacia la izquierda.
y=√x−1 Ejemplo 2.13
2.10
Gráfica de Funciones Básicas
Existen algunas funciones que son de uso común en el desarrollo de los cursos de cálculo, entre ellas ten-emos:
1. Función Lineal:
f(x) =ax+b
2. Función Cuadrática:
f(x) =ax2+bx+c
3. Función Cúbica:
f(x) =ax3+bx2+cx+d
4. Función Raíz Cuadrada:
f(x) =√x 5. Función Valor Absoluto:
f(x) =|x|
6. Función Racional:
f(x) =1 x 7. Función logarítmica
f(x) =Loga(x)
8. Función exponencial
f(x) =ax 9. Función logística
f(x) = a b +e−c x
10. Función seno
f(x) =senx
11. Función coseno
f(x) =cosx
A continuación trazamos las gráficas de algunas de estas funciones: 1. Función lineal: f(x) =x (Función identidad)
Ejemplo: f(x) =2x+1
2. Función cuadrática f(x) =x2
Ejemplo: f(x) =−x2+1
3. Función cúbica f(x) =x3
Ejemplo: f(x) =−2x3+1
4. Función raíz cuadrada f(x) =√x
Ejemplo: f(x) =√x+2
Función valor absoluto f(x) =|x|
Función Racional f(x) =1x
Función logarítmica f(x) =Loga(x)
Función exponencial f(x) =ex
2.11
Composición de Funciones o Función compuesta
En general, dadas dos funciones
La funcióng◦f es la función compuesta de f yg, que transformaxeng[f(x)]
Se debe tener cuidado con los dominios de g◦ f y de f◦g. El dominio deg◦ f es la parte del dominio de f, para los cualesgacepta a f(x)como pre-imagen. También, el dominio de f◦ges la parte del dominio degpara los cuales f acepta ag(x)como pre-imagen.
Si f y g son las funciones definidas por:
f(x) = x−3
2 y g(x) =
√
x
Encuentreg◦f y f◦gcon sus respectivos dominios:
(g◦f) (x) = g[f(x)] = pf(x) =
r
x−3 2
(f◦g) (x) = f[g(x)] = g(x)−3
2 =
√
x−3 2
Del ejemplo anterior se deduce fácilmente que en general:
(g◦f) (x) 6= (f◦g) (x)
Se debe tener también cuidado con los dominios deg◦f y de f◦g. El dominio deg◦f es la parte del dominio de f, para los cualesgacepta a f(x)como pre-imagen. Esto es,D(f) =ℜ
Ahora, comog, solo acepta reales positivos de f(x), esto es, valores dexpara los cuales:
f(x) ≥0 ⇔ x−3
2 ≥0 ⇔ x≥3
Se concluye entonces que:D(g◦f) = [3,∞)
Nótese que(g◦f) (1) = g[f(1)] = g(−1)NO ESTA DEFINIDO. Igualmente,(g◦f) (2) = g[f(2)] = g −1/2
NO ESTA DEFINIDO.
También, el dominio f◦g es la parte del dominio de g para los cuales f acepta a g(x) como pre-imagen. Es decir,D(g) = [0,∞). Es decirD(g) = [0,∞)
Ahora, como f acepta cualquier valor real de g(x), entonces f acepta en particular, los val-ores degen el intervaloD(g) = [0,∞).De esta forma:D(f◦g) = [0,∞).
Ejemplo 2.14
En el cálculo, a menudo se necesita escribir una función dada como la composición de dos funciones. Esto puede hacerse de varias maneras.
la función: p(x) = √3x2+5x+2 puede escribirse de diferentes formas usando el concepto de
composición de funciones, estas son unas alternativas:
1. P(x) = (g◦f) (x) siendof(x) = 3x2+5x+2 y g(x) = √x En efecto,(g◦f) (x) = g[f(x)] = g 3x2+5x+2
= √3x2+5x+2
2. P(x) = (g◦f) (x) siendof(x) = 3x2+5x y g(x) = √x+2
En efecto(g◦f) (x) = g[f(x)] = g 3x2+5x = √3x2+5x+2 en el segundo caso.
Ejemplo 2.15
2.12
Función Inversa
Dada una funciónf(x), su inversa es otra función, designada porf−1(x)de forma que se verifica: Sif(a) =b entonces f−1(b) =a; para que exista la inversa de una función esta debe cumplir con la condición de ser una función inyectiva.
Una función f es inyectiva (uno a uno) si se cumple que:
f(x1) =f(x2)⇒x1=x2. ∀x1,x2∈Dom f(x)
o equivalentemente
x16=x2⇒f(x1)6= f(x2). ∀x1,x2∈Dom f(x).
Definición 2.6 Función Inyectiva
En otras palabras, una funciónf es 1-1, si para cadaxen el dominiof, existe exactamente unayen el rango, y, ningunayen el rango es imagen de más de unaxen el dominio.
Existe también un criterio sencillo para determinar si la gráfica de una ecuación corresponde a una fun-ción 1-1. Este criterio se conoce como criterio de la recta horizontal.
Si toda recta horizontal que sea trazada corta a la gráfica de una función f en uno o en ningún punto, entonces f es una función 1-1
Definición 2.7Criterio de la recta horizontal
Así por ejemplo, en la fig, aparece la gráfica de la funcióny = f(x) = x2+1y al trazar una recta horizontal por ejemplo la rectay=2corta a la gráfica en más de un punto, por lo que, de acuerdo al criterio de la recta horizontal f(x)no corresponde a una función 1-1.
Así por ejemplo, en la fig, aparece la gráfica de la funcióny = f(x) = x3+1la cual, de acuerdo al criterio
de la recta horizontal si corresponde a una función 1-1, por lo tanto posee inversa. Nótese que toda recta horizontal, corta a la gráfica en uno y solo un punto.
2.12.1
Propiedades de la función inversa
1. Toda función y su inversa son simétricas a la función identidad f(x) =x.
2. La compuesta de una función y su inversa da como resultado la función identidad f◦f−1(x) = f−1◦f(x) = x
3. El dominio de la función inversa es igual al rango de la función directa, y el rango de la función inversa es igual dominio de la función directa
Dom f−1(x) = Rango f(x)
Rango f−1(x) = Dom f(x)
4. Siempre se cumple que: f−1(x) 6= f(1x)
Pasos para hallar la inversa de una función:
1. En la funcióny= f(x)se intercambian la variable xpor la variable yy de manera viceversa en la expresión inicial:y=f(x)de tal manera que función se transforma enx=f(y)
2. En la nueva expresiónx= f(y) se despeja lay, para así obtener y= f−1(x), esta corresponde a la
función inversa de f.
Hallar la inversa dey=2x.
1)Cambiamos laxpor layy de forma viceversa nos queda entoncesx=2y 2)Despejamos lay, nos queda entoncesy=2x
Por tanto la función inversa dey=2xesy=x2;
es decir f−1(x) = x2 Ejemplo 2.16
2.13
Aplicaciones de las funciones
Las principales aplicaciones de las funciones se encuentran en el modelamiento; modelar una situación matemáticamente significa representarla en términos matemáticos. La representación particular que se usa se llama un modelo matemático de la situación.
2.13.1
Modelos Lineales de Costo, Ingreso y Utilidad
1. Unafunción costoespecifica el costoCcomo una función de la cantidad de artículosx. En consecuen-cia, es el costo dexartículos y tiene la forma:
Costo=Costo variable+Costo Fijo
en la que el costo variable es una función dexy el costo fijo es constante. Una función costo de la formaC(x) =mx+bse llama unafunción costo lineal; el costo variable esmxy el costo fijo esb. La pendientem, es elcosto marginal, mide el costo incremental por artículo.
2. UnaFunción Ingresoespecifíca el ingresoI(x)que resulta de la venta dexartículo. Elingresoque resulta es:
I=px (Precio por número de unidades)
3. Unafunción utilidadespecifica la utilidad (ingreso neto)U(x)que resulta de la venta dexartículos. Las funciones costo, ingreso y utilidad se relacionan con la fórmula
U(x) =I(x)−C(x)
Elequilibrioocurre cuandoU(x) =0es decir, cuandoI(x) =C(x)
Si el costo fijo es $400 y el costo marginal es $40 por artículo , y si se vende los artículos a $60 cada uno,entonces cuántos artículos debe vender para alcanzar el punto de equilibrio.
Solución:
C(x) =40x+400 I(x) =60x
U(x) =R(x)−C(x), para el equilibrio,U(x) =0
60x−(40x+400) =0
20x−400=0
Entoncesx=20. Por lo tanto, tiene que vender 20 artículos para alcanzar el equilibrio. Ejemplo 2.17
2.13.2
Modelos Demanda y Oferta
UnaFunción de Demandaexpresa la demandaq(el número de artículos solicitados)como una función del precio unidadp(el precio por artículo).
Una Función de Ofertaexpresa la oferta q (el número de artículos que un proveedor está dispuesto a llevar al mercado) como una función del precio unidadp(el precio por artículo). Es normalmente el caso que la demanda disminuye y la oferta sube a medida que el precio sube.
unaFunción Lineal de Demandatiene la formaq=mp+b, dondeqes la demanda (números de artículos vendidos) y pes el precio del artículo. Se puede concluir una ecuación de demanda lineal a saber la de-manda a dos precios distintos.
La demanda y la oferta están en equilibriocuando son iguales. Los valores correspondientes de p y q se llamanprecio de equilibrio y demanda de equilibrio. Para hallar el precio de equilibrio, determine el precio unitario pdonde se cruzan las curvas de demanda y oferta; puede ser hallado de forma gráfica o analítica. Para hallar la demanda de equilibrio, evalúe la demanda o oferta cone el precio en equilibrio.
Si se vende 100 camisetas por semana cuando el precio es $10, y 200 camisetas cuando se baja el precio hasta $8, entonces la ecuación (lineal) demanda es:
Solución:
q=−50p+600Ecuación de la recta que pasa por(10,100)y(8,200)
Entonces, la función de ingreso relacionada esR=qp=p(−50p+600)
R=−50p2+600p Ejemplo 2.18
A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 metros de radio y 16 metros de altura entra agua a una razón determinada. Expresar el volumen de agua en un instante dado:
a.En función de la altura h.
b.En función del radio de la base x. Solución:
En la figura aparece el cono con las dimensiones dadas y una porción del volumen en el instante determinado.
El volumen del agua en el instante determinado viene dado por:
V = 1 3πr
2h
Vc=
1
3(area base)(altura)
(1)
Como los triángulos ODE y OBC son semejantes, se tiene:
16 4 =
h
x ⇒ h=4x (2)
a. Si se quiere expresar el volumen en función de la alturah, se debe despejarxen (2) y susti-tuirlo en (1). Así,
x = h
4 ⇒V = 1 3π
h
4
2
h
Luego,
V = 1 48πh
3
b. Para expresar el volumen en función del radiox, se sustituye (2) en (1). Así:
V = 1 3πx
2(4x) = 4
3πx
3
Ejemplo 2.19
Se dispone de una cartulina cuadrada de ladoay se quiere hacer una caja sin tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados (Ver figura). Exprese el volumen de la caja en función del lado del cuadrado recortado.
V(x) = (a−2x)2.x
V(x) =4x3−4ax2 +a2x 0≤x≤a
2 Ejemplo 2.20
Una piscina rectangular de 20 mts. de largo por 10 mts de ancho, tiene 4 mts de profundidad en un extremo y 1 mt en el otro. La figura adjunta ilustra una vista transversal de la piscina. El agua para llenar la piscina es bombeada por el extremo profundo.
a. Determine una función que exprese el volumen V de agua en la piscina como función de su profundidadxen el extremo profundo.
b.Calcular V (1) y V (2)
Solución
a. Sea L la longitud de la medida del nivel del agua desde el extremo profundo hasta el menos profundo. Note queLyxson los lados de un triángulo rectángulo semejante al triángulo cuyos lados son 20 y 3 mts. De esta forma, se puede establecer la siguiente proporción:
L x =
20
3 ⇒ L = 20
3 x, con0≤x≤3
Ahora, el volumen V en un instante determinado viene dado por: V = (Área de la sección transversal). (Ancho)
V = L.x 2 .10 =
20 3x.x
2 .10 = 100
3 x
2
V(x) = 100 3 x
2
b.
V(1) = 100
3 (1)
2 = 100
3 ≈ 33.3 m
3
V(2) = 100
3 (2)
2 = 400
3 ≈ 133.3 m
3
Ejemplo 2.21
3
Límites y Continuidad de
Funciones
Pretendemos esclarecer la idea de límite de una función. Haremos hincapié en el concepto, pues el cálculo matemático requiere el conocimiento de diversas herramientas que no entraremos a contar en detalle, uti-lizando algún programa de cálculo para ello. Para entender el concepto de límite veámoslo con un ejemplo. Consideremos la función:
f(x) = √x−1
x−1
cuyo conjunto de definición (dominio) es el conjunto de los números reales no negativos exceptox=1, es decir:
D = {x∈ℜ|x≥0,x6=1}
Si realizamos su representación gráfica:
Parax=1, el dibujo hace un pequeño salto, que no se aprecia en la figura pero que sería tal y como puede verse a continuación:
Como veremos en el apartado siguiente ello implicará unadiscontinuidadde la función enx=1. Ahora nos preguntamos: cuando el valor dexes muy cercano a 1, ¿cuánto vale la función?.
Es claro que enx=1 la función no está definida; por lo tanto, tendremos que dar un método que sea capaz de responder a la cuestión anterior, la cual podemos plantearla en los términos siguientes: Sixtiende a 1 ¿a cuánto tiende la función?
A esto es lo que llamaremos límite de la funciónF(x)cuandoxtiende a 1 y lo denotaremos como:
lim
x→1f(x) =L
3.1
Definición Informal de Límite
Sea f(x)una función, si las imágenes se aproximan suficientemente a un valorL, cuando los valores dex se aproximan suficientemente a un valorb, decimos que el límite de f(x)cuandoxtiende abes igual aLy escribimos:
lim
x→b f(x) = L
SiendoLel valor de dicho límite, el cual queremos calcular; para ello, observemos que a la hora de aprox-imarnos a lo largo del eje de abscisas al puntox=1lo podemos hacer por la derecha y por la izquierda, es decir, podemos considerar (siempre para puntos cercanos a 1). A estos límites los llamaremoslímites laterales.
3.2
Límites Unilaterales
1. lim
x→b+f(x), se llama límite lateral por la derecha.
2. lim
x→b−f(x), se llama límite lateral por la izquierda
Definición 3.1
Para queel límite existadebe cumplir que el límite por la izquierda y por la derecha sean iguales, de lo contrario diremos que el límite no existe en dicho punto, es decir:
lim
x→b f(x) =L, si y solamente si:x→limb+f(x) =x→limb− f(x)
Teorema 3.1
Sea f(x) =
4−x si x<1
4x−x2 si x≥1 Hallarlimx→1f(x)
Solución:
lim
x→1=f(x) =xlim→1=(4−x) =4−1=3(Acercamiento por la izquierda)
lim
x→1+f(x) =xlim→1+(4x−x
2) =4−1=3(Acercamiento por la derecha).
Entonces:
lim
x→1f(x) =3
Ejemplo 3.1
Determinar, si existe, el límite de la siguiente función en los puntosx=2yx=0:
f(x) = √x−1
x−1
Solución: Calculemos:lim
x→2f(x)
Si determinamos el valor de la función en dicho punto tenemos:
f(2) = 1
−1+√2
y podemos observar en la gráfica de la función como existen los límites laterales:
lim
x→2−
f(x) = lim
x→2+f(x) =
1
−1+√2
con lo cual tenemos que:
lim
x→2f(x) =
1
−1+√2
Para el segundo punto, calculemos: lim
x→0f(x)
En este caso, los límites laterales no coinciden, ya que no existe el límite lateral por la izquierda de la función (no podemos evaluar f en puntos a la izquierda de cero).
El límite lateral por la derecha si existe y vale: lim
x→0+f(x) = 1, por lo tanto el límite pedido
no existe. Ejemplo 3.2
En general, para que una función posea en un punto un límite, dicho punto ha de ser tal que puntos a su izquierda y a su derecha han de pertenecer al dominio de la función. Además, la función no tiene por qué existir en dicho punto.
Definir una función que NO posea límite en un punto interior a su dominio de definición. Con-sideremos, por ejemplo, la función: f(x) =
x2 si x≤0 logx si x>0
Representémosla gráficamente:
En este ejemplo el dominio es todos los números realesℜ. Si tomamosx=0, que es punto interior,
en él, existe la función y vale f(0) =0No obstante, no existe el límite cuando xtiende a cero, ya que los límites laterales no coinciden (por la izquierda toma el valor cero y por la derecha el valor−∞, como observamos en la gráfica). Obsérvese que a la hora de calcular los límites laterales
utilizamosx2cuando determinamos el límite por la izquierda ylog(x)cuando calculamos el límite por la derecha.
Ejemplo 3.3
Nota:Sabemos que "el infinito"no es un número, sino un símbolo que expresa un número muy grande, de tal manera que cualquier otro número real verifica ser menor que él.
Cuando se define el límite como un número real, si en el cálculo de dicho límite no se obtiene un número real (el infinito no lo es) resultará que el límiteno existe.
En los dos ejemplos siguientes puede observar dos casos en los que el límite no existe pero que son casos distintos, ya que en el primero los límites laterales coinciden y valen infinito, mientras que en el segundo los laterales no coinciden.
lim
x→0
1
x2= x→lim0−
1
x2 = x→lim0+
1 x2 = ∞
lim
x→0−
1
x = −∞ x→lim0+
1 x = ∞
Nota:Viendo la representación gráfica de las funciones se entiende los resultados obtenidos:
f(x) =1/x2 f(x) =1/x
3.3
Definición Formal de Límite
Se dice que la función f(x)tiene como límite el número L, cuandoxtiende ac, si fijado un número real positivoε, mayor que cero, existe un numero positivoδdependiente deε, tal que, para todos los valores de
xdistintos decque cumplen la condición|x−c|<δ, se cumple que|f(x)−L|<ε.
lim
x→a f(x) = L ⇔ ∀ε>0 ∃δ>0 0<|x−c|<δ ⇒ |f(x)−L|<ε
Utilicemos la definición para demostrar quelim
x→2(4x−5) =3
Como la función está definida en todo intervalo abierto que contiene a 2, entonces pode-mos utilizar la definición para hacer la depode-mostración. Se debe depode-mostrar que para cualquierε>0
existe unaδ>0tal que:
Si0<|x−2|<δentonces|(4x−5)−3|<ε (A)
Si0<|x−2|<δentonces|4x−8|<ε
Si0<|x−2|<δentonces4|x−2|<ε
Si0<|x−2|<δentonces|x−2|<ε4
Entonces, si tomamosδ= 4εse cumple la proposición (A).
Esto demuestra quelim
x→2(4x−5) =3
Ejemplo 3.4
Demuestre quelim
x→3(x
2+x−5) =7utilizando la definición de límite.
Para hacer la demostración basta con encontrar unδtal que:
0<|x−3|<δ ⇒ (x2+x−5)−7 <ε
|x2+x−5−7|=|x2+x−12|=|x+4||x−3|<ε (1)
Ya que por definición, ellim
x→b f(x) =Lexiste siempre que
0<|x−c|<δ⇒ |f(x)−L|<ε
Para efectos de simplificación, asumimos un valor deδ=1y obtenemos:
|x−3|<1 ⇒ 2<x<4 ⇒ 2+4<x+4<4+4 ⇒ |x+4|<8
Sustituyendo en (1) se obtiene que 8δ<εy que δ<ε
8; ya que|x−3|<δpor definición. Ejemplo 3.5
3.4
Propiedades de los Límites
Sean b, c, n, A y B números reales, sean f y g funciones tales que:lim
x→cf(x) =A , xlim→cg(x) =BEntonces:
1. lim
x→cb=b
2. lim
x→c x=c
3. lim
x→c b.f(x) =b.xlim→c f(x) =bA
4. lim
x→c [f(x) +g(x)] =xlim→c f(x) +xlim→c g(x) =A+B
5. lim
x→c [f(x).g(x)] =xlim→c f(x).xlim→c g(x) =A.B
6. lim
x→c f(x)
g(x) =
lim
x→c f(x)
lim
x→c g(x)
=AB,B6=0
7. lim
x→c
p
f(x) =qlim
x→cf(x)
8. lim
x→0
x k=0
9. lim
x→0
k
x=no existe(±∞)
10. . lim
x→ ±∞
k
xn =0, n6=0 11. lim
x→ ±∞
x
k=no existe(±∞)
3.4.1
Cálculo de Límites
1. Límites de funciones polinómicas
Sea f(x) =3x3−2x2+x−2La gráfica de una función polinómica (o polinomio) tiene un trazo continuo, por lo cual podemos afirmar: Sea f un polinomio, entonces para cualquier número realcse tiene quelim
x→cf(x) = f(c), es decir, que el límite en cualquier puntocde su dominio se halla simplemente
calculando su imagen.
Para la función anterior lim
x→−1f(x) =3(−1)
3−2(−1)2+ (−1)−2=−3−2−1−2=−8=
f(−1) Ejemplo 3.6
2. Si al evaluar el límite en forma directa (sustituir el valor del punto en la función), se obtiene una expresión de la forma k
0, k6=0 convendrá calcular los límites laterales; si son iguales la función
tiene límite, en caso contrario el límite no existe. Cuando se presenten funciones con valor absoluto o funciones a trozos también es conveniente calcular los límites laterales.
3. Si al evaluar el límite en forma directa (sustituir el valor del punto en la función), se obtiene una expresión de la forma
0
0,∞−∞,0.∞,0
0, ∞0,1∞
(indeterminación) entonces debemos realizar procedimientos algebraicos para suprimir la indeter-minación.
Nota:Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la apli-cación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciado no son válidas. En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones.
3.5
Resumen del cálculo de límites indeterminados
3.5.1
Indeterminación
0
0
Cuando solo aparecen funciones racionales (polinomios en el numerador y denominador), basta con de-scomponer factorialmente el numerador y el denominador.
