Apuntes Cálculo Diferencial

138 

APUNTES DE CÁLCULO DIFERENCIAL.. Prof. Jaime A Pinto. Departamento De Ciencias Básicas,. Unidades Tecnológicas de Santander.. uts Departamento de Ciencias Básicas 2013. Contenido. Introducción ................................................................................................................................................................. 1. 1 Capítulo 1 "Desigualdades" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. 1.1 Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. 1.1.1 Propiedades de las Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. 1.2 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. 1.2.1 Clases de Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. 1.3 Inecuaciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. 1.4 Clasificación de las Inecuaciones de una Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. 1.4.1 Solución de Inecuaciones de 1er Grado con una Incógnita: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. 1.4.2 inecuaciones simultáneas de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. 1.4.3 cuadráticas o de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. 1.4.4 Inecuaciones de Grado Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. 1.4.5 Inecuaciones Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. 1.4.6 Inecuaciones de Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. 1.4.7 Problemas que se resuelven por medio de inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. 2 Capítulo 2 "Funciones" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. 2.1 Definición de Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. 2.2 Representación Gráfica de una Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. 2.2.1 Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. 2.2.2 Criterio de la Recta Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. 2.3 Elementos de una Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24. 2.3.1 Dominio de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24. 2.3.2 Recorrido o rango de algunas funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28. 2.4 Intersección con los ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28. 2.5 Simetrías de una Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29. 2.6 Funciones par e impar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30. 2.7 Álgebra de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30. 2.8 Funciones a trozos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. CONTENIDO 3. 2.9 Movimientos en el Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33. 2.9.1 Translación Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33. 2.9.2 Translación Horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. 2.10 Gráfica de Funciones Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35. 2.11 Composición de Funciones o Función compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40. 2.12 Función Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42. 2.12.1 Propiedades de la función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43. 2.13 Aplicaciones de las funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44. 2.13.1 Modelos Lineales de Costo, Ingreso y Utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44. 2.13.2 Modelos Demanda y Oferta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45. 3 Límites y Continuidad de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50. 3.1 Definición Informal de Límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51. 3.2 Límites Unilaterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51. 3.3 Definición Formal de Límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55. 3.4 Propiedades de los Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56. 3.4.1 Cálculo de Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57. 3.5 Resumen del cálculo de límites indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57. 3.5.1 Indeterminación 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57. 3.5.2 Indeterminación ±∞ ±∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59. 3.5.3 indeterminación ∞−∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.5.4 indeterminación 0.∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62. 3.5.5 indeterminación ∞0 , 00 , 1 ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63. 3.6 Límites Trigonométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64. 3.7 Límites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65. 3.8 Límites al Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66. 3.8.1 Asintotas Oblicuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68. 3.9 Teorema del Emparedado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70. 3.10 Continuidad de una Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71. 3.11 Clases de Discontinuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72. 3.11.1 Discontinuidad Evitable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72. 3.11.2 Discontinuidad no evitable o esencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73. 3.11.3 Resumen de las Definiciones de Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75. 4 Derivadas y sus aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.0.4 Diferentes formas de representar la derivada de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80. 4.0.5 La Derivada como Razón de Cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81. 4.1 Propiedades o reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. CONTENIDO 1. 4.2 Análisis marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85. 4.2.1 Costo marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85. 4.2.2 Ingreso Marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86. 4.2.3 Utilidad marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86. 4.2.4 Consumo y Ahorro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87. 4.2.5 Elasticidad de la Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88. 4.3 Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93. 4.3.1 Regla de la cadena para potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94. 4.4 Derivada de funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94. 4.4.1 Derivada de la función seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94. 4.4.2 Derivada de la función coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95. 4.4.3 Derivada de tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95. 4.4.4 Derivadas de otras funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95. 4.4.5 Derivadas de funciones trigonométricas compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95. 4.5 Derivación Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96. 4.6 Derivada de una Función elevada a otra Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97. 4.7 Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97. 4.8 Teorema del Valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98. 4.9 Razones de cambio relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100. 4.10 Aplicaciones de la Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103. 4.10.1 El problema de recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103. 4.11 Representación gráfica de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104. 4.11.1 La primera derivada y la gráfica de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104. 4.11.2 Extremos locales de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106. 4.11.3 Pasos a seguir para determinar los extremos absolutos de una función en un intervalo cerrado . . . . . . . . . . . . 117. 4.11.4 Relación de los extremos absolutos con los extremos relativos de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118. 4.11.5 Concavidad de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119. 4.11.6 Punto de inflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121. 4.11.7 Representación Gráfica de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122. 4.11.8 Tabla de resumen "Definiciones" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123. 4.12 Aplicación de la derivada al cálculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123. 4.12.1 Existen otras formas indeterminadas, 0.∞ e ∞−∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126. 4.13 Aplicación de la Derivada a Problemas de Optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127. Bibliografía .................................................................................................................................................................... 134. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. Introducción. El Cálculo Diferencial se consolidó como disciplina matemática principalmente en los siglos XVI y XVII cuando Kepler (1571-1630), Galileo (1564-1642), Newton (1642-1727) y Leibniz (1646-1716) entre otros, inten- taron describir la velocidad instantánea de un cuerpo en movimiento, aunque ya en la antigüedad griega Arquímedes había planteado la versión geométrica de ese problema de mecánica que es el problema de la recta tangente a una curva en un punto. Mediante el uso de razones de cambio fue posible calcular ve- locidades y aceleraciones y definir la recta tangente a una curva pero también resolver problemas de tipo práctico como por ejemplo, determinar cuando dos planetas estarían mas cercanos o mas lejanos entre sí. Con el paso del tiempo las aplicaciones del Cálculo Diferencial se han ampliado a la cotidianidad, a las cien- cias socieconómicas e ingeniería, entre otros.. 1 Capítulo 1"Desigualdades" 1.1 Desigualdades. En estudios anteriores habremos visto las igualdades; tema relacionado con la solución de ecuaciones lin- eales, cuadráticas entre otras. La palabra desigualdad sirve para decir que una cantidad es mayor o menor que otra, para ello utilizamos los símbolos: Mayor que > menor que < Mayor o igual que ≥ menor o igual que ≤.. Una desigualdad numérica es una comparación entre dos números a y b, utilizando los símbolos de de- sigualdad:. a es mayor que b → a > b a es menor que b → a < b a es mayor o igual que b → a ≥ b a es menor o igual que b → a ≤ b.. 1.1.1 Propiedades de las Desigualdades. Si a, b y c son tres números reales, se cumple que:. 1. (Propiedad transitiva). Si a > b y b > c, entonces a > c. Si a < b y b < c, entonces a < c.. 2. Si a > b, entonces a±c > b±c. Si a < b, entonces a±c < b±c.. 3. Si a > b y c > 0, entonces ac > bc. Si a > b y c < 0, entonces ac < bc.. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 3. 4. Si a > b y c > 0, entonces a c >. b c. .. Si a > b y c < 0, entonces a c <. b c. .. 5. (Propiedad aditiva) Si a > b y c > d, entonces a + c > b + d. 6. Si a > b y c > d, entonces ac > bd. 7. Si a > b y a > 0 y b > 0, entonces an > bn. 8. Si a > b, entonces 1a < 1 b. 9. a.b > 0 =.  . a > 0 ∧ b > 0 ∨. a < 0 ∧ b < 0 a.b < 0 =.  . a > 0 ∧ b < 0 ∨. a < 0 ∧ b > 0. 10. Al intercambiar los miembros de una desigualdad, se modifica el sentido de la misma. Por ejemplo 3 < 6 ⇐⇒ 6 > 3. 1. Desigualdades absolutas o incondicionales: Son semejantes a las identidades, además son satisfechas por todos los números Reales,su validez se establece por medio de una demostración analítica (utilizando propiedades de las desigualdades).. Por ejemplo: la siguiente desigualdad se cumple para cualquier valor de a y b. 2ab a + b. < √. ab. 2. Desigualdades condicionales: Son llamadas Inecuaciones, sólo son satisfechas por algunos números Reales, en algunos casos no los satisface ningún número real; son desigualdades que poseen variables.. Por ejemplo: 2x + 6 < 0. Definición 1.1. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 4 Capítulo 1. "Desigualdades". 1.2 Intervalos. Los intervalos son subconjuntos de los números reales, determinados por las desigualdades, que se rep- resentan geométricamente mediante segmentos de recta o semirrectas. Por lo tanto, las operaciones entre conjuntos también se aplican a los intervalos. Veremos a continuación las diferentes clases de intervalos que existen y luego algunos ejemplos.. 1.2.1 Clases de Intervalos. A continuación está tabla nos permitirá observar las propiedades de los intervalos. Sean los intervalos A = [−5,5], B(−∞,8] y C = (2,∞); hallar en las diferentes notaciones:. 1. A∪C 2. B∩C 3.(A∩C)∪B. Solución:. 1. A∪C = [−5,∞) Notación de intervalo → A∪C ={x/x ≥−5} Notación de conjunto. 2. B∩C = (2,8] Notación de intervalo → B∩C ={x/2 < x ≤ 8} Notación de conjunto. 3. (A∩C)∪B = (2,5]∪(−∞,8] = (−∞,8] Notación de intervalo → (A∩C)∪B ={x/x ≤ 8} Notación de conjunto. Ejemplo 1.1. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 5. 1.3 Inecuaciones de una variable. Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica (o demuestra) para determinados valores de las incógnitas. Las inecuaciones también se conocen como desigualdades condiciónales, como se mencionó anteriormente.. La desigualdad 2x−3 > x + 5 es una inecuación porque tiene la incógnita x y sólo se verifica para cualquier valor de x mayor que 8. Para x = 8 se convertiría en una igualdad y para x < 8 en una desigualdad de signo contrario.. Ejemplo 1.2. Para resolver una inecuación deben encontrarse los valores de las incógnitas que satisfagan la inecuación. La resolución de inecuaciones se fundamenta en las propiedades de las desigualdades anteriormente enun- ciadas y en las consecuencias que de las mismas se derivan. (La solución a una inecuación se da mediante un intervalo).. Solución de inecuaciones. Resolver una inecuación consiste en aplicar las propiedades de las desigualdades antes expuestas para hallar un conjunto de valores que hace posible la desigualdad. La solución de una inecuación recibe el nombre de conjunto solución. Y puede expresarse de tres formas diferentes: en notación de intervalo, en notación de conjunto y en forma gráfica. (Ver tabla de "clases de intervalos"). 1.4 Clasificación de las Inecuaciones de una Variable. Las inecuaciones se clasifican atendiendo al número de incógnitas y al grado de la expresión algebraica que aparece en ellas.. Inecuación tipo 2x−3 > x−5 1° grado; 1 incógnita. x−3 ≤ y 1° grado; 2 incógnitas x2 −5x ≥ 4 2° grado; 1 incógnitas xy−3 > 0 2° grado; 2 incógnitas. 1.4.1 Solución de Inecuaciones de 1er Grado con una Incógnita:. son las que responden a las siguientes formas básicas: ax + b < 0 ax + b > 0 ax + b ≤ 0 ax + b ≥ 0. En la mayoría de los casos conviene seguir el siguiente procedimiento:. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 6 Capítulo 1. "Desigualdades". Paso 1: Quitar los paréntesis, si los hay.. Paso 2: Quitar denominadores, si los hay. Para ello, se multiplica los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores.. Paso 3: Pasar los términos en x a un miembro (normalmente al primero) y los números al otro.. Paso 4: Reducir términos semejantes, con lo que se llega a una ecuación de forma básica.. Paso 5: Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.. Paso 6: Despejar la x (la incógnita).. Paso 7: Obtener la solución en forma de desigualdad, en forma de intervalo o grafica.. Resolver x−2. 3 −. 5(x−7) 4. > 7−x. 2 4(x−2)−3(5x−35). 12 >. 6(7−x) 12. 4x−8−15x + 105 > 42−6x ⇒−5x >−55. 5x < 55 ⇒ x < 11 Solución: x ∈ (−∞,11). Ejemplo 1.3. Resolver 2x−3 > x + 5. Pasando x al primer miembroy 3 al segundo miembro se tiene: 2x−x > 3 + 5 Reduciendo término: x > 8 Solución: S = (8,∞) ={x ∈ R|x > 8}. Ejemplo 1.4. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 7. Dada la siguiente inecuación 7− x 2 >. 5x 3 −6. Halle el conjunto solución y grafíquelo. Suprimiendo denominadores (m.c.m=6)se tiene: 42−3x > 10x−36. Trasponiendo términos: −3x−10x >−36−36. −13x >−78. Cambiando el signo a los dos miembros, lo cual hace cambiar el signo de la desigualdad original:. 13x < 78. Dividiendo por 13: x < 78 13. o sea laSolución: es x < 6. Ejemplo 1.5. Resolver (x + 3)(x−1) < (x−1)2 + 3x. Efectuando las operaciones algebraicas: x2 + 2x−3 < x2 −2x + 1 + 3x. Suprimiendo x2 en ambos miembros y transponiendo: 2x + 2x−3x < 1 + 3 x < 4. Solución: S=(−∞,4) ={x ∈ R|x < 4}. Ejemplo 1.6. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 8 Capítulo 1. "Desigualdades". Dada la siguiente inecuación x−2. 3 −. 2x2 −1 2. ≤ 1 4 −x2 Halle el conjunto solución y grafíquelo.. Se encuentra el m.c.m=12 y se multiplica por 12 ambos miembros de la inecuación para obtener:. 4(x−2)−6(2x2 −1)≤ 3−12x2. 4x−8−12x2 + 6 ≤ 3−12x2. Pasando todas las variables al lado izquierdo de la inecuación, se obtiene:. 4x + 6 ≤ 3 + 8. Despejando la variable x de la inecuación, se obtiene: Solución S=(−∞, 5 4 ]={x ∈ R|x ≤. 5 4 }. Ejemplo 1.7. 1.4.2 inecuaciones simultáneas de primer grado. Una inecuación simultánea es una inecuación con desigualdad doble; Si a < x < b entonces x > a x < b, es decir, el conjunto solución es la intersección de los dos conjuntos solución:. S ={x/x > a}∩{x/x < b}. Hallar el conjunto solución de 6 ≤ 4x−2 < 7. Separando en dos desigualdades: 4x−2 ≥ 6 ∧ 4x−2 < 7 4x ≥ 6 + 2 ∧ 4x < 7 + 2. x ≥ 8 4. ∧ x < 9 4. x ≥ 2 ∩ x < 9 4. Solución: x ∈ [2, 9 4 ). Ejemplo 1.8. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 9. 1.4.3 cuadráticas o de segundo grado. Las inecuaciones de 2º grado con una incógnita son las que se presentan según alguna de las siguientes formas básicas: ax2 + bx + c < 0 ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c ≥ 0 ax2 + bx + c ≤ 0 Procedimiento. Paso 1: Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de se- gundo grado factorizando el polinomio o usando la formula cuadrática.. Paso 2: Considerar los casos necesarios para que se cumpla la inecuación.. Paso 3: Realice la intersección o unión de los conjuntos solución de acuerdo al caso seleccionado.. Paso 4: dar la solución en forma de intervalos y graficarla.. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 10 Capítulo 1. "Desigualdades". Dada la siguiente inecuación x2 + 5x + 6 > 0. Halle el conjunto solución y grafíquelo.. Primer Paso: Factorizar el polinomio dado x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2), quedando una in- ecuación de la forma: (x + 3)(x + 2) > 0 Segundo paso: Los casos que se deben considerar son los siguientes:. Caso I: Cuando ambos binomios son positivos es decir: (x + 3) > 0 y (x + 2) > 0. Caso II: Cuando ambos binomios son negativos es decir: (x + 3) < 0 y (x + 2) < 0. Solución Caso I: Sea SA el conjunto solución de la inecuación (x + 3) < 0 y SB al conjunto solución de la inecuación (x + 2) > 0, la solución del Caso I viene dada por: SI =SA ∩SB Solución para SA x + 3 > 0 x >−3 SA = (−3,∞) ={x ∈ R|x >−3} Solución para SB x + 2 > 0 x >−2 SA = (−2,∞) ={x ∈ R|x >−2} Solución para SI es: SI =SA ∩SB = (−3,∞)∩(−2,∞) = (−2,∞) SI = (−2,∞) ={x ∈ R|x >−2}. Solución Caso II: Si llamamos SC al conjunto solución de la inecuación (x +3) < 0 y SD al conjunto solución de la inecuación (x + 2) < 0, la solución del Caso II viene dada por: SII =SC ∩SD Solución para SC (x + 3) < 0 SC = (−∞,−3) ={x ∈ R|x <−3} Solución para SD (x + 2) < 0 SD = (−in f ty,−2) ={x ∈ R|x <−2} Entonces la solución para es: SII = SC ∩SD = (−∞,−3)∩(−∞,−2) = (−∞,−3) SII = (−∞,−3) ={x ∈ R|x <−3}. Solución general: La solución general será la unión de SI y SII , es decir: SG = SI ∪ SII = (−∞,−3)∪(−2,∞). Ejemplo 1.9. El método que acaba de estudiarse, para resolver inecuaciones cuadráticas se llama método analítico. Existe un método alternativo, el método gráfico, que también se conoce como el método del Cementerio o método de las cruces. El procedimiento para resolver inecuaciones cuadráticas utilizando este método consiste igualmente en Factorizar el polinomio cuadrático, encontrar las raíces reales y ubicarlas sobre la recta real, dando origen de esta manera a intervalos en la recta. Luego, para cada intervalo, se va evaluando cada binomio para determinar el signo de éste, es decir, se le asignará a la variable, un valor arbitrario que pertenezca a cada intervalo para conseguir el signo de cada binomio. Por último, se seleccionan los intervalos para los cuales se cumple la desigualdad.. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 11. Dada la siguiente inecuación x2 + 5x + 6 > 0, halle el conjunto solución y grafique.. Se factoriza el polinomio x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2). quedando la inecuación de la forma: (x + 3)(x + 2) > 0. Las raíces que anulan (x + 3)(x + 2) son x =−3 y x =−2. (valores de separación). Se ubican sobre la recta real (ver cuadro 1).. Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos.. (−∞,−3) (−3,−2) (−2,∞) x + 3 − + + x + 2 − − +. (x + 3)(x + 2) + − +. Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el producto de los dos binomios es positivo por ser la inecuación > 0, por lo tanto la solución viene dada por: Solución: SG = SI ∪SII = (−∞,−3)∪(−2,∞). Ejemplo 1.10. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 12 Capítulo 1. "Desigualdades". Dada la siguiente inecuación (x−1)2. 2 −. (x−1)2. 3 <. 8 3. , halle el conjunto solución y grafique.. Se desarrollan los productos notables, se multiplican por 6 ambos miembros de la inecuación y se reducen términos semejantes, obteniendo: x2 −2x−15 < 0. Factorizando el polinomio resultante, se tiene x2 − 2x − 15 = (x − 5)(x + 3), resultando una inecuación de la forma: (x−5)(x + 3) < 0. Las raíces de (x − 5)(x + 3) son x = 5 y x = −3 (valores de separación) las cuales se ubican sobre la recta real. Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo y se determinan los signos de la desigualdad.. (−∞,−3) (−3,5) (5,∞) x + 3 − − + x−5 − + +. (x + 3)(x−5) + − +. Solución: SG = (−3,5) ={x ∈ R|−3 < x < 5} Graficamente:. Ejemplo 1.11. Casos especial 1. Si al resolver la inecuación se obtiene una expresión de la forma: (ax + b)2 ≤ 0 → la solución es x =−b/a (ax + b)2 < 0 → No tiene solución (ax + b)2 ≥ 0 → La solución son los R (ax + b)2 > 0 → La solución son los R−{−b/a}. Resolver: x2 + 2x + 1 ≥ 0. Primero deseo hallar los puntos de separación por lo tanto x2 + 2x + 1 = 0. Por lo tanto usando la fórmula cuadrática x = −b±. √ b2 −4ac. 2a = −2±. √ 22 −4. 2 = −2±0. 2 =−1. (x−1)2 ≤ 0 Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es R. Ejemplo 1.12. Casos especial 2. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 13. Cuando no tiene raíces reales (discriminante menor que cero), le damos al polinomio cualquier valor si: El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es R El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución (vacío).. 1.4.4 Inecuaciones de Grado Superior. Tenga en cuenta el siguiente procedimiento para encontrar la solución de este tipo de inecuaciones Paso 1 Se descomponen en factores de primer o segundo grado. Paso 2 Se obtienen los ceros de cada factor representándolos en rectas distintas. Paso 3 Se estudia el signo de cada uno de los intervalos formados. Paso 4 En una nueva recta se llevan todos los ceros, aplicando la regla de los signos. Paso 5 Se ve cuales de los intervalos son solución de la inecuación.. Resolver la inecuación: x3 −4x < 0. Resolverla es buscar los valores de la x que hacen que el miembro de la izquierda sea neg- ativo por el sentido de la desigualdad. El procedimiento más sencillo consiste en factorizar el polinomio (en este caso podemos sacar factor común x). x(x2 −4) < 0, o lo que es lo mismo x(x−2)(x + 2) < 0. Tenemos tres valores de x (el 0, 2, -2) que hacen que ese producto valga cero, los restantes valores de la x harán que ese producto sea distinto de 0, bien positivo o negativo. El estudio es el mismo que antes, dibujamos y señalamos sobre la recta real los valores que hacen cero el producto y vamos tomando valores de x y se sustituye en la ecuación inicial para ver el signo de la operación. Observa la gráfica:. (−∞,−2) (−2,0) (0,2) (2,∞) x + 2 − + + +. x − − + + x−2 − − − +. x(x−2)(x + 2) − + − +. Solución=(−∞,−2)∪(0,2). Ejemplo 1.13. 1.4.5 Inecuaciones Racionales. Son inecuaciones racionales, aquellas en las que tanto el numerador como el denominador son inecuaciones polinómicas. Expresión general: son del tipo ax+bcx+d ≤ 0, o todas sus equivalentes. ax+b cx+d ≥ 0, o. ax+b cx+d < 0, etc y de. grados mayores que uno.. Se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero. Estos tipos de problemas pueden ser resueltos usando el método analítico o el método gráfico.. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 14 Capítulo 1. "Desigualdades". Procedimiento a tener en cuenta: Paso 1 Hallamos las raíces del numerador y del denominador. Paso 2 Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas. Paso 3 Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo. Paso 4 La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica.. Dada la siguiente inecuación: x2 + 3x−10 x2 + x−2. < 0 halle el conjunto solución y grafique.. Factorizando los polinomios dados x2 + 3x−10 = (x + 5)(x−2) y x2 + x−2 = (x + 2)(x−1). Resultando una inecuación de la forma (x + 5)(x−2) (x + 2)(x−1). < 0. Las raíces que anulan el numerador son y , y las que anulan el denominador son y , las cuales se ubican sobre la recta real. Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos de la desigualdad.. (−∞,−5) (−5,−2) (−2,1) (1,2) (2,∞) x + 5 − + + + + x + 2 − − + + + x−1 − − − − + x−2 + − + − +. x2 + 3x−10 x2 + x−2. < 0 − + − + +. Se observa en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el cociente es negativo, debido a que la inecuación original es < 0 (es negativa) por lo tanto la solución viene dada por: Solución:SG = (−5,−2)∪(1,2). Ejemplo 1.14. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 15. Resolver: x + 1 x−1. < 1. x + 1 x−1. −1 < 0 → x + 1 + x−1. x−1 < 0. 2 x−1. < 0, y todo se reduce a averiguar cuál es el signo del denominador, cuándo éste es. negativo y lo es en (−∞,1).. Solución: (−∞,1). Ejemplo 1.15. 1.4.6 Inecuaciones de Valor Absoluto. El valor absoluto nos permite considerar una magnitud numérica sin tener en cuenta el signo.. |a|= {. a para a ≤ 0 −a para a < 0. ∀ a ∈ R. significa que el valor absoluto de un número nunca es negativo.. Definición 1.2. Ejemplo:. |−5|= |5|= 5. 1. Propiedades con Valor Absoluto La solución de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto re- quieren del conocimiento y dominio de algunas propiedades fundamentales que guíen los procesos. A continuación se dan las propiedades que serán usadas en el tema en cuestión. Sean a,b ∈ R. 1 |a|≥ 0. 2 √. a2 = |a|. 3 |a|= |−a|. 4 |a| 2 = a2. 5 |a·b| = |a|·|b|. 6 ∣∣ a. b. ∣∣ = |a||b|, si b 6= 0 7 |a + b| ≤ |a|+|b| Desigualdad triangular. 8 |a|= b ⇒ b ≥ 0 ∧ {a = b ∨ a =−b} uts. Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 16 Capítulo 1. "Desigualdades". Desigualdades con valor absoluto Sea x,y,a ∈ R. Se tiene entonces:. 1 |x|≤ a sii a ≥ 0 ∧ x ≤ a ∧ x ≥−a ó−a ≤ x ≤ a. 2 |x|≥ a sii x ≥ a ∨ x ≤−a. 3 |x|≥ |y| sii x2 ≥ y2. Definición 1.3. Inecuaciones de primer grado con valor absoluto. Son aquellas en las que parte de la inecuación, o toda ella, viene afectada por el valor ab- soluto de la misma. Para resolver estas inecuaciones es suficiente con desarrollar el valor absoluto de acuerdo a los teoremas antes mencionados, para luego aplicar los conocidos métodos de resolución de inecuaciones. Las inecuaciones de primer grado con valor absoluto pueden presentar las siguientes formas: Sean x,a,b,c ∈ R.. 1 |ax + b|≤ c ⇒.  . ax + b ≤ c ∧. ax + b ≥ c ∨ −c ≤ ax + b ≤ c. 2 |ax + b|≥ c ⇒.  . ax + b ≥ c ∨. ax + b ≤−c ∨ ax + b ≤ c ∨ ax + b ≥−c. Definición 1.4. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 17. Encuentre el conjunto de soluciones que satisface |5x + 10|≤ 15 y grafique.. Aplicando la propiedad de las desigualdades con valor absoluto, obtenemos: −15 ≤ 5x + 10 ≤ 15. −15−10 ≤ 5x ≤ 15−10. −25 5 ≤. 5x 5 ≤. 5 5. −5 ≤ x ≤ 1. Solución: S = [−5,1] ={x ∈ R|−5 ≤ x ≤ 1}. Graficamente:. Ejemplo 1.16. Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: | x 3 + 2|< 1 y grafique.. Aplicando la propiedad de las desigualdades con valor absoluto, obtenemos: −1 < x 3 + 2 < 1. −3 < x 3 <−1. −3∗3 < x 3 <−1∗3. −9 < x <−3. Solución: S = (−9,−3) ={x ∈ R|−9 < x <−3. Graficamente:. Ejemplo 1.17. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 18 Capítulo 1. "Desigualdades". Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: |3x + 8|≥ 2 y grafique.. 3x + 8 ≥ 2 ∨ 3x + 8 ≤−2 3x ≥ 2−8 ∨ 3x ≤−2−8 3x ≥−6 ∨ 3x ≤−10. x ≥ −6 3. ∨ x ≤ −10. 3. x ≥−2 ∨ x ≤ −10. 3. Solución: S = (−∞,− 10 3 ]∪[−2,∞). Graficamente:. Ejemplo 1.18. Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: |5x−3|≤ 7 y grafique.. 5x−3 ≥ 7 ∨ 5x−3 ≤−7 5x ≥ 7 + 3 ∨ 5x ≤−7 + 3 5x ≥ 10 ∨ 5x ≤−4. x ≥ 10 5. ∨ x ≤ −4 5. x ≥ 2 ∨ x ≤ −4 5. Solución: S = (−∞,− 4 5 ]∪[(2,∞). Graficamente:. Ejemplo 1.19. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 19. Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: | 2x−1 x + 3. |≥ 3 y grafique.. |2x−1| |x + 3|. ≥ 3. |2x−1|≥ 3|x + 3|. (2x−1)2 ≥ (3x + 9)2. (2x−1)2 −(3x + 9)2 ≥ 0. (2x−1)2 −(3x + 9)2 ≥ 0. [(2x−1)−(3x + 9)][(2x−1)+(3x + 9)]≥ 0. (−x−10)(5x + 8)≥ 0. Solución: S = [−10,− 8 5 ]. Ejemplo 1.20. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 20 Capítulo 1. "Desigualdades". 1.4.7 Problemas que se resuelven por medio de inecuaciones. Las inecuaciones permiten resolver problemas.. Una camioneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la camioneta vacía y el peso de la carga que lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, ¿cuánto puede pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en ella?. En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simbólico, llamamos x al peso de cada cajón y planteamos la siguiente inecuación:. Peso de la furgoneta menos el peso de 4 cajones no es menor que 415 kg. 875−4x ≤ 415. Una forma de resolver la inecuación es seguir los siguientes pasos:. Restamos 875 en ambos miembros de la desigualdad −4x ≤ 415−875. Hacemos el cálculo en el segundo miembro −4x ≤−460. Para despejar x , multiplicamos a ambos miembros por − 1 4. (Cuidado: como multiplicamos. por un número negativo, debemos cambiar el sentido de la desigualdad), x ≥ (− 1 4 )(−460). hacemos el cálculo x ≥ 115. Esto significa que el peso de cada cajón no podrá superar los 115 kg. Además, como se trata de un peso, x > 0.. Entonces, la solución está formada por todos los números reales pertenecientes al intervalo (0,115]. Graficamos la solución en la recta real:. Ejemplo 1.21. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 2 Capítulo 2"Funciones" En prácticamente todos los fenómenos cotidianos, físicos, en las ciencias económicos y en la ingeniería; ob- servamos que una cantidad depende de otra. Por ejemplo, su estatura depende de su edad, la temperatura de la fecha, el costo de enviar un paquete por correo de su paseo. Todos estos son ejemplos de funciones; aunque no existe una regla simple que relacione la estatura con la edad o la temperatura con la fecha, sí existe una que relaciona el costo de enviar un paquete por correo con su peso; estás relaciones pueden ser representadas mediante un modelo matemático que permite describir esta relación, estas relaciones se conocen como funciones.. El concepto de función no apareció hasta los inicios del cálculo en el siglo XVII. René Descartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz establecieron la idea de función como dependencia entre dos cantidades vari- ables. Leibniz en particular acuñó los términos «función», «variable», «constante» y «parámetro».. 2.1 Definición de Función. Una función f es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento x de un conjunto A llamado dominio un valor único f (x) de otro conjunto B. El subconjunto de B formado por todos los elementos a los que se les asigna elementos de A se llama rango o recorrido de la función, y cada uno de sus elementos se llama imagen.. Representemos en un diagrama de flechas una relación que es función y una que NO es función.. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 22 Capítulo 2. "Funciones". Las funciones se representan mediante ecuaciones de la forma y = f (x), por ejemplo:. y = f (x) = x2; y = g(x) = 3x2 + x; y = h(x) = x+1x−3. y = j(x) = √. x + 6; y = t(x) = √. x−2 x+4 y = k(x) = sen(x). Por otra parte en las funciones del tipo y = f (x), la relación entre ambas variables x e y está claramente determinada. Por ese motivo la expresión y = f (x) recibe el nombre de forma explícita de la función. Sin embargo, en algunas ocasiones la relación entre las variables de la función no viene expresada de una forma tan clara sino a través de una ecuación que las liga, como por ejemplo:. 3x−2y + 5 = 0 x−3y3 + 4yx = 5 x + sen(xy)+ y = 3 √. 2x, π = xy + x2 + y2. Podemos decir que esta manera de representar una función recibe el nombre de forma implícita de la fun- ción. La relación entre ambas variables viene dada por una ecuación en la que hay que despejar la variable dependiente para poder encontrar la relación entre ambas. Cuando nos encontramos con una expresión implícita hay que tener un poco de cuidado, pues no vale cualquiera. De hecho, una de las anteriores ex- presiones no corresponde a una función. ¿Sabrías decir cuál es? ¿Y por qué? Dibujar las cuatro expresiones anteriores puede servirnos de ayuda.. 2.2 Representación Gráfica de una Función. La gráfica de una función f (x) es el conjunto de todos puntos (x, f (x)) en el plano xy (ejes de coordenadas), tal que restringimos los valores de x al estar en el dominio de f (x).. 2.2.1 Coordenadas cartesianas. Las coordenadas de un punto P en el plano vienen determinadas por un par ordenado de números x e y, llamados coordenadas cartesianas del punto P, y se escribe P(x,y).. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 23. 1. La primera coordenada, x, se mide sobre el eje de abscisas u horizontal, OX . Se denomina abscisa del punto P.. 2. La segunda coordenada, y, se mide sobre el eje de ordenadas o vertical, OY . Se denomina ordenada del punto P.. 3. El punto de corte de los ejes se denomina origen de coordenadas, O.. El siguiente diagrama muestra la gráfica de una función:. 2.2.2 Criterio de la Recta Vertical. ¿Todas las gráficas son funciones? Para que una gráfica corresponda a una función, cada recta vertical que se ubique en un valor de x debe cortar a la gráfica en un solo punto, tal como se muestra en la siguiente gráfica.. Si por el contrario si una gráfica contiene en alguna parte los puntos (a,b) y (a,c) entonces dicha gráfica no representa una función, ya que a un valor del dominio le corresponden dos valores del rango, en la siguiente gráfica mostramos tal situación. Observe el dibujo:. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 24 Capítulo 2. "Funciones". 2.3 Elementos de una Función. Los dos principales elementos de una función son los posibles valores que pueden tomar ambas variables (dependiente e independiente).. 1. Se llama Dominio de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente x de manera que la expresión dada tenga sentido en los números Reales. El dominio de una función del tipo y = f (x) suele representarse con alguna de estas expresiones: D( f ),Dom( f ).. 2. Se llama Recorrido, Rango, Imagen o codominio de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente, es decir, es el conjunto de valores que puede alcanzar la función. El recorrido de una función del tipo y = f (x) suele representarse con alguna de estas expresiones: R( f ),Rango( f ),Im( f ).. 2.3.1 Dominio de Funciones. Una función polinómica es de la forma:. f (x) = anx n + an−1x. n−1 + an−2x n−2 +....+ a1x + a0, donde n ∈ Z+. El dominio de una función polinómica es el conjunto de los números reales (R): Dom f (x) = R. Definición 2.1 Dominio de Funciones Polinómicas. Hallar el dominio de las siguientes funciones:. f (x) = 2x2 −3x + 2; g(x) = x3 + 2x2 −x + 2; h(x) = 2x−5. Solución: Cómo son funciones polinómicas para cada función tenemos Dom f (x) = R. Ejemplo 2.1. Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas (polinomios) .. f (x) = p(x) Q(x). Recuerde que una expresión de números reales de la forma AB no existe si B = 0; de manera que para hallar el dominio de una función racional basta con igualar el denominador a cero Q(x) = 0 y El dominio de una función Racional es el conjunto de los números reales (R) diferentes de los valores que anulan el denominador (valores críticos del denominador): Dom f (x) = R-(valores críticos). Definición 2.2 Dominio de las funciones racionales. Algunos ejemplos de funciones racionales son:. f (x) = 2x + 3 x2 −1. ; g(x) = x−4. 2x2 −x + 4 ; h(x) =. x x4 −x. ; y = 1. x + 1. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 25. Hallar el dominio de la función f (x) =. 2x + 3 x2 + 3x + 2. Igualamos el denominador a cero: x2 + 3x + 2 = 0. Factorizamos: (x + 2)(x + 1) = 0 este producto es cero si uno de sus factores es cero, así:. x + 2 = 0 , entonces: x =−2. x + 1 = 0 , entonces: x =−1. De lo anterior, deducimos que los números −2 y −1 no pertenecen al dominio y por lo tanto:. Dom f (x) = R−(−2,−1). Ejemplo 2.2. Las funciones racionales son de la forma: f (x) = n √. p(x), el dominio depende del índice de la raíz.. 1. Si la raíz es de índice n impar, el dominio es Dom f (x) = R. 2. Si la raíz es de índice n par, el dominio son los valores de x que hacen que p(x)≥ 0. Definición 2.3 Dominio de funciones con radicales. Hallar el dominio de la función: f (x) =. √ x2 −1. La expresión que define a esta función tiene validez en los Reales solamente si el radicando es mayor o igual que cero, es decir si:. x2 −1 ≥ 0. al resolver la inecuación se obtienen los valores que pertenecen al dominio.. x2 −1 ≥ 0 → (x + 1)(x−1)≥ 0. Al resolver la inecuación usando el método del cementerio se obtiene que los valores que satis- facen la ecuación son:. (−∞,−1]∪[1,∞). entonces: Dom f (x) = (−∞,−1]∪[1,∞). Ejemplo 2.3. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 26 Capítulo 2. "Funciones". Encuentre el dominio de la función: g(x) =. x √. x + 4. En este caso es necesario asegurar que el denominador no sea cero. de manera que. x + 4 6= 0, → x 6=−4,. y además que el radicando sea mayor que cero. x + 4 > 0,. de tal manera que debemos resolver la ecuación:. x + 4 > 0. x >−4. Por lo tanto el dominios es Domg(x) = (−4,∞). Ejemplo 2.4. Determine el dominio de h(x),. h(x) = √. x−2 x−4. En este caso debemos controlar tanto lo que sucede en el numerador como lo que sucede en el denominador, es decir:. 1. El radicando debe ser positivo o cero.. x−2 ≥ 0,. x ≥ 2. 2. El denominador debe ser distinto de cero.. x−4 6= 0. x 6= 4. Observemos sobre una recta numérica la situación que satisface los items 1 y 2:. De manera que la solución es: Dom f (x) = [2,4)∪(4,∞). Ejemplo 2.5. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 27. Una función exponencial es de la forma. f (x) = ax. La función exponencial está definida para todos los números reales, por lo tanto su dominio se representa como:. Dom( f ) = ℜ. Definición 2.4 Dominio de la función exponencial. Encuentre el dominio de la siguiente función f (x) = 2 ex+2. Solución: Dom f (x) = ℜ. Ejemplo 2.6. Una función logaritmo es de la forma. f (x) = Loga [g(x)]. Recordemos que la función logaritmo está definida en los reales positivos, por lo que los logaritmos de números negativos y el cero no existen.. Entonces Dom( f ) ⇒ son los valores que satisfacen la siguiente inecuación g(x) > 0. Definición 2.5 Dominio de la función logarítmica. Hallar el dominio de f definida como. f (x) = Ln(1−x2). La función logaritmo natura f (x) está definida si 1−x2 > 0. Resolviendo la inecuación tenemos:. Dom f (x) = (−1,1). Ejemplo 2.7. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 28 Capítulo 2. "Funciones". 2.3.2 Recorrido o rango de algunas funciones. Algunas funciones permiten hallar de manera sencilla sus recorridos.. Hallar el recorrido de la función f (x) = 2x + 1 x−5. Para lograrlo despejamos a x: y(x−5) = 2x + 1 yx−5y = 2x + 1. xy−2x = 5y + 1. x(y−2) = 5y + 1. x = 5y + 1 y−2. Entonces, en la última ecuación y debe ser distinto de 2, es el único valor que no pueden tomar las imágenes, por lo tanto la solución es: Rango = ℜ−{2}. Ejemplo 2.8. 2.4 Intersección con los ejes. Un punto (a,0) es una intersección de la gráfica de f con el eje x si f (a) = 0 , es decir, si este punto es una solución de la ecuación que define a f . Por lo tanto, para hallar la intersección de la gráfica con el eje x debemos hacer x = 0 y resolver la ecuación que se obtiene.. Un punto (0,b) es una intersección de la gráfica de f con el eje y si f (0) = b es decir, si este punto es una solución de la ecuación que define a f .. Por lo tanto, para hallar la intersección de la gráfica con el eje "x" debemos hacer y = 0 y resolver la ecuación que se obtiene.. Nota: Las intersecciones con los ejes se llaman interceptos. A continuación se muestran algunos dibujos para ilustrar lo que hemos afirmado anteriormente:. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 29. Halle los interceptos de la función f (x) = 2x + 2 x−7. Solución:. Intersección con el eje y. Hacemos x = 0, entonces: y =− 2 7. Intersección con el eje x. Hacemos y = 0, entonces: 0 = 2x + 2 x−7. por lo tanto 2x + 2 = 0 y obtenemos que: x = - 1. Ejemplo 2.9. 2.5 Simetrías de una Función. Al igual que el conocimiento de las propiedades anteriores, el hecho de saber si la gráfica de una función presenta algún tipo de simetría nos permitirá conocer los valores que toma la función en determinada zona sin más que conocer los valores de la misma función en la zona simétrica. Una función puede presentar diferentes tipos de simetría, o ningún tipo en absoluto. De todos los posibles tipos de simetría que pueden presentarse hay dos que son fácilmente detectables y es en esos dos tipos en los que vamos a centrar nuestro estudio.. Una función f (x) es:. 1. Simétrica respecto al eje y si f (x) = f (−x) ; se dice que f (x) presenta simetría par.. 2. Simétrica respecto al origen de coordenadas si f (x) = − f (−x); se dice que f (x) presenta simetría impar.. Veamos los siguientes ejemplos uts. Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 30 Capítulo 2. "Funciones". 2.6 Funciones par e impar. Sea f una función, entonces:. 1. f es par si satisface f (−x) = f (x). 2. f es impar si satisface f (−x) =− f (x). La función f (x) = x2 es par, veamos: f (−x) = (−x)2 = x2 = f (x) por lo tanto es par.. La función f (x) = x3 es impar, veamos: f (−x) = (−x)3 =−x3 =− f (x) por lo tanto es impar.. Ejemplo 2.10. 2.7 Álgebra de Funciones. Definimos las operaciones básicas entre funciones así:. SUMA:. ( f + g)(x) = f (x)+ g(x). DIFERENCIA:. ( f −g)(x) = f (x)−g(x) uts. Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 31. PRODUCTO: ( f .g)(x) = f (x).g(x). COCIENTE: f (x) g(x). Donde g(x) 6= 0. En cada uno de los casos anteriores, el dominio de la función resultante, es la intersección de los dominios de f y g. En el caso particular del cociente se deben excluir de la intersección los valores de x que anulen el denominador g.. Dadas f (x) = x3 + 2x, g(x) = 1x .. Determinar: 1) f + g, 2) f −g, 3) f ×g y sus dominios.. En primer lugar es necesario determinar el dominio de cada función:. El dominio de f (x) es: Dom f = ℜ (Porque es un polinomio);. El dominio de g(x) es Dom g = ℜ−{0} (Porque no se puede dividir entre cero).. Realicemos las operaciones:. 1. f (x)+ g(x) = ( x3 + 2x. ) + (. 1 x. ) = x. 4+2x2+1 x =. (x2+1) 2. x. Dom( f + g) = Dom f ∩ Dom g = ℜ−{0}. 2. f (x)−g(x) = ( x3 + 2x. ) − (. 1 x. ) = x. 4+2x2−1 x. Dom( f −g) = Dom f ∩ Dom g = ℜ−{0}. 3. f (x)×g(x) = ( x3 + 2x. ) × (. 1 x. ) = x. 3+2x x = x. 2 + 2. Dom( f ×g) = Dom f ∩ Dom g = ℜ−{0}. Ejemplo 2.11. 2.8 Funciones a trozos. Hasta ahora hemos visto cómo las funciones, sean del tipo que sean, suelen admitir una expresión del tipo y = f (x). Hemos visto también que es especialmente interesante (pues facilita la obtención de información) que la expresión f (x) sea de tipo matemático. Hasta ahora hemos trabajado con expresiones simples como por ejemplo:. y = −x 2. 3 + 2x + 3 y = 3+2x x−4. y = 3 √. 25−x2 y = ∣∣x2 −3x + 2∣∣. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 32 Capítulo 2. "Funciones". Sin embargo, con mucha frecuencia, las expresiones analíticas que aparecen en las Ciencias Sociales no admiten una única formulación para todos los valores de la variable independiente, de manera que es nece- sario utilizar diferentes fórmulas para la función según los distintos valores de x. De este tipo de funciones se dice que están definidas a trozos. Una función a trozos es aquella en la que se usan "trozos" de funciones para conformar una nueva función, por ejemplo la función valor absoluto se puede considerar como una función a trozos, veamos:. 1. |x|=.  . −x si x < 0 0 si x = 0 x si x > 0. 2. |x|=.  . −x si x < 0 x2 si 0 ≤ x < 1 1 si x > 0. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 33. 3. |x|=.  . x si x ≤ 0 1 si 0 < x < 3. 2x−5 si x ≥ 3. 2.9 Movimientos en el Plano. 2.9.1 Translación Vertical. La ecuación y = f (x) + k, k una constante real describe una traslación vertical de y = f (x) de |k| unidades.. 1. Si k > 0, la traslación es hacia arriba.. 2. Si k < 0, la traslación es hacia abajo.. y = √. x + 1. Ejemplo 2.12. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 34 Capítulo 2. "Funciones". 2.9.2 Translación Horizontal. y = f (x + h) de |h| unidades.. 1. Si h > 0, la traslación es hacia la derecha.. 2. Si h < 0, la traslación es hacia la izquierda.. y = √. x−1. Ejemplo 2.13. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 35. 2.10 Gráfica de Funciones Básicas. Existen algunas funciones que son de uso común en el desarrollo de los cursos de cálculo, entre ellas ten- emos:. 1. Función Lineal: f (x) = ax + b. 2. Función Cuadrática: f (x) = ax2 + bx + c. 3. Función Cúbica: f (x) = ax3 + bx2 + cx + d. 4. Función Raíz Cuadrada: f (x) =. √ x. 5. Función Valor Absoluto: f (x) = |x|. 6. Función Racional: f (x) =. 1 x. 7. Función logarítmica f (x) = Log a(x). 8. Función exponencial f (x) = ax. 9. Función logística f (x) =. a b + e−c x. 10. Función seno f (x) = senx. 11. Función coseno f (x) = cos x. A continuación trazamos las gráficas de algunas de estas funciones: 1. Función lineal: f (x) = x (Función identidad). uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 36 Capítulo 2. "Funciones". Ejemplo: f (x) = 2x + 1. 2. Función cuadrática f (x) = x2. Ejemplo: f (x) =−x2 + 1. 3. Función cúbica f (x) = x3. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 37. Ejemplo: f (x) =−2x3 + 1. 4. Función raíz cuadrada f (x) = √. x. Ejemplo: f (x) = √. x + 2. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 38 Capítulo 2. "Funciones". Función valor absoluto f (x) = |x|. Función Racional f (x) = 1x uts. Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 39. Función logarítmica f (x) = Log a(x). Función exponencial f (x) = ex. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 40 Capítulo 2. "Funciones". 2.11 Composición de Funciones o Función compuesta. En general, dadas dos funciones. La función g◦ f es la función compuesta de f y g, que transforma x en g[ f (x)]. Se debe tener cuidado con los dominios de g◦ f y de f ◦g. El dominio de g◦ f es la parte del dominio de f , para los cuales g acepta a f (x) como pre-imagen. También, el dominio de f ◦g es la parte del dominio de g para los cuales f acepta a g(x) como pre-imagen.. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 41. Si f y g son las funciones definidas por:. f (x) = x−3. 2 y g(x) =. √ x. Encuentre g◦ f y f ◦g con sus respectivos dominios:. (g◦ f )(x) = g[ f (x)] = √. f (x) =. √ x−3. 2. ( f ◦g)(x) = f [g(x)] = g(x)−3. 2 =. √ x −3 2. Del ejemplo anterior se deduce fácilmente que en general:. (g◦ f )(x) 6= ( f ◦g)(x). Se debe tener también cuidado con los dominios de g◦ f y de f ◦g . El dominio de g◦ f es la parte del dominio de f , para los cuales g acepta a f (x) como pre-imagen. Esto es, D( f ) = ℜ. Ahora, como g, solo acepta reales positivos de f (x), esto es, valores de x para los cuales:. f (x) ≥ 0 ⇔ x−3. 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3. Se concluye entonces que: D(g◦ f ) = [3,∞). Nótese que (g◦ f )(1) = g[ f (1)] = g(−1) NO ESTA DEFINIDO.. Igualmente, (g◦ f )(2) = g[ f (2)] = g (−1/2) NO ESTA DEFINIDO.. También, el dominio f ◦ g es la parte del dominio de g para los cuales f acepta a g(x) como pre-imagen. Es decir, D(g) = [0,∞). Es decir D(g) = [0,∞). Ahora, como f acepta cualquier valor real de g(x), entonces f acepta en particular, los val- ores de g en el intervalo D(g) = [0,∞). De esta forma: D( f ◦g) = [0,∞).. Ejemplo 2.14. En el cálculo, a menudo se necesita escribir una función dada como la composición de dos funciones. Esto puede hacerse de varias maneras.. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 42 Capítulo 2. "Funciones". la función: p(x) = √. 3x2 + 5x + 2 puede escribirse de diferentes formas usando el concepto de composición de funciones, estas son unas alternativas:. 1. P(x) = (g◦ f )(x) siendo f (x) = 3x2 + 5x + 2 y g(x) = √. x. En efecto, (g◦ f )(x) = g[ f (x)] = g ( 3x2 + 5x + 2. ) = √. 3x2 + 5x + 2. 2. P(x) = (g◦ f )(x) siendo f (x) = 3x2 + 5x y g(x) = √. x + 2. En efecto (g◦ f )(x) = g[ f (x)] = g ( 3x2 + 5x. ) = √. 3x2 + 5x + 2 en el segundo caso.. Ejemplo 2.15. 2.12 Función Inversa. Dada una función f (x), su inversa es otra función, designada por f−1(x) de forma que se verifica: Si f (a) = b entonces f−1(b) = a; para que exista la inversa de una función esta debe cumplir con la condición de ser una función inyectiva.. Una función f es inyectiva (uno a uno) si se cumple que:. f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2. ∀x1,x2 ∈ Dom f (x). o equivalentemente x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2). ∀x1,x2 ∈ Dom f (x).. Definición 2.6 Función Inyectiva. En otras palabras, una función f es 1-1, si para cada x en el dominio f , existe exactamente una y en el rango, y, ninguna y en el rango es imagen de más de una x en el dominio.. Existe también un criterio sencillo para determinar si la gráfica de una ecuación corresponde a una fun- ción 1-1. Este criterio se conoce como criterio de la recta horizontal.. Si toda recta horizontal que sea trazada corta a la gráfica de una función f en uno o en ningún punto, entonces f es una función 1-1. Definición 2.7 Criterio de la recta horizontal. Así por ejemplo, en la fig, aparece la gráfica de la función y = f (x) = x2 + 1 y al trazar una recta horizontal por ejemplo la recta y = 2 corta a la gráfica en más de un punto, por lo que, de acuerdo al criterio de la recta horizontal f (x) no corresponde a una función 1-1.. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 43. Así por ejemplo, en la fig, aparece la gráfica de la función y = f (x) = x3 + 1 la cual, de acuerdo al criterio de la recta horizontal si corresponde a una función 1-1, por lo tanto posee inversa. Nótese que toda recta horizontal, corta a la gráfica en uno y solo un punto.. 2.12.1 Propiedades de la función inversa. 1. Toda función y su inversa son simétricas a la función identidad f (x) = x.. 2. La compuesta de una función y su inversa da como resultado la función identidad. ( f ◦ f−1. ) (x) =. ( f−1 ◦ f. ) (x) = x. 3. El dominio de la función inversa es igual al rango de la función directa, y el rango de la función inversa es igual dominio de la función directa. Dom f−1(x) = Rango f (x). Rango f−1(x) = Dom f (x). 4. Siempre se cumple que: f−1(x) 6= 1f (x). Pasos para hallar la inversa de una función:. 1. En la función y = f (x) se intercambian la variable x por la variable y y de manera viceversa en la expresión inicial: y = f (x) de tal manera que función se transforma en x = f (y). 2. En la nueva expresión x = f (y) se despeja la y, para así obtener y = f−1(x), esta corresponde a la función inversa de f .. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 44 Capítulo 2. "Funciones". Hallar la inversa de y = 2x.. 1) Cambiamos la x por la y y de forma viceversa nos queda entonces x = 2y. 2) Despejamos la y, nos queda entonces y = x2. Por tanto la función inversa de y = 2x es y = x2 ;. es decir f −1 (x) = x2. Ejemplo 2.16. 2.13 Aplicaciones de las funciones. Las principales aplicaciones de las funciones se encuentran en el modelamiento; modelar una situación matemáticamente significa representarla en términos matemáticos. La representación particular que se usa se llama un modelo matemático de la situación.. 2.13.1 Modelos Lineales de Costo, Ingreso y Utilidad. 1. Una función costo especifica el costo C como una función de la cantidad de artículos x. En consecuen- cia, es el costo de x artículos y tiene la forma:. Costo=Costo variable+Costo Fijo. en la que el costo variable es una función de x y el costo fijo es constante. Una función costo de la forma C(x) = mx + b se llama una función costo lineal; el costo variable es mx y el costo fijo es b. La pendiente m, es el costo marginal, mide el costo incremental por artículo.. 2. Una Función Ingreso especifíca el ingreso I(x) que resulta de la venta de x artículo. El ingreso que resulta es:. I = px (Precio por número de unidades). 3. Una función utilidad especifica la utilidad (ingreso neto) U(x) que resulta de la venta de x artículos. Las funciones costo, ingreso y utilidad se relacionan con la fórmula. U(x) = I(x)−C(x). El equilibrio ocurre cuando U(x) = 0 es decir, cuando I(x) = C(x). uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 45. Si el costo fijo es $400 y el costo marginal es $40 por artículo , y si se vende los artículos a $60 cada uno,entonces cuántos artículos debe vender para alcanzar el punto de equilibrio.. Solución:. C(x) = 40x + 400 I(x) = 60x. U(x) = R(x)−C(x), para el equilibrio, U(x) = 0. 60x−(40x + 400) = 0. 20x−400 = 0. Entonces x = 20. Por lo tanto, tiene que vender 20 artículos para alcanzar el equilibrio.. Ejemplo 2.17. 2.13.2 Modelos Demanda y Oferta. Una Función de Demanda expresa la demanda q (el número de artículos solicitados)como una función del precio unidad p (el precio por artículo).. Una Función de Oferta expresa la oferta q (el número de artículos que un proveedor está dispuesto a llevar al mercado) como una función del precio unidad p (el precio por artículo). Es normalmente el caso que la demanda disminuye y la oferta sube a medida que el precio sube.. una Función Lineal de Demanda tiene la forma q = mp + b, donde q es la demanda (números de artículos vendidos) y p es el precio del artículo. Se puede concluir una ecuación de demanda lineal a saber la de- manda a dos precios distintos.. La demanda y la oferta están en equilibrio cuando son iguales. Los valores correspondientes de p y q se llaman precio de equilibrio y demanda de equilibrio. Para hallar el precio de equilibrio, determine el precio unitario p donde se cruzan las curvas de demanda y oferta; puede ser hallado de forma gráfica o analítica. Para hallar la demanda de equilibrio, evalúe la demanda o oferta cone el precio en equilibrio.. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 46 Capítulo 2. "Funciones". Si se vende 100 camisetas por semana cuando el precio es $10, y 200 camisetas cuando se baja el precio hasta $8, entonces la ecuación (lineal) demanda es:. Solución: q =−50p + 600 Ecuación de la recta que pasa por (10,100) y (8,200). Entonces, la función de ingreso relacionada es R = qp = p(−50p + 600). R =−50p2 + 600p. Ejemplo 2.18. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 47. A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 metros de radio y 16 metros de altura entra agua a una razón determinada. Expresar el volumen de agua en un instante dado:. a. En función de la altura h.. b. En función del radio de la base x.. Solución:. En la figura aparece el cono con las dimensiones dadas y una porción del volumen en el instante determinado.. El volumen del agua en el instante determinado viene dado por:. V = 1 3. πr2h (. Vc = 1 3 (area base)(altura). ) (1). Como los triángulos ODE y OBC son semejantes, se tiene:. 16 4. = h x ⇒ h = 4x (2). a. Si se quiere expresar el volumen en función de la altura h, se debe despejar x en (2) y susti- tuirlo en (1). Así,. x = h 4 ⇒V =. 1 3. π. ( h 4. )2 h. Luego,. V = 1. 48 πh3. b. Para expresar el volumen en función del radio x, se sustituye (2) en (1).. Así: V =. 1 3. πx2(4x) = 4 3. πx3. Ejemplo 2.19. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 48 Capítulo 2. "Funciones". Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados (Ver figura). Exprese el volumen de la caja en función del lado del cuadrado recortado.. V (x) = (a−2x)2 .x. V (x) = 4x3 −4ax2 + a2x 0 ≤ x ≤ a 2. Ejemplo 2.20. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 49. Una piscina rectangular de 20 mts. de largo por 10 mts de ancho, tiene 4 mts de profundidad en un extremo y 1 mt en el otro. La figura adjunta ilustra una vista transversal de la piscina. El agua para llenar la piscina es bombeada por el extremo profundo.. a. Determine una función que exprese el volumen V de agua en la piscina como función de su profundidad x en el extremo profundo.. b. Calcular V (1) y V (2). Solución. a. Sea L la longitud de la medida del nivel del agua desde el extremo profundo hasta el menos profundo. Note que L y x son los lados de un triángulo rectángulo semejante al triángulo cuyos lados son 20 y 3 mts. De esta forma, se puede establecer la siguiente proporción:. L x. = 20 3 ⇒ L =. 20 3. x , con 0 ≤ x ≤ 3. Ahora, el volumen V en un instante determinado viene dado por: V = (Área de la sección transversal). (Ancho). V = L.x 2. .10 = 20 3 x.x. 2 .10 =. 100 3. x2. V (x) = 100. 3 x2. b. V (1) =. 100 3. (1)2 = 100 3 ≈ 33.3 m3. V (2) = 100 3. (2)2 = 400. 3 ≈ 133.3 m3. Ejemplo 2.21. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 3 Límites y Continuidad deFunciones Pretendemos esclarecer la idea de límite de una función. Haremos hincapié en el concepto, pues el cálculo matemático requiere el conocimiento de diversas herramientas que no entraremos a contar en detalle, uti- lizando algún programa de cálculo para ello. Para entender el concepto de límite veámoslo con un ejemplo.. Consideremos la función:. f (x) = x−1 √. x − 1. cuyo conjunto de definición (dominio) es el conjunto de los números reales no negativos excepto x = 1, es decir:. D = {x ∈ ℜ|x ≥ 0,x 6= 1}. Si realizamos su representación gráfica:. Para x = 1, el dibujo hace un pequeño salto, que no se aprecia en la figura pero que sería tal y como puede verse a continuación:. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 51. Como veremos en el apartado siguiente ello implicará una discontinuidad de la función en x = 1. Ahora nos preguntamos: cuando el valor de x es muy cercano a 1, ¿cuánto vale la función?.. Es claro que en x = 1 la función no está definida; por lo tanto, tendremos que dar un método que sea capaz de responder a la cuestión anterior, la cual podemos plantearla en los términos siguientes: Si x tiende a 1 ¿a cuánto tiende la función?. A esto es lo que llamaremos límite de la función F(x) cuando x tiende a 1 y lo denotaremos como:. lim x→1. f (x) = L. 3.1 Definición Informal de Límite. Sea f (x) una función, si las imágenes se aproximan suficientemente a un valor L, cuando los valores de x se aproximan suficientemente a un valor b, decimos que el límite de f (x) cuando x tiende a b es igual a L y escribimos:. lim x→ b. f (x) = L. Siendo L el valor de dicho límite, el cual queremos calcular; para ello, observemos que a la hora de aprox- imarnos a lo largo del eje de abscisas al punto x = 1 lo podemos hacer por la derecha y por la izquierda, es decir, podemos considerar (siempre para puntos cercanos a 1). A estos límites los llamaremos límites laterales.. 3.2 Límites Unilaterales. 1. lim x→b+. f (x) , se llama límite lateral por la derecha.. 2. lim x→b−. f (x) , se llama límite lateral por la izquierda. Definición 3.1. Para que el límite exista debe cumplir que el límite por la izquierda y por la derecha sean iguales, de lo contrario diremos que el límite no existe en dicho punto, es decir:. lim x→ b. f (x) = L , si y solamente si: lim x→ b+. f (x) = lim x→ b−. f (x). Teorema 3.1. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 52 Límites y Continuidad de Funciones. Sea f (x) = {. 4−x si x < 1 4x−x2 si x ≥ 1. Hallar lim x→1. f (x). Solución:. lim x→1=. f (x) = lim x→1=. (4−x) = 4−1 = 3 (Acercamiento por la izquierda). lim x→1+. f (x) = lim x→1+. (4x−x2) = 4−1 = 3 (Acercamiento por la derecha).. Entonces: lim x→1. f (x) = 3. Ejemplo 3.1. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 53. Determinar, si existe, el límite de la siguiente función en los puntos x = 2 y x = 0:. f (x) = x−1 √. x − 1. Solución: Calculemos: lim x→2. f (x). Si determinamos el valor de la función en dicho punto tenemos:. f (2) = 1. −1 + √. 2. y podemos observar en la gráfica de la función como existen los límites laterales:. lim x→2−. f (x) = lim x→2+. f (x) = 1. −1 + √. 2. con lo cual tenemos que:. lim x→2. f (x) = 1. −1 + √. 2. Para el segundo punto, calculemos: lim x→0. f (x). En este caso, los límites laterales no coinciden, ya que no existe el límite lateral por la izquierda de la función (no podemos evaluar f en puntos a la izquierda de cero).. El límite lateral por la derecha si existe y vale: lim x→0+. f (x) = 1, por lo tanto el límite pedido. no existe.. Ejemplo 3.2. En general, para que una función posea en un punto un límite, dicho punto ha de ser tal que puntos a su izquierda y a su derecha han de pertenecer al dominio de la función. Además, la función no tiene por qué existir en dicho punto.. uts Cálculo Diferencial. Departamento de Ciencias Básicas. 54 Límites y Continuidad de Funciones. Definir una función que NO posea límite en un punto interior a su dominio de definición. Con-. sideremos, por ejemplo, la función: f (x) = {. x2 si x ≤ 0 logx si x > 0. Representémosla gráficamente:. En este ejemplo el dominio es todos los números reales ℜ. Si tomamos x = 0, que es punto interior, en él, existe la función y vale f (0) = 0 No obstante, no existe el límite cuando x tiende a cero, ya que los límites laterales no coinciden
Show more

Nuevo documento

parte, el procedimiento estándar para la disección aórtica tipo A de Stanford es la operación de Bentall modificada, para reemplazar la raíz aórtica por un injerto tubular valvado,

Variables Calidad de vida Apoyo social Satisfacción general Bienestar físico y psicológico Distensión laboral y tiempo libre Sobrecarga Consecuencia del cuidado en el cuidador Creencias

Se dio seguimiento a una persona de 83 años de edad, con SICA y SCA, desde el ingreso al Servicio de Urgencias, Unidad Coronaria y Medicina Interna, del 12 de octubre al 13 de noviembre

De acuerdo con la Organización Mundial de la Salud OMS, en 2012 se calculó que cada año mueren cerca de 17.5 millones de personas.1 En América Latina, la Organización Panamericana de la

Las ventajas de las ECS son muchas, ya que el empleo de la misma sangre excluye el riesgo de transmisión de enfermedades y la sensibilización, es decir, la formación de anticuerpos

La enfermera conecta las terminales: extremo distal al transductor de presión y el extremo proximal en forma esporádica se utiliza para infusiones con fármacos, el extremo del globo con

Un equipo multidisciplinario cuyo enfoque es ayudar al paciente así como tratar apropiadamente la enfermedad, es capaz de reunir estas metas utilizando a una enfermera que participe en

Así, aquello que es más probable que vea el niño, es la cara de su madre y en especial los ojos, aunque algunas teorías ya antiguas afirmaban que el primer y más importante objeto que

Sus contribuciones incluyeron el diseño de las funciones autónomas de enfermería, el señalamiento de los principales objetos de la interdependencia para el paciente y la creación de los

Chávez con las palabras que definen la mística para enfermería “Las enfermeras por su parte, con la mística que les fijó el instituto, la que quedó plasmada en el juramento que