Chapter 4. Aplicaciones de la derivada. Applications of the Derivative. Copyright 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley

(1)

(2)

Chapter 4

Applications of the Derivative

Aplicaciones de la derivada

(3)

4.1

Maxima and Minima

Máximos y mínimos

(4)

Slide 4 - 4

Supongo que f esta definida en un intervalo I que contiene a c.

Luego, f tiene un máximo absoluto en el intervalo I en el punto c

si f(c)>=f(x) para toda x en I. Similarmente, f tiene un mínimo

absoluto en el intervalo I en el punto c si f(c) <=f(x) para toda x en

I.

(5)

Slide 4 - 5

La función f(x)=x ²

tiene diferentes

extremos absolutos

dependiendo del

intervalo de interés

(6)

Slide 4 - 6

Mínimo

absoluto de 0 en x= y x=1

No tiene valor máximo absoluto

Mínimo

absoluto

(7)

Slide 4 - 7

Teorema de valor extremo

Una función que es continua en un intervalo cerrado tiene un

valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en el

intervalo

(8)

Slide 4 - 8

(9)

Slide 4 - 9

Mínimo absoluto

Máximo local

Mínimo local

Máximo

absoluto

(10)

Slide 4 - 10

Suponga que I es un intervalo en el cual f es definida y c es un punto interior de

I. Si f(c)>=f(x) para todo x en algún intervalo que contiene a c, luego f(c) es un

máximo local de f.SI f(c)<=f(x) para todo x en algún intervalo abierto que

contiene c, luego f(c) en un mínimo local de f. O

(11)

Slide 4 - 11

(12)

Slide 4 - 12

Máximo local en c

Pendiente de las líneas secantes

>=0

Pendiente de las líneas secantes

<=0

(13)

Slide 4 - 13

Teorema: Teorema de puntos extremos locales

Si f tiene un mínimo o máximo local en c y f’(c) existe. Luego

f’(c)=0

(14)

Slide 4 - 14

Punto critico

Un punto critico c del dominio de f en el cual f’(c)=0 o f’(c) no

existe se llama punto critico de f.

(15)

Slide 4 - 15

Un mínimo local en c donde f’(c) no existe

Un máximo local en c donde

f’(c) no existe

(16)

Slide 4 - 16

f’(c)=0, pero no existe

mínimo/máximo local en c.

f’(c) no existe, pero no hay

mínimo/máximo local en c.

(17)

Slide 4 - 17

Mínimo local (y

absoluto)

(18)

Slide 4 - 18

Procedimiento para localizar los máximos y mínimos absolutos Asuma que la función f es continua en el intervalo cerrado

1. Localice los puntos críticos en (a,b), donde f’(c)=0 o f’(c) no existe.

Estos puntos son los candidatos para máximo y mínimo absoluto.

2. Evalué f en los puntos críticos y en los extremos de

3. Elija el valor más grande y más pequeño de f del paso 2 para el valor máximo y mínimo absoluto

  ^{a b} ^,

(19)

Slide 4 - 19

Máximo absoluto en (-2,32)

Mínimo local y

absoluto en (3/2,-

27/16)

(20)

Slide 4 - 20

(21)

4.2

What Derivatives Tell Us

Qué nos dicen las derivadas?

(22)

Slide 4 - 22

f tiene un mínimo local en c

f tiene un máximo local en c

(23)

Slide 4 - 23

(24)

Slide 4 - 24

Teorema. Test de la primera derivada

Suponga que f es continua en un intervalo que contiene al punto critico c y asuma que f es diferenciable en un intervalo que contiene a c, excepto quizás en c

• Si f’ cambia de signo positivo a negativo a medida que x incrementa al pasar sobre c, luego f tiene un máximo local en c

• Si f’ cambia de signo negativo a positivo a medida que x incrementa al pasar sobre c, luego f tiene un mínimo local en c.

• Si f’ no cambia de signo en t, luego f no tiene valor extremo en c

(25)

Slide 4 - 25

(26)

Slide 4 - 26

(27)

Slide 4 - 27

(28)

Slide 4 - 28

(29)

Slide 4 - 29

(30)

Slide 4 - 30

Teorema. Un extremo local implica un extremo absoluto

Suponga que f es continua en un intervalo I que contiene al punto critico c

• Si un mínimo local ocurre en c, luego f(c) es el mínimo absoluto de f en I.

• Si un máximo local ocurre en c, luego f(c) es el máximo absoluto de f en I.

(31)

Slide 4 - 31

(32)

Slide 4 - 32

'( ) 2 3 f x  x 

Creciente

Decreciente

Puntos críticos

mínimo

'( ) 2 3 0 3

2 f x x

x

  

 

'( ) 2 3 0 3

2 f x x

x

  

 

'( ) 2 3 0 3

2 f x x

x

  

 

(33)

Slide 4 - 33

2 2

'( ) 3 12 3( 4) 3( 2)( 2)

f x  x   x   x  x 

Creciente

Decreciente

Puntos críticos mínimo máximo

'( ) 3( 2)( 2) 0 2 2

f x x x

x x

   

       

'( ) 3( 2)( 2) 0

2 2

f x x x

x

   

  

'( ) 3( 2)( 2) 2

2 f x x x

x x

  



 

(34)

Slide 4 - 34



²

 

²



2 2 2 2 2 2

5 ( 2)2 4 5 ( 5)( 1)

'( ) ( 5) ( 5) ( 5)

x x x x x x x

f x

x x x

        

  

  

Creciente

Decreciente

Puntos críticos

máximo mínimo

2 2

( 5)( 1)

'( ) 0

( 5)

5 1

x x

f x

x x

  

 



  

2 2

( 5)( 1)

'( ) 0

( 5)

5 1

x x

f x

x

x x

  

 



       

2 2

( 5)( 1)

'( ) 0

( 5)

1 5

x x

f x

x x

x

  

 





 

(35)

Slide 4 - 35

(36)

Slide 4 - 36

'( ) 2cos(2 )

f x  x

Creciente

Decreciente

Puntos críticos

máximo

'( ) 2cos(2 ) 0

4 4

f x x

 x 

 

  

'( ) 2cos(2 ) 0

3 3

4 4 4 4

f x x

x x

   

 

      

'( ) 2 cos(2 ) 0

2 2

4 f x x

x x



 



(37)

Slide 4 - 37

'( ) 6 6 f x    x

Creciente

Decreciente

Puntos críticos

máximo

'( ) 6 6 0

1 f x x

x

   



'( ) 6 6 0

1 f x x

x

   



'( ) 6 6 0

1 f x x

x

   



(38)

Slide 4 - 38

2 2

'( ) 3 12 3( 4) 3( 2)( 2)

f x  x   x   x  x 

Creciente

Decreciente

Puntos críticos mínimo máximo

'( ) 3( 2)( 2) 0 2 2

f x x x

x x

   

       

'( ) 3( 2)( 2) 0

2 2

f x x x

x

   

  

'( ) 3( 2)( 2) 2

2 f x x x

x x

  



 

(39)

Slide 4 - 39

3 2 2

'( ) 4 24 4 ( 6)

f x  x  x  x x 

Creciente

Decreciente

Puntos críticos

mínimo

'( ) 4

2

( 6) 0 6

f x x x

x

  



'( ) 4

2

( 6) 0 6

f x x x

x

  



'( ) 4

2

( 6) 0 0

6 f x x x

x x

  



(40)

Slide 4 - 40

f‘(x) disminuye a medida que x incrementa

f‘(x) aumenta a medida que x incrementa Cóncava hacia

abajo

Cóncava hacia

arriba

(41)

Slide 4 - 41

Definición: Concavidad y puntos de inflexión

Sea f un función diferenciable en el intervalo abierto I. Si f´ incrementa en I, luego f es cóncava hacia arriba en I. Si f’ disminuye en I, luego f es cóncava hacia abajo en I.

Si f es continua en c y f cambia de concavidad en c (de cóncava hacia arriba a

hacia abajo, o viceversa), luego f tiene un punto de inflexión.

(42)

Slide 4 - 42

Teorema: test de concavidad

• Si f’’>0 en I, luego f es cóncava hacia arriba en I

• Si f’’<0 en I, luego f es cóncava hacia abajo en I

• Si c es un punto de I en donde f’’(c)=0 and f’’ cambia de signo en c, luego f

tiene un punto de inflexión.

(43)

Slide 4 - 43

Cóncava hacia abajo

Cóncava hacia arriba

Punto de inflexión:

concavidad cambia en c

Cóncava hacia arriba

Cóncava hacia abajo

C no es un

punto de

inflexión

(44)

Slide 4 - 44

(45)

Slide 4 - 45

Teorema: Test de la segunda derivada para extremos locales

Suponga que f’’ es continua en el intervalo que contiene a c con f’(c)=0

• Si f’’(c)>0, luego f tiene un mínimo local en c

• Si f’’(c)<0 , luego f tiene un máximo local en c

• Si f’’(c) =0, luego el test no nos permite concluir

(46)

4.3

Graphing Functions

(47)

Slide 4 - 47

Paso para graficar una función

1. Identificar el dominio de interés 2. Explotar la simetría de la función 3. Encontrar la primera y la segunda

derivadas

4. Encontrar los puntos críticos y los posibles puntos de inflexión

5. Encontrar los intervalos en los cuales la función esta aumentando/disminuyendo y donde es cóncava hacia arriba/abajo 6. Identifique los valores extremos y puntos

de inflexión

7. Localice las asíntotas

horizontales/verticales

8. Encuentro los interceptos

9. Realice la grafica

(48)

Slide 4 - 48

Disminuye cóncava hacia arriba

Incrementa cóncava hacia arriba

Incrementa cóncava hacia abajo

Disminuye cóncava hacia abajo

Disminuye cóncava hacia arriba

Incrementa cóncava hacia arriba

Mínimo

local Punto de inflexión

Máximo

local Punto de

inflexión

Mínimo

local

(49)

Slide 4 - 49

(50)

Slide 4 - 50

Considere la siguiente función, dibújela siguiendo el procedimiento explicado en la diapositiva 47

3 3 400

y  x  x

(51)

Slide 4 - 51

(52)

Slide 4 - 52

(53)

Slide 4 - 53

(54)

Slide 4 - 54

(55)

Slide 4 - 55

3 2

10 ( 1)

y x

 x



Considere la siguiente función, dibújela siguiendo el procedimiento explicado en la diapositiva

Creciente

Decreciente

2 2 3

2 2

4 2 4

2 2

4 2

2 2

30 ( 1) 10 * 2

( 1)

30 30 20

( 1)

10 30

( 1)

10 ( 3)

( 1)

dy x x x x

dx x

x x x

x

x x

x x x

x

  



 

 



 



(   , 3)  ( 3, ) 

(  3, 3)

(56)

Slide 4 - 56

3 2

10 ( 1)

y x

 x



Considere la siguiente función, dibújela siguiendo el procedimiento explicado en la diapositiva

Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba

(    , 1) (0,1) ( 1,0)    (1, )

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 4

3 2

2 3

(20 ( 3) 10 2 )( 1) 2( 1)2 10 ( 3)

( 1)

20 ( 3)

( 1)

d y x x x x x x x x x

dx x

x x x

     

 

 



(57)

Slide 4 - 57

3 2

10 ( 1)

y x

 x



Considere la siguiente función, dibújela siguiendo el procedimiento explicado en la diapositiva

Asíntotas verticales _x _ _1, _x _{ } ₁

(58)

Slide 4 - 58

(59)

Slide 4 - 59

(60)

Slide 4 - 60

(61)

Slide 4 - 61

(62)

Slide 4 - 62

x

2

y  e ^

Considere la siguiente función, dibújela siguiendo el

procedimiento explicado en la diapositiva

(63)

Slide 4 - 63

(64)

Slide 4 - 64

2 2

3 (9 8 16)

8 x x

y  x  

Considere la siguiente función, dibújela siguiendo el

procedimiento explicado en la diapositiva

(65)

Slide 4 - 65

(66)

Slide 4 - 66

(67)

Slide 4 - 67

(68)

4.4

Optimization Problems

(69)

Slide 4 - 69

Encontrar dos números x y y, tal que su

suma sea 20 y su producto máximo

(70)

Slide 4 - 70

2

20 20

(20 ) 20 20 2 0

10 10 P xy

x y y x

P xy x x x x

dP x

dx x y



    

    

  



(71)

Slide 4 - 71

Maximizar el volumen de una caja, sujeto a la restricción que 2 veces la base mas la

altura es igual a 64.

(72)

Slide 4 - 72

Maximizar el volumen de una caja, sujeto a la restricción que 2 veces la base mas la altura es igual a 64.

2

2 2 3

2

2 2 2

2

2 64

(64 2 ) 64 2

128 6 2 (64 3 ) 0 0, 64

3 128 16

64 64

( ) 128 16 0 máximo

3 3

V w h w h

V w w w w

dV w w w w

dw

w w

d V w

dw d V dw



 

   

    

 

 

   

(73)

Slide 4 - 73

(74)

Slide 4 - 74 Puntos clave para el estudio de problemas de optimización

1.Lea el problema cuidadosamente, identifique las variables clave, y organice la informacion en una figura.

2. Identifique la función objetivo (la función a ser optimizada). Escriba esta en términos de las variables del problema.

3. Identifique las restricciones. Escríbalas en términos de las variables del problema

4. Use las restricciones para eliminar todas las variables a excepción de la variable independiente.

5.Con la función objetivo expresada en términos de una sola variable, encuentre el intervalo de interés para esa variable.

6. Use métodos de calculo para encontrar el máximo y mínimo absoluto de la

función objetivo en el intervalo de interés.

(75)

Slide 4 - 75

2

80 80

(80 ) 80 80 2 0

40 40 P xy

x y y x

P xy x x x x

dP x

dx x y



    

    

  



(76)

Slide 4 - 76

2

2 1000 1000 2

(1000 2 ) 1000 2 1000 4 0

250 500 A xy

x y y x

P xy x x x x

dP x

dx x y



    

    

  



(77)

Slide 4 - 77

2 2 2

2

3 2 2

2

2 2 * 2 2 * 4 1000

4 8 1000

1000 4 1000

8 8 2

1000 1000

( )

8 2 8 2

1000 3 8 2 0 250 * 2

2 * 3 0

250 0

3 250 3

V r h

r rh

r r

h r r

r r

V r h r r

r

dV r

dr

r r r



 



 

  





 

   

    

  

 



(78)

Slide 4 - 78

2 2 2

2 2

25 25

2 50

50 2( 25)

2 0

5, 5

P x y

A xy y

x

P x

x

dP x

dx x x

x y

 

   

 

    

 

(79)

4.7

L’Hôpital’s Rule

(80)

Slide 4 - 80

Teorema. Regla de L’Hospital

Suponga que f y g son diferenciables en el intervalo abierto I que contiene a con g’(x) diferente de 0 en I cuando x es diferente de a. Si , luego

Donde el limite de la derecha puede ser finito o infinito. La regla también aplica si el limite cambia de a a infinito, a por la derecha, a por la izquierda

lim ( ) lim ( ) 0

x a

f x

x a

g x









( ) '( )

lim lim

( ) '( )

x a x a

f x f x

g x g x







(81)

Slide 4 - 81

Teorema. Regla de L’Hospital (infinito sobre infinito)

Suponga que f y g son diferenciables en el intervalo abierto I que contiene a, con g’(x) diferente de 0 en I cuando x es diferente de a. Si , luego

Donde el limite de la derecha puede ser finito o infinito. La regla también aplica si el limite cambia de a a infinito, a por la derecha, a por la izquierda

lim ( ) lim ( )

x a

f x

x a

g x



 



 

( ) '( )

lim lim

( ) '( )

x a x a

f x f x

g x g x







(82)

Slide 4 - 82

1 cos( ) lim

x



x



Forma 0/0

0 2

0

1 cos( ) lim

sin( ) lim 2

cos( ) 1

lim 2 2

x

x x

x







 

(83)

Slide 4 - 83

lim 1

5 3 lim 1

5 1 5

x



x









Forma ∞/ ∞

lim 1

5 3

x



x





(84)

Slide 4 - 84

3

1 5

lim 3 6

1 5

lim 3 ( 3)( 2) ( 2) 5 lim ( 3)( 2)

( 3) lim ( 3)( 2) lim 1

( 2) 1

5

x

x x x

x

x x

x

x x

x



   

 

  

  

 

 

 

 



3 2

1 5

lim

^x^

x 3  x x 6

  

Forma ∞-∞

(85)

Slide 4 - 85

Forma 0/0

3 0

lim 2

sin( )

x

x x





(86)

Slide 4 - 86

Forma ∞/∞

2

ln( ) lim

^x

2 x



x 

(87)

Slide 4 - 87

Forma ∞-∞

0

1 1

lim

^x^

x  sin( ) x

(88)

Slide 4 - 88

Forma ∞-∞

0

lim 1 ( )

x

ctg x



x 

(89)

Slide 4 - 89

Forma ∞-∞

limln( 1) ln( )

x

x x



 

(90)

Slide 4 - 90

Forma 0/0

2 0 2

lim 1 1

x



x

 

(91)

Slide 4 - 91

Procedimiento. Formas indeterminadas 1 ^∞ , 0 ⁰ , ∞ ⁰

1. Evalué . Este limite puede ser escrito usualmente en la forma 0/0 o ∞/ ∞, las cuales podemos resolver usando regla de l’Hopital’s

Chapter 4. Aplicaciones de la derivada. Applications of the Derivative. Copyright 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley

Chapter 4

Applications of the Derivative

Aplicaciones de la derivada

4.1

Maxima and Minima

Máximos y mínimos

Slide 4 - 4

Supongo que f esta definida en un intervalo I que contiene a c.

Luego, f tiene un máximo absoluto en el intervalo I en el punto c

si f(c)>=f(x) para toda x en I. Similarmente, f tiene un mínimo

absoluto en el intervalo I en el punto c si f(c) <=f(x) para toda x en

I.

Slide 4 - 5

La función f(x)=x 2

tiene diferentes

extremos absolutos

dependiendo del

intervalo de interés

Slide 4 - 6

Mínimo

absoluto de 0 en x= y x=1

No tiene valor máximo absoluto

No tiene valor máximo absoluto

Mínimo

absoluto

Slide 4 - 7

Teorema de valor extremo

Una función que es continua en un intervalo cerrado tiene un

valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en el

intervalo

Slide 4 - 8

Slide 4 - 9

Mínimo absoluto

Máximo local

Mínimo local

Máximo

absoluto

Slide 4 - 10

Suponga que I es un intervalo en el cual f es definida y c es un punto interior de

I. Si f(c)>=f(x) para todo x en algún intervalo que contiene a c, luego f(c) es un

máximo local de f.SI f(c)<=f(x) para todo x en algún intervalo abierto que

contiene c, luego f(c) en un mínimo local de f. O

Slide 4 - 11

Slide 4 - 12

Máximo local en c

Pendiente de las líneas secantes

>=0

Pendiente de las líneas secantes

<=0

Slide 4 - 13

Teorema: Teorema de puntos extremos locales

Si f tiene un mínimo o máximo local en c y f’(c) existe. Luego

f’(c)=0

Slide 4 - 14

Punto critico

Un punto critico c del dominio de f en el cual f’(c)=0 o f’(c) no

existe se llama punto critico de f.

Slide 4 - 15

Un mínimo local en c donde f’(c) no existe

Un máximo local en c donde

f’(c) no existe

Slide 4 - 16

f’(c)=0, pero no existe

mínimo/máximo local en c.

f’(c) no existe, pero no hay

mínimo/máximo local en c.

Slide 4 - 17

Mínimo local (y

absoluto)

Slide 4 - 18

Procedimiento para localizar los máximos y mínimos absolutos Asuma que la función f es continua en el intervalo cerrado

1. Localice los puntos críticos en (a,b), donde f’(c)=0 o f’(c) no existe.

Estos puntos son los candidatos para máximo y mínimo absoluto.

2. Evalué f en los puntos críticos y en los extremos de

3. Elija el valor más grande y más pequeño de f del paso 2 para el valor máximo y mínimo absoluto

  a b ,

  a b ,

Slide 4 - 19

Máximo absoluto en (-2,32)

La función f(x)=x ²

  ^{a b} ^,

  ^{a b} ^,