2.2. Sistemas din´ amicos no lineales
2.2.3. Bifurcaciones
Una caracter´ıstica fundamental de los sistemas no lineales es la gran va- riedad de respuestas que presentan frente a condiciones iniciales y cambios en los par´ametros propios. As´ı pues, un sistema inicialmente en reposo puede comenzar a oscilar con tan solo cambiar el valor de un par´ametro, transi- ci´on que se describe en t´erminos matem´aticos mediante el paso de un punto fijo estable a un ciclo l´ımite para un cierto valor cr´ıtico del par´ametro en cuesti´on. Por tanto, el estudio de las transiciones entre comportamientos din´amicos distintos o bifurcaciones es fundamental para entender la emer- gencia de fen´omenos macrosc´opicos. Atendiendo a la estructura del espacio de fases cuando la bifurcaci´on tiene lugar, ´estas se pueden clasificar en dos grupos, locales y globales.
de tal forma que las soluciones convergen (divergen) a la soluci´on peri´odica, como se ve en la Fig. (2.4). De esta forma, dE/dt=−yh(x, y)≡F(x, y) = 0 es la ecuaci´on de una curva en el espacio de fases, siendo una curva cerrada si y solo siF(x, y) es de orden n≥2 en sus variables. Dado queF(x, y) =−yh(x, y), la ´unica forma de satisfacer esta condici´on es que el sistema contenga t´erminos no lineales a trav´es deh(x, y).
Bifurcaciones locales
En el primer caso, la bifurcaci´on hace referencia al cambio de estabili- dad en el entorno de una soluci´on de equilibrio debido al cambio en alg´un par´ametro del sistema. En concreto, una bifurcaci´on local tiene lugar cuan- do, como resultado del cambio en dicho par´ametro, la parte real de uno o varios autovalores del Jacobiano del sistema cambia de signo. Esta definici´on aparentemente arbitraria es bastante natural si atendemos a la estructura topol´ogica del espacio de fases. Como se dijo anteriormente, un punto fi- jo hiperb´olico es estructuralmente estable, es decir, su estabilidad no se ve alterada por una peque˜na perturbaci´on de los par´ametros del sistema. Por tanto, resulta natural que un cambio cualitativo en la estructura topol´ogica del espacio de fases solo pueda tener lugar cuando la parte real de alg´un autovalor se hace nula como resultado de la variaci´on de alg´un par´ametro, rompiendo as´ı la hiperbolicidad del punto fijo. El resultado de esta transici´on puede acarrear fen´omenos din´amicos de los m´as variado, como por ejemplo, la aparici´on o desaparici´on de nuevos puntos fijos o de nuevos comportamientos temporales, como periodicidad, cuasiperiodicidad o caos. A su vez, el n´umero de autovalores con Re(λ) = 0 determinar´a cu´an ex´otico puede llegar a ser el nuevo comportamiento del sistema.
Comenzaremos el estudio de la ruptura de hiperbolicidad considerando el caso m´as sencillo: cuando la variaci´on de un ´unico par´ametroµ hace que un solo autovalor cambie de signo. La complejidad de este estudio puede incrementarse en dos vertientes. Por un lado, podemos considerar el n´umero de par´ametros necesarios para dar lugar a una bifurcaci´on, lo que determina la codimensi´on de dicha bifurcaci´on. En nuestro caso, nos restringiremos al estudio de bifurcaciones de codimensi´on 1. Por otro lado, podemos considerar que haya m´as de un autovalor con parte real cero. En esta introducci´on tan solo estudiaremos aquellos casos con un m´aximo de dos autovalores nulos, lo que nos llevar´a a definir una de las bifurcaciones m´as importantes en sistemas din´amicos: la bifurcaci´on de Poincar´e-Andronov-Hopf. En ambos casos, el estudio consistir´a en explorar la ruptura de la hiperbolicidad del punto fijo en un entorno del par´ametro cr´ıtico (de ah´ı el t´ermino bifurcaci´on local), es decir, seg´unµ se acerca al valor cr´ıticoµc.
Consideremos el siguiente sistema param´etrico no lineal: ˙
x=f(x, µ), x∈Rn, µ∈Rp, (2.12) donde f es una funci´on Cr definida en un un abierto de
dremos que el sistema tiene un punto fijo en el origen4 y que dicho punto
fijo es no hiperb´olico. En el caso m´as sencillo, el Jacobiano del sistema tiene un ´unico autovalor nulo y hay un solo par´ametro libre. De esta forma, la din´amica del sistema se divide en dos escalas temporales: una r´apida, aso- ciada a los autovalores con parte real no nula cuya din´amica es exponencial, y otra lenta, asociada al autovalor con parte real nula, donde tienen lugar los cambios estructurales del espacio de fases. Por tanto, podemos restringir el estudio del campo vectorial (2.12) al subespacio definido por los autovec- tores correspondientes a la din´amica lenta (la llamada variedad central, ver Ap´endice A), de tal forma que la ecuaci´on (2.12) sobre la variedad central se reduce a ˙ u=f(u, µ), u∈R1, µ ∈R1, (2.13) tal que f(0,0) = 0, (2.14) ∂f ∂u(0,0) = 0. (2.15)
La ecuaci´on (2.14) expresa la condici´on de punto fijo, mientras que la ecua- ci´on (2.15) es la condici´on de no hiperbolicidad de la proyecci´on del campo vectorial original sobre la variedad central.
En estas condiciones, existen cuatro tipos de bifurcaciones determinadas por la correspondiente forma normal, esto es, el campo vectorial asociado a dicho comportamiento en su forma m´as simple:
a) Bifurcaci´on de tiposaddle-node5: ˙u=µ+u2
La variaci´on del par´ametro µcrea o destruye un par de puntos fijos, uno estable y otro inestable. El punto fijo correspondiente es u1,2 = ±√−µ.
Por tanto, la ecuaci´on ˙u = 0 tiene dos soluciones reales si µ < 0 y nin- guna si µ > 0. En el primer caso, f0(u1) = 2√−µ > 0 (inestable) y
f0(u2) = −2√−µ < 0 (estable). Cuando µ = 0, el nodo y el punto de
silla convergen, siendo f0(u1,2) = 0, y por tanto µc = 0 es el punto de
bifurcaci´on.
4De no ser as´ı, siempre podemos hacer un cambio del sistema de referencia tal que
(x0, µ0) = (x−¯x, µ−µc), donde (¯x, µc) satisfacef(¯x, µc) = 0. Por simplicidad, nos referi- remos a las variables en el nuevo sistema de coordenadas sin tildes.
5Aunque literalmente saddle-node significa silla de montar-nodo, la traducci´on resulta
b) Bifurcaci´ontranscr´ıtica: ˙u=µu−u2
Dos puntos fijos, uno estable y otro inestable, intercambian su estabili- dad como consecuencia de la variaci´on de un par´ametro. Los puntos fijos correspondientes son u1 = 0 yu2 =µ. Por tanto, la ecuaci´on ˙u= 0 tiene
dos soluciones reales cuya estabilidad depende del signo de µ. En el caso
µ <0,u1 es estable (f0(u1) =µ < 0) yu2 es inestable (f0(u2) = −µ >0).
En el caso µ > 0, u1 es inestable (f0(u1) = µ > 0) y u2 es estable
(f0(u2) =−µ <0). Cuando µ= 0, el nodo y el punto de silla convergen,
siendo f0(u1,2) = 0, y por tanto µc= 0 es el punto de bifurcaci´on.
c) Bifurcaci´on depitchfork supercr´ıtica6: ˙u=µu−u3
La variaci´on del par´ametroµ permite transitar de una estructura mono- estable a una estructura biestable y viceversa. Los puntos fijos correspon- dientes son u1 = 0 y u2,3 = ±√µ. Por tanto, la ecuaci´on ˙u = 0 tiene
una soluci´on real si µ < 0 y tres si µ > 0. En el primer caso, u1 = 0
es estable (f0(u1) = µ < 0). En el segundo caso, la soluci´on u1 = 0 se
vuelve inestable (f0(u1) =µ > 0) y aparecen dos nuevas soluciones esta-
bles (f0(u2,3) = −µ < 0) con sus correspondientes cuencas de atracci´on
(los semiplanos positivo y negativo respectivamente). Cuando µ = 0, los tres puntos fijos convergen, siendo f0(u1,2,3) = 0, y por tanto µc= 0 es el
punto de bifurcaci´on.
d) Bifurcaci´on depitchfork subcr´ıtica: ˙u=µu+u3
Esta bifurcaci´on es an´aloga al caso supercr´ıtico, cuyos correspondientes puntos fijos son u1 = 0 y u2,3 = ±√−µ. El cambio de signo dentro de
la ra´ız cuadrada provoca una inversi´on en la estabilidad de las ramas del diagrama de bifurcaci´on, donde los puntos fijos no nulos existen solo si
µ < 0. En el intervalo µ > 0, el ´unico punto fijo (la soluci´on trivial)
es inestable. De esta forma, cualquier soluci´on con u(0) 6= 0 diverge en tiempo finito. F´ısicamente este tipo de comportamiento “explosivo” se evita debido a contribuciones de orden superior7. En este caso, podemos introducir un t´ermino de orden cinco que respeta la simetr´ıa del problema y compensa la inestabilidad debida al t´ermino c´ubico. As´ı, la ecuaci´on
˙
u=µu+u3−u5 da lugar al siguiente diagrama de bifurcaciones:
6Al igual que en el caso de la bifurcaci´on de tipo saddle-node, conservaremos el t´ermino
pitchfork en lugar de horca.
7Recordemos que las formas normales son los t´erminos principales de un desarrollo de
Figura 2.5: Hist´eresis y discontinuidad.
Como se puede ver, en un entorno deupeque˜no el diagrama es equivalen- te al de una bifurcaci´on de pitchfork subcr´ıtica, mientras que para valores mayores de u aparecen dos ramas que atrapan las soluciones divergentes. Este sistema tiene adem´as una caracter´ıstica muy importante: la hist´ere- sis. Al incrementar progresivamente el par´ametro µ, la soluci´on trivial es estable hasta el punto cr´ıtico µ = 0, donde la soluci´on evoluciona hacia la rama estable superior, apareciendo una discontuinuidad en sus valores asint´oticos. As´ı mismo, al disminuir µ la rama superior mantiene su es- tabilidad hasta alcanzar µ=µc, donde se vuelve inestable, forzando a la
soluci´on una vez m´as a regresar al punto fijo u= 0. ´Este es el mecanismo matem´atico para describir las transiciones discontinuas y con hist´eresis que estudiaremos a lo largo de esta tesis.
Finalmente, consideremos el caso de un solo par´ametro libre y dos autovalores con parte real cero, por ser de especial inter´es en la mayor´ıa de oscilaciones presentes en sistemas biol´ogicos:
e) Bifurcaci´on de Poincar´e-Andronov-Hopf
Esta bifurcaci´on (tambi´en llamada bifurcaci´on de Hopf) es propotipo de sistemas en los cuales el cambio en un par´ametro permite la transici´on en- tre una din´amica de reposo asociada a un punto fijo estable y una din´amica oscilatoria asociada a un ciclo l´ımite, siendo fundamental en el estudio de sistemas excitables (e. g. modelos neuronales). La expresi´on general de un campo vectorial no lineal sobre la variedad central bidimensional asociada
a dos autovalores complejos con parte real nula viene dada por ˙ u ˙ v = Reλ(µ) −Imλ(µ) Imλ(µ) Reλ(µ) u v + f1(u, v, µ) f2(u, v, µ) , (2.16)
donde el primer t´ermino corresponde al campo vectorial linealizado8 y el segundo t´ermino corresponde a la parte no lineal. Por tanto, los auto- valores de la matriz Jacobiana son λ(µ) = α(µ) +iω(µ) y su complejo conjugado ¯λ(µ) = α(µ)−iω(µ), de forma que α(0) = 0 es la condici´on de punto fijo no hiperb´olico. Se puede demostrar que existe un cambio de base tal que la parte no lineal del sistema (2.23) se reduce a su forma m´as simple. En coordenadas polares, dicha forma normal toma la expresi´on
˙
r=αr+ar3+O(r5),
˙
θ=ω+br2+O(r4). (2.17)
Si desarrollamos en serie de Taylor los coeficientesα(µ),ω(µ),a(µ) yb(µ) en torno a µ = 0 (es decir, en un entorno de µc donde se produce la
ruptura de hiperbolicidad), se obtiene ˙
r =α0(0)µr+a(0)r3+O(µ2r, µr3, r5),
˙
θ =ω(µ) +b(µ)r2+O(r4), (2.18)
donde 0 implica la derivada con respecto a µ. Despreciando los t´erminos de orden superior en (2.18), la forma normal (2.17) queda reducida a
˙
r =dµr+ar3,
˙
θ =ω+cµ+br2, (2.19)
siendo α0(0) ≡d, a(0)≡a, ω(0)≡ω,ω0(0)≡c y b(0) ≡b.
De esta forma, resulta inmediato comprobar que la ecuaci´on radial tiene dos puntos fijos,
r1 = 0 y r2 =
p
−dµ/a, (2.20)
siendo r2 el radio asociado a una ´orbita peri´odica, cuya amplitud es pro-
porcional a p|µ|. Tambi´en parece inmediato que la estabilidad de dicha ´
orbita depende del signo ded,ayµ, pues la derivada de la ecuaci´on radial respecto al radio evaluada en la ´orbita peri´odica es
∂rf(r2) = dµ+ 3|dµ| a
|a|. (2.21)
8Se asume que el sistema de referencia es tal que la matriz Jacobiana adquiere esta
estructura. De no ser as´ı, siempre se puede encontrar la transformaci´on lineal necesaria para ello.
No obstante, un estudio m´as cuidadoso revela que la estabilidad de la ´orbi- ta peri´odica solo depende del signo de a debido a la restricci´on impl´ıcita en (2.20). As´ı pues, a >0 implica que d y µhan de tener signos opuestos para garantizar quer2 sea real, y por tanto la ´orbita peri´odica es inestable
(∂rf(r2) = 2|dµ| >0). As´ı mismo, a <0 implica que d y µ han de tener
el mismo signo, y por tanto la ´orbita peri´odica es asint´oticamente estable (∂rf(r2) =−2dµ <0).
Por simplicidad, en lo que queda de apartado nos restringiremos al caso m´as simple (d= 1, a =−1, c= 0):
˙
r =µr−r3,
˙
θ =ω+br2. (2.22)
Cuando µ < 0, el origen es el ´unico punto fijo, siendo asint´oticamente estable, y as´ı todas las soluciones convergen sobre ´el formando espirales. No obstante, una vezµcruza el punto cr´ıtico, el origen se vuelve inestable y un ciclo l´ımite asint´oticamente estable de radio √µ emerge seg´un se incrementa el valor de µ, ilustrando as´ı la transici´on entre una din´amica estacionaria y una oscilatoria. Una vez m´as, podemos considerar el caso subcr´ıtico (a >0) y, en analog´ıa con la bifurcaci´on de Pitchfork subcr´ıtica, a˜nadir un t´ermino −r5 a la ecuaci´on para compensar el car´acter desesta-
bilizador del t´ermino c´ubico: ˙
r=µr+r3−r5,
˙
θ =ω+br2. (2.23)
De esta forma, el resultado de introducir tales cambios en el sistema se manifiesta a trav´es de un proceso de hist´eresis, como se ver´a justificado en el siguiente apartado. En particular, los puntos fijos de la ecuaci´on radial son los mismos que en el caso de la bifurcaci´on de Pitchfork subcr´ıtica, con la salvedad de que ahora excluimos los radios negativos:
r1 = 0, r2,3 =
r
1∓p1 + 4µ
/2 (2.24)
Por tanto, para valores de µ ligeramente negativos, un punto fijo estable en el origen y un ciclo l´ımite estable coexisten, separados por un ciclo l´ımite inestable9. Para µ = 0 el radio de la ´orbita inestable se reduce
9Cabe destacar la necesidad de la existencia de dicho ciclo l´ımite inestable, pues por
continuidad de las trayectorias, un ciclo l´ımite estable no puede contener en su interior un punto fijo estable sin que exista alg´un tipo de separatriz entre ambas variedades invariantes
al origen (r2 = 0), mientras que r3 = 1 permanece. As´ı pues, cuando
µ > 0 el ciclo l´ımite inestable desaparece (r2 ∈ C) y el origen se vuelve
inestable, forzando a las soluciones a “saltar” al ´unico atractor estable, el ciclo l´ımite asociado a r3. En otras palabras, el sistema sufre de forma
brusca oscilaciones de gran amplitud que permanecen incluso para valores
deµ <0, y solo desaparecer´an cuando los ciclos l´ımite estable e inestable
colisionen.
Bifurcaciones globales
Como su nombre indica, las bifurcaciones globales no pueden detectarse explorando un entorno peque˜no de un punto fijo, dado que tienen lugar en regiones amplias del espacio de fase. De esta forma, aparecen nuevos meca- nismos de creaci´on o destrucci´on de ciclos l´ımite.
a) Bifurcaci´on de tiposaddle-node en ciclos l´ımite
Un ejemplo de bifurcaci´on global es precisamente la colisi´on entre las ´
orbitas estable e inestable de las que habl´abamos en el caso µ < 0 de la bifurcaci´on de Hopf subr´ıtica (2.23). Si bien en el apartado anterior nos hemos preocupado por la bifurcaci´on en µ = 0, para valores de µ
ligeramente menores que cero las dos ´orbitas peri´odicasr2 y r3 coexisten
siempre y cuando el discriminante en (2.24) sea positivo. Cuando µ =
−1/4, el discriminante se hace cero y por tanto las dos ´orbitas peri´odicas se fusionan en una sola ´orbita de radior=p1/2, desapareciendo (r2,3 ∈ C) para valores µ < −1/4. Por tanto, queda justificado el fen´omeno de
hist´eresis del caso subcr´ıtico, pues las oscilaciones que emergen cuando el par´ametro cruza el punto cr´ıtico µ = 0 no desaparecen hasta llegar a la bifurcaci´on global enµ=−1/4.
b) Bifurcaci´on deper´ıodo infinito
Este tipo de bifurcaci´on est´a caracterizado por la aparici´on de dos puntos fijos sobre un ciclo l´ımite. Como ejemplo, veamos la siguiente combinaci´on de dos sistemas unidimensionales particularmente simples:
˙
r=r(1−r2),
˙
θ=µ−sinθ. (2.25)
En la componente radial, el origen es un punto fijo inestable y todas las trayectorias se aproximan al ciclo l´ımite estable con r = 1. En la compo- nente angular, el sistema es an´alogo a un oscilador con frecuencia natural
µ y un t´ermino perturbativo. As´ı mismo, tiene un punto de bifurcaci´on en µ = 1 asociado a una bifurcaci´on de tipo saddle-node. Por tanto, si
µ > 1 (altas frecuencias), la ecuaci´on angular no tiene puntos fijos y el
sistema presenta oscilaciones con sentido antihorario. Seg´un µ→ 1+, es-
tas oscilaciones comienzan a ralentizarse en torno aθ =π/2, hasta que en
µ= 1 aparece un punto fijo enθ = 2π y el tiempo necesario para realizar una oscilaci´on completa diverge a infinito. Para valores de µ < 1 (bajas frecuencias), el punto fijo se divide en dos, uno estable y otro inestable, determinados por θ1,2 = sin−1µ, desapareciendo as´ı la ´orbita peri´odica.
c) Bifurcaci´onhomocl´ınica
Una ´orbita homocl´ınica es una ´orbita cerrada que conecta un punto fijo de tiposaddle consigo mismo. Por tanto, este tipo de bifurcaci´on tiene lugar cuando la variaci´on de un par´ametro hace colisionar un ciclo l´ımite con un saddle, formando una ´orbita homocl´ınica para un cierto valor cr´ıtico. El estudio de este tipo de bifurcaci´on se lleva a cabo mediante un enfoque perturbativo llamado m´etodo de Melnikov (Guckenheimer and Holmes, 1983).