El modelo de Kuramoto original - Sincronizaci´ on de sistemas din´ amicos en redes complejas

2.3. Sincronizaci´ on de sistemas din´ amicos en redes complejas

2.3.1. El modelo de Kuramoto original

Este modelo fue propuesto por Yoshiki Kuramoto (Kuramoto, 1975, 2003) como paradigma en el estudio de la sincronización de sistemas biológicos, motivado particularmente por el trabajo de Winfree sobre la sincronización en poblaciones de luciérnagas (Winfree, 1967). No obstante, este sencillo modelo resoluble anal´ıticamente ha resultado ser extremadamente útil, sirviendo en la modelización de problemas en campos tan diversos como la F´ısica (Wiesenfeld et al., 1998), la Qu´ımica (Kim et al., 2004) o la Neurociencia (Cumin and Unsworth, 2007). En la literatura pueden encontrarse numerosas aportaciones debidas a su importancia como modelo para la comprensión y descripción de la sincronización en sistemas reales. Para una excelente aproximación general al problema, as´ı como una revisión de la literatura al respecto, cabe destacar (Strogatz, 2000; Acebrón et al., 2005). Respecto al estudio de la estabilidad de las soluciones destacamos (Strogatz and Mirollo, 1991; Strogatz et al., 1992; Mirollo and Strogatz, 2005, 2007), estudio extendido y corregido en términos de la variedad central (Crawford, 1994). As´ı mismo, la distribución de frecuencias naturales puede dar lugar a transiciones con histéresis tanto en

el modelo de Kuramoto (Martens et al., 2009) como en la versión estocástica (Bonilla et al., 1992). Por último, un interesante enfoque en términos de funciones de Lyapunov se puede encontrar en (Van Hemmen and Wreszinski, 1993).

El modelo de Kuramoto consiste en un conjunto de osciladores con una frecuencia naturalwi propia (aquella que determina su fase individualmente)

y un término de acoplamiento no lineal que depende de la diferencia de las fases de cada par de osciladores conectados. En el modelo original, todos los osciladores están acoplados entre s´ı y la ecuación que rige la dinámica del sistema es: ˙ θi =wi+ σ N N X j=1 sin(θj −θi), i= 1, ..., N, (2.26)

donde σ es la constante de acoplamiento y N el número de osciladores del sistema. Es inmediato advertir que el modelo de Kuramoto es precisamen- te la formulación moderna y general del fenómeno observado por Huygens, donde los osciladores acoplados intercambian energ´ıa gracias a una fuerza de interacción. Como resultado, las oscilaciones se van ajustando progresivamente hasta alcanzar el estado de sincronizaciónθ1 =θ2 =...=θN, siempre

y cuando la constante de acoplamiento sea suficientemente grande.

Antes de proseguir con el tratamiento general, consideremos el modelo de Kuramoto en su formulación más sencilla. Si atendemos a un solo elemento aislado, un oscilador de Kuramoto es simplemente un flujo en la circunferencia caracterizado por la ecuación

θ =ω. (2.27)

Por tanto, las soluciones son oscilaciones regulares del tipo θ =ωt+θ0. La

particularidad del modelo de Kuramoto está en considerar un acoplamiento no lineal. En el caso más simple, la ecuación de Kuramoto para dos osciladores es ˙ θ1 =ω1+σ sin(θ2−θ1), ˙ θ2 =ω2+σ sin(θ1−θ2). (2.28) Este sistema de dos ecuaciones se puede reducir a un sistema unidimensional mediante el cambio de variables φ =θ2 −θ1, de forma que

φ = ∆₋2σ sin(φ), (2.29)

donde ∆ = ω2 −ω1, σ regula la intensidad de la interacci´on y ˙φ = 0 es la

t0 = 2µt y el parámetro µ = ∆/2σ, recuperamos la ecuación angular del ejemplo de la bifurcación de per´ıodo infinito (ver sección 2.2.3), caracterizada por una bifurcación de tipo saddle-node en µ = 1 (σ = ∆/2). Para valores de acoplamiento σ < ∆/2, el sistema no tiene puntos fijos y los osciladores no pueden sincronizarse. Cuando σ > ∆/2 aparecen dos puntos fijos, uno estable y otro inestable, siendo el punto fijo estable el atractor responsable de que ambos osciladores sincronicen. El punto cr´ıticoσc= ∆/2 que separa el

estado s´ıncrono del estado incoherente resulta ser proporcional a la diferencia en frecuencias naturales. De esta forma, cuanto m´as diferentes sean ω1 y ω2,

tanto más se deberá incrementarσ para lograr que el sistema sincronice. Una vez alcanzado el estado de sincronización asociado a ˙φ = 0, los osciladores giran con una diferencia de faseφconstante a la misma frecuencia instantánea de sincronización ωs = hωi. Si incrementamos aún más σ, la diferencia de

fases se reduce progresivamente, y en el l´ımite σ _{→ ∞} el sistema acaba sincronizando tanto en frecuencia como en fase.

Una vez entendido el modelo en su configuración más sencilla, podemos estudiar el caso original de un sistema conN osciladores acoplados todos con todos. Introduciendo notación compleja, podemos reexpresar (2.26) como

θi =wi +σrsin(ψ−θi), i= 1, ..., N, (2.30)

con tal de introducir el cambio de variables

r(t)eiψ(t) = 1 N N X j=1 eiθj(t)_. _(2.31)

De esta forma, reiψ _{es un n´}_{umero complejo cuyo argumento} _ψ _{es la fase}

promedio del sistema, y cuyo módulo r da cuenta de la sincronización ins- tantánea de los osciladores. Considerando cada oscilador como un vector de módulo unidad y ánguloθ en el plano complejo, si el sistema está en el estado incoherente la suma de todos los vectores en (2.31) dará como resultado un vector de módulo r_'0, mientras que si el estado es s´ıncrono, todos los vectores rotarán al un´ısono y el parámetro de orden serár _'1 (cumpliéndose la igualdad estricta solo cuando t_{→ ∞}en el l´ımite termodinámico). La transi- ción de un estado al otro determina un cierto valor cr´ıtico de la constante de acoplo σc tal que, para σ > σc, el sistema evoluciona del estado incoherente

al estado (parcialmente) s´ıncrono.

Para poder definir el grado de sincronizaci´on global del sistema debemos introducir una serie de consideraciones previas. En primer lugar, el atractor del sistema (ver Ap´endice A) es una variedad diferenciable definida por la

condici´on de sincronizaci´on θ1 = θ2 = ... = θN. Esta variedad invariante

existe siempre, pero su estabilidad como atractor depende del valor de σ, siendo inestable para valores de σ < σc. Seg´un se incrementa el valor de σ

por encima de dicho punto cr´ıtico, las soluciones convergen progresivamente y de forma asintótica sobre la variedad. Por tanto, el grado de sincroniza- ción global ha de dar cuenta del número de osciladores que asintóticamente convergen sobre la variedad invariante. Partiendo del grado de sincroniza- ción instantáneo r(t), esta condición de comportamiento asintótico equivale a descartar el intervalo de tiempo correspondiente al estado transitorio del sistema, garantizando as´ı que el grado de sincronización es representativo de su dinámica asintótica. As´ı mismo, para evitar fluctuaciones debidas a efec- tos de tamaño finito, tomaremos un promedio temporal _h._iT del parámetro de orden (una vez descartado el transitorio) sobre un intervalo de tiempo T

suficientemente grande. De esta forma, definimos la sincronizaci´on global de un sistema con N osciladores como

S = 1 Nh| N X j=1 eiθj_|i T. (2.32)

Una vez definida la sincronización global del sistema, procedemos al estudio anal´ıtico de la sincronización del modelo de Kuramoto en el l´ımite termo- dinámico mediante el paso al continuo de las ecuaciones (2.30) y (2.31)10. Este procedimiento implica la introducción de una función densidad de probabilidad ¯ρ(θ, ω, t) que debe satisfacer la condición de normalización y la ecuación de continuidad: Z ∞ −∞ Z 2π 0 dθdωρ¯(θ, ω, t) = 1, (2.33) ∂tρ¯(θ, ω, t) +∂θ( ¯ρ(θ, ω, t) ˙θ) +∂ω( ˙ωρ¯(θ, ω, t) ˙ω) = 0. (2.34)

Por tanto, esta formulación se interpreta como un continuo de osciladores sobre la circunferencia unidad, de tal forma que ¯ρ(θ, ω, t)dθdω es la fracción de osciladores con fases y frecuencias naturales comprendidas en los intervalos (θ, θ+dθ) y (ω, ω+dω) respectivamente. Si consideramos as´ı mismo la función de distribución de las frecuencias naturales, g(ω), como la probabilidad de que un oscilador i tenga ωi =ω, entonces

g(ω) =

Z 2π

dθρ¯(θ, ω, t), (2.35)

10_{Si bien Kuramoto hizo uso del concepto de densidades, no utiliz´}_{o la formulaci´}_{on conti-}

nua para obtener soluciones anal´ıticas. En su lugar, a partir de la condici´on de sincronizaci´on propuso dos subpoblaciones de osciladores (aquellos que la verificaban y aquellos que no) y una serie de condiciones sobre las densidades que los describ´ıan. Para un tratamiento detallado se puede consultar [Strogatz, 2000].

y por tanto, la ecuaci´on de continuidad se reduce a

∂tρ(θ, ω, t) +∂θ(vρ(θ, ω, t)) = 0, (2.36)

donde hemos tenido en cuenta que las frecuencias naturales no dependen del tiempo ( ˙ω = 0) y que la densidad de probabilidad se puede descomponer como ¯ ρ(θ, ω, t) =ρ(θ, ω, t)g(ω), (2.37) Z 2π 0 dθρ(θ, ω, t) = 1. (2.38)

Antes de sustituir la expresión (2.30) para la velocidad v = ˙θ en la ecua- ción de continuidad, queremos llamar la atención sobre un par de aspectos importantes. En primer lugar, la condición de punto fijo en la ecuación de continuidad corresponde a la condición de estacionariedad de la densidad de distribuciónρ(θ, ω, t). Esta condición es equivalente, en el caso de la ecuación de Kuramoto, a exigir soluciones estacionarias del parámetro de ordenr(t), garantizando que los osciladores sincronizan a la frecuencia de sincronización Ωs mientras su fase se aproxima a la fase promedio ψ. En el l´ımite σ → ∞,

todos los osciladores tienen la misma frecuencia de sincronización y la misma faseψ(t) = Ωst. Esta última ecuación permite elegir como sistema de referen-

cia aquel que gira con frecuencia Ωsmediante la transformaci´onθ0 =θ+ Ωst,

y por tanto, sustituyendo ambas ecuaciones en (2.30) y omitiendo el cambio de notación, la ecuación de evolución de un oscilador con fase θ y frecuencia naturalω queda reducida a

θ=w₋Ωs−σrsinθ. (2.39)

En segundo lugar, esta ecuaci´on determina dos subpoblaciones, ρL (locked)

y ρD (drift), caracterizadas por diferentes comportamientos a largo plazo

derivados de la condici´on de sincronizaci´on, ω ₋ Ωs = σrsinθ. Por un la-

do, los osciladores pertenecientes aρL están caracterizados por la condición |ω₋Ω_{s| ≤} σr, que garantiza la existencia de un punto fijo estable correspondiente a ¯θ = sin−1(ω/σr), siendo _|θ_{| ≤} π/2. Por tanto, los primeros osciladores en converger sobre el atractor son aquellos con frecuencia natural próxima a Ωs, y su número se va incrementando según aumenta el valor de σ₋σc. Cuanto más extremal sea la frecuencia natural de un oscilador, tanto

mayor tendrá que ser el acoplamiento necesario para conseguir que cumpla la condición de sincronización. Por otro lado, los osciladores que cumplen

|ω₋Ωs| > σr oscilan de forma no uniforme, lo que podr´ıa dar lugar a una

Por ello, Kuramoto exigió “ad hoc” que la distribución de osciladores a la derivaρDfuera una distribución estacionaria. Esta exigencia intuitiva se vuel-

ve natural en la formulaci´on continua, donde la condici´on de estacionariedad

∂tρ= 0 es de por s´ı la condici´on de punto fijo. A esta ventaja conceptual se

le une el hecho de que la formulación continua es susceptible de un análisis clásico de estabilidad (ver referencias al principio de este apartado).

Una vez llegados a este punto, la formulaci´on continua de las ecuaciones (2.30) y (2.31) es ∂tρ(θ, ω, t) +∂θ([ω+σrsin(ψ −θ)]ρ(θ, ω, t)) = 0 (2.40) reiψ = Z ∞ −∞ Z 2π 0 dθdωg(ω)ρ(θ, ω, t)eiθ. (2.41)

Por tanto, las soluciones estacionarias de (2.40) son las soluciones de la densidad de probabilidad asociadas al estado incoherente, al estado parcialmente s´ıncrono (donde coexisten ρL y ρD) y al estado completamente s´ıncrono. En

el primer caso, la soluci´on incoherente es equivalente a que la probabilidad de encontrar θ en cualquier punto entre 0 y 2π sea constante, y por tanto

ρ= 1/2π queda determinada por la condición de normalización (2.38). Sus- tituyendo ρ= 1/2π en (2.40) y (2.41), la solución trivial verifica la ecuación de continuidad y la condición de incoherencia r = 0. En el caso opuesto, la condición de sincronización completa es equivalente a exigir que todos los osciladores tengan la misma fase ψ, y por tanto ρ = δ(θ₋ψ) satisface la ecuación de continuidad y la condición de sincronización r= 1.

En el estado de sincronización parcial (r > 0) la distribución estacionaria debe ser un caso intermedio, donde los osciladores pertenecientes al centro de la distribución corresponden con la subpoblación sincronizada, cuya fase está determinada por el punto fijo del modelo de Kuramoto (2.30), mientras que las colas de la distribución corresponden con la subpoblación a la deriva. Por ello, buscaremos aquellas distribuciones representativas del comportamiento asintótico ρ∞(θ, ω) ≡ ρ(θ, ω, t → ∞) tales que r > 0 (Fig. 2.6). La condición de estacionariedad ∂tρ∞ = 0 implica que vρ∞ = C(ω) es independiente de la fase θ, y por tanto

ρ∞(θ, ω) = C(ω)

ω+σr∞sin(ψ₋θ). (2.42)

Esta distribuci´on se divide en dos subpoblaciones en funci´on del signo del denominador: si _|ω_| < σr∞, el denominador cambia de signo de forma

Figura 2.6: Evolución del parámetro de orden en función del tiempo para acoplamientos super y subcr´ıticos.

peri´odica, y dado que ρ∞ ≥ 0, necesariamente C(ω) = 0. Si |ω| > σr∞, la condici´on anterior implica que C(ω) es positiva (negativa) cuando ω > 0

(ω < 0), quedando determinada por la condici´on de normalizaci´on (2.38).

Por tanto, ρ∞(θ, ω) = ( δ(θ₋ψ₋sin−1(_σrω ∞)), |ω|< σr∞ sign(ω)√ω2₋_σ2_r2_/₂_π ω+σr∞sin(ψ−θ) , |ω|> σr∞ (2.43) donde _|ω_| < σr∞ corresponde al conjunto de osciladores cuya fase −π/2 ≤

θ_≤π/2 es igual a la del punto fijo ¯θ =ψ+sin−1(_σrω

∞), mientras que|ω|> σr∞ corresponde a la distribución estacionaria de osciladores a la deriva. Usando el sistema de referencia corrotante y sustituyendo (2.43) en la ecuación (2.41), el parámetro de orden resulta

r∞= Z σr∞ −σr∞ Z 2π 0 dθdωg(ω)δ(θ₋θ¯)eiθ (2.44) Las integrales correspondientes a los intervalos (_−∞,₋σr∞) y (σr∞,∞,) se cancelan entre s´ı, pues el integrando es impar bajo la transformaci´on (θ, ω)_→ (θ+π,₋ω), ya queρ(θ+π,₋ω) =ρ(θ, ω),g(₋ω) =g(ω) yei(θ+π) =₋eiθ. Por tanto, tan solo los osciladores pertenecientes a ρL contribuyen al par´ametro

de orden, dando como resultado

r∞= σr∞ 2 Z 2π 0 dθcos2θg(σr∞sinθ). (2.45) Eliminando la soluci´on trivial, r∞ queda determinada impl´ıcitamente por la ecuaci´on 1 = σ 2 Z 2π 0 dθcos2θg(σr∞sinθ), (2.46)

Figura 2.7: Evolución del parámetro de orden en función del acoplamiento en los casos (a) supercr´ıtico y (b) subcr´ıtico. En ambos casos, la regiónr= 0 se vuelve inestable para σ > σc. En el caso subcr´ıtico, la l´ınea discontinua

representa una regi´on inestable de la soluci´on s´ıncrona.

cuyas soluciones existen solo para σ > σc. Tomando el l´ımite r∞ → 0+ correspondiente aσ=σce integrando se obtiene 1 = (σc/2)πg(0). Por tanto,

σc=

πg(0). (2.47)

As´ı mismo, desarrollando en serie de Taylor la función de distribución de las frecuencias naturales, se obtiene que el parámetro de orden escala con el parámetro cr´ıtico como r∞ ∝

µ/₋g00_{(0), donde} _µ _{= (}_σ₋_σ

c)/σc. Por

tanto, y en analog´ıa con la expresi´on r2 =

√

dp₋µ/a del punto fijo de la ecuación radial de la bifurcación de Hopf (2.20), el signo de g00(0) determina si la bifurcación en el modelo de Kuramoto es supercr´ıtica, g00(0) < 0 (Fig. 2.7(a)), o subcr´ıtica,g00(0) >0 (Fig. 2.7(b)), y por tanto sujeta a histéresis.

2.3.2. El modelo de Kuramoto en redes complejas: la

ruta a la sincronizaci´on

El modelo de Kuramoto original es un modelo de campo medio donde todos los osciladores están sometidos al mismo campo de interacciónσr debido a que todos los nodos están conectados entre s´ı. No obstante, podemos generalizar este modelo a un sistema topológicamente no trivial sin más que introducir la matriz de acoplamientoσij y la matriz de adyacenciaAij, donde Aij = 1 si los nodos i y j están conectados y Aij = 0 en caso contrario. La

˙ θi =wi+ 1 N N X j=1 σijAijsin(θj −θi), i= 1, ..., N (2.48)

En este contexto, la matriz de adyacencia11 _{define una particular topo-}

log´ıa en el sistema, cuya elección concreta puede ser determinante en el comportamiento dinámico y especialmente en las caracter´ısticas de la transición entre los estados s´ıncrono y as´ıncrono (Moreno and Pacheco, 2004; Ichinomi- ya, 2004; Restrepo et al., 2005).

El hecho de introducir una topolog´ıa espec´ıfica abre nuevas posibilidades en el análisis de la sincronización. En ausencia de una aproximación de campo medio, ¿es adecuado mantener el parámetro de orden global del modelo de Kuramoto? Este parámetro de orden da cuenta del comportamiento medio del sistema. No obstante, perdemos toda información sobre los procesos internos de sincronización que están teniendo lugar entre los elementos de la red. Debido a la complejidad del problema, la mayor parte de los estu- dios realizados para tratar de responder a la pregunta son numéricos, si bien existen algunos tratamientos anal´ıticos bajo ciertas restricciones sobre la topolog´ıa de la red. Comenzaremos por este caso, y en particular, seguiremos el análisis propuesto por (Restrepo et al., 2005).

Para paliar las deficiencias de un par´ametro de orden global, se puede introducir un par´ametro de orden local ri mediante la identidad rieiφi = PN

j=1Aijhe

iθj_i

t, redefiniendo el par´ametro de orden global como

r = PN i=1ri PN i=1ki . (2.49)

De esta forma, y para el caso de un acoplamiento de campo medio, i. e.

σij = σ, la ecuaci´on original del modelo de Kuramoto (2.26) se transforma

θi =wi−σrisin(θj−θi)−σhi(t), (2.50)

dondehi(t) = Im{e−iθiP_jN₌₁Aij(heiθjit−e iθj

)_}es despreciable fuera de un en- torno del punto cr´ıtico y siempre y cuando la conectividad de la red sea lo 11_{Si bien es f´ısicamente m´as significativo usar la notaci´}_{on expuesta en la ecuaci´}_{on (2.48),}

es común expresar el caso de un acoplamiento no homogéneo a través de una matriz de adyacencia pesada, i. e. Ωij ≡σijAij. Este caso es especialmente útil cuando la interacción se var´ıa de forma global, asociando a un parámetro de acoplamiento homogéneo σ una variación no homogénea de la interacción de cada enlace, i. e.σΩ.

suficientemente grande, es decir, que la red sea densa. A continuación, se procede aplicando un tratamiento análogo al del apartado anterior con la asunción extra de que el grado de los primeros vecinos es alto, lo que permite despreciar la contribución debida a los osciladores a la deriva. El parámetro de orden local queda por tanto reducido a la expresión

ri = X |ωj|≤σrj Aij s 1₋ ωj σrj 2 . (2.51)

Las limitaciones de esta aproximación radican tanto en las asunciones sobre las propiedades de la red como en el hecho de que se deben conocer exacta- mente todas las frecuencias del sistema para poder resolver la ecuación (2.51). Por tanto, en base a la condición impuesta de redes densas, podemos asumir que el conjunto de frecuencias naturales de los vecinos de un cierto nodo son representativas de la distribución g(ω). De esta forma, podemos ponderar cada contribución ωi con su correspondiente probabilidad, resultando

ri = X j Aij Z σrj −σrj g(ω) s 1₋ ω σrj 2 dω. (2.52)

Si introducimos el cambio de variables x = ω/σrj y desarrollamos g(ω) en

serie de Taylor en torno a rj = 0, la expresi´on del par´ametro de orden local

a primer orden cuandor _→0+ _{se reduce a} r0_i = σ

Kc X

Aijrj0, (2.53)

donde_Kc= 2/πg(0) es el acoplamiento cr´ıtico del modelo de Kuramoto origi-

nal. En notaci´on vectorial, (2.53) es equivalente a la ecuaci´on de autovalores

Av = (_Kc/σ)v, y por tanto Kc/σ = _{λ1, ..., λN}. El acoplamiento cr´ıtico

corresponde con el valor m´ınimo de σ que satisface (2.53), es decir,

σc= Kc

λmax

, (2.54)

siendo λmax el m´aximo autovalor de la matriz de adyacencia. De esta ecua-

ción se deduce que el acoplamiento cr´ıtico es mayor en redes homogéneas que en redes heterogéneas, pues λSF

max> λERmax. No obstante, predice err´oneamente

una ausencia de punto cr´ıtico para redes heterog´eneas en el l´ımite termodin´amico12, cuya existencia se ha comprobado aplicando finite size scaling

mediante simulaciones num´ericas (Moreno and Pacheco, 2004).

12_{Esto es debido a la relaci´}_{on del acoplamiento cr´ıtico con los dos primeros momentos}

de la distribución de grado (Eq. 2.59), pues la desviación t´ıpica de la distribución de grado en redes SF diverge paraN _{→ ∞}.

Finalmente, podemos establecer la conexi´on entre este modelo y el modelo de campo medio si consideramos la aproximaci´onri ∼ki, es decir, que el valor

de la sincronizaci´on local es proporcional al n´umero de vecinos. En particular,

ri =rki, y por tanto r= 1 ki N X j=1 Aijhriθjit . (2.55)

Sumando sobre N la ecuaci´on (2.52) y sustituyendo x = ω/σrj y rj = rkj,

se obtiene la expresi´on N X j kj =σ N X j k_j2 Z 1 −1 g(xσrkj) √ 1₋x2_d_x, _(2.56)

que en el l´ımite continuo toma la forma

Z kP(k)dk =σ Z k2P(k)dk Z 1 −1 g(xσrkj) √ 1₋x2_d_x. _(2.57)

El valor del acoplamiento cr´ıtico corresponde al l´ımite r_→0+_{, y por tanto}

Z kP(k)dk =σc Z k2P(k)dk Z 1 −1 g(0)√1₋x2_d_x₌ σcg(0)π 2 Z k2P(k)dk, (2.58) es decir, σc=Kc h k_i hk2_i. (2.59)

De esta forma, la condici´on de sincronizaci´on σ > σc (r > 0) se traduce en

la inecuación σg(0)π 2 Z k2P(k)dk > Z kP(k)dk. (2.60) La otra v´ıa de aproximación consiste en exploraciones numéricas del punto cr´ıtico de la transición a la sincronización (Watts, 2001; Hong et al., 2002; Moreno and Pacheco, 2004; Vega et al., 2004), si bien el resultado más rele- vante en este campo es el debido a (Gómez-Gardeñes et al., 2007a,b), donde se introducen una serie de medidas locales para describir la ruta a la sincro- nización, es decir, los particulares mecanismos microscópicos que llevan a la emergencia de la sincronización global.

En primer lugar, además del parámetro de sincronización global r, de-

In document Transiciones irreversibles en redes complejas (página 42-129)