Transiciones irreversibles en redes complejas

Texto completo

(1)CENTRO DE TECNOLOGÍA BIOMÉDICA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID. TESIS DOCTORAL:. TRANSICIONES IRREVERSIBLES EN REDES COMPLEJAS. Adrián Navas Santo-Tomás MCs en Fı́sica Fundamental. SUPERVISORES:. Inmaculada Leyva Callejas Alexander Pisarchik 2015.

(2)

(3) Dedicado a mis padres, por todo.. I.

(4)

(5) AGRADECIMIENTOS Gracias a... Luis Garay, por los intermedios hablando de cine, por sus papeles estelares, por preguntarme en el pasillo de la Facultad “¿Pero tú qué quieres hacer?” y meterme el gusanillo de la investigación cuando nunca me lo habı́a planteado. David Gómez-Ullate, por proponerme una tesina cuando le pedı́ un trabajo y por abrirme la puerta. Inmaculada Leyva, por acoger y tenerle una paciencia infinita a un estudiante de Máster que buscaba cerebros y encontró osciladores. Stefano Boccaletti, por contar conmigo sin conocerme y por la bistecca fiorentina. Francisco del Pozo y al personal del CTB/UPM por darme la posibilidad de realizar esta tesis. José Antonio Villacorta por compartir conmigo el mejor último año de mi beca. Y a todos los que habéis estado ahı́, compartiendo vuestro camino y vuestro conocimiento conmigo sin pedir nada a cambio, en esa red invisible del dı́a a dı́a.. III.

(6)

(7) ÍNDICE GENERAL. Abstract. VII. Resumen. IX. 1. Introducción. 1. 2. Sistemas complejos. 7. 2.1. Teorı́a de redes complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 2.1.1. Propiedades generales . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 2.1.2. Clasificación de redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 2.1.3. Centralidad en redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2. Sistemas dinámicos no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.1. Soluciones de equilibrio y estabilidad . . . . . . . . . . 15 2.2.2. Soluciones periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.3. Bifurcaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3. Sincronización de sistemas dinámicos en redes complejas . . . 30 2.3.1. El modelo de Kuramoto original . . . . . . . . . . . . . 30 V.

(8) 2.3.2. El modelo de Kuramoto en redes complejas: la ruta a la sincronización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.3. El modelo de Kuramoto con inercia . . . . . . . . . . . 44 2.3.4. Introducción a la sincronización explosiva . . . . . . . . 48 3. Transiciones de fase irreversibles. 57. 4. Conclusiones. 97. A. Variedades invariantes. 103. VI.

(9) ABSTRACT In this thesis we address the emergence of synchronization in systems of coupled oscillators in complex networks. We focus our attention on a particular kind of discontinuous transitions, named explosive synchronization, where the system changes abruptly from an incoherent state to a synchronous state. This emergent phenomena is analogous to those first order transitions typically associated with changes among the aggregate states of matter, and it is important in many different fields, such as spontaneous synchronization of neurons or spontaneous desynchronization in power grids. To analyze it, we introduce some methods of increasing generality in order to induce such a discontinuous transition by acting over the topology and the natural frequencies in several different ways. Likewise, we address the study of a more complex model in order to acquire deeper knowledge on the properties of this kind of transitions, where a hysteretic behavior is specially relevant. Finally, we propose a new quantitative approach in order to find the importance of each node in the route to synchronization, aiming to provide a characterization of the effects over the network’s units of the different methods able to induce an explosive transition. This approach allows us to show the inner mechanisms behind such explosive behavior in networks of coupled oscillators, being rooted by a frustration of the local synchronization process previous to the emergence of global coherence.. VII.

(10)

(11) RESUMEN En esta tesis se aborda la emergencia de sincronización en sistemas de osciladores acoplados. En particular, nos centraremos en la emergencia de un tipo de transición discontinua entre el estado incoherente y el estado sı́ncrono, llamada transición explosiva. Este fenómeno es análogo al de las transiciones de fase de primer orden asociadas a los cambios de agregación de la materia, cuya importancia abarca diversos campos, desde la sincronización espontánea de redes neuronales al riesgo de desincronización súbita entre los osciladores que componen la red de suministro de potencia eléctrica. Para analizar el problema, se introducen varios métodos de creciente generalidad cuyo efecto es inducir una transición explosiva al imponer una serie condiciones sobre la topologı́a y las frecuencias naturales de cada oscilador. Ası́ mismo, se aborda el estudio de un modelo algo más complejo con caracterı́sticas similares para entender en mayor profundidad las caracterı́sticas asociadas a este tipo de transiciones, siendo la histéresis una de las más destacadas. Finalmente, se propone un método cuantitativo para describir la importancia de cada nodo en el proceso de sincronización con el objetivo de estudiar y caracterizar el efecto sobre los nodos del sistema de los diversos métodos que inducen una transición explosiva. Este nuevo enfoque permite descubrir un proceso de frustración de la sincronización local en redes de osciladores acoplados, siendo el responsable de la emergencia de la sincronización explosiva.. IX.

(12)

(13) CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN Al contrario de lo que sucedió durante el siglo XX, la Ciencia del siglo XXI se caracteriza por disponer de numerosos métodos experimentales que le permiten obtener ingentes cantidades de datos. Hoy dı́a, el volumen de estos datos puede ser tal que ya solo su gestión es un desafı́o, cuánto más su análisis. Por tanto, el desarrollo de métodos que permitan explorar las propiedades de sistemas colectivos con un gran número de elementos se vuelve imprescindible. La gran revolución tecnológica en los campos de las telecomunicaciones y el VLSI (very large scale integration) ha tenido una participación fundamental en la espectacular mejorı́a que la generación y almacenamiento de datos ha experimentado, conformando no solo un problema de interés económico sino un campo de experimentación prácticamente ilimitado. La accesibilidad de estos datos ha propiciado un acercamiento de las ciencias menos formales a los métodos matemáticos de las ciencias naturales. Esta eclosión en diferentes áreas ha promocionado a su vez el desarrollo y generalización de métodos originalmente adscritos a campos de investigación más especializados, como el estudio de sistemas caóticos, formación de patrones, análisis de señales, machine learning o teorı́a de la información. Ahora es común encontrar análisis económicos basados en modelos estocásticos, caracterizar procesos epidémicos mediante autómatas celulares o cuantificar las propiedades de un idioma en términos de teorı́a de grafos. La cuestión fundamental que esta situación plantea es cómo tratar con un número tan elevado de elementos a la hora de intentar predecir la evolución en el tiempo de las dinámicas subyacentes. En este contexto, hay que destacar los trabajos pioneros de Ludwig Boltzmann en uno de los hitos de la fı́sica moderna, la Mecánica Estadı́stica, en la cual los fenómenos macroscópicos 1.

(14) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN emergentes de la materia se derivan de la mecánica clásica mediante métodos probabilı́sticos. La posterior revolución conceptual introducida por la Fı́sica Cuántica y, más tarde, por la Teorı́a del Caos, ha consolidado el papel de la probabilidad en contra del concepto clásico de trayectoria, reforzando el carácter impredecible de los eventos reales, donde conocer las condiciones iniciales que caracterizan un sistema (si es que es posible) es insuficiente para conocer su estado final. Todos estos factores han hecho especialmente relevante el estudio de los llamados sistemas complejos, donde el esfuerzo combinado de muchas disciplinas permiten analizar aquellos sistemas con un gran número de elementos en interacción que necesitan de un enfoque holı́stico para su comprensión. En particular, tres pilares fundamentales sostienen la formulación de los sistemas complejos. En primer lugar, la Teorı́a de Redes (Berge, 1958; Boccaletti et al., 2006; Newman, 2010) establece el contexto formal necesario para estudiar las propiedades estructurales de sistemas con un gran número de elementos interconectados. Los logros obtenidos por sı́ misma son suficientes para justificar su auge en los últimos años, aplicándose, por ejemplo, en la identificación de genes y proteı́nas relevantes en múltiples procesos, en el análisis de los flujos de información en redes sociales o en estudios sobre la robustez de redes tecnológicas reales, e. g. las redes de energı́a eléctrica. Por otro lado, la Teorı́a de Sistemas no Lineales (Jordan and Smith, 1987; Strogatz, 2001; Wiggins, 2003) permite trabajar con sistemas donde, además de la estructura topológica, cada elemento tiene una cierta dinámica natural propia. De esta forma, los métodos de análisis de ecuaciones diferenciales no lineales permiten investigar tanto el comportamiento propio de los elementos del sistema como los cambios en la dinámica colectiva mediante técnicas que permiten esquivar o vencer las limitaciones derivadas de la no analiticidad de los sistemas reales. Por último, la Mecánica Estadı́stica (Reichl and Prigogine, 1980; Stanley, 1987) es el primer hito cientı́fico en el estudio de la conexión entre las partes de un sistema a escala microscópica y los fenómenos emergentes a escala macroscópica. Sus herramientas permiten describir, apoyándose en la base matemática de la Teorı́a de Sistemas no Lineales, procesos tales como transiciones de fase, sistemas estocásticos o sistemas fuera del equilibrio. Dentro del amplio espectro de fenómenos emergentes en sistemas complejos, esta tesis se encuadra exclusivamente en el contexto de la sincronización en redes complejas (Pikovsky et al., 2002; Osipov et al., 2007). Este proceso, inherente a sistemas con un gran número de elementos conectados entre sı́ a través de una cierta estructura relacional, se manifiesta en numerosos sistemas naturales y biológicos donde las unidades tienden a interactuar de 2.

(15) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN forma coordinada bajo determinadas circunstancias. Como ejemplos, baste nombrar el funcionamiento de las células neuronales, las funciones metabólicas, las épocas de apareamiento, el uso del ritmo en los ritos tribales, las fases del sueño, las redes de telecomunicaciones o las redes de distribución de energı́a eléctrica. Ası́ pues, el grado de sincronización depende de cuán coordinados estén los elementos de cada sistema. Matemáticamente, dicho grado se cuantifica a través de un cierto parámetro de orden, cuya evolución es tı́picamente función de la fuerza de interacción entre sus elementos. De esta forma, si la interacción es débil, el sistema se mantiene en un estado incoherente o ası́ncrono. Según se incrementa dicha interacción, la dinámica del sistema se reorganiza microscópicamente hasta alcanzar un cierto acoplamiento crı́tico tal que sus elementos pueden sincronizar entre sı́. Si la interacción es fuerte, el sistema es capaz de sincronizar completamente. Esta transición del estado incoherente al estado sı́ncrono puede a su vez clasificarse en dos clases. Por un lado, si el valor del parámetro de orden es una función suave de la intensidad de la interacción, hablamos de transiciones de fase continuas, en analogı́a con las transiciones de fase de segundo orden, e. g. la orientación de los dipolos magnéticos en presencia de un campo magnético externo. No obstante, bajo ciertas condiciones el sistema evoluciona súbitamente de un estado totalmente ası́ncrono a un estado totalmente coherente, siendo habitual la irreversibilidad del proceso a través de un fenómeno de histéresis, y en tal caso hablamos de transiciones de fase discontinuas, en analogı́a con las transiciones de fase de primer orden, e. g. los cambios de estado clásicos de la materia. Las condiciones que determinan si la transición será continua o discontinua y/o irreversible son el eje central de esta tesis, y dependen tanto de las propiedades dinámicas de cada elemento como de su estructura relacional. Los primeros resultados al respecto (Pazó, 2005) demostraron que al imponer una distribución uniforme de frecuencias naturales en un sistema de osciladores de Kuramoto (Kuramoto, 1975), los osciladores se mantenı́an desincronizados hasta alcanzar un cierto acoplamiento crı́tico, a partir del cual el sistema sincronizaba completamente con tal de esperar un tiempo suficiente, generando una discontinuidad en torno al punto crı́tico1 . Al proponer su modelo, Kuramoto ya hizo notar cómo una distribución bimodal de frecuencias naturales forzaba la aparición de dos subpoblaciones local1. Cabe destacar que la discontinuidad aparece como un cambio abrupto en el parámetro de orden al incrementar el parámetro de control, si bien este resultado asume que estamos evaluando el parámetro de orden para tiempos asintóticos. Naturalmente, dado un cierto valor del parámetro de control, el sistema siempre evolucionará en el tiempo de forma continua hacia su estado final.. 3.

(16) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN mente sı́ncronas en torno a los máximos de la distribución, alterando las propiedades de la transición. Este fenómeno fue explorado posteriormente encontrando transiciones discontinuas y con histéresis (Bonilla et al., 1992; Crawford, 1994; Martens et al., 2009). No obstante, fue la publicación de un artı́culo en el campo de percolación (Achlioptas et al., 2009) el que atrajo la atención sobre la existencia de una inesperada transición abrupta, bautizada como transición explosiva. En el contexto clásico de percolación, la transición se produce al aumentar el número de enlaces de un sistema inicial con n nodos aislados. Si el número de enlaces añadidos está por debajo de un cierto umbral, el tamaño de las componentes conexas (subconjuntos de nodos conectados entre sı́) es de orden O(log(n)), coexistiendo múltiples componentes desconectadas entre sı́. No obstante, para un cierto número crı́tico de enlaces añadidos emerge una componente cuyo tamaño es de orden O(n). Este comportamiento es un ejemplo clásico de transición de segundo orden, pues una vez pasado el umbral crı́tico, el tamaño de la componente de orden O(n) se incrementa de forma continua. Sobre esta base, el caso propuesto por Achlioptas et al. consistı́a en aumentar el número de enlaces siguiendo lo que los autores bautizaron como la regla del producto, dando lugar ası́ a una transición discontinua. Este fenómeno fue rápidamente exportado al contexto de sistemas dinámicos, proliferando una serie de trabajos que describı́an transiciones explosivas en redes de osciladores de Kuramoto para topologı́as heterogéneas (Gómez-Gardeñes et al., 2011), ası́ como en sistemas caóticos (Leyva et al., 2012), siempre y cuando la frecuencia natural de cada nodo i fuera igual a su grado o número de vecinos, ωi = ki . A este tipo de transición abrupta se le llamó sincronización explosiva (ES por su nombre en inglés). Estos tres artı́culos (Achlioptas et al., 2009; Gómez-Gardeñes et al., 2011; Leyva et al., 2012) marcan el inicio de la investigación expuesta en esta tesis, que a lo largo de cinco publicaciones pretende alcanzar tres objetivos fundamentales: O.1 Estudiar diversos mecanismos que inducen sincronización explosiva. O.2 Entender y unificar los fundamentos de las transiciones explosivas. O.3 Describir los principios subyacentes a la histéresis que tı́picamente exhiben las transiciones irreversibles. Para ello, esta tesis se ha estructurado en cuatro capı́tulos. Tras el presente capı́tulo de introducción, el Capı́tulo 2 se dedica, en primer lugar, a presentar la teorı́a de redes complejas (2.1) y la teorı́a de sistemas dinámicos 4.

(17) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN (2.2). La combinación de ambos factores (topologı́a y dinámica) determina las propiedades de la transición entre el estado ası́ncrono y el estado coherente (2.3) y establece las bases de la transición explosiva (2.4). Posteriormente, el Capı́tulo 3 contiene las publicaciones derivadas del estudio de estas transiciones irreversibles, cuyos resultados se resumen a continuación: 1. Hysteretic transitions in the Kuramoto model with inertia (Olmi et al., 2014) Si bien este artı́culo no se engloba dentro del fenómeno de la sincronización explosiva, describe un modelo de Kuramoto con un término de inercia (Tanaka et al., 1997a,b), donde aparecen los dos fenómenos fundamentales de las transiciones de primer orden: una discontinuidad en el parámetro de orden y un fenómeno de histéresis. Este artı́culo completa el estudio inicial generalizándolo al caso de redes complejas, con aplicación a la red de energı́a eléctrica italiana, y sirve como motivación de la ubicuidad e importancia de las transiciones irreversibles en sistemas reales. 2. Explosive transitions to synchronization in networks of phase oscillators (Leyva et al., 2013a) Tras los primeros resultados de explosividad en redes heterogéneas, se plantea la cuestión de si es posible inducir una transición explosiva en el caso de redes homogéneas. La primera propuesta al respecto consiste en generar las redes de forma aleatoria con la condición extra de que un par de nodos i y j solo se podrán conectar si sus frecuencias naturales cumplen la condición |ωi − ωj | > γ, donde γ es un parámetro. De esta forma, la transición resulta tanto más explosiva cuanto mayor sea el valor de γ, siempre y cuando esté por encima de un cierto umbral mı́nimo γc . 3. Explosive synchronization in weighted complex networks (Leyva et al., 2013b) El siguiente paso es considerar la extensión natural del modelo anterior a cualquier tipo de red. Para ello, se considera la matriz que define la conectividad de una red dada a priori y se ponderan los enlaces de tal forma que aquellos con distancias |ωi − ωj | pequeñas sean muy poco relevantes. Este método es válido tanto para topologı́as homogéneas como heterogéneas con tal de elegir el peso P adecuado para los enlaces, i. e. Ωij = |ωi − ωj | y Ωij = |ωi − ωj |lij / j lij respectivamente, siendo 5.

(18) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN lij una particular medida de la importancia del enlace correspondiente (betweenness). 4. Effects of degree correlations on the explosive synchronization of scalefree networks (Sendiña-Nadal et al., 2015) Establecido en los trabajos anteriores un método general para inducir explosividad en una red cualquiera, exploramos los lı́mites de la condición de correlación ωi = ki en redes heterogéneas como inductor de transiciones explosivas. De esta forma, encontramos que el método de construir la red heterogénea es determinante a la hora de inducir explosividad, y lo relacionamos con las correlaciones existentes en la distribución conjunta de grado P (k, k 0 ). 5. Effective centrality and explosive synchronization in complex networks (Navas et al., 2015) Para concluir el estudio de la explosividad en redes complejas, proponemos un nuevo enfoque para el análisis cuantitativo de la evolución del sistema en su ruta a la sincronización. De esta forma, somos capaces de analizar y unificar los diferentes métodos propuestos en la literatura, encontrando que la sincronización explosiva es el resultado de una frustración en la emergencia de la sincronización. Finalmente, el Capı́tulo 4 reexamina el fenómeno de las transiciones irreversibles a partir de los resultados expuestos en los artı́culos precedentes, concluyendo cuáles son los aspectos principales involucrados en dichas transiciones y proponiendo algunas lı́neas de trabajo futuro.. 6.

(19) CAPÍTULO 2 SISTEMAS COMPLEJOS Una primera aproximación al concepto de sistema complejo consiste en establecer como tal a un conjunto de elementos que interaccionan a través de una estructura relacional no trivial y de unas reglas que describen la dinámica local de cada elemento. No obstante, esta definición es insuficiente para que un sistema sea categorizado como complejo, pues para ello es necesario incluir la impredictabilidad de ciertos sucesos. Es precisamente en este contexto que el concepto de complejidad adquiere sentido: los sistemas complejos exhiben, a escalas macroscópicas, fenómenos emergentes cuyas propiedades no se pueden deducir únicamente a partir de los subsistemas microscópicos que lo componen (Gell-Mann, 1995; Fuchs, 2014). Ası́ pues, en el estudio de la complejidad se hacen necesarios dos enfoques microscópicos: uno estructural, para poder describir correctamente las conexiones entre los elementos del sistema, y otro dinámico, donde establecer el comportamiento fundamental de cada elemento. Del estudio conjunto de la topologı́a del sistema, de la dinámica de sus elementos y de sus interacciones se espera entender aquellos fenómenos macroscópicos caracterı́sticos de los sistemas complejos, entre los cuales el fenómeno de sincronización ha logrado, como veremos, un lugar predominante en las últimas décadas. Para ello, estudiaremos en primer lugar los aspectos relacionados con el análisis estructural del sistema e introduciremos las herramientas necesarias para describir tanto la dinámica de cada elemento como los cambios en la dinámica global, aplicando finalmente ambas teorı́as al estudio de los modelos estudiados en la presente tesis.. 7.

(20) CAPÍTULO 2. SISTEMAS COMPLEJOS. 2.1.. Teorı́a de redes complejas. A la hora de describir la estructura de un sistema complejo, es necesario desarrollar una serie de herramientas que nos permitan abordar el estudio de sistemas cuyo tamaño y complejidad exceden con mucho enfoques analı́ticos o descriptivos. Para ello, el uso de la Teorı́a de la Probabilidad y de los métodos propios de la Mecánica Estadı́stica, ası́ como su aplicación mediante métodos numéricos, se vuelven indispensables. La Teorı́a de Redes, basada en la Teorı́a de Grafos (Erdős and Rényi, 1959; Bollobás, 1998b,a; West and otros, 2001; Bondy and Murty, 2008), se ha perfilado en los últimos años como un excelente candidato en la búsqueda de regularidades en redes reales, ası́ como en la elaboración de algoritmos de análisis y modelos que cuantifiquen y expliquen las propiedades de dichas redes (para una revisión completa de la teorı́a de redes complejas, se puede consultar (Newman, 2003; Boccaletti et al., 2006)). Se entiende por red un conjunto de nodos y conexiones, de tal forma que el número de nodos determina el tamaño de la red, mientras que el número de conexiones y su distribución determinan sus propiedades topológicas. Formalmente, una red se define mediante una 2-tupla (N , L), donde N es el conjunto formado por los nodos o vértices de la red y L es un subconjunto de pares de N , indicando ası́ que existe una conexión entre los elementos de dichos pares. En particular, si los enlaces determinan pares no ordenados (el enlace a → b es indistinguible del b → a) hablaremos de redes bidireccionales o no dirigidas. Si el orden de los pares es determinante, entonces la red será unidireccional o dirigida. En base a esto, podemos representar una red mediante una matriz de adyacencia A, tal que Aij = 1 si el par (i, j) ⊂ L, y Aij = 0 en el caso contrario. Por tanto, que una red sea bidireccional (unidireccional) se traduce en que su matriz de adyacencia sea simétrica (asimétrica). Finalmente, aunque sea un aspecto asociado a la dinámica, es común encontrar situaciones en las que a cada enlace se le hace corresponder un determinado peso (Barrat et al., 2004). En tal caso, la matriz de adyacencia toma valores continuos, tı́picamente normalizados, de forma que Ai,j → Wi,j ∈ (0, 1).. 2.1.1.. Propiedades generales. La primera propiedad que caracteriza estadı́sticamente una red es su distribución de grado. Definimos el grado de un nodoPi como el número de N enlaces que inciden en dicho nodo, es decir, ki = j=1 Aij . Por tanto, la 8.

(21) CAPÍTULO 2. SISTEMAS COMPLEJOS distribución de grado P (k) determina la probabilidad de encontrar un nodo con un cierto grado k. Ası́ mismo, la probabilidad de que un nodo de grado k esté conectado con un nodo de grado k 0 está determinada por la distribución conjunta P (k, k 0 ). Esta distribución permite caracterizar las redes en función de la existencia de correlaciones de grado, definiendo una red asortativa (disasortativa) como aquella con una correlación positiva (negativa) entre los grados de los nodos vecinos. Respecto a las posibles particiones de la red, se dice que una red es conexa si todos sus nodos están directa o indirectamente conectados entre sı́. En el caso de redes no conexas, se define una componente conexa como aquel subconjunto de nodos de la red que cumplen la condición previa. El concepto de componente conexa es especialmente útil en el contexto de percolación, donde se puede demostrar que en el régimen subcrı́tico tienen un tamaño de orden O(log(n)). En particular, se define la componente gigante como aquella componente conexa cuyo tamaño es de orden O(N ). Finalmente, una red presenta una estructura modular si existen particiones de la red donde la razón entre los enlaces dentro de cada partición (intra-enlaces) y los enlaces entre particiones (inter-enlaces) es alta y particularmente mayor que la esperada en el caso de redes aleatorias.. 2.1.2.. Clasificación de redes. Las propiedades estadı́sticas de P (k) determinan el grado medio hki y las fluctuaciones de grado hk 2 i como el primer y segundo momento de la distribución respectivamente. En función de dichas propiedades, podemos caracterizar dos tipos de redes muy importantes por su extensa aplicación en el contexto de redes complejas.. Redes homogéneas Erdős y Rényi inauguraron en 1959 lo que hoy conocemos como teorı́a de grafos a través del estudio de redes aleatorias (o ER) (Erdős and Rényi, 1959), es decir, aquellas en las cuales la probabilidad p de que un par de nodos estén conectados es la misma para todos los pares de la red. Si bien se puede construir dicho tipo de red fijando el número de nodos y enlaces y distribuyéndolos al azar, el proceso más extendido es el de establecer un grado 9.

(22) CAPÍTULO 2. SISTEMAS COMPLEJOS medio hki objetivo e ir conectando pares de nodos aleatorios con probabilidad p hasta alcanzar dicho grado medio. Por tanto, en este caso la construcción de una topologı́a aleatoria es un proceso binomial, donde la probabilidad de que el nodo i tenga un grado ki = k viene dada por la expresión N −1 k P (ki = k) = p (1 − p)N −1−k . (2.1) k Esta probabilidad converge a la distribución de Poisson si N es suficientemente grande (lı́mite termodinámico) y hki es constante: k −hki hki. P (k) = e. k!. .. (2.2). Por tanto, la distribución de grado de las redes de tipo ER está centrada en torno a un valor medio hki y tiene unas fluctuaciones hk 2 i finitas, dando lugar a que la mayor parte de los nodos tengan grados semejantes. De esta forma, las redes Erdős-Rényi son el paradigma de redes homogéneas, que si bien constituyen los inicios de la teorı́a de grafos, difı́cilmente se encuentran en la naturaleza, teniendo que recurrir a otros modelos para poder describirla (Newman et al., 2001; Katifori et al., 2010; Newman and Girvan, 2004; Latora and Marchiori, 2001).. Redes heterogéneas Una de las propuestas de modelos alternativos más relevantes por su adaptación a multitud de sistemas reales es la de redes libres de escala (o SF, del inglés scale-free), cuyo nombre remite al hecho de que el grado se distribuye a todas las escalas, sin estar acotado en ningún intervalo concreto1 . Estas redes están generalmente asociadas a distribuciones muy sesgadas que presentan las llamadas “heavy tails”, es decir, aquellos casos en los que la cola de la distribución se aleja significativamente del valor medio. Como resultado, encontramos topologı́as en las cuales la probabilidad de encontrar un nodo con muchas conexiones es pequeña, mientras que la probabilidad de encontrar nodos con pocas conexiones es muy grande. Esta propiedad, paradigma de las redes heterogéneas, se manifiesta matemáticamente a través de una ley de potencias en la distribución de grado p(k) ∼ k γ , introducida por primera vez en el contexto de redes complejas por D. Price al analizar la red de citas entre 1. Matemáticamente, la ley libre de escala tiene una repercusión extra: si p = xγ , basta conocer el valor de la función para una determinada escala del sistema, p0 = xγ0 , para conocer el valor de la función a cualquier escala, pues p = xγ = (αx0 )γ = αγ xγ0 = αγ p0 .. 10.

(23) CAPÍTULO 2. SISTEMAS COMPLEJOS artı́culos cientı́ficos (de Solla Price, 1965). Para una excelente introducción a las leyes de potencia, se recomienda (Newman, 2005). Computacionalmente, hay dos formas estándar de construir redes libres de escala. La primera de ellas hace uso del modelo de configuración (CM) (Bender and Canfield, 1978), válido en general para construir redes dada una determinada secuencia de grados D = k1 , k2 , ..., kN . En este caso, la secuencia se obtiene a partir de una distribución de grado libre de escala, asociando al primer nodo k1 radicales, al segundo nodo k2 , y ası́ sucesivamente. Finalmente, los radicales libres se conectan entre sı́ aleatoriamente, excluyendo autoconexiones, hasta que todos quedan emparejados. La segunda forma de construir redes SF consiste en utilizar el modelo de crecimiento propuesto por Barábasi-Albert (BA) (Barabási and Albert, 1999). Partiendo de m0 ≥ 2 nodos conectados todos con todos (para asegurarnos de que la red sea conexa), los nuevos nodos se conectan de uno en uno a los nodos de la red seminal, con una probabilidad proporcional al grado de cada nodo objetivo (elegido aleatoriamente de entre losPnodos ya existentes). La probabilidad de conexión es por tanto pi = ki / ki , configurando un proceso de crecimiento selectivo con una selección preferencial del enlace. De esta forma, los nodos de grado alto (hubs) tienden a acumular rápidamente más enlaces que el resto de la red. Finalmente, convergiendo asintóticamente (N → ∞) a la distribución teórica de una red SF con γ = 3, hki = cte, hk 2 i = ∞.. 2.1.3.. Centralidad en redes. Otra propiedad fundamental de las redes complejas es la llamada centralidad topológica (Borgatti, 2005), que da cuenta de la importancia de cada nodo en la red. Si bien existen diferentes criterios para determinar la centralidad de un nodo, nos ceñiremos a las tres medidas que se usarán en el Capı́tulo 3.. Centralidad de grado En primer lugar, la centralidad de un nodo se puede caracterizar direcPN tamente por su grado, ki = j=1 Aij o, en el caso de redes pesadas, por su P strength si = N j=1 Wij . La importancia se mide en función del número de vecinos o del peso total que estos adquieren, y es por tanto una medida de centralidad puramente local. 11.

(24) CAPÍTULO 2. SISTEMAS COMPLEJOS Centralidad de autovector Alternativamente, podemos definir la importancia de un nodo en función de la importancia de sus vecinos. Esta medida recursiva da lugar a una centralidad global, llamada centralidad de autovector, que se define de la siguiente forma: Sea Xi la centralidad del nodo i. Supondremos que la centralidad del nodo i depende de la centralidad del resto de la red de forma lineal, es decir, P Xi ∝ j∈Γi Xj , donde Γi es el conjunto de vecinos de dicho nodo. Usando la P definición de la matriz de adyacencia, Xi ∝ N j=1 Aij Xj , donde ahora podemos sumar sobre todos los nodos de la red. En notación vectorial, podemos reexpresar esta ecuación como AX = λX, siendo λ la inversa de la constante de proporcionalidad. Esta ecuación es precisamente la ecuación de autovalores asociada al operador A, de forma que a cada autovalor λ(i) le corresponde un autovector X(i) , cuyas componentes son los valores de la centralidad de cada nodo. Finalmente, para resolver el problema de la degeneración de centralidades (hay tantos autovectores como número de nodos), el teorema de Perron-Frobenius garantiza que podemos ordenar los autovalores de tal forma que λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λn , donde solo el autovector asociado al mayor autovalor tiene todas sus componentes positivas. Dado que la centralidad solo está definida para valores positivos, se concluye que la centralidad de un nodo i es la componente i -ésima del autovector X1 asociado al autovalor λ1 .. Centralidad de betweenness La última medida de centralidad que usaremos es la llamada betweenness centrality, una centralidad global que puede ser aplicada tanto a nodos como a enlaces. Para definirla, debemos introducir previamente el concepto de geodésica o shortest path como aquella secuencia de enlaces que une dos nodos de la red con el mı́nimo número de pasos (Wasserman, 1994; Latora and Marchiori, 2003). Por tanto, una medida de centralidad natural en el contexto de flujos de información es aquella que tiene en cuenta el número de geodésicas que pasan por un cierto nodo o enlace uniendo cada par de nodos de la red. De esta forma, Bi =. X. j,k∈N ,. njk (i) , njk j6=k. 12. (2.3).

(25) CAPÍTULO 2. SISTEMAS COMPLEJOS donde njk (i) es el número de geodésicas que unen el par de nodos (j, k) pasando por el nodo i y nij es el número total de geodésicas entre (i, j) (pues, en general, puede ser mayor que 1). Por tanto, la betweenness centrality permite detectar cuellos de botella, nodos o enlaces a través de los cuales la red se comunica entre sı́, y que pueden influir fuertemente en la estimulación o frustración de procesos que tengan que ver con la propagación de interacciones, como veremos en el caso de la sincronización explosiva en redes SF.. 13.

(26) CAPÍTULO 2. SISTEMAS COMPLEJOS. 2.2.. Sistemas dinámicos no lineales. Si la Teorı́a de Redes es la base en la descripción y análisis de la estructura de los sistemas complejos, la Teorı́a de Sistemas no Lineales (Jordan and Smith, 1987; Strogatz, 2001; Wiggins, 2003) permite establecer un segundo nivel de complejidad, otorgando a los nodos de la red una dinámica particular. Ası́ mismo, gracias a la Teorı́a de Bifurcaciones podemos analizar los cambios en el comportamiento de la dinámica colectiva del sistema, siendo por tanto la teorı́a fundamental en el estudio de las transiciones de fase. El comportamiento dinámico de cada elemento del sistema viene descrito, en general, por una ecuación diferencial o un mapa: ẋ = f (x, t; µ) , x 7→ g (x; µ) ,. (2.4) (2.5). donde x ∈ U ⊂ Rn , t ∈ R1 y µ ∈ V ⊂ Rp , siendo U y V entornos abiertos en Rn y Rp respectivamente. A partir de ahora, nos restringiremos al caso de sistemas dinámicos continuos y autónomos, es decir, aquellos que cumplen la ecuación ẋ = f (x; µ) ,. (2.6). es la derivada parcial con respecto a la variable independiente donde ẋ ≡ dx dt t, identificada en este contexto con el tiempo, y µ es un conjunto de parámetros caracterı́sticos del sistema. De esta forma, la ecuación (2.6) describe un campo vectorial cuyas soluciones están determinadas por un mapa de cierto intervalo I ⊂ R1 a Rn , esto es: x : I → Rn , t 7→ x(t), cuyo codominio Rn determina el espacio de fases de las posibles soluciones, siendo éstas tangentes al campo vectorial definido en (2.6). Dado que, por lo general, es difı́cil encontrar soluciones analı́ticas para problemas no lineales, conocer las propiedades geométricas de las posibles soluciones es, en muchos casos, más útil que conocer la solución en sı́ misma. Por tanto, de ahora en adelante fijaremos nuestra atención en describir las propiedades geométricas de las soluciones en el espacio de fases, ası́ como su comportamiento asintótico para tiempos t → ∞. 14.

(27) CAPÍTULO 2. SISTEMAS COMPLEJOS. 2.2.1.. Soluciones de equilibrio y estabilidad. Para obtener información sobre la geometrı́a del espacio de fases sin conocimiento a priori de las soluciones del sistema, una primera aproximación consiste en buscar aquellas soluciones que no dependen del tiempo y, a continuación, estudiar su estabilidad, es decir, el sentido de los flujos generados por el campo vectorial alrededor de dichas soluciones. De esta forma, se puede caracterizar el comportamiento cualitativo de las trayectorias en el espacio de fases desde un punto de vista puramente geométrico. Un punto fijo o solución estacionaria de equilibrio es un punto x̄ ∈ Rn tal que f (x̄) = 0. (2.7) En el caso de sistemas unidimensionales, los flujos del espacio de fases se reducen a trayectorias cuyo movimiento es monótono o constante. En sistemas con mayor dimensionalidad, el incremento de los grados de libertad otorga a las trayectorias una variedad de comportamientos mayor, como veremos más adelante. No obstante, antes de analizar la estabilidad de los puntos fijos debemos introducir previamente el concepto de estabilidad de una solución cualquiera x̃(t) de la ecuación (2.6): Definición (Estabilidad de Lyapunov.) x̃(t) se dice que es estable si, dado > 0, existe un δ = δ() > 0 tal que, para cualquier otra solución ỹ(t) de (2.6) que satisface |x̃(t0 ) − ỹ(t0 )| < δ, entonces |x̃(t) − ỹ(t)| < para t > t0 , t0 ∈ R. Definición (Estabilidad Asintótica.) x̃(t) se dice que es asintóticamente estable si es estable y, para cualquier otra solución ỹ(t) de (2.6), existe una constante b > 0 tal que, si |x̃(t0 ) − ỹ(t0 )| < b, entonces lı́m |x̃(t) − ỹ(t)| = 0. t→∞. En el caso de que la trayectoria de interés sea un punto fijo del sistema, x̃(t) = x̄(t), la estabilidad en el sentido de Lyapunov implica que cualquier trayectoria suficientemente cerca del punto fijo permanece cerca para todo tiempo t > t0 , mientras que la estabilidad asintótica, como su propio nombre indica, establece que las trayectorias suficientemente cercanas al punto fijo se aproximan a x̄(t) según t → ∞ (Fig. 2.1). Si bien estas definiciones nos permiten entender el concepto de estabilidad, no nos dan un método práctico para determinar si un punto fijo es estable o no. Para estudiar el comportamiento de las soluciones en un entorno 15.

(28) CAPÍTULO 2. SISTEMAS COMPLEJOS. Figura 2.1: (a) Estabilidad de Lyapunov. (b) Estabilidad asintótica. del punto fijo, basta con introducir una pequeña perturbación x = x̄(t) + y en (2.6) y estudiar la dinámica asintótica de la perturbación y linealizando la ecuación en torno al punto fijo. De esta forma, la expansión en serie de Taylor resulta: ˙ + ẏ = f (x̄(t)) + Df (x̄(t)) y + O |y|2 , ẋ = x̄(t) (2.8) donde Df es la matriz Jacobiana de f y | · | es la norma en Rn . Usando la identidad (2.6) en la ecuación (2.9), obtenemos finalmente ẏ = Df (x̄(t)) y + O |y|2 , (2.9) que es la ecuación diferencial que rige la dinámica de una pequeña perturbación y en torno al punto fijo x̄(t). Puesto que la solución al problema de valores iniciales dado por la ecuación (2.9) linealizada toma la forma R 0 0 y(t) = e Df (x̄(t ))dt y0 , la estabilidad de la solución de equilibrio depende del R comportamiento de la integral Df (x̄(t0 )) dt0 . Afortunadamente, las soluciones de equilibrio son, por definición, independientes del tiempo, y por tanto Df (x̄(t)) = Df (x̄) es una matriz n-dimensional de coeficientes constantes, por lo que la solución analı́tica al problema linealizado existe, y evaluar la estabilidad de la aproximación lineal se reduce a diagonalizar la matriz Df (x̄) y calcular el signo de sus autovalores2 . 2. Desde un punto de vista geométrico, diagonalizar Df (x̄) es equivalente a desacoplar el. 16.

(29) CAPÍTULO 2. SISTEMAS COMPLEJOS. Figura 2.2: Tabla de estabilidad de puntos fijos. Los casos más importantes que podemos encontrar en el estudio de la estabilidad del punto fijo en la aproximación lineal se resumen en la Fig. 2.2, donde nos hemos restringido por simplicidad a sistemas bidimensionales del tipo (2.6): son los nodos, los saddles, las espirales y los centros.√ El análisis de la estabilidad depende del signo de los autovalores λ1,2 = 12 (τ ± τ 2 − 4∆) de la matriz Jacobiana, donde τ = λ1 + λ2 es la traza y ∆ = λ1 λ2 es el determinante de dicha matriz. Los nodos tienen ambos autovalores del mismo signo (∆ > 0), siendo puntos fijos que atraen (estables) o repelen (inestables) todas las trayectorias de su entorno. Los puntos de tipo silla de montar (saddles) sistema linealizado, y por tanto cada autovalor corresponde a una combinación lineal de las variables originales que da lugar a una nueva variable desacoplada del resto, cuya solución es del tipo u(t) = eλt v, siendo v el autovector correspondiente. Ası́ pues, λ representa la tasa de variación exponencial de las soluciones en el nuevo sistema de referencia, y por tanto la estabilidad del sistema se reduce a estudiar la convergencia (estable) o divergencia (inestable) de dichas soluciones a la solución u = 0 dada por el signo del correspondiente autovalor.. 17.

(30) CAPÍTULO 2. SISTEMAS COMPLEJOS tienen un autovalor positivo y otro negativo, siendo por tanto inestables. Los centros espirales son puntos fijos cuyos autovalores toman valores complejos (λ, λ̄) y su estabilidad depende del signo de la parte real de λ. De esta forma, si Re(λ) < 0 (Re(λ) > 0), las trayectorias se acercan (alejan) al punto fijo en órbitas espirales, siendo el centro asintóticamente estable (inestable). Finalmente, existen casos degenerados que viven en las fronteras de los sectores de la figura, de los cuales los centros son sin duda los más importantes, estando asociados a la zona lı́mite que separa las espirales estables de las inestables. Por tanto, alrededor de los puntos fijos con Re(λ) = 0 surgen órbitas cerradas neutralmente estables, donde una pequeña perturbación lleva de una órbita cerrada a otra tan próxima como pequeña sea la perturbación. Si bien podemos estudiar la estabilidad de los puntos fijos en la aproximación lineal, no podemos estar seguros de que ésta se mantenga al incluir los términos no lineales de la ecuación (2.9), esto es, no hay garantı́as de que la estructura de las órbitas de un entorno del punto fijo del campo vectorial en la aproximación lineal sea esencialmente la misma que en el caso del campo vectorial no lineal. No obstante, bajo ciertas condiciones podemos garantizar que la aproximación lineal es representativa de la dinámica del sistema no lineal: Definición (Puntos fijos hiperbólicos.) Sea x = x̄ un punto fijo de la ecuación ẋ = f (x), x ∈ R. Se dice que x̄ es un punto fijo hiperbólico si todos los autovalores de Df (x̄) tienen parte real distinta de cero. Siempre y cuando Df (x̄) no tenga autovalores con parte real cero, podemos decir que la estabilidad del sistema linealizado sigue siendo válida en el caso del sistema no lineal original (teorema de Hartman-Grobe). Por contra, la presencia de centros asociados a órbitas cerradas en la aproximación lineal rara vez permite deducir la estabilidad del punto fijo del sistema no lineal original, y por tanto será necesario desarrollar otros métodos para el estudio de los casos que implican autovalores con parte real cero (ver Apéndice A). Como consecuencia directa del teorema de Hartman-Grobe, podemos formular el siguiente teorema: Teorema. Sea x̄ un punto fijo del sistema no lineal ẋ = f (x), x ∈ R. Entonces, x̄ es asintóticamente estable si y solo si todos los autovalores de Df (x̄) tienen parte real negativa.. 18.

(31) CAPÍTULO 2. SISTEMAS COMPLEJOS. 2.2.2.. Soluciones periódicas. Además de las soluciones de equilibrio, existe otro tipo de soluciones fundamentales en la teorı́a de sistemas no lineales: Definición (Soluciones Periódicas.) Una solución x̃(t) de la ecuación (2.6) se dice que es periódica y de periodo T si existe un T > 0 tal que x(t) = x(t + T ) para todo t ∈ R. Estas soluciones dan lugar a órbitas cerradas presentes en el espacio de fases que, al igual que los puntos fijos, existen para todo tiempo t y se pueden clasificar en función de los criterios de estabilidad. No obstante, para poder aplicar dichos criterios debemos redefinir la estabilidad en este contexto, introduciendo previamente los siguientes conceptos. Definimos la órbita positiva que pasa por x0 para t ≥ t0 como: O+ (x0 , t0 ) = {x ∈ Rn |x = x̃(t), t ≥ t0 , x̃(t0 ) = x0 } .. (2.10). Ası́ mismo, la distancia entre un punto y un conjunto se define a continuación. Sea S ∈ R un conjunto arbitrario y p ∈ Rn un punto arbitrario. Entonces la distancia entre el punto p y el conjunto S es: d(p, S) = ı́nf |p − x|. x∈S. Definición (Estabilidad Orbital.) x̃(t) se dice que es una órbita estable si, dado > 0, existe un δ = δ() > 0 tal que, para cualquier otra solución ỹ(t) de (2.6) que satisface |x̃(t0 )− ỹ(t0 )| < δ, entonces d (y(t), O+ (x0 , t0 )) < para t > t0 . Definición (Estabilidad Orbital Asintótica.) x̃(t) se dice que es una órbita asintóticamente estable si es estable y, para cualquier otra solución ỹ(t) de (2.6), existe una constante b > 0 tal que, si |x̃(t0 ) − ỹ(t0 )| < b, entonces lı́m d (y(t), O+ (x0 , t0 )) = 0. t→∞. El ejemplo más simple de una solución periódica es el de aquellas órbitas cerradas que emergen alrededor de un centro (Fig. 2.3). Como se ha dicho previamente, los centros dados por la aproximación lineal generalmente son muy sensibles a las contribuciones no lineales. No obstante, existe un caso en el cual estos centros son especialmente robustos: los sistemas conservativos. Se dice que un sistema no lineal ẋ = f (x) es conservativo si existe una 19.

(32) CAPÍTULO 2. SISTEMAS COMPLEJOS. Figura 2.3: Mapa de fases de un péndulo simple. función continua E(x) que es constante sobre las soluciones del sistema, es decir, Ė(x) = ∇E(x) · ẋ = ∇E(x) · f (x) = 0. (2.11) Por tanto, el gradiente de las superficies equipotenciales es siempre perpendicular al flujo vectorial, siendo posible foliar el espacio de fases en superficies equipotenciales, de forma que toda solución queda confinada en un entorno que le impide degenerar en órbitas espirales. No obstante, este tipo de órbita periódica, caracterı́stica de los sistemas lineales, no es estable frente a perturbaciones, y por tanto nos vemos obligados a buscar otro tipo de solución periódica para explicar la mayorı́a de sistemas oscilatorios autorregulados presentes en la naturaleza. Ası́ pues, un ciclo lı́mite es una solución periódica aislada (a diferencia de las órbitas en torno a un centro), que puede ser tanto estable como inestable en función de si las trayectorias de su entorno convergen o divergen del ciclo lı́mite, y que está estrictamente asociada a sistemas no lineales3 . 3. Esta relación intrı́nseca con sistemas no lineales se puede entender fácilmente en términos de Mecánica Clásica. Considerando el sistema bidimensional ẋ = y, ẏ = f (x, y), donde f (x, y) = −g(x) − h(x, y), el sistema combinado ẍ + g(x) = −h(x, y) se puede interpretar como un sistema conservativo ẍ + g(x) = 0 sometido a una cierta fuerza externa −h(x, ẋ). R La energı́a total del sistema conservativo es E = T + V = ẋ2 /2 + dxg(x), y la tasa de variación de la energı́a cuando se tiene en cuenta la fuerza externa es dE/dt = −ẋh(x, ẋ), donde se ha sustituido la ecuación ẍ = −g(x) − h(x, ẋ). Por tanto, la condición de órbita aislada implica que debe existir una trayectoria cerrada de energı́a constante dE/dt = 0 que separe una región interior con dE/dt > (<)0 de una región exterior con dE/dt < (>)0,. 20.

(33) CAPÍTULO 2. SISTEMAS COMPLEJOS. Figura 2.4: Formación de un ciclo lı́mite entre las regiones dE/dt > 0 (amortiguación negativa) y dE/dt < 0 (amortiguación positiva).. 2.2.3.. Bifurcaciones. Una caracterı́stica fundamental de los sistemas no lineales es la gran variedad de respuestas que presentan frente a condiciones iniciales y cambios en los parámetros propios. Ası́ pues, un sistema inicialmente en reposo puede comenzar a oscilar con tan solo cambiar el valor de un parámetro, transición que se describe en términos matemáticos mediante el paso de un punto fijo estable a un ciclo lı́mite para un cierto valor crı́tico del parámetro en cuestión. Por tanto, el estudio de las transiciones entre comportamientos dinámicos distintos o bifurcaciones es fundamental para entender la emergencia de fenómenos macroscópicos. Atendiendo a la estructura del espacio de fases cuando la bifurcación tiene lugar, éstas se pueden clasificar en dos grupos, locales y globales.. de tal forma que las soluciones convergen (divergen) a la solución periódica, como se ve en la Fig. (2.4). De esta forma, dE/dt = −yh(x, y) ≡ F (x, y) = 0 es la ecuación de una curva en el espacio de fases, siendo una curva cerrada si y solo si F (x, y) es de orden n ≥ 2 en sus variables. Dado que F (x, y) = −yh(x, y), la única forma de satisfacer esta condición es que el sistema contenga términos no lineales a través de h(x, y).. 21.

(34) CAPÍTULO 2. SISTEMAS COMPLEJOS Bifurcaciones locales En el primer caso, la bifurcación hace referencia al cambio de estabilidad en el entorno de una solución de equilibrio debido al cambio en algún parámetro del sistema. En concreto, una bifurcación local tiene lugar cuando, como resultado del cambio en dicho parámetro, la parte real de uno o varios autovalores del Jacobiano del sistema cambia de signo. Esta definición aparentemente arbitraria es bastante natural si atendemos a la estructura topológica del espacio de fases. Como se dijo anteriormente, un punto fijo hiperbólico es estructuralmente estable, es decir, su estabilidad no se ve alterada por una pequeña perturbación de los parámetros del sistema. Por tanto, resulta natural que un cambio cualitativo en la estructura topológica del espacio de fases solo pueda tener lugar cuando la parte real de algún autovalor se hace nula como resultado de la variación de algún parámetro, rompiendo ası́ la hiperbolicidad del punto fijo. El resultado de esta transición puede acarrear fenómenos dinámicos de los más variado, como por ejemplo, la aparición o desaparición de nuevos puntos fijos o de nuevos comportamientos temporales, como periodicidad, cuasiperiodicidad o caos. A su vez, el número de autovalores con Re(λ) = 0 determinará cuán exótico puede llegar a ser el nuevo comportamiento del sistema. Comenzaremos el estudio de la ruptura de hiperbolicidad considerando el caso más sencillo: cuando la variación de un único parámetro µ hace que un solo autovalor cambie de signo. La complejidad de este estudio puede incrementarse en dos vertientes. Por un lado, podemos considerar el número de parámetros necesarios para dar lugar a una bifurcación, lo que determina la codimensión de dicha bifurcación. En nuestro caso, nos restringiremos al estudio de bifurcaciones de codimensión 1. Por otro lado, podemos considerar que haya más de un autovalor con parte real cero. En esta introducción tan solo estudiaremos aquellos casos con un máximo de dos autovalores nulos, lo que nos llevará a definir una de las bifurcaciones más importantes en sistemas dinámicos: la bifurcación de Poincaré-Andronov-Hopf. En ambos casos, el estudio consistirá en explorar la ruptura de la hiperbolicidad del punto fijo en un entorno del parámetro crı́tico (de ahı́ el término bifurcación local), es decir, según µ se acerca al valor crı́tico µc . Consideremos el siguiente sistema paramétrico no lineal: ẋ = f (x, µ),. x ∈ R n , µ ∈ Rp ,. (2.12). donde f es una función Cr definida en un un abierto de Rn × Rp . Supon22.

(35) CAPÍTULO 2. SISTEMAS COMPLEJOS dremos que el sistema tiene un punto fijo en el origen4 y que dicho punto fijo es no hiperbólico. En el caso más sencillo, el Jacobiano del sistema tiene un único autovalor nulo y hay un solo parámetro libre. De esta forma, la dinámica del sistema se divide en dos escalas temporales: una rápida, asociada a los autovalores con parte real no nula cuya dinámica es exponencial, y otra lenta, asociada al autovalor con parte real nula, donde tienen lugar los cambios estructurales del espacio de fases. Por tanto, podemos restringir el estudio del campo vectorial (2.12) al subespacio definido por los autovectores correspondientes a la dinámica lenta (la llamada variedad central, ver Apéndice A), de tal forma que la ecuación (2.12) sobre la variedad central se reduce a u̇ = f (u, µ),. u ∈ R1 , µ ∈ R1 ,. (2.13). tal que f (0, 0) = 0, ∂f (0, 0) = 0. ∂u. (2.14) (2.15). La ecuación (2.14) expresa la condición de punto fijo, mientras que la ecuación (2.15) es la condición de no hiperbolicidad de la proyección del campo vectorial original sobre la variedad central. En estas condiciones, existen cuatro tipos de bifurcaciones determinadas por la correspondiente forma normal, esto es, el campo vectorial asociado a dicho comportamiento en su forma más simple: a) Bifurcación de tipo saddle-node5 : u̇ = µ + u2 La variación del parámetro µ crea o destruye un par de puntos fijos, uno √ estable y otro inestable. El punto fijo correspondiente es u1,2 = ± −µ. Por tanto, la ecuación u̇ = 0 tiene dos soluciones reales si µ < 0 y nin√ guna si µ > 0. En el primer caso, f 0 (u1 ) = 2 −µ > 0 (inestable) y √ f 0 (u2 ) = −2 −µ < 0 (estable). Cuando µ = 0, el nodo y el punto de silla convergen, siendo f 0 (u1,2 ) = 0, y por tanto µc = 0 es el punto de bifurcación. 4. De no ser ası́, siempre podemos hacer un cambio del sistema de referencia tal que (x , µ0 ) = (x − x̄, µ − µc ), donde (x̄, µc ) satisface f (x̄, µc ) = 0. Por simplicidad, nos referiremos a las variables en el nuevo sistema de coordenadas sin tildes. 5 Aunque literalmente saddle-node significa silla de montar-nodo, la traducción resulta un tanto incómoda, y por tanto el término se conserva en inglés. 0. 23.

(36) CAPÍTULO 2. SISTEMAS COMPLEJOS b) Bifurcación transcrı́tica: u̇ = µu − u2. Dos puntos fijos, uno estable y otro inestable, intercambian su estabilidad como consecuencia de la variación de un parámetro. Los puntos fijos correspondientes son u1 = 0 y u2 = µ. Por tanto, la ecuación u̇ = 0 tiene dos soluciones reales cuya estabilidad depende del signo de µ. En el caso µ < 0, u1 es estable (f 0 (u1 ) = µ < 0) y u2 es inestable (f 0 (u2 ) = −µ > 0). En el caso µ > 0, u1 es inestable (f 0 (u1 ) = µ > 0) y u2 es estable (f 0 (u2 ) = −µ < 0). Cuando µ = 0, el nodo y el punto de silla convergen, siendo f 0 (u1,2 ) = 0, y por tanto µc = 0 es el punto de bifurcación.. c) Bifurcación de pitchfork supercrı́tica6 : u̇ = µu − u3. La variación del parámetro µ permite transitar de una estructura monoestable a una estructura biestable y viceversa. Los puntos fijos correspon√ dientes son u1 = 0 y u2,3 = ± µ. Por tanto, la ecuación u̇ = 0 tiene una solución real si µ < 0 y tres si µ > 0. En el primer caso, u1 = 0 es estable (f 0 (u1 ) = µ < 0). En el segundo caso, la solución u1 = 0 se vuelve inestable (f 0 (u1 ) = µ > 0) y aparecen dos nuevas soluciones estables (f 0 (u2,3 ) = −µ < 0) con sus correspondientes cuencas de atracción (los semiplanos positivo y negativo respectivamente). Cuando µ = 0, los tres puntos fijos convergen, siendo f 0 (u1,2,3 ) = 0, y por tanto µc = 0 es el punto de bifurcación.. d) Bifurcación de pitchfork subcrı́tica: u̇ = µu + u3 Esta bifurcación es análoga al caso supercrı́tico, cuyos correspondientes √ puntos fijos son u1 = 0 y u2,3 = ± −µ. El cambio de signo dentro de la raı́z cuadrada provoca una inversión en la estabilidad de las ramas del diagrama de bifurcación, donde los puntos fijos no nulos existen solo si µ < 0. En el intervalo µ > 0, el único punto fijo (la solución trivial) es inestable. De esta forma, cualquier solución con u(0) 6= 0 diverge en tiempo finito. Fı́sicamente este tipo de comportamiento “explosivo” se evita debido a contribuciones de orden superior7 . En este caso, podemos introducir un término de orden cinco que respeta la simetrı́a del problema y compensa la inestabilidad debida al término cúbico. Ası́, la ecuación u̇ = µu + u3 − u5 da lugar al siguiente diagrama de bifurcaciones:. 6. Al igual que en el caso de la bifurcación de tipo saddle-node, conservaremos el término pitchfork en lugar de horca. 7 Recordemos que las formas normales son los términos principales de un desarrollo de Taylor de la ecuación dinámica en un sistema de coordenadas adecuado. 24.

(37) CAPÍTULO 2. SISTEMAS COMPLEJOS. Figura 2.5: Histéresis y discontinuidad. Como se puede ver, en un entorno de u pequeño el diagrama es equivalente al de una bifurcación de pitchfork subcrı́tica, mientras que para valores mayores de u aparecen dos ramas que atrapan las soluciones divergentes. Este sistema tiene además una caracterı́stica muy importante: la histéresis. Al incrementar progresivamente el parámetro µ, la solución trivial es estable hasta el punto crı́tico µ = 0, donde la solución evoluciona hacia la rama estable superior, apareciendo una discontuinuidad en sus valores asintóticos. Ası́ mismo, al disminuir µ la rama superior mantiene su estabilidad hasta alcanzar µ = µc , donde se vuelve inestable, forzando a la solución una vez más a regresar al punto fijo u = 0. Éste es el mecanismo matemático para describir las transiciones discontinuas y con histéresis que estudiaremos a lo largo de esta tesis.. Finalmente, consideremos el caso de un solo parámetro libre y dos autovalores con parte real cero, por ser de especial interés en la mayorı́a de oscilaciones presentes en sistemas biológicos:. e) Bifurcación de Poincaré-Andronov-Hopf Esta bifurcación (también llamada bifurcación de Hopf) es propotipo de sistemas en los cuales el cambio en un parámetro permite la transición entre una dinámica de reposo asociada a un punto fijo estable y una dinámica oscilatoria asociada a un ciclo lı́mite, siendo fundamental en el estudio de sistemas excitables (e. g. modelos neuronales). La expresión general de un campo vectorial no lineal sobre la variedad central bidimensional asociada 25.

(38) CAPÍTULO 2. SISTEMAS COMPLEJOS a dos autovalores complejos con parte real nula viene dada por 1 u̇ Reλ(µ) −Imλ(µ) u f (u, v, µ) = + , v̇ Imλ(µ) Reλ(µ) v f 2 (u, v, µ). (2.16). donde el primer término corresponde al campo vectorial linealizado8 y el segundo término corresponde a la parte no lineal. Por tanto, los autovalores de la matriz Jacobiana son λ(µ) = α(µ) + iω(µ) y su complejo conjugado λ̄(µ) = α(µ) − iω(µ), de forma que α(0) = 0 es la condición de punto fijo no hiperbólico. Se puede demostrar que existe un cambio de base tal que la parte no lineal del sistema (2.23) se reduce a su forma más simple. En coordenadas polares, dicha forma normal toma la expresión ṙ = αr + ar3 + O(r5 ), θ̇ = ω + br2 + O(r4 ).. (2.17). Si desarrollamos en serie de Taylor los coeficientes α(µ), ω(µ), a(µ) y b(µ) en torno a µ = 0 (es decir, en un entorno de µc donde se produce la ruptura de hiperbolicidad), se obtiene ṙ = α0 (0)µr + a(0)r3 + O(µ2 r, µr3 , r5 ), θ̇ = ω(µ) + b(µ)r2 + O(r4 ),. (2.18). donde 0 implica la derivada con respecto a µ. Despreciando los términos de orden superior en (2.18), la forma normal (2.17) queda reducida a ṙ = dµr + ar3 , θ̇ = ω + cµ + br2 ,. (2.19). siendo α0 (0) ≡ d, a(0) ≡ a, ω(0) ≡ ω, ω 0 (0) ≡ c y b(0) ≡ b.. De esta forma, resulta inmediato comprobar que la ecuación radial tiene dos puntos fijos, p (2.20) r1 = 0 y r2 = −dµ/a,. siendo r2 el p radio asociado a una órbita periódica, cuya amplitud es proporcional a |µ|. También parece inmediato que la estabilidad de dicha órbita depende del signo de d, a y µ, pues la derivada de la ecuación radial respecto al radio evaluada en la órbita periódica es a ∂r f (r2 ) = dµ + 3|dµ| . (2.21) |a| 8. Se asume que el sistema de referencia es tal que la matriz Jacobiana adquiere esta estructura. De no ser ası́, siempre se puede encontrar la transformación lineal necesaria para ello.. 26.

(39) CAPÍTULO 2. SISTEMAS COMPLEJOS No obstante, un estudio más cuidadoso revela que la estabilidad de la órbita periódica solo depende del signo de a debido a la restricción implı́cita en (2.20). Ası́ pues, a > 0 implica que d y µ han de tener signos opuestos para garantizar que r2 sea real, y por tanto la órbita periódica es inestable (∂r f (r2 ) = 2|dµ| > 0). Ası́ mismo, a < 0 implica que d y µ han de tener el mismo signo, y por tanto la órbita periódica es asintóticamente estable (∂r f (r2 ) = −2dµ < 0). Por simplicidad, en lo que queda de apartado nos restringiremos al caso más simple (d = 1, a = −1, c = 0): ṙ = µr − r3 ,. θ̇ = ω + br2 .. (2.22). Cuando µ < 0, el origen es el único punto fijo, siendo asintóticamente estable, y ası́ todas las soluciones convergen sobre él formando espirales. No obstante, una vez µ cruza el punto crı́tico, el origen se vuelve inestable √ y un ciclo lı́mite asintóticamente estable de radio µ emerge según se incrementa el valor de µ, ilustrando ası́ la transición entre una dinámica estacionaria y una oscilatoria. Una vez más, podemos considerar el caso subcrı́tico (a > 0) y, en analogı́a con la bifurcación de Pitchfork subcrı́tica, añadir un término −r5 a la ecuación para compensar el carácter desestabilizador del término cúbico: ṙ = µr + r3 − r5 , θ̇ = ω + br2 .. (2.23). De esta forma, el resultado de introducir tales cambios en el sistema se manifiesta a través de un proceso de histéresis, como se verá justificado en el siguiente apartado. En particular, los puntos fijos de la ecuación radial son los mismos que en el caso de la bifurcación de Pitchfork subcrı́tica, con la salvedad de que ahora excluimos los radios negativos: r p 1 ∓ 1 + 4µ /2 (2.24) r1 = 0, r2,3 = Por tanto, para valores de µ ligeramente negativos, un punto fijo estable en el origen y un ciclo lı́mite estable coexisten, separados por un ciclo lı́mite inestable9 . Para µ = 0 el radio de la órbita inestable se reduce. 9. Cabe destacar la necesidad de la existencia de dicho ciclo lı́mite inestable, pues por continuidad de las trayectorias, un ciclo lı́mite estable no puede contener en su interior un punto fijo estable sin que exista algún tipo de separatriz entre ambas variedades invariantes. 27.

(40) CAPÍTULO 2. SISTEMAS COMPLEJOS al origen (r2 = 0), mientras que r3 = 1 permanece. Ası́ pues, cuando µ > 0 el ciclo lı́mite inestable desaparece (r2 ∈ C) y el origen se vuelve inestable, forzando a las soluciones a “saltar” al único atractor estable, el ciclo lı́mite asociado a r3 . En otras palabras, el sistema sufre de forma brusca oscilaciones de gran amplitud que permanecen incluso para valores de µ < 0, y solo desaparecerán cuando los ciclos lı́mite estable e inestable colisionen.. Bifurcaciones globales Como su nombre indica, las bifurcaciones globales no pueden detectarse explorando un entorno pequeño de un punto fijo, dado que tienen lugar en regiones amplias del espacio de fase. De esta forma, aparecen nuevos mecanismos de creación o destrucción de ciclos lı́mite. a) Bifurcación de tipo saddle-node en ciclos lı́mite Un ejemplo de bifurcación global es precisamente la colisión entre las órbitas estable e inestable de las que hablábamos en el caso µ < 0 de la bifurcación de Hopf subrı́tica (2.23). Si bien en el apartado anterior nos hemos preocupado por la bifurcación en µ = 0, para valores de µ ligeramente menores que cero las dos órbitas periódicas r2 y r3 coexisten siempre y cuando el discriminante en (2.24) sea positivo. Cuando µ = −1/4, el discriminante se hace cero y por tanto p las dos órbitas periódicas se fusionan en una sola órbita de radio r = 1/2, desapareciendo (r2,3 ∈ C) para valores µ < −1/4. Por tanto, queda justificado el fenómeno de histéresis del caso subcrı́tico, pues las oscilaciones que emergen cuando el parámetro cruza el punto crı́tico µ = 0 no desaparecen hasta llegar a la bifurcación global en µ = −1/4. b) Bifurcación de perı́odo infinito Este tipo de bifurcación está caracterizado por la aparición de dos puntos fijos sobre un ciclo lı́mite. Como ejemplo, veamos la siguiente combinación de dos sistemas unidimensionales particularmente simples: ṙ = r(1 − r2 ), θ̇ = µ − sinθ.. (2.25). En la componente radial, el origen es un punto fijo inestable y todas las trayectorias se aproximan al ciclo lı́mite estable con r = 1. En la componente angular, el sistema es análogo a un oscilador con frecuencia natural 28.

(41) CAPÍTULO 2. SISTEMAS COMPLEJOS µ y un término perturbativo. Ası́ mismo, tiene un punto de bifurcación en µ = 1 asociado a una bifurcación de tipo saddle-node. Por tanto, si µ > 1 (altas frecuencias), la ecuación angular no tiene puntos fijos y el sistema presenta oscilaciones con sentido antihorario. Según µ → 1+ , estas oscilaciones comienzan a ralentizarse en torno a θ = π/2, hasta que en µ = 1 aparece un punto fijo en θ = 2π y el tiempo necesario para realizar una oscilación completa diverge a infinito. Para valores de µ < 1 (bajas frecuencias), el punto fijo se divide en dos, uno estable y otro inestable, determinados por θ1,2 = sin−1 µ, desapareciendo ası́ la órbita periódica. c) Bifurcación homoclı́nica Una órbita homoclı́nica es una órbita cerrada que conecta un punto fijo de tipo saddle consigo mismo. Por tanto, este tipo de bifurcación tiene lugar cuando la variación de un parámetro hace colisionar un ciclo lı́mite con un saddle, formando una órbita homoclı́nica para un cierto valor crı́tico. El estudio de este tipo de bifurcación se lleva a cabo mediante un enfoque perturbativo llamado método de Melnikov (Guckenheimer and Holmes, 1983).. 29.

(42) CAPÍTULO 2. SISTEMAS COMPLEJOS. 2.3.. Sincronización de sistemas dinámicos en redes complejas. Una vez descritas las propiedades estructurales de una red y la teorı́a general de sistemas dinámicos, procedemos al estudio de los fenómenos emergentes que resultan de la combinación de ambos factores y que requieren, por tanto, de una aproximación holı́stica. En nuestro caso, el fenómeno emergente fundamental es la sincronización de sistemas de osciladores acoplados de forma no lineal, cuyo descubrimiento se adjudica históricamente durante el siglo XVII a C. Huygens (Huygens and Oscillatorium, 1932). En particular, Huygens advirtió cómo dos relojes colgados en la misma pared de su habitación oscilaban al unı́sono, hecho que por experiencia sabı́a que no podı́a deberse al azar. De esta forma, dedujo que ambos relojes debı́an sentir una interacción mutua a través de la pared. A continuación, analizaremos la emergencia de sincronización dentro del marco conjunto de la Teorı́a de Bifurcaciones (dinámica) y de la Teorı́a de Redes (topologı́a) en el caso de los dos modelos estudiados en esta tesis, el modelo de Kuramoto y su extensión inercial. Para una revisión completa de la sincronización en el contexto de redes complejas se puede consultar (Arenas et al., 2008).. 2.3.1.. El modelo de Kuramoto original. Este modelo fue propuesto por Yoshiki Kuramoto (Kuramoto, 1975, 2003) como paradigma en el estudio de la sincronización de sistemas biológicos, motivado particularmente por el trabajo de Winfree sobre la sincronización en poblaciones de luciérnagas (Winfree, 1967). No obstante, este sencillo modelo resoluble analı́ticamente ha resultado ser extremadamente útil, sirviendo en la modelización de problemas en campos tan diversos como la Fı́sica (Wiesenfeld et al., 1998), la Quı́mica (Kim et al., 2004) o la Neurociencia (Cumin and Unsworth, 2007). En la literatura pueden encontrarse numerosas aportaciones debidas a su importancia como modelo para la comprensión y descripción de la sincronización en sistemas reales. Para una excelente aproximación general al problema, ası́ como una revisión de la literatura al respecto, cabe destacar (Strogatz, 2000; Acebrón et al., 2005). Respecto al estudio de la estabilidad de las soluciones destacamos (Strogatz and Mirollo, 1991; Strogatz et al., 1992; Mirollo and Strogatz, 2005, 2007), estudio extendido y corregido en términos de la variedad central (Crawford, 1994). Ası́ mismo, la distribución de frecuencias naturales puede dar lugar a transiciones con histéresis tanto en 30.

(43) CAPÍTULO 2. SISTEMAS COMPLEJOS el modelo de Kuramoto (Martens et al., 2009) como en la versión estocástica (Bonilla et al., 1992). Por último, un interesante enfoque en términos de funciones de Lyapunov se puede encontrar en (Van Hemmen and Wreszinski, 1993). El modelo de Kuramoto consiste en un conjunto de osciladores con una frecuencia natural wi propia (aquella que determina su fase individualmente) y un término de acoplamiento no lineal que depende de la diferencia de las fases de cada par de osciladores conectados. En el modelo original, todos los osciladores están acoplados entre sı́ y la ecuación que rige la dinámica del sistema es: N σ X sin(θj − θi ), i = 1, ..., N, (2.26) θ̇i = wi + N j=1. donde σ es la constante de acoplamiento y N el número de osciladores del sistema. Es inmediato advertir que el modelo de Kuramoto es precisamente la formulación moderna y general del fenómeno observado por Huygens, donde los osciladores acoplados intercambian energı́a gracias a una fuerza de interacción. Como resultado, las oscilaciones se van ajustando progresivamente hasta alcanzar el estado de sincronización θ1 = θ2 = ... = θN , siempre y cuando la constante de acoplamiento sea suficientemente grande. Antes de proseguir con el tratamiento general, consideremos el modelo de Kuramoto en su formulación más sencilla. Si atendemos a un solo elemento aislado, un oscilador de Kuramoto es simplemente un flujo en la circunferencia caracterizado por la ecuación θ̇ = ω.. (2.27). Por tanto, las soluciones son oscilaciones regulares del tipo θ = ωt + θ0 . La particularidad del modelo de Kuramoto está en considerar un acoplamiento no lineal. En el caso más simple, la ecuación de Kuramoto para dos osciladores es θ˙1 = ω1 + σ sin(θ2 − θ1 ), (2.28) θ˙2 = ω2 + σ sin(θ1 − θ2 ). Este sistema de dos ecuaciones se puede reducir a un sistema unidimensional mediante el cambio de variables φ = θ2 − θ1 , de forma que φ̇ = ∆ − 2σ sin(φ),. (2.29). donde ∆ = ω2 − ω1 , σ regula la intensidad de la interacción y φ̇ = 0 es la condición de sincronización en frecuencias. Redefiniendo la escala temporal 31.

(44) CAPÍTULO 2. SISTEMAS COMPLEJOS t0 = 2µt y el parámetro µ = ∆/2σ, recuperamos la ecuación angular del ejemplo de la bifurcación de perı́odo infinito (ver sección 2.2.3), caracterizada por una bifurcación de tipo saddle-node en µ = 1 (σ = ∆/2). Para valores de acoplamiento σ < ∆/2, el sistema no tiene puntos fijos y los osciladores no pueden sincronizarse. Cuando σ > ∆/2 aparecen dos puntos fijos, uno estable y otro inestable, siendo el punto fijo estable el atractor responsable de que ambos osciladores sincronicen. El punto crı́tico σc = ∆/2 que separa el estado sı́ncrono del estado incoherente resulta ser proporcional a la diferencia en frecuencias naturales. De esta forma, cuanto más diferentes sean ω1 y ω2 , tanto más se deberá incrementar σ para lograr que el sistema sincronice. Una vez alcanzado el estado de sincronización asociado a φ̇ = 0, los osciladores giran con una diferencia de fase φ constante a la misma frecuencia instantánea de sincronización ωs = hωi. Si incrementamos aún más σ, la diferencia de fases se reduce progresivamente, y en el lı́mite σ → ∞ el sistema acaba sincronizando tanto en frecuencia como en fase. Una vez entendido el modelo en su configuración más sencilla, podemos estudiar el caso original de un sistema con N osciladores acoplados todos con todos. Introduciendo notación compleja, podemos reexpresar (2.26) como θ̇i = wi + σrsin(ψ − θi ),. i = 1, ..., N,. (2.30). con tal de introducir el cambio de variables r(t)eiψ(t) =. N 1 X iθj (t) e . N j=1. (2.31). De esta forma, reiψ es un número complejo cuyo argumento ψ es la fase promedio del sistema, y cuyo módulo r da cuenta de la sincronización instantánea de los osciladores. Considerando cada oscilador como un vector de módulo unidad y ángulo θ en el plano complejo, si el sistema está en el estado incoherente la suma de todos los vectores en (2.31) dará como resultado un vector de módulo r ' 0, mientras que si el estado es sı́ncrono, todos los vectores rotarán al unı́sono y el parámetro de orden será r ' 1 (cumpliéndose la igualdad estricta solo cuando t → ∞ en el lı́mite termodinámico). La transición de un estado al otro determina un cierto valor crı́tico de la constante de acoplo σc tal que, para σ > σc , el sistema evoluciona del estado incoherente al estado (parcialmente) sı́ncrono. Para poder definir el grado de sincronización global del sistema debemos introducir una serie de consideraciones previas. En primer lugar, el atractor del sistema (ver Apéndice A) es una variedad diferenciable definida por la 32.