Cómo afecta a la ecuación de la función exponencial, el hecho de que los valores de x (la variable independiente) no aumenten de uno en uno

Deduzcámoslo contestando las siguientes preguntas.

Supón que como información de una función exponencial, tenemos que el valor inicial es 3 y que n años después el valor es 192, y queremos plantear la función.

Al indicarnos que es una función exponencial, sabemos que la ecuación tiene la forma y
b•ax

¿Conoces el valor de b? . ¿Cuál es? b
Al sustituirlo en la ecuación obtenemos:

¿Conoces el factor de cambio (a)?

Observa que en la información que se nos da, lo que tenemos es el punto x
n y y
192, podemos sustituirlo en la función para obtener el valor del factor de cam- bio a; al hacerlo obtenemos:

192
3 •an_{, observa que la a queda como única incógnita en la ecuación, al despejar}

obtenemos:

19₃
a2 n_{, que es equivalente a 64
a}n_{; ¿cómo eliminamos el exponente, para que a}

quede despejada?

Al hacerlo obtenemos,
y simplificando el lado derecho obtenemos
n

6

4
a, que es equivalente a expresarlo con un exponente como a

Si sustituimos el valor de a en la ecuación, ésta queda expresada como y
3 •

 

x

Aplicando la ley de los exponentes,la ecuación queda expresada como y
3 •

 

( )

En general, podemos concluir que

En una función exponencial con valor inicial b y factor de cambio a, si el valor de x cambia de n en n, la función queda expresada de la forma

EJEMPLO 1

Plantea la función para la población que se representa en la siguiente tabla

Solución

Lo primero que debemos hacer es identificar qué tipo de función es, ya que la expo- nencial no es el único tipo de función que hemos estudiado.

Al obtener el cambio promedio (para ver si es lineal) obtenemos que: para los primeros dos puntos m
1

2 2 5




0.36,30 para el segundo y tercer punto m
4₅8₀_
1.441₂2₅

Como NO obtenemos el mismo valor para el cambio promedio, concluimos que

la población NO tiene un comportamiento lineal. y
_⋅b ax n an n n64 x (años) 0 25 50 75 y (población en millones) 3 12 48 192

CONSTRUCCIÓN

Veamos ahora si tiene un comportamiento exponencial, para ello debemos com- probar que la función tiene un factor de cambio constante.

Recordemos que el factor de cambio a se obtiene dividiendo los valores de la fun- ción (la variable dependiente).

Al dividir los términos obtenemos:

s_pe_rg_imun
_ed_roo 1₃
42 _st_ee_gr_uce
_nr_do_o 4₁8₂
4 _tc_eu_ra_ce
rt_ro_o 1₄9₈
42 Observa que obtenemos siempre el mismo resultado, por lo que podemos afir- mar que la población tiene un comportamiento exponencial.

La ecuación a utilizar es de la forma y
b•ax

En este caso, el valor de b
3, es decir, la población inicial (en el tiempo x
0) y el factor de cambio resultó ser a
4, pero como los valores de x cambian de 25 en 25 , el exponente (la x) debe estar dividido entre 25; la ecuación queda expresada como:

y
3 •4x/25

de esa forma queda indicado que el factor de cambio de la población es cada 25 años. También podemos escribirla como y
3 •(41/25₎x_{, o al elevar el número 4 al ex-}

ponente 1/25, la ecuación queda expresada como y
3 •(1.057018)x

Gráfica de una función exponencial

La gráfica de una función exponencial es una curva que, al igual que la recta, puede ser creciente o decreciente; en estas funciones eso depende de cómo es el factor de cam- bio. Para la función y
b•ax_{con b 0, se cumple que:}

➣ Si el factor de cambio a 1, se tiene un crecimiento exponencial y la gráfi- ca será creciente.

➣ Si el factor de cambio 0  a  1se tiene un decaimiento exponencial y la gráfica será decreciente.

y x b y x b

¡A TRABAJAR!

EJERCICIO 1

La epidemia del SARS inició en noviembre de 2002 en la provincia de Guangdong, China. La siguiente gráfica muestra el avance mensual de la epidemia, desde que se pre- sentó el primer caso hasta abril de 2003. Fuente: Selecciones del Reader’s Digest, agos- to de 2003.

El encabezado de este artículo dice así:

“La epidemia del SARS ha puesto a temblar a todo el mundo ¿podrán los médi- cos acabar con ella?”.

AVANCE DE LA EPIDEMIA

16 de noviembre de 2002: Se registra el

primer caso de SARS en la provincia de Guangdong, China.

Principios de marzo de 2003: La en-

fermedad se propaga a Hong Kong, Canadá, Singapur y Vietnam.

26 de marzo de 2003: Hasta el 28 de

febrero se habían contabilizado 792 casos y 31 muertes en Guangdong.

11 de abril de 2003: Se informa de 2890

casos (de los cuales 1309 se registra- ron en China, 1059 en Hong Kong y 133 en Singapur) y 116 decesos.

22 de abril de 2003: En China han ocu-

rrido 2000 casos y 92 muertes, y se re- gistran cinco casos nuevos de infección por hora. La epidemia avanza en Ca- nadá, donde se registran 304 casos. Hay un total de 4500 casos confirma- dos en todo el mundo.

1 de mayo de 2003: 5220 casos y 329

fallecimientos registrados en 28 países.

Solución

a) ¿Qué indica el tipo de gráfica mostrada, con respecto a la epidemia?

EJERCICIO 2

Como resultado de los censos del 2000, según datos del INEGI (Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática), la población (en millones de personas) que residía en el país, incluidos extranjeros, puede representarse mediante la siguiente fórmula P
97.48(1.022)t_.

Solución

a) Interpreta la información que da la fórmula de la población.

b) ¿Qué significa si la fórmula se expresa como P
97.48(1.022)t /10_?

EJERCICIO 3

Plantea una posible fórmula para la función dada en la siguiente tabla. Contesta en la línea.

a) ¿Es una función lineal? ¿Por qué?

b) ¿Es una función exponencial? ¿Por qué?

c) ¿Qué ecuación vas a utilizar?

d) El factor de cambio es a
¿Cómo lo obtuviste? El valor inicial es: b

Al sustituir los datos, la ecuación es

EJERCICIO 4

Plantea la ecuación para la función representada en la gráfica.

t  2  1 0 1 Q 2.5 1.3 0.676 0.35152 1 2 2 0 2 4 6 S t 0 1 2 (1, 3) (2, 1)

Solución

a) ¿Es una función lineal o exponencial? ¿Por qué?

b) La ecuación que vas a utilizar es:

Una estrategia para obtener la ecuación sería escribir la información dada en la gráfica en una tabla de datos; dicha tabla de datos quedaría expresada como:

t S

NOTA

Para esta tabla tenemos que: a
y, como los valores de t aumentan de 3 en 3, la ecuación queda expresada como:

Observa que no tienes el valor de b (ya que éste es el valor cuando t
0, o el pun- to de intersección con el eje y). Para obtenerlo sustituimos cualquiera de los puntos en la ecuación y despejamos b.

Finalmente la ecuación es:

EJERCICIO 5

Determina si la siguiente tabla de valores corresponde a una función exponencial, si lo es, encuentra su ecuación.

t 1 2 5 8

Q (t ) 2 2.662 3.543122 4.715895382

Solución

Para decidir si es exponencial verifica si los valores de Q aumentan en un factor de cam- bio constante

El valor del factor de cambio es a
y los valores de t van de

en así que la ecuación, hasta este momento quedaría expresada como Observa que en la tabla de datos no aparece el valor inicial, es decir, el valor de Q para el cual la variable t es cero. Para encontrar el valor inicial, sustituye en la expresión an- terior, cualquiera de los puntos dados en la tabla y despeja b.

La ecuación es

EJERCICIO 6

La función de ventas (en miles de unidades) de un cierto producto está dada por la si- guiente gráfica en donde t se mide en años y t
0 representa el día de hoy.

V

t (3, 1) (0, 5)

a) De la interpretación práctica del punto (3, 1)

b) Escribe una fórmula que sirva para calcular las ventas como una función del tiempo.

Para determinar la ecuación realiza el siguiente análisis:

Si escribimos los datos de la gráfica a una tabla de va- lores obtenemos

De donde podemos determinar que el valor inicial es b

el factor de cambio es a
y que los valores de t van de

en .

La fórmula para esta función de ventas es:

c) Si el crecimiento de las ventas no cambia, ¿cuál será el volumen de ventas dentro de 4 años a partir de hoy?

EJERCICIO 7

Una persona ingirió una taza de café que contiene 100 mg de cafeína. Si la vida media de la cafeína en el cuerpo es de aproximadamente 4 horas, ¿qué cantidad de cafeína Q habrá en el cuerpo de la persona 6 horas después?

Definición: La vida media es el tiempo que tarda una cantidad (que decrece ex- ponencialmente) en reducirse a la mitad.

Utiliza la definición de vida media para escribir, en la siguiente tabla, la información proporcionada en el enunciado:

Cuando en un enunciado se hace referencia a la vida media, significa que la situación corresponde a un modelo exponencial.

De acuerdo a la nota anterior, podemos determinar que el valor inicial es b
; además el factor de cambio es a
y los valores de t van de

en por tanto la función que nos da la cantidad de cafeína Q en el cuerpo como una función del tiempo es Q (t )

Ahora contesta la pregunta

¿qué cantidad de cafeína Q habrá en el cuerpo de la persona 6 horas después de haberse tomado una taza de café?

EJERCICIO 8

El precio de una casa aumenta exponencialmente. Si en 3 años el valor de la casa au- mentó 40% del valor original, con base en esta información estima el tiempo de du- plicación para su valor.

Definición:El tiempo de duplicación es el tiempo que tarda una cantidad (que crece exponencialmente) en duplicarse.

Solución

La ecuación que vas a utilizar es:

Si V es el valor de la casa y t es el tiempo de años ¿cómo queda expresada la ecuación?

Observa que no conocemos el valor inicial de la casa; en la ecuación éste quedará expresado como b.

Para obtener el factor de cambio a, podemos es- cribir la información dada en una tabla de datos.

De esta forma, ¡ya puedes plantear la ecuación! La ecuación queda como:

t V t Q

NOTA

t V

Otra forma de resolver este problema es plantear la ecuación y sustituir la informa- ción dada considerándola como el punto t
3, V
1.4b; después sustituimos en la ecuación y despejamos para obtener el factor de cambio a.

Para obtener el tiempo de duplicación: sustituimos V
y despejamos

Observa que la variable que se te pide aparece en el exponente y no hemos visto cómo des- pejar una variable que se encuentra en el exponente. Para contestar a la pregunta utiliza- remos el método de prueba y error, éste consiste en ir sustituyendo valores de prueba en t, hasta obtener el mejor valor de t con el cual se satisface la ecuación, es decir, obte- nemos una estimación. Más adelante aprenderás a resolver este tipo de situaciones.

Por prueba y error el tiempo de duplicación es t

EJERCICIO 9

Para una compañía, las funciones de ingresos y costos están dadas por

I(x)
3(2x_{) y C(x)
9x  25,}

respectivamente, donde x son las miles de unidades producidas y vendidas.

Solución

a) Por medio de un graficador dibuja en los mismos ejes la gráfica de ambas fun-

ciones y determina el punto de equilibrio para la compañía. Indica el área que representa pérdidas y la que representa ganancias.

b) Si se venden 5000 unidades, ¿hay pérdida o ganancia? Justifica.

¿Puedes obtener el punto de equilibrio resolviendo algebraicamente la ecuación? Jus- tifica.

In document Cálculo Diferencial (página 49-55)